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二次函数与相似三角形综合题教案

二次函数与相似三角形综合题教案
二次函数与相似三角形综合题教案

O

二次函数与相似三角形综合题

教学目标:

1、会求二次函数解析式;

2、根据条件寻找或构造相似三角形,在二次函数的综合题中利用其性质求出线段的长度,从而得出点的坐标。 教学重点:

1、求二次函数解析式;

2、相似三角形的判定与性质在二次函数综合题中的运用。 教学难点:

根据条件构造相似三角形解决问题。 情感与态度:

1、培养学生积极参与教学学习活动的兴趣,增强数学学习的好奇心和求知欲。

2、使学生感受在数学学习活动中获得成功的体验,锻炼学生克服困难的意志,建立自信心。

3、培养学生科学探索的精神。 教学过程: 一、复习巩固

如图,抛物线y=ax 2+b x -2与x 轴交于点A (-1,0),B (m ,0)两点,与y 轴交于C 点,且∠ACB=90°,求抛物线的解析式. 分析:OC 2=OA·OB ∴4=1×m ,m=4 ∴B (4,0)

设抛物线解析式为y=a(x+1)(x -4) 代入C 点(0,-2)

∴抛物线解析式为213

222

y x x =

--.

二、新授

例题、如图,直线y =-x+3与x 轴、y 轴分别相交于B 、C ,经过B 、C 两点的抛物线y=ax 2

+bx+c 与x 轴另一交点为A ,顶点为P ,且对称轴是直线x=2,

(1)求抛物线解析式;

(2)连结AC ,请问在x 轴上是否存在点Q ,使得以点P 、B 、Q 为顶点的三角形与△ACB 相似,若存在,请求出Q 点坐标;若不存在,说明理由.

(3)D 点为第四象限的抛物线上一点,过点D 作DE ⊥x 轴,交CB 于E ,垂足于H ,过D 作DF ⊥CB ,垂足为F ,交x 轴于G ,试问是否存在这样的点D ,使得△DEF 的周长恰好被x 轴平分?若能,请求出D 点坐标;若不能,请说明理由.

[解] (1) 直线3y x =-+与x 轴相交于点B ,

∴当0y =时,3x =,

∴点B 的坐标为(30),

. 又 抛物线过x 轴上的A B ,两点,且对称轴为2x =, 根据抛物线的对称性,

∴点A 的坐标为(1

0),. 3y x =-+ 过点C ,易知(03)C ,, 3c ∴=.

又 抛物线2y ax bx c =++过点(1

0)(30)A B ,,,, ∴(1)(3)y a x x =--,经过C 点(0,3)

243y x x ∴=-+.

(2)连结PB ,由2243(2)1y x x x =-+=--,得(21)P -,, 设抛物线的对称轴交x 轴于点M ,在Rt PBM △中,1PM MB ==,

45PBM PB ∴== ,∠

由点(30)(03)B C ,,,易得3OB OC ==,在等腰直角三角形OBC 中, 45ABC = ∠,

由勾股定理,得BC =

假设在x 轴上存在点Q ,使得以点P B Q ,,为顶点的三角形与ABC △相似. ①当

BQ PB BC AB

=,45PBQ ABC ==

∠∠时,PBQ ABC △∽△.

2=,3BQ ∴=, 又3BO = ,∴点Q 与点O 重合,1Q ∴的坐标是(00),

. ②当

QB PB AB BC

=,45QBP ABC == ∠∠时,QBP ABC △∽△.

2QB =

,23QB ∴=.

x

2

1P 27

3333

OB OQ OB QB =∴=-=-

= ,, 2Q ∴的坐标是703??

???

,. 180********PBx BAC PBx BAC =-=<∴≠ ,,∠∠∠∠.

∴点Q 不可能在B 点右侧的x 轴上.

综上所述,在x 轴上存在两点127(00)03Q Q ?? ???

,,,,能使得以点P B Q ,,为顶点的三角形与ABC △相似.

(3)设D (a ,a 2

-4a+3),则E (a ,-a+3)

△DFE ∽△BOC

∴DE :BC=L △DEF :L △BOC

2

∴L △DEF

1)×(-a 2

+3a)

∴DH+DG=1

2

DFE L ?

