湖南省茶陵县高中数学第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理一堂堂清无答案新人教A版选修2

习题课：§1.1计数原理(一)

一、选择题

1．图书馆的书架有3层，第1层有3本不同的数学书，第2层有5本不同的语文书，第3层有8本不同的英语书，现从中任取1本书，不同的取法共有( )

A ．120种

B ．16种

C ．64种

D ．39种

2．从集合{1,2,3，…，8}中任意选出3个不同的数，使这3个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )

A ．3

B ．4

C ．6

D ．8

3．已知a ∈{3,4,6}，b ∈{1,2}，r ∈{1,4,9,16}，则方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2可表示的不同圆的个数是( )

A ．6

B ．9

C ．16

D ．24

4．现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )

A ．56

B ．65

C.5×6×5×4×3×22 D ． 6×5×4×3×2 5．从甲地到乙地有2种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地到丙地的不同走法种数为( )

A ．2＋4＋3

B ．2×4＋3

C ．2×3＋4

D ．2×4×3

6．某体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练习跑步，则他进出门的方案有( )

A ．12种

B ．7种

C ．24种

D ．49种

7．已知集合M ∈{1，－2,3}，N ∈{－4,5,6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是( )

A ．18

B ．10

C ．16

D ．14

二、填空题

8．赵晓明同学的衣服上左、右两边各有一个口袋，左边口袋装有30张英语单词卡片，右边口袋装有20张英语单词卡片，这些单词卡片互不相同，则从两个口袋里任取一张卡片，有________种不同的取法．

9．若在如图1的电路中，只合上一个开关可以接通电路，有________种不同的方法； 在如图2的电路中，合上两个开关可以接通电路，有________种不同的方法．

10．直线方程Ax＋By＝0，若从0,1,3,5,7,8这6个数字中每次取两个不同的数作为A、B 的值，则可表示________条不同的直线．

11．某校教学大楼共有5层，每层均有2个楼梯，由一楼到五楼共有________种不同的走法．三、解答题

12．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有29人，A型血的共有7人，B 型血的共有9人，AB型血的共有3人，从中任选1人去献血，共有多少种不同的选法？

13．有3个不同的负数、5个不同的正数，从中任取2个数，使它们的积为正数，问：有多少种不同的取法？

四、探究与拓展

14．满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为( )

A．14 B．13 C．12 D．10

15．集合A＝{1,2，－3}，B＝{－1，－2,3,4}，从A，B中各取1个元素，作为点P(x，y)的坐标．

(1)可以得到多少个不同的点？

(2)这些点中，位于第一象限的有几个？

答案精析

1．B 2.B 3.D 4.A 5.B 6.D 7.D

8．50 9.5 6 10.22 11.32

12．解从中选1人去献血的方法共有4类．

第一类：从O型血的人中选1人去献血，共有29种不同的方法；

第二类：从A型血的人中选1人去献血，共有7种不同的方法；

第三类：从B型血的人中选1人去献血，共有9种不同的方法；

第四类：从AB型血的人中选1人去献血，共有3种不同的方法．

利用分类加法计数原理，可得选1人去献血共有29＋7＋9＋3＝48(种)不同的选法．13．解根据题意，知积为正数的情况分为两类．

第一类是2个数都是负数，分两步取数：

第一步，先从3个负数中任取1个负数，有3种不同的取法；

第二步，从剩下的2个负数中任取1个负数，有2种不同的取法，故有3×2＝6(种)不同的取法．

第二类是2个数都是正数，也分两步取数：

第一步，先从5个正数中任取1个正数，有5种不同的取法；

第二步，从剩下的4个正数中任取1个正数，有4种不同的取法，故有5×4＝20(种)不同的取法．

综上所述，不同取法的种数为6＋20＝26.

14．B

15．解(1)可分为两类：A中元素为x，B中元素为y或A中元素为y，B中元素为x，则共得到3×4＋4×3＝24(个)不同的点．

(2)第一象限内的点，即x，y均为正数，所以只能取A，B中的正数，共有2×2＋2×2＝8(个)不同的点．

第11章计数原理随机变量及其分布11.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理

考点11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 概念方法微思考 1．在解题过程中如何判定是用分类加法计数原理还是分步乘法计数原理？ 提示 如果已知的每类办法中的每一种方法都能完成这件事，应该用分类加法计数原理；如果每类办法中的每一种方法只能完成事件的一部分，就用分步乘法计数原理． 2．两种原理解题策略有哪些？ 提示 ①明白要完成的事情是什么； ②分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系； ③有无特殊条件的限制； ④检验是否有重复或遗漏． 1．（2018?上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设1AA 是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以1AA 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）

