2019年北京大学金秋营数学试题(扫描版,详解版)

2019北京大学数学金秋营

北京大学2019年优秀中学生数学金秋营于10月11日-10月13日举行。据悉，今年金秋营约有376人参加，最终获得一等奖的有22人，二等奖56人。本次金秋营数学考试分两天进行，每日4道解答题（4个小时），共8题。

2016年北大金秋营试题-10份,正反

2016年北大金秋营试题 1、在ABC ?内部有一点P 满足4 C A PCB PAB ∠+∠=∠=∠，L 在AC 上且BL 平分ABC ∠，延长PL 交APC ?的外接圆于Q . 证明：BQ 平分AQC ∠. 2、对于}2,,2,1{n 的一个排列},,,,,,,{2121n n b b b a a a ，定义函数∑-=++-=1 1112121||),,,,,,,(n i i i i i n n b a b a b b b a a a f ，求所有的排列中， ),,,,,,,(2121n n b b b a a a f 的最小值. 3、求所有正整数c b a ,,，满足对任意实数v u ,，10≤<≤v u ，存在正整数n ，使得),(}{2v u c bn an ∈++成立. 4、设p 为奇素数，)4(mod 1≡p ，正整数b a ,满足122=-pb a . 设q 也为奇素数，1),(=bp q . 考虑同余方程)(mod 01224q ax x ≡+-. 证明下述3个论述等价： （1）p 为模q 的二次剩余； （2）同余方程存在一个解； （3）同余方程存在四个互不相同的解. 5、记函数∑== 40)(i i i x a x f ，且]1,1[-∈x 时1|)(|≤x f . 求||2a 的最大可能值. 6、一个班里有50人，相互之间发短信. 若在三个人C B A ,,之间，仅有A 给B 发过短信，B 给C 发过短信，C 给A 发过短信，则称三个人C B A ,,构成一个“循环”. 试求这50人中“循环”个数的最大可能值. 7、试求所有正整数a ，使得对任意正整数k ，都存在正整数n ，使得2016+an 是一个正整数的k 次方. 8、对（0，1）中的实数，称其中两个为相邻的，如果这两个数的十进制表示中只有一位不同. 是否可以将（0，1）中实数10染色，使得任意两个相邻的数颜色都不相同.

自主招生数学专题一不等式(习题补充版)

自主招生数学专题一：不等式 不等式是初等代数研究的问题之一，常见的考点包括未必局限于均值不等式（AM-GM不等式）、Cauchy不等式、排序不等式、Jensen不等式、三角不等式…某些求导才能求得函数最值的题也可以用卡尔松不等式、赫尔德不等式.还有一些常用的技巧还包括构造局部不等式、裂项、换元、线性规划、调整法等等.在不等式的凑配过程中我们还会用到因式分解、待定系数法、主元法等方法，还需要时刻注意不等式的取等条件. 近年来，有些同学跟我反映夏令营、自主招生的不等式题不会做，为了部分缓解(看来受生物实验毒害不浅)大家对不等式的恐惧,提升大家的能力,我整理了这个专题.在选题的过程中参考了《自招宝典》《自主招生直通车》《数学奥林匹克小丛书》以及一些竞赛或学科营中的题目，和之前在“高思教育”“北京数学学校”的课堂笔记，在此对他们表示感谢. 面对一道不等式,为什么有人能想到换元?为什么有人会这么凑系数?为什么会想到如此放缩?巧夺天工的证明往往蕴含了自然而优美的逻辑.希望通过对以下例题的探讨等够带大家初步领略不等式的妙处，提升大家对不等式的感觉. 【知识梳理】 1证明均值不等式 2用不包括向量法在内的三种方法证明Cauchy不等式 3证明排序不等式

【重要例题】 1(2015北大体验营)1=++c b a 求) 1)(1)(1(c b a abc ---的最大值 21=++c b a 求证:1)9111≥++c b a 2)3 1 222≥++c b a 3)127≤abc 4)3≤++c b a 5)3311 1 ≥+ + c b a 6)63115≤+∑a 7)(2011江西预赛)最大值求32c ab 3(2016清华自主招生)12 ==∑∑x x 求xyz 最值(原题为不定项选择题) 4设0,,>c b a ,求证2≥+++c b c b a a c 5(2008南开)5262 +=+++a bc ac ab ,0,,>c b a 求c b a 23++的最小值 6(2009清华自招)设0,,>z y x ,a,b,c 是x,y,z 的一个排列，求证3 ≥++z c y b x a 7求2 211x y y x -+-的最大值 8(2010浙大),,11 +=∈=∑R x x i n i i 求证41 3 >-∑ i i x x