= 1)DH

= 21)(43)a a -+- =

12

1)×(-a 2

+3a) ∴2

43a a -+-=21(3)2

a a -+

∴a 1=2,a 2=3(舍)

∴D (2,-1)

应用变式:

1、在此抛物线上是否存在P 点?使得∠1+∠2=45°,若存在,请求出P 点坐标;若不存在,请说明理由.

分析:

(1)延长CP 与x 轴交于E 点,∠1+∠2=45°=∠ABC=∠E+∠2

∴∠1=∠E ,

x

x 又∵∠COA公共

∴△OCA∽△OEC

∴OC2=O A·OE

OC2=9=1×OE

∴OE=9

∴E(9,0)

∴直线解析式

1

3

3

y x

=-+

联立直线与抛物线

∴ P的坐标为(

11

3

16

9

(2)P点与A点重合,P(1,0),

∴综上所述,P的坐标为(

1116

,

39

),(1,0).

2、在上题抛物线中,P为抛物线上一点,PE⊥BC于E,且CE=3PE,求P点坐标.

分析:连AC、PC,证△PEC∽△OAC,∠OCA=∠PCE,∴∠PCA=45°.

延长CP交x轴于N,△ACB∽△ANC,

AC2=A B·AN,∴N(6,0),

1

:3

2

CN y x

=-+,联立抛物线,得P(

75

,

24

).

三、小结

点的坐标是综合题的立足点(求解析式),又是综合题的制高点(求满足条件的点的坐标或存在性探求),求点的坐标一般历经下面两个关键步骤:

(1)定位

(2)计算

四、作业练习

1、如图,抛物线22

y x x x

=--交轴于A、B两点(A点在B点左侧),交y轴于C (0,-2),过A、C画直线,点M在y轴右侧的抛物线上,从M为圆心的圆与直线AC相切,切点为H,且ΔCHM∽ΔAOC,求M点坐标.

二次函数与相似三角形问题(含答案)

y x E Q P C B O A 综合题讲解 函数中因动点产生的相似三角形问题 练习1、如图,已知抛物线与x 交于A(-1,0)、E(3,0)两点,与y 轴交于点B(0,3)。 (1) 求抛物线的解析式; (2) 设抛物线顶点为D ,求四边形AEDB 的面积; (3) △AOB 与△DBE 是否相似?如果相似,请给以证明;如果不相似,请说明理由。 练习2、已知抛物线2 y ax bx c =++经过5330P E ? ???? ,, ,及原点(00)O ,. (1)求抛物线的解析式. (2)过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点,在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上,任取一点Q ,过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点,交直线PC 于B 点,直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC .是否存在点Q ,使得OPC △与PQB △相似?若存在,求出Q 点的坐标;若不存在,说明理由. (3)如果符合(2)中的Q 点在x 轴的上方,连结OQ ,矩形OABC 内的四个三角形 OPC PQB OQP OQA ,,,△△△△之间存在怎样的关系?为什么?

练习3 、如图所示,已知抛物线2 1y x =-与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C . (1)求A 、B 、C 三点的坐标. (2)过点A 作AP∥CB 交抛物线于点P ,求四边形ACBP 的面积. (3)在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ,过M 作MG ⊥x 轴于点G ,使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与?PCA 相似.若存在,请求出M 点的坐标;否则,请说明理由. 练习4、在平面直角坐标系xOy 中,已知二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A B ,两点(点 A 在点 B 的左边) ,与y 轴交于点C ,其顶点的横坐标为1,且过点(23),和(312)--,. (1)求此二次函数的表达式;(由一般式... 得抛物线的解析式为2 23y x x =-++) (2)若直线:(0)l y kx k =≠与线段BC 交于点D (不与点B C ,重合),则是否存在这样的直线l ,使得以B O D ,,为顶点的三角形与BAC △相似?若存在,求出该直线的函数表达式及点D 的坐标;若不存在,请说明理由;(10)(30),(03)A B C -,,,, (3)若点P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点,试比较锐角PCO ∠与ACO ∠的大小(不必证明),并写出此时点P 的横坐标p x 的取值范围.