A ．4 B ．8 C ．12 D ．16 【答案】D 【解析】根据正六边形的性质，则111D A ABB -，111D A AFF -满足题意， 而1C ，1E ，C ，D ，E ，和1D 一样，有248?=， 当11A ACC 为底面矩形，有4个满足题意， 当11A AEE 为底面矩形，有4个满足题意， 故有84416++= 故选D ． 2．（2020?上海）已知{3A =-，2-，1-，0，1，2，3}，a 、b A ∈，则||||a b <的情况有__________种． 【答案】18 【解析】当3a =-，0种， 当2a =-，2种， 当1a =-，4种； 当0a =，6种， 当1a =，4种； 当2a =，2种， 当3a =，0种， 故共有：2464218++++=． 故答案为：18． 3．（2018?新课标Ⅰ）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有

(完整word)高中数学《计数原理》练习题

《计数原理》练习 一、选择题 1.书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书，从中任取数学书和语文书各一本，则不同的取法种数有（ ） A 11 B 30 C 56 D 65 2.在平面直角坐标系中，若{}{}1,2,3,3,4,5,6x y ∈∈，则以(),x y 为坐标的点的个数为（ ） A 7 B 12 C 64 D 81 3.若()12n x +的展开式中，3x 的系数是x 系数的7倍，则n 的值为（ ） A 5 B 6 C 7 D 8 4.广州市某电信分局管辖范围的电话号码由8位数字组成，其中前3位是一样的，后5位数字都是0～9这10个数字中的一个，那么该电信分局管辖范围内不同的电话号码个数最多有（ ） A 50 B 30240 C 59049 D 100000 6.按血型系统学说，每个人的血型为A ，B ，O ，AB 型四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB 型时，其子女的血型一定不是O 型，如果某人的血型为O 型，则该人的父母血型的所有可能情况种数有（ ） A 6 B 7 C 9 D 10 7.计算0121734520C C C C ++++L 的结果为（ ） A 421C B 321 C C 320C D 420C 8.一个口袋内装有4个不同的红球，6个不同的白球，若取出一个红球得2分，取出一个白球得1分，问从口袋中取出5个球，使总分不少于7分的取法种数有（ ） A 15 B 16 C 144 D 186 二、填空题 9.开车从甲地出发到丙地有两种选择，一种是从甲地出发经乙地到丙地，另一种是从甲地出发经丁地到丙地。其中从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到丁地有4条路可通，从丁地到丙地有2条路可通。则从甲地到丙地不同的走法共有 种。 10.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 种。 14.()()5 211x x +-的展开式中3x 的系数为

分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案

分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第一课时） 知识与技能： ①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理； ②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题； 过程与方法： ①通过对两个原理概念的学习培养学生的理解能力、归纳概括能力和类比分 析能力； ②通过对两个原理的应用，提高学生对数学知识的应用能力； 情感态度与价值观： ①了解学习本章的意义，激发学生的学习兴趣 ②引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式. 教学重点理解两个原理,并能运用它们来解决一些简单的问题. 教学难点弄清楚“一件事”指的是什么，分清是“分类”还是“分步”. 教学方法启发式 教具准备多媒体 教学过程 一、引入课题 引例：从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路，问：从甲地到丁地有多少种走法？ 决问题. 设计意图：从贴近学生实际生活的实例出发，让学生明白本节课的教学内容，激发学生学习兴趣。 师生互动：老师提问学生回答。 二、讲授新课： 1、分类加法计数原理 问题1：（多媒体展示）十一你打算从甲地到乙地旅游，假设可以乘汽车和火车.一天中，汽车有3班，火车有2班.那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种坐交通工具的方法?有３＋２＝５种方法 探究１：（多媒体展示）你能说说以上问题的特征吗？（分析要完成的“一件事”是什么.） 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有3种不同的方法，在第2类方案中有2种不同的方法. 那么完成这件事共有3+2=5种方法。一件事就是从甲

地到乙地的一种乘坐交通工具的方式。 发现新知：完成一件事情，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N +???++=21种不同的方法.（也称加法原理） 设计意图：由特例到定义的设计思路让学生理解加法原理的概念，体现了一般存在于特殊之中的辩证法思想，便于让学生理解概念。 师生互动：由老师提问学生回答的方式进行。在本知识点中学生可能对“一件事”的概念的理解不是很好，在学生回答完后，老师应该进行点拨。 知识应用 例1：两个袋子里分别装有40个红球，60个白球，从中任取一个球，有多少种求法？ 设计意图：通过本例及变式练习让学生进一步理解“分类”的含义。并向学生指出分类的关键是弄清“一件事”是什么。 师生互动：由老师引导学生回答例题，由学生独立解答变式，并回答“一件事”是什么。 分类加法计数原理特点： 分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事的办法要分为若干类，各类的办法法相互独立，各类办法中的各种方法也相对独立，用任何一类办法中的任何一种方法都可以单独完成这件事. 设计意图：让学生总结加法原理的特点，加深对概念的理解。 师生互动：由学生总结，老师给以补充。 2 、分步乘法计数原理 问题2：（多媒体展示）从A 村道B 村的道路有3条，从B 村去C 村的路有2条，从C 村去D 的道路有3条，小明要从A 村经过B 村，再经过C 村，最后到D 村，一共有多少条路线可以选择？ 从A 村经 B 村去C 村有 2 步, 第一步, 由A 村去B 村有 3 种方法, 第二步, 由B 村去C 村有 2 种方法, 第三步，从C 村到Ｄ村有３种方法 所以从A 村经 B 村又经过C 村到Ｄ村共有 3 ×2 ×３= １８ 种不同的方法 探究2：（多媒体展示）你能说说这个问题的特征吗？（分析要完成的“一件事” 是什么.） 完成一件事需要有三个不同步骤，在第1步中有３种不同的方法，在第2步中有２种不同的方法，第三步有３种不同的方法. 那么完成这件事共有3 ×2 ×３= １８种不同的方法.一件事就是：从Ａ村到Ｄ村的一种走法 发现新知 分步乘法计数原理：完成一件事情，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法……做第n 步有n m 种不同的方法.那么