2016年清华大学物理金秋营考试试题(WORD版无答案)

2016年清华大学全国优秀中学生物理体验营笔试题 题一 水平地面上有一门固定大炮，可向任意方向发射初速度大小为v的炮弹，求炮弹可能打到的区域的边界（可以建立坐标系后用函数表达）。已知重力加速度g。 题二 水平地面上放有一高为h、半顶角为α、密度为ρ的均匀刚性圆锥体。其顶点静止不动（无外力限制），整体做定点转动，锥体与地面间无相对滑动。底面圆心绕过圆锥顶点的竖直轴（假想）做匀速圆周运动的速度大小为v。 1．求此锥体的角速度； 2．求此锥体的角动量； 3．求支持力的力矩。 题三 无限长一维弹簧链，所有弹簧均为原长时相邻质点间距为a，弹簧劲度系数均为k，质点质量均为m，所有质点的振动频率相同，激发纵波的波长记为λ。 ?时该纵波为介质中的普通纵波并求出波速与波长的关系； 1．证明当a 2．求该纵波的最小波长。 题四 竖直平面内有一半径为r＝1 cm、带电量为Q＝10－8 C的无限长导体圆柱放置在盐水上方，球心到盐水表面的高度为h＝2 cm。会发现盐水会隆起一小坨，求导体圆柱正下方水面隆起的高度。设盐水密度近似为纯水密度。 题五 平面直角坐标架下，有一圆心位于坐标原点、半径为r的固定绝缘大圆环。圆心处有一固定的电偶极子，电偶极矩的方向沿y轴正方向、大小为p。大圆环上穿有一个带电量为Q的小环，在坐标（r，0）处由静止释放小环，求之后大圆环对小环的弹力与小环位置（用坐标原点到小环的连线矢量与x轴正方向的夹角θ表达）的关系。 题六 真空中有两个非常大的平行平面电极相距d，电势分别为0和＋U0。低电势的电极上有一薄层电子源，在外电场作用下，电子源中的电子从中逸出，以垂直于极板方向的几乎为0的初速度持续地朝两电极之间发射电子。若忽略电子之间的库仑排斥力，则电子应在两极板间匀加速直线运动，直至撞上另一极板而进入极板内部。极板、电源和导线形成一个闭合直流电路，两极板与之间的真空可一同视为一个非欧姆元件：真空管。 当真空管中的电流随着外电场的增强而逐渐增加时，两电极间电子自身产生的电场不可忽略。电子群自身产生的电场对电流的影响称为空间电荷效应。试求外电场极强、且考虑了电子自身产生的电场后，当电子流达到稳定时，流过两极板之间电流密度的大小。忽略相对论效应、电流磁效应以及电磁辐射，忽略电子之间的碰撞，忽略边缘效应（认为板的尺寸远