相似三角形练习题含解析

相似三角形练习题 一、选择题 1、下列各组图形中不是位似图形的是() A.B. C.D. 2、若2:3=7:x,则x=() A.2B.3C.3.5D.10.5 3、两个相似三角形的一组对应边分别为5cm和3cm,如果它们的面积之和为136cm2,则较大三角形的面积是() A.36cm2B.85cm2C.96cm2D.100cm2 4、如图,△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形,相似比为1:2,∠OCD=90°,CO=CD,若B(1,0),则点C的坐标为() A.(1,-2)B.(-2,1)C.()D.(1,-1) 5、如图,已知点A在反比例函数y=(x < 0)上,作Rt△ABC,点D是斜边AC的中点,连DB并延长交y轴于点E,若△BCE的面积为8,则k的值为( )

A .8 B .12 C .16 D .20 6、如图,平面直角坐标系中,直线y=-x+a与x、y轴的正半轴分别交于点B和点A,与反比例函数y=-的图象交于点C,若BA:AC=2:1,则a的值为() A.2B.-2C.3D.-3 7、如图,△ABC与△DEF是位似图形,位似比为2:3,已知AB=4,则DE的长等于( ) A .6 B .5 C .9 D .

8、如图,已知在△ABC中,点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点,DE∥BC,EF∥AB,且AD:DB=3:5,那么CF:CB等于( ) A .5∶8 B .3∶8 C .3∶5 D .2∶5 9、如图所示,给出下列条件:①∠B=∠ACD;②∠ADC=∠ACB;③=; ④=AD?AB.其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为( ) A .1 B .2 C .3 D .4 10、如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC=6,BD=8,动点P从 点B出发,沿着B-A-D在菱形ABCD的边上运动,运动到点D停止,点P′是点P 关于BD的对称点,PP′交BD于点M,若BM=x,△OPP′的面积为y,则y与x之 间的函数图象大致为()

相似三角形综合题练习

相似三角形综合题练习 类型一相似三角形中动点问题 例1:如图正方形ABCD的边长为2,AE=EB,线段MN的两端点分别在CB、CD上滑动,且MN=1,当CM为何值时△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似? 变式:如图,在△ABC中,AB=8,BC=7,AC=6,有一动点P从A沿AB移动到B,移动速度为2单位/秒,有一动点Q从C沿CA移动到A,移动速度为1单位/秒,问两动点同时移动多少时间时,△PQA与△BCA相似. 例2:如图,已知△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC匀速运动,其中点P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度是2cm/s,当点Q到达点C时,P、Q两点都停止运动,设运动时间为t(s),解答下列问题: (1)当t=2时,判断△BPQ的形状,并说明理由; (2)设△BPQ的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式; (3)作QR//BA交AC于点R,连结PR,当t为何值时,△APR∽△PRQ? A B D C E N

N C M B 变式:如图,在矩形ABC D中,AB=12cm,BC=8cm.点E 、F、G 分别从点A 、B 、C 三点同时出发,沿矩形的边按逆时针方向移动.点E 、G 的速度均为2c m/s ,点F 的速度为4cm/s,当点F 追上点G (即点F 与点G 重合)时,三个点随之停止移动.设移动开始后第t 秒时,△EFG 的面积为S(c m2) (1)当t =1秒时,S 的值是多少? (2)写出S 和t 之间的函数解析式,并指出自变量t 的取值范围. (3)若点F 在矩形的边B C上移动,当t 为何值时,以点E 、B 、F 为顶 点的三角形与以点F 、C 、G为顶点的三角形相似?请说明理由. 例3:如图,在梯形ABC D中,AD ∥BC,AD =3,DC=5,BC=10,梯形的高为4.动点M 从B点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动;动N 同时从C 点出发沿线段C D以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动.设运动的时间为t(秒). (1)当MN//AB 时,求t 的值; (2)试探究:t 为何值时,△MN C为直角三角形.