人教版高数选修2-3第一章11分类加法计数原理与分步乘法计数原理复习教案(教师版)

分类加法计数原理与分步乘法计数原理__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.掌握分类计数原理，分布计数原理的概念. 2.掌握分类计数原理与分布计数原理的区别. 3.能解决分类计数原理与分步计数原理的综合题. 1.分类计数原理与分步计数原理 (1)分类计数原理：完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，…，在第n类方式中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2 +…+m n种不同的方法 注意：○1分类计数原理又称为加法原理； ○2弄清楚完成“一件事”的含义，即知道做“一件事”或完成一个“事件”在题目中具体所指的内容； ○3解决“分类”问题，用分类计数原理，即完成事件通过途径A，就不必再通过途径B，可以单独完成； ○4每个题中，标准不同，分类也不同，分类的基本要求是：每一种方法必属于某一类(不漏)，任意不同类的两种方法是不同的方法(不重). (2)分步计数原理: 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×m n种不同的方法. 注意：○1分步计数原理又称为乘法原理； ○2弄清楚完成“一件事”的含义，即知道完成一个“事件”在每个题中需要经过哪几个步骤； ○3解决“分步”问题，用分步计数原理，需要分成若干个步骤，每个步骤都完成了，才算完成一个事件，注意各步骤间的连续性； ○4每个题中，标准不同，分步也不同，分步的基本要求：一是完成一件事，必须且只需连续做完几步，既不漏步也不重步；二是每个步骤之间的方法是无关的，不能相互替代. 2.分类计数原理和分步计数原理的区别 辨别运用分类计数原理还是分步计数原理的关键是“分类”还是“分步”，也就是说“分类”时，各类办法中的每一种方法都是独立的，都能直接完成这件事，而“分步”时，各步中的方法是相关的，缺一不可，当且仅当做完个步骤时，才能完成这件事。 类型一分类计数原理 例1：王刚同学衣服上左、右各有一个口袋，左边口袋装有30张英语单词卡片，右边口袋装有20张英语单词卡片，这些英语单词卡片都互不相同，问从口袋里任取一张英语单词卡片，有多少种不同的取法？ [解析]从口袋中任取一张英语单词卡片的方法分两类，第一英：从左边口袋取一张英语单词卡片，有30种不同的取法；第二类：从右边口袋取一张英语单词卡片，有20种不同的取法，上述任何一种取法都能独立完成取一张英语单词卡片的事件，应用分类计数原理，所以从口袋里任取一张英语单词卡片有30+20=50种不同取法.

(完整word版)分类加法计数原理与分步乘法计数原理练习题

分类加法计数原理与分步乘法计数原理练习题 一.选择题 1．一件工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是（ ） Ａ．8 Ｂ．15 Ｃ．16 Ｄ．30 2．从甲地去乙地有3班火车，从乙地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅行方式有（ ） Ａ．5种 Ｂ．6种 Ｃ．7种 Ｄ．8种 3．如图所示为一电路图，从A 到B 共有（ ）条不同的线路可通电（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 4．由数字0，1，2，3，4可组成无重复数字的两位数的个数是（ ） Ａ．25 Ｂ．20 Ｃ．16 Ｄ．12 5．李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳有（ ）种不同的选择方式 Ａ． 24 Ｂ．14 Ｃ． 10 Ｄ．9 6．设A ，B 是两个非空集合，定义{}()A B a b a A b B *=∈∈，，|，若{}{}0121234P Q ==， ，，，，，，则P *Q 中元素的个数是（ ） Ａ．4 Ｂ．7 Ｃ．12 Ｄ．16 二、填空题 7．商店里有15种上衣，18种裤子，某人要买一件上衣或一条裤子，共有 种不同的选法；要买上衣，裤子各一件，共有 种不同的选法． 8．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有 种行车路线． 9．已知{}{}0341278a b ∈∈， ，，，，，，则方程22()()25x a y b -+-=表示不同的圆的个数是 ． 10．多项式123124534()()()()a a a b b a a b b ++++++··展开后共有 项． 11．如图，从A →C ，有 种不同走法． 12．将三封信投入4个邮箱，不同的投法有 种． 三、解答题 13．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同． （1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？ （2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？