清华大学2018年金秋营试题解答精校版

清华大学2018年金秋营试题精校版 第二天试题 5. 设一个凸多边形和它的内部能被几个半径不相等的圆盘完全覆盖，证明或否定：可以从这些圆盘中选出一些两两不交的圆盘，使得将它们的半径扩大三倍之后，可以覆盖原来的凸多边形. 证明：在这几个圆盘中，必有一个半径最大（若有多个，从中任选一个），设该圆盘为1C ，把圆1C 以及与它有公共点的所有圆盘去掉，同样在剩下的圆盘中必有一个半径最大的圆盘（若有多个，从中任选一个），记该圆盘为2C ，把圆盘2C 以及所有与它有公共点的圆盘去掉，再考虑剩下圆盘中半径最大的圆盘，按照这种方式进行下去，最后一定可以得到K 个两两不交的圆盘K C C C ,...,,21. 将圆盘i C 的半径扩大三倍得到圆盘'i C ),...,2,1(k i =，则圆盘'i C 能覆盖住圆盘i C 以及所有与i C 有公共点的圆盘，故圆盘'i C ),...,2,1(k i =能覆盖住原来的几个圆盘，而这几个圆盘能覆盖住原来的凸多边形. 6. 对前n 个正整数用K 种颜色染色，使得无法从中选出三个不同色的正整数构成等差数列，设K 的最大值为)(n f ，证明：n n f n 23log 1)(log +≤≤. 证明：若对前若干个正整数分别染色，使得无法从中选出三个不同色的正整数构成等差数列，则称这种染色方式为好染色法. 我们首先证明：对+∈?Z m ，有(2)()1,(21)()1f m f m f m f m ≤++≤+. 设{}1,0∈t ，用)2(t m f +种颜色对前t m +2个正整数染色，可得到一种好染色法，再从中删去数t m m m +++2,...,2,1后，将会得到对前m 个正整数的一种好染色法，且)(1)2(m f a m f ≤-+（否则，至少有两种不同的颜色，他们只对a m m m +++,...,2,1中的某一些数进行染色，分别从这两种颜色的数中取最小的数，设为a m y x y m x m +≤<≤++1,,，考虑数y x m -+2，根据 y x m -+212)(2≥-=+-+≥a a m m ，x m y x m +<-+2 以及y m x m ++,的最小性可知y x m -+2所染的颜色与数y m x m ++,的颜色不同，而y x m -+2，y m x m ++,构成等差数列，矛盾）. 接下来证明：对+∈?Z m 有1)()3(+≥m f m f ，1)1()3(++≥+m f k m f ，其中{ }2,1∈k .

北京大学金秋营数学试题(部分含答案)

2019年北京大学优秀中学生数学金秋营试 题 学科专业能力测试一 第一天 2019年10月14日下午14:00—17:30 1、在△ABC内部有一点P满足∠PAB=∠PCB=，L在AC上且BL平分∠ABC，延长PL交△APC的外接圆于Q。证明：BQ平分∠AQC. 2、对于的一个排列{}定义函数 f()=.求所有的排列中，f()的最小值。 3、求所有正整数a,b,c满足对任意实数u,v,0≤u＜v≤1.存在正整数n,使得{}∈(u,v)成立. 4、设p为奇素数，p≡1(mod 4).正整数a,b满足-p=1. 设q也为奇素数，(q,bp)=1.考虑同余方程-2a+1≡0(mod q).证明下述3个论述等价: （1）p为模q的二次剩余； （2）同余方程存在一个解； （3）同余方程存在四个互不相同的解。 学科专业能力测试二 第二天 2019年10月15日上午09:00-12：00

5、设函数f(x)=,且x∈[-1,1]时，|f(x)| ≤1，求||的最大可能值。 6、一个班里有50人，相互之间发短信，若在三个人A,B,C之间，仅有A给B 发过短信，B给C发过短信，C给A发过短信。则称A,B,C三个人构成一个“循环”，试求这50个人中“循环”个数的最大可能值。 7、试求所有正整数a,使得对任意正整数k ,都存在正整数n,使得an+2019是一个正整数的k次方。 8、对（0，1）中的实数称其中两个为相邻的，如果这两个数的十进制表示中只有一位不同，是否可以将（0，1）中的实数10染色，使得任意两个相邻的数颜色都不相同？ 课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。这样,一年就可记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。 【部分试题参考解答】 其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技巧,“死记”之后会“活用”。不记住那些基础知识,怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知