最新相似三角形测试题及答案

第27章 相似三角形测试题 一、选择题:(每小题3分共30分) 1、下列命题中正确的是 ( ) ①三边对应成比例的两个三角形相似 ②二边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似 ③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似 ④一个角对应相等的两个等腰三角形相似 A 、①③ B 、①④ C 、①②④ D 、①③④ 2、如图,已知DE ∥BC ,EF ∥AB ,则下列比例式中错误的是( ) A AC AE AB AD = B FB EA CF CE = C BD AD BC DE = D CB CF AB EF = 3、如图,D 、E 分别是AB 、AC 上两点,CD 与BE 相交于点O ,下列条件中 不能使ΔABE 和ΔACD 相似的是 ( ) A. ∠B=∠C B. ∠ADC=∠AEB C. BE=CD ,AB=AC D. AD ∶AC=AE ∶AB 4、如图,E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点, 连结AE 交CD 于F ,则图中共有相似三角形 ( ) A 1对 B 2对 C 3对 D 4对 5、在矩形ABCD 中,E 、F 分别是CD 、BC 上的点, 若∠AEF=90°,则一定有 ( ) A ΔADE ∽ΔAEF B ΔECF ∽ΔAEF C ΔADE ∽ΔECF D ΔAEF ∽ΔABF 6、如图1,ADE ?∽ABC ?,若4,2==BD AD , 则ADE ?与ABC ?的相似比是( ) A .1:2 B .1:3 C .2:3 D .3:2 7、一个三角形三边的长分别为3,5,7,另一个与它相似的三角形的最长边是21,则其它两边的和是( ) A .19 B .17 C .24 D .21 8、在比例尺为1:5000的地图上,量得甲,乙两地的距离25cm,则甲,乙的实际距离是( ) A.1250km B.125km C. 12.5km D.1.25km 9、在相同时刻,物高与影长成正比。如果高为1.5米的标杆影长为2.5米,那么影长为30

2018中考复习——二次函数和相似三角形

2018数学中考复习 ——二次函数与相似三角形 二次函数中因动点问题产生的相似三角形的解题方法一般有以下三种: 1.如图,已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A(-4,0)、B(1,0)、C(-2,6). (1)求经过A 、B 、C 三点的抛物线解析式; (2)设直线BC 交y 轴于点E ,连接AE ,求证:AE=CE; (3)设抛物线与y 轴交于点D ,连接AD 交BC 于点F , 试问以A 、B 、F ,为顶点的三角形与△ABC 相似吗请说明理由. 2、如图,已知抛物线过点A (0,6),B (2,0),C (7, 5 2 ). 若D 是抛物线的顶点,E 是抛物线的对称轴与直线AC 的交点,F 与E 关于D 对称. (1)求抛物线的解析式; (2)求证:∠CFE=∠AFE ; (3)在y 轴上是否存在这样的点P ,使△AFP 与△FDC 相似,若有,请求出所有合条件的点P 的坐标;若没有,请说明理由. O A B E D F C x N M

3.如图,已知抛物线的方程C1:y=-(x+2)(x-m)(m>0)与x 轴相交于点B 、C ,与y 轴相交于点E ,且点B 在点C 的左侧. (1)若抛物线C 1过点M(2,2),求实数m 的值. (2)在(1)的条件下,求△BCE 的面积. (3)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点H ,使BH+EH 最小,并求出点H 的坐标. (4)在第四象限内,抛物线C 1上是否存在点F ,使得以点B 、C 、F 为 顶点的三角形与△BCE 相似若存在,求m 的值;若不存在,请说 明理由. 4. 如图,已知抛物线 与x 轴的正半轴分别交于点A 、B (点A 位于点 B 的左侧),与y 轴的正半轴交于点 C . ⑴点B 的坐标为 ,点C 的坐标为 (用含b 的代数式表示); ⑵请你探索在第一象限内是否存在点P ,使得四边形PCOB 的面积等于2b ,且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形如果存在,求出点P 的坐标;如果不存在,请说明理由; ⑶请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ,使得△ QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似(全等可看作相似的特殊情况)如果存在,求出点Q 的坐标;如果不存在,请说明理由. 5.如图已知:直线3+-=x y 交x 轴于点A ,交y 轴于点B ,抛物线y=ax 2+bx+c 经过A 、B 、C (1,0)三 x y P O C B A

相似三角形经典大题解析(含答案)