分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案

分类加法计数原理与分步乘法计数原理 教学目的 1了解学习本章的意义,激发学生的兴趣. 2.理解分类计数原理与分步计数原理,培养学生的归纳概括能力. 3.会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题. 教学重点 分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理) 教学难点： 分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解 教 具 多媒体、实物投影仪 教学过程 一、引入课题 今天我们来学习两个计数原理：分类加法计数原理和分类乘法计数原理。这两个原理不仅是我们解决计数问题的依据，也是我们学习排列组合和概率论的基础。 二、引出两个原理 问题1: 重庆的王先生欲回老家广州过年，从重庆到广州可以乘坐火车或者汽 车，一天中，火车有３班，汽车有２班，问从重庆到广州共有多少种不同的走法？ 分析：因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，每一种走法都可以从 重庆到广州，所以，共有3+2=5种不同的走法。 由问题1引出分类加法计数原理： 完成一件事情，有两类办法，在第1类办法中有m 种不同的方法，在第2类办法中有n 种不同的方法，那么完成这件事共N=m+n 种不同的方法.（也称加法原理）（板书） 追问：如果完成一件事情有 n 类不同方案，在第1类办法中有1m 种不同的方法， 在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的 方法.那么完成这件事共多少种不同的方法？.（口述） 回答：有n m m m N +???++=21种方法。 问题2：王先生在广州过完年后要去北京拜访朋友．第一天他必须乘火车去天津 办一件事，然后次日再乘汽车到北京。一天中，广州到天津的火车有３

高中数学典型例题解析：第九章 计数原理与概率

第九章 计数原理与概率 §9.1 计数原理 一、知识导学 1.分类计数原理：完成一件事，有ｎ类办法，在第1类办法中，有1m 种不同的方法，在第2类办法中，有2m 种不同的方法，……在第ｎ类办法中，有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝1m ＋2m ＋……＋n m 种不同的方法. 2. 分步计数原理：完成一件事，需要分成ｎ个步骤，做第1步，有1m 种不同的方法，做第2步，有2m 种不同的方法，……做第ｎ步，有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝1m ×2m ×…×n m 种不同的方法.注：分类计数原理又称加法原理 分步计数原理又称乘法原理二、疑难知识导析 1．分类原理中分类的理解：“完成一件事，有ｎ类办法”这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点，确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类，其次，分类时要注意满足两条基本原则：第一，完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；第二，分别属于不同类的两种方法是不同的方法.前者保证完成这件事的立法不遗漏，后者保证不重复. 2．分步原理中分步的理解：“完成一件事，需要分成ｎ个步骤”这就是说完成这件事的任何一种方法，都要完成这ｎ个步骤.分步时，首先要根据问题的特点确定一个可行的分步标准，其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这ｎ个步骤，这件事才算最终完成. 3．两个原理的区别在于一个和分类有关，一个和分步有关.如果完成一件事有ｎ类办法， 这ｎ类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一个都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类计数原理.如果完成一件事，需分成ｎ个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数，就用分步计数原理. 4．在具体解题时，常常见到某个问题中，完成某件事，既有分类，又有分步，仅用一 种原理不能解决，这时需要认真分析题意，分清主次，选择其一作为主线. 5．在有些问题中，还应充分注意到在完成某件事时，具体实践的可行性.例如：从甲地 到乙地 ，要从甲地先乘火车到丙地，再从丙地乘汽车到乙地.那么从甲地到乙地共有多少种不同的走法？这个问题中，必须注意到发车时刻，所限时间，答案较多.三、经典例题导讲 [例1]体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有 （ ） A ．12 种 B ．7种 C ．24种 D ．49种

分类加法计数原理和分步乘法计数原理(教案)

分类加法计数原理和分步乘法计数原理讲义 教学目标： 知识与技能：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理； ②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题； 过程与方法：培养学生的归纳概括能力； 情感、态度与价值观：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式 教学重点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理) 教学难点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解 授课类型：新授课 课时安排：2课时 教具：多媒体、实物投影仪 第一课时 引入课题 先看下面的问题： ①从我们班上推选出两名同学担任班长，有多少种不同的选法？ ②把我们的同学排成一排，共有多少种不同的排法？ 要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识. 排列组合是一种重要的数学计数方法. 总的来说，就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法. 在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 这节课，我们从具体例子出发来学习这两个原理. 1 分类加法计数原理 （1）提出问题 问题1.1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？ 问题1.2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 探究：你能说说以上两个问题的特征吗？