湖南竞赛准备与相关问题

湖南竞赛准备与相关问题 编者按：近期接触了几个竞赛准备的孩子，新高一的和新高三的，二者的状态差距之大让我“震惊”，结合13级那些做竞赛的孩子的成长经历，我觉得家长还是应提前了解相关问题并做适当的干预，这个阶段是孩子专注读书的最好时段，这段时间，一个月可以看往后半年的书，更为关键的是，孩子无需在高一上学期里去找状态和节奏……刚好在网上搜到了一些内容，稍做整理，供各位牛娃爸妈参阅。 一、竞赛到底有什么用？ 当今高考，想进入名校有几个途径 1．高考裸分。 2．竞赛获奖，参加目标高校的自主招生获得一定的加分。 在当前，凭高考裸分进入名校是很难很难的，因为每一所名校在安徽省的招生名额都有限，比如985，在安徽省招生不到1万人。举个例子，北京大学在安徽省的高考裸分招生，文理科各十几人，加起来30人左右，全省那么多有实力的重点高中，分到一个学校也就一两个人，但2015年北京大学在安徽省录取了120人左右（包括竞赛金牌保送的、自主招生录取的、博雅计划录取的、国防生等等）。而且高考是对学生12年苦读的一次决定性的大考，各种压力下，难免不会出现意外。所以通常说，高考是千军万马挤独木桥。而自主招生相当给孩子两条路通往名校，或者说是为高考失误留后路。 补充1：湖南情况差不多，不同之处为湖南是竞赛大省，名额和机会相对较大，但竞赛也更激烈。 现在我们来看看，一般名校需要什么奖项。我们看到尽管很多名校要求的是省一，但仍然有不少名校只需要省三甚至省二。再来看看具体的几所大学需要什么样的奖项。1、清华北大，国家金牌前50名直接保送，51-100名直接获得一本线签约，银牌靠前的少量获得一本线签约，大部分能够获得加分，铜牌可以获得自主招生资格最后争夺少量名额。2、上交复旦，需要省一，或者铜牌。3、科大需要省一，而且基本是数理化省一。4、浙大需要省一。 5、南大，有两个学科的省二就可以，一般来说不难，搞个信息省二再来个其它科目省二。 6、中国人大，省三以上就能通过初审。这些都可以通过今年初审名单来获得这些信息。 了解了这些竞赛情况后，我们要对照我们的孩子自己，问一个问题，你为什么要搞竞赛？ 1．省二省三，取得一些名校的自主招生资格。 2．省一，拿到一流名校自主招生资格。 3．进省队，直接拿到一流名校一本线签约。 想好这个问题再来想后面如何搞竞赛，花多少精力。

北大金秋营数学2015年

2015年北京大学数学金秋营试题 1、设△ABC的垂心为H，中点三角形的内切圆为T，圆心为S。直线l‖AB，m‖AC，且都与T相切（AB,l；AC,m分别在S同侧），l与m交于T.射线AT上一点N 满足AN=2AT，Q是优弧（BAC）的中点，点R让四边形AHRQ成为平行四边形。证明：HR⊥RN。 2、给定整数k＞3.证明：方程mn+nr+rm=k(m+n+r)至少有3k+3[k+4 3 ]+1组整数解（m,n,r）. 3、给定正整数k.A,B,C三个人玩一个游戏（A一边,B和C一边）：A先从集合{1，2，…，n}中取k个数交给B，B从这k个数中选择k-1个有序地给C，若C能够确定B没给C的数是什么，则B,C赢了，求最大的正整数n，使B,C有必胜策略。 4、确定全部f∈Z[x](deg f≤2),使存在g∈Z[x],满足x3-1|f(x)g(x)-1. 5、设S,T?N，满足0∈S，且存在正实数u,v,使|S∩{1,2,…,n}|≥ un,|T∩{1,2,…,n }|≥vn,对任意正整数n成立。证明：若u+v≥1，则Z+?S+T。 6、平面上是否存在某个有限点集A和某个有限直线集B，满足A中的每个点恰好在B中三条直线上，且B中每条直线恰好经过A中的三个点。 7、设p是奇素数，g∈Z|x|,deg g=m,k∈Z+,设g（px) k =c i mk i=0 x i ， 其中x k =x x?1…(x?k+1) k! 。证明：c j∈Z，且p j?[k p]|c j(j=0,1,…,mk). 8、设k∈Z+, S={(m+1 k ,n)|m,n∈Z},T={(m+2 k ,n)|m,n∈Z}. 求所有正整数k,使得存在a,b,c,d∈R及映射 F:R2→R2,F(x,y)=(ax+by,cx+dy),满足F(S)=T.