（2）发现新知 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有 m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有 n m N += 种不同的方法. （3）知识应用 例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B 两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下： A 大学 B 大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？ 分析：由于这名同学在 A , B 两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件．解：这名同学可以选择 A , B 两所大学中的一所．在 A 大学中有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方法．又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有 5+4=9（种）. 变式：若还有C 大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？ 探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有1m 种不同的方法，在第2类方案中有2m 种不同的方法，在第3类方案中有3m 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？ 如果完成一件事情有n 类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？

广西重点高中届高三数学分类加法计数原理与分步乘法计数原理练习题

《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》 1.现有4名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，例外选法的种数是() A. 81 C. 48B. 64 D. 24 4 解析：每个同学都有3种选择，所以例外选法共有3＝81(种)，故选A. 答案：A 2.有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有() A. 8种 C. 10种B. 9种 D. 11种 解析：设四位监考教师分别为A、B、C、D，所教班分别为a、b、c、d，假设A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种例外方法，同理A监考c、d时，也分别有3种例外方法，由分类加法计数原理共有3＋3＋3＝9(种)． 答案：B 3.将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个例外的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则例外的放法共有() A. 12种 C. 36种 1B. 18种

D. 54种 解析：先将1,2捆绑后放入信封中，有C 3种方法，再将剩余的4张卡片放入另外两个信封中，有C 4C 2种方法，所以共有C 3C 4C 2＝18(种)方法． 答案：B 4.用0,1,2,3,4,5六个数字组成无重复数字的四位数，若把每位数字比其左邻的数字小的数叫做“渐降数”，则上述四位数中“渐降数”的个数为() A. 14 C. 16B. 15 D. 17 22122 解析：由已知可知，只需找出组成“渐降数”的四个数字即可，等价于六个数字中去掉两个例外的数字． 从前向后先取0有0与1,0与2,0与3,0与4,0与5，共5种情况； 再取1有1与2,1与3,1与4,1与5，共4种情况； 依次向后分别有3,2,1种情况． 因此，共有1＋2＋3＋4＋5＝15(个)“渐降数”．

(完整版)分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合测试题(有答案)

分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合测试题（有答案） 选修2-3 1.1第一课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理 一、选择题 1．一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两袋子里各取一个球，不同取法的种数为( ) A．182 B．14 C．48 D．91 [答案] C [解析] 由分步乘法计数原理得不同取法的种数为6×8＝48，故选C. 2．从甲地到乙地一天有汽车8班，火车3班，轮船2班，某人从甲地到乙地，他共有不同的走法数为( ) A．13种 B．16种 C．24种 D．48种 [答案] A [解析] 应用分类加法计数原理，不同走法数为8＋3＋2＝13(种)．故选A. 3．集合A＝{a，b，c}，B＝{d，e，f，g}，从集合A到集合B的不同的映射个数是( ) A．24 B．81 C．6 D．64 [答案] D [解析] 由分步乘法计数原理得43＝64，故选D. 4．5 本不同的书，全部送给6位学生，有多少种不同的送书方法( ) A．720种 B．7776种 C．360种 D．3888种 [答案] B [解析] 每本书有6种不同去向，5本书全部送完，这件事情才算完成．由乘法原理知不同送书方法有65＝7776种． 5．有四位老师在同一年级的4个班级中，各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是( ) A．8种 B．9种 C．10种 D．11种 [答案] B [解析] 设四个班级分别是A，B，C，D，它们的老师分别是a，b，c，d，并设a监考的是B，则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有3种不同的方法；同理当a监考C，D时，剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有3种不同的方法．这样，用分类加法计数原理求解，共有3＋3＋3＝9(种)不同的安排方法．另外，本题还可让a先选，可从B，C，D中选一个，即有3种选法．若选的是B，则b从剩下的3个班级中任选一个，也有3种选法，剩下的两个老师都只有一种选法，这样用分步乘法计数原理求解，共有3×3×1×1＝9(种)不同的安排方法． 6．某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从 “×××××××0000”到“×××××××9999”共10 000个号码，公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为( ) A．2 000 B．4

2015高考数学(理)一轮题组训练：11-1分类加法计数原理与分步乘法计数原理

第十一篇计数原理 第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、填空题 1．某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有________． 解析按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二位号码有3种选法，其余三位号码各有4种选法．因此车牌号码可选的所有可能情况有5×3×4×4×4＝960(种)． 答案960种 2．(2012·新课标全国卷改编)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有________． 解析分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C12＝2种选派方法； 第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有C24＝6种选派方法．由分步乘法计数原理，不同选派方案共有2×6＝12(种)． 答案12种 3．6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有________． 解析第一步先排甲，共有A14种不同的排法；第二步再排其他人，共有A55种不同的排法．因此不同的演讲次序共有A14·A55＝480(种)． 答案480种

4．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为________． 解析以1为首项的等比数列为1,2,4；1,3,9； 以2为首项的等比数列为2,4,8； 以4为首项的等比数列为4,6,9； 把这四个数列顺序颠倒，又得到4个数列， ∴所求的数列共有2(2＋1＋1)＝8(个)． 答案8 5．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P?Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是________． 解析当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7(个)． 当x≠2时，由P?Q，∴x＝y. ∴x可从3,4,5,6,7,8,9中取，有7种方法． 因此满足条件的点共有7＋7＝14(个)． 答案14 6．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种(用数字作答)． 解析第一步，先选出文娱委员，因为甲、乙不能担任，所以从剩下的3人中选1人当文娱委员，有3种选法． 第二步，从剩下的4人中选学习委员和体育委员，又可分两步进行：先选学习委员有4种选法，再选体育委员有3种选法． 由分步乘法计数原理可得，不同的选法共有3×4×3＝36(种)． 答案36 7．如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个．

11分类加法计数原理与分步乘法计数原理.doc

人教A版选修2—3 精讲细练 1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 、知识精讲 .计数原理 .计数原理选取 对于两个计数原理的综合应用问题，一般是先分类再分步，分类时要设计好标准, 设计好分类方案，防止重复和遗漏;分步时要注意步与步之间的连续性，同时应合理设计步骤顺序，使各步互不干扰. 二、典例细练 【题型一】：分类加法计数原理的简单应用 例题1:书架上层放有13本不同的数学书，中层放有14本不同的语文书，下层

放有15本不同的化学书，某人从中取出一本书，有多少种不同的取法？ 【解析】要完成“取一本书”这件事有三类不同的取法： 第1类，从上层取一本数学书有13种不同的方法； 第2类，从中层取一本语文书有14种不同的方法； 第3类，从下层取一本化学书有15种不同的方法. 其中任何一种取法都能独立完成取一本书这件事， 故从中取一本书的方法种数为13+14+15=42. 【点评】分类的原则：标准一致，不重复，不遗漏. 变式训练：某校高三共有三个班，其各班人数如下表： (1)从三个班中选一名学生会主席，有多少种不同的选法？ (2)从1班、2班男生中或从3班女生中选一名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？ 【解析】：(1)从三个班中任选一名学生，可分三类： 第1类，从1班任选一名学生，有50种不同选法； 第2类，从2班任选一名学生，有60种不同选法； 第3类，从3班任选一名学生，有55种不同选法. 由分类加法计数原理知，不同的选法共有N = 50+60+55=165(种) (2)由题设知共有三类： 第1类，从1班男生中任选一名学生，有30种不同选法； 第2类，从2班男生中任选一名学生，有30种不同选法； 第3类，从3班女生中任选一名学生，有20种不同选法； 由分类加法计数原理知，不同的选法共有

分类加法计数原理

计数原理 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 专题1分类加法计数原理 ■(2015河北邯郸二模,分类加法计数原理,填空题,理13)我们把中间位数上的数字最大,而面两边依次减小的多位数称为“凸数”.如132、341等,那么由1、2、3、4、5可以组成无重复数字的三位凸数的个数是.(用数字作答) 解析:根据“凸数”的特点,中间的数字只能是3,4,5,故分三类, 第一类,当中间数字为“3”时,此时有2种(132,231); 第二类,当中间数字为“4”时,从1,2,3中任取两个放在4的两边,故有=6种; 第三类,当中间数字为“5”时,从1,2,3,4中任取两个放在5的两边,故有=12种; 根据分类计数原理,得到由1,2,3,4,5可以组成无重复数字的三位凸数的个数是2+6+12=20种. 答案:20 专题3排列、组合的综合应用 ■(2015辽宁锦州二模,排列、组合的综合应用,选择题,理8)分配4名水暖工去3个不同的居民家里检查暖气管道.要求4名水暖工都分配出去,并每名水暖工只去一个居民家,且每个居民家都要有人去检查,那么分配的方案共有() A.种 B.种 C.种 D.种 解析:根据题意,分配4名水暖工去3个不同的居民家里,要求4名水暖工都分配出去,且每个居民家都要有人去检查; 则必有2名水暖工去同一居民家检查, 即要先从4名水暖工中抽取2人,有种方法, 再将这2人当做一个元素,与其他2人,共3个元素,分别分配到3个不同的居民家里,有种情况, 由分步计数原理,可得共种不同分配方案. 答案:C ■(2015江西宜春奉新一中高考模拟,排列、组合的综合应用,填空题,理13)有4名优秀学生A,B,C,D 全部被保送到北京大学、清华大学、复旦大学,每所学校至少去一名,则不同的保送方案共有 种. 解析:第一步从4名优秀学生选出2个组成复合元素共有种,再把3个元素(包含一个复合元素)保送 到甲、乙、丙3所学校有种, 根据分步计数原理,不同保送方案共有=36种. 答案:36 1