2015北大 高校自主招生数学试题及解答

2015北大 一.选择题 1.整数x,y,z 满足xy+yz+zx=1，则(1+2x )(1+2y )(1+2z )可能取到的值为（） A ．16900 B ．17900 C ．18900 D ．前三个答案都不对 2.在不超过99的正整数中选出50个不同的正整数，已知这50个数中任两个的和都不等于99，也不等于100．这50个数的和可能等于（） A ．3524 B ．3624 C ．3724 D ．前三个答案都不对 3.已知x ∈[0, 2π]，对任意实数a ，函数y=2cos x ?2a cosx+1的最小值记为g(a )，则当a 取遍所有实数时，g(a )的最大值为（ ）A ．1B ．2 C ．3 D ．前三个答案都不对4.已知2010?202是2n 的整数倍，则正整数n 的最大值为（ ）A ．21B ．22C ．23D ．前三个答案都不对5.在凸四边形ABCD 中， BC=4，∠ADC=60°，∠BAD=90°，四边形ABCD 的面积等于2 AB CD BC AD ?+?，则CD 的长（精确到小数点后1位）为（） A ．6.9 B ．7.1 C ．7.3 D ．前三个答案都不对 二.填空题6.满足等式120151 11+(1)2015 x x +=+（的整数x 的个数是_______．7.已知a ,b,c,d ∈[2,4]，则2 2222()()() ab cd a d b c +++的最大值与最小值的和为___________ 8.对于任意实数x ∈[1,5],|2x +px+q|≤2,__________ 9.设x=2222b c a bc +-,y=2222a c b ac +-,z=2222b a c ba +-,且x+y+z=1，则201520152015x y z ++的值为___10.设12,,...,n A A A 都是9元集合{1,2,3,…,9}的子集，已知|i A |为奇数，1≤i ≤n,|i j A A ?|为偶数，1≤i ≠j ≤n ，则n 的最大值为____________ 三．解答题 11.已知数列{n a }为正项等比数列，且3412a a a a +--=5,求56a a +的最小值 12.已知f (x)为二次函数，且a ,f (a ),f (f (a )),f (f (f (a )))成正项等比数列，求证：f (a )=a 13.称四个顶点都在三角形边上的正方形为此三角形的内接正方形。若锐角△ABC 的三边满足a >b>c ，求证：这个三角形内接正方形边长的最小值为sin sin ac B a c B +14.从O 出发的两条射线12,l l ，已知直线l 交12,l l 于A 、B 两点，且AOB S ?=c(c 为定值),记AB 的中点为X ，求证：X 的轨迹为双曲线 15.已知i a (i=1,2,3,…,10)满足：1210...a a a +++=30，1210...a a a <21，求证：i a ?，使得i a <1

北京大学量子力学期末试题word资料11页

量 子 力 学 习 题 （三年级用） 北京大学物理学院 二O O 三年 第一章 绪论 1、计算下列情况的Broglie de -波长，指出那种情况要用量子力学处理： （1）能量为eV .0250的慢中子 () 克2410671-?=μ .n ；被铀吸收； （2）能量为a MeV 的5粒子穿过原子克2410646-?=μ.a ； （3）飞行速度为100米/秒，质量为40克的子弹。 2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 3、利用Broglie de -关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能量可能值。 第二章 波函数与波动力学 1、设()() 为常数a Ae x x a 222 1 -= ? （1）求归一化常数 （2）.?p ?,x x == 2、求ikr ikr e r e r -=?=?1 121和的几率流密度。 3、若() ,Be e A kx kx -+=? 求其几率流密度，你从结果中能得到什么样的结 论？（其中k 为实数） 4、一维运动的粒子处于

的状态，其中,0>λ求归一化系数A 和粒子动量的几率分布函数。 5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证 其中ρ= υ/j 6、一维自由运动粒子，在0=t 时，波函数为 求： ?)t ,x (=?2 第三章 一维定态问题 1、粒子处于位场 中，求：E ＞0V 时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动） 2、一粒子在一维势场 中运动。 （1）求粒子的能级和对应的波函数； （2）若粒子处于)x (n ?态，证明：,/a x 2= 3、若在x 轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为 如 D S A S B D S A S C 22211211+=+= 这即“出射”波和“入射”波之间的关系， 证明：0 1 1222112112 22 2 21 212211 =+=+=+**S S S S S S S S 这表明S 是么正矩阵 4、试求在半壁无限高位垒中粒子的束缚态能级和波函数 5、求粒子在下列位场中运动的能级 6、粒子以动能E 入射，受到双δ势垒作用

进入清华北大的捷径——全国高中生竞赛汇总

（竞赛介绍系列1）大学招生改革了，高中还有必要学竞赛么？ 是否学竞赛是很多中学家长和同学纠结的问题。尤其是高考改革之后，自主招生形势变的不再明朗，竞赛在高中还有必要学么？ 对于这些科目学习有兴趣，并且学有余力的同学来说，高一时候很值得学。 高一的主要困难是科目多、数学和物理和初中风格迥异，如果能很快的适应和解决这两个问题，并且学有余力的同学，完全可以在高一阶段，学1门竞赛，锁定在自己最感兴趣的科目。这样才能事半功倍，为将来的自主招生、各种大学招生的夏令营、乃至出国求学，做多一手的准备。如果到了高二，还能保持这种全科成绩还不错，一个科目有优势的情形，就可以继续拼一个比较大的奖。如果到了高二，竞赛学习牵扯精力过多，耽误了其他科目的学习，就得早点收手。毕竟现在影响最大的还是全科的成绩、和最终高考的成绩。 对于初中那些很优秀，进入顶级高中问题不大的同学，完全可以更早的介入高中竞赛的学习。因为这些孩子的目标应该是锁定名校的实验班、竞赛班。很多学校比如RDF、四中等分班考试的内容都往往围绕着高中竞赛的一些内容和方法进行设计。提前学习优势会更大。 而且眼光放的更长远一些。如果孩子将来打算在理科、工科有所建树。高中的竞赛学习，也是一种很好的提前准备。比如物理竞赛的孩子、往往普通物理、高等数学方面优势很大。化学生物竞赛基本就是要提前修习大学的课程。这样孩子进入大学之后，在头两年，就会有很多的时间空余出来，可以进行更深入的学习和研究。 对于希望通过竞赛直接加分保送的同学来说，基本没戏了。 竞赛现在加分保送的影响范围缩小到了国家级一等奖，换句话讲，也就是孩子得考到全国前50名左右才能获得保送的资格。算到北京也一般一科只有个位数。所以绝大多数孩子希望渺茫。 总而言之。竞赛学习，如果目标锁定在保送、获大奖，的确风险很大，学习要谨慎。如果目标是为了学习知识，为了将来的学业有所帮助，那么竞赛的学习完全可以是全科学习的一种有益补充。同学们和家长们，一定要针对自己的情况，酌情处理，切不可跟风而行。

2016年清华大学数学金秋营试题

2016年清华大学数学金秋营试题 考试时间：2016年10月13-14日，共6道题 1、给定△A 1A 2A 3及其内部一点P ，设△A 1A 2A 3，△PA 2A 3，△PA 3A 1，△PA 1A 2的外接 圆的圆心分别为O, O 1，O 2，O 3，设直线OO 1与O 2O 3相交于点M ，试比较23MO MO 与 12 31 PA A PA A S S ??的大小，其中，12 31 ，PA A PA A S S ??分别表示△PA 1A 2，△PA 3A 1的面积。 2、给定正整数n ，求最大的正整数k ，使得如下命题成立：对每个i =1,2,….,2n,设Ai 是若干个相邻的整数构成的集合（即每个Ai 都是形如 {}1,2,... a a a r +++的集合，其中a 是整数，r 是正整数），如果对任何 1i n ≤≤，()n+12j n ≤≤都有i j A A ≠?，则存在整数x ，使得集合 {} 12i i n x A ≤≤?包含至少k 个不同的元素。 3、对由有限个实数构成的集合Y ，定义（Y ） σ为Y 中所有元素之和 y Y （Y ）=y σ∈∑ 给定正整数m, n 与正实数12...m x x x <<<，设A 1，A 2，…A n 是集合 {}1 2 ,,...m x x x 的非空子集，求如下表达式 11() ()()n n i j i j i j A A A A σσσ==?∑∑ 所能取到的最小值。 4、设G 是连通的简单图，所有顶点构成的集合为V ，所有边构成的集合为E ，称E 的子集H 为G 的“偶度子图”，如果对任何x V ∈,H 中一共有偶数条边以x 为顶点。设,V v =,E e =请问G 一共有多少个“偶度子图”？，注意：E 的空子集?也被视为一个“偶度子图”。