分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案1

分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第一课时） 三维目标 知识与技能： ①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理； ②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题； 过程与方法： ① 通过对两个原理概念的学习培养学生的理解能力、归纳概括能力和类比分 析能力； ②通过对两个原理的应用，提高学生对数学知识的应用能力； 情感态度与价值观： ①了解学习本章的意义，激发学生的学习兴趣 ②引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式. 教学重点 理解两个原理,并能运用它们来解决一些简单的问题. 教学难点 弄清楚“一件事”指的是什么，分清是“分类”还是“分步”. 教学方法 启发式 教具准备 多媒体 教学过程 一、引入课题 引例： ①我从二中到泗中有两量不同的马自达，三量不同的出租车可以乘坐，那么请同学们帮我算一下，我从二中到泗中有多少种乘坐交通工具的方式？ ②从我们班上50名同学中推选出两名同学分别担任班长和团支书，有多少种不同的选法？ 这就是用我们这节课要研究的分类加法计数原理与分步乘法计数原理来解决问题. 设计意图：从贴近学生实际生活的实例出发，让学生明白本节课的教学内容，激发学生学习兴趣。 师生互动：老师提问学生回答。 二、讲授新课： 1、分类加法计数原理 问题1：（多媒体展示）十一你打算从甲地到乙地旅游，假设可以乘汽车和火车.一天中，汽车有3班，火车有2班.那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种坐交通工具的方法? 有３＋２＝５种方法 探究１：（多媒体展示）你能说说以上问题的特征吗？（分析要完成的“一件 事”是什么.） 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有3种不同的方法，在第2类方案中有2种不同的方法. 那么完成这件事共有3+2=5种方法。一件事就是从甲地到乙地的一种乘坐交通工具的方式。 发现新知：完成一件事情，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N +???++=21种不同的方法.（也称加法原理）

1分类加法计数原理和分步乘法计数原理

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1． 1分类加法计数原理和分步乘法计数原理 教学目标： 知识与技能：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理； ②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题； 过程与方法：培养学生的归纳概括能力； 情感、态度与价值观：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式 教学重点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理) 教学难点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解 授课类型：新授课 课时安排：2课时 教具：多媒体、实物投影仪 第一课时 引入课题 先看下面的问题： ①从我们班上推选出两名同学担任班长，有多少种不同的选法？ ②把我们的同学排成一排，共有多少种不同的排法？ 要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识. 排列组合是一种重要的数学计数方法. 总的来说，就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法. 在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 这节课，我们从具体例子出发来学习这两个原理. 1 分类加法计数原理 （1）提出问题 问题：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？ 问题：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 探究：你能说说以上两个问题的特征吗？ （2）发现新知 分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法. 那么完成这件事共有 = N+ m n

分类加法计数原理和分步乘法计数原理练习题

课时训练1两个计数原理(1) 一、选择题 1.王刚同学衣服上左、右各有一个口袋,左边口袋装有30张英语单词卡片,右边口袋装有20张英语单词卡片,这些英语单词卡片都互不相同,问从两个口袋里任取一张英语单词卡片,则不同的取法有(). 种种 种种 2.高二(1)班有学生56人,其中男生38人,从中选取1名男生和1名女生作代表,参加学校组织的社会调查团,则选取代表的方法有(). 种种 种种 3.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤,如果1条长裤与1件上衣配成一套,则不同的配法种数为(). 4.有不同的红球8个,不同的白球7个,不同的黄球6个,现从中任取两个不同颜色的球,不同的取法有(). 种种 种种 5.某通讯公司推出一组手机号码,卡号的前七位数字固定.从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10000个号码,公司规定:凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”,则这组号码中“优惠卡”的个数为() 000 096 904 3206.将1,2,3,…,9这9个数字填在如图的9个空格中,要求每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大.当3,4固定在图中的位置时,填写空格的方法为(). 种种 种种 7.将红、黄、绿、黑四种不同的颜 色涂入图中的五个区域内,要求相 邻的两个区域的颜色都不相同,则 不同的涂色方法有(). 种种 种种 9.(2014·新课标Ⅰ理，5)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为() A． 1 8B． 3 8 C． 5 8D． 7 8 10.有四位老师在同一年级的4个班级中，各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是() A．8种B．9种 C．10种D．11种 二、填空题 11.在一宝宝的“抓周”仪式上,他面前摆着4件学习用品,3件生活用品,4件娱乐用品,若他只抓其中的一件物品,则他抓的结果有种. 12.由数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为.

1.1+分类加法计数原理与分步乘法计数原理-练习题

1．1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 综合卷 一．选择题： 1．一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出一本，则不同的取法共有（ A ） （A） 37种（B） 1848种（C） 3种（D） 6种 2．一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出语文、数学、英语各一本，则不同的取法共有（ B ） （A） 37种（B） 1848种（C） 3种（D） 6种 3．某商业大厦有东南西3个大门，楼内东西两侧各有2个楼梯，从楼外到三楼的不同走法种数是（ D ） （A） 5 （B）7 （C）10 （D）12 4．用1、2、3、4四个数字可以排成不含重复数字的四位数有（ D ） （A）265个（B）232个（C）128个（D）24个 5．用1、2、3、4四个数字可排成必须含有重复数字的四位数有（） （A）265个（B）232个（C）128个（D）24个 6．3科老师都布置了作业，在同一时刻4名学生都做作业的可能情况有（） （A）43种（B）34种（C）4×3×2种（D） 1×2×3种 7．把4张同样的参观券分给5个代表，每人最多分一张，参观券全部分完，则不同的分法共有（） （A）120种（B）1024种（C）625种（D）5种 8．已知集合M={l，－2，3}，N={－4，5，6，7}，从两个集合中各取一个元素 作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是（）（A）18 （B）17 （C）16 （D）10 9．三边长均为整数，且最大边为11的三角形的个数为（） （A）25 （B）36 （C）26 （D）37 10．如图，某城市中，M、N两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，则从M到N不同的走法共有（） （A）25 （B）15 （C）13 （D）10 二．填空题： 11．某书店有不同年级的语文、数学、英语练习册各10本，买其中一种有种方法；买其中两种有种方法． 12．大小不等的两个正方体玩具，分别在各面上标有数字1，2，3，4，5，6，则向上的面标着的两个数字之积不少于20的情形有种． 13．从1，2，3，4，7，9中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，可得到个不同的对数值． 14．在连结正八边形的三个顶点组成的三角形中，与正八边形有公共边的有个． 15．某班宣传小组要出一期向英雄学习的专刊，现有红、黄、白、 绿、蓝五种颜色的粉笔供选用，要求在黑板中A、B、C、D每一部 分只写一种颜色，如图所示，相邻两块颜色不同，则不同颜色的书写方法共有种． D C B A

1.1分类加法计数原理

《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》评析 “两个计数原理”是解决计数问题的最基本、最重要的方法，是学好排列组合关键，也是学好概率统计的基础。本堂课罗艳老师紧紧围绕“明计数之道”展开教学，深入浅出，一气呵成。整堂课最大的特点可以用“有序、本质、高效”六个字来概括，具体体现如下： 一、关注学生获取数学知识过程的合理揭示，注重数学知识的有序建构。 1、先通过设置“生活感知、感知积累、抽象概括、类比迁移”等环节揭示原理，再通过“辨析理解、实际应用、反思回顾”对原理进行“固化、活化”，使学生有序地建构数学知识。 2、通过5个逻辑连贯的问题串和即时的追问组织学生活动，同时在现场中展示实际生活与数学的内在联系，让学生经历了一次完整有序的数学活动过程。 3、老师的有序引导。例如：每一个计数问题都追问“完成什么事？怎样完成？完成了吗？怎么计算的？” 二、整堂课数学学科特点鲜明，数学味儿浓。 1、情境引入充分体现了四个原则“熟悉、贴切、科学、有度”。既让知识产生于学生的最近发展区域，又制造了认知冲突，展现了学习两个原理的必要性，激发了学生的求知欲。 2、课堂小结展现了老师的设计不仅仅局限于“授人以鱼、授人以渔”，而是尽可能做到“悟其渔识”。力求让学生悟“计数的规律”，悟“现实对象或关系直接抽象成原理的一般规律”，悟“遇到数学问题时如何创造性解决的一般规律”。 3、分步乘法原理产生过程充分让学生体验了乘法的本质是特定条件下的加法。 4、整堂课从头至尾充满着“感知、猜想、类比、归纳、抽象、推理”等数学思维特征。 三、教师角色定位准确，探究气氛热烈。 1、教师对自己的角色把握准确，是课堂的组织者、引导者、学习者、评价者。组织有力，带领学生从一个高潮走向另一个高潮；引导到位，既不过分，又很及时；大多情况下都是学生的一个学习伙伴；学生表现好时都即时鼓励“非常好”，学生答错时能慢慢用反例推演，不急于说“错了”“不对”之类的词，既让其知道错在哪里，又不挫伤其参与数学活动的自信心。 2、从开始到最后，整个课堂探究气氛非常热烈，得益于老师的设计，如：两个计数原理的揭示一开始并没有直接给出，而是通过从简单的生活实例入手，让学生充分积累感知的基础上，从特殊到一般，从直观到抽象，一步步来，一步步去，让人感觉跳一下摸得着，紧接着又延伸到两个原理内在联系与区别上，为灵活应用奠定基础，让学生体验数学从生活中来，又自然地回到生活中去。 当然，本堂课也有一定缺陷，这里不再一一赘述了，恳请各位评委专家批评指正！