相似三角形经典大题解析 1.如图,已知一个三角形纸片ABC ,B C 边的长为8,B C 边上的高为6,B ∠和C ∠都为锐角,M 为A B 一动点(点M 与点A B 、不重合),过点M 作M N B C ∥,交A C 于点N ,在A M N △中,设M N 的长为x ,M N 上的高为h . (1)请你用含x 的代数式表示h . (2)将AMN △沿M N 折叠,使A M N △落在四边形B C N M 所在平面,设点A 落在平面的点为1A ,1A M N △与四边形B C N M 重叠部分的面积为y ,当x 为何值时,y 最大,最大值为多少? 【答案】解:(1)M N B C ∥ A M N A B C ∴△∽△ 68 h x ∴= 34 x h ∴= (2)1AM N A M N △≌△ 1A M N ∴△的边M N 上的高为h , ①当点1A 落在四边形B C N M 内或B C 边上时, 1A M N y S =△= 2 11332 2 4 8 M N h x x x = = ·· (04x <≤) ②当1A 落在四边形B C N M 外时,如下图(48)x <<, 设1A EF △的边E F 上的高为1h , 则132662h h x =-= - 11EF M N A EF A M N ∴ ∥△∽△ 11A M N ABC A EF ABC ∴ △∽△△∽△

12 16A EF S h S ??= ??? △△ABC 168242 A B C S = ??= △ 2 2 3632241224 62EF x S x x ?? - ?∴==?=-+ ? ??? 1△A 112 223 3912241224828A M N A EF y S S x x x x x ??=-= --+=-+- ??? △△ 所以 2 91224 (48)8 y x x x =- +-<< 综上所述:当04x <≤时,2 38 y x =,取4x =,6y =最大 当48x <<时,2 912248 y x x =-+-, 取163 x = ,8y =最大 86> ∴当163 x = 时,y 最大,8y =最大 M N C B E F A A 1

二次函数与相似三角形综合

第10讲:二次函数中因动点产生的相似三角形问题? 二次函数中因动点产生的相彳以三角形问题一般有三个解题途径: ①求相似三角形的第三个顶点时,先要分析已知三角形的边和角的特点,进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 ②或利用已知三角形中对应角,在未知三角形中利用勾股定理、三角比、对称、旋转等知识来推导边的大小。 ③若两个三角形的各边均未给出,则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度,之后利用相似来列方程求解。 例题1:已知抛物线的顶点为A (2, 1),且经过原点O,与X轴的另一个交点为B. 1 2 y = --x~ +x (1)求抛物线的解析式:(用顶点式求得抛物线的解析式为 4 ) (2)连接OA、AB.如图2,在x轴下方的抛物线上是否存在点P,使得二OBP与二OAB 相似?若存在,求出P点的坐标:若不存在,说明理由。 解:如图2,由抛物线的对称性可知:AO=AB二AOB=CABO. 若二BOP与匚A0B相似,必须有二POB = OBOA =匚BPO 设0P交抛物线的对称轴于A?点,显然AX2-1) 1 y = --x 二直线OP的解析式为2 一一x =一一x? + 由2 4 得x 1 = 0, x 2 =6 -JP(6,~3) 过P 作PE二x 轴,在RtZBEP 中,BE=2,PE=3, 二PB=厢拜. 二PB=OB,HBOP* 二BPO、 ZOPB0与匚BAO不相似, 同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点. 所以在该 抛物线上不存在点R使得ZBOP与ZAOB相似.

例题2:如图所示,已知抛物线与兀轴交于A、B两点,与y轴交于点c. (1)求A、B、C三点的坐标. (2)过点A作APZCB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积. (3)在x轴上方的抛物线上是否存在一点过M作MG丄兀轴于点G, 使以A、M. G 三点为顶点的三角形与APCA相似.若存在,请求岀M点的坐标; 解:(1)令尸°,得?-1=0 解得“±1 令x=o,得〉‘=一1 二A(70)B(I,°)c(°,j) (2)匚OA=OB=OC= 1 □ ZBAC=厶ACO= ZBCO= 45 ZAPZCB, E Z PAB=45 过点P作PE丄x轴于E,则△ APE为等腰直角三角形 令OE=" > 贝iJPE=Q + l + 0 ::点p在抛物线上“+1=/_i 解得5=2,心=一1 (不合题意,舍去)二PE=3 1 1 1 「1 ———x2xl + —x2x3 = 4 二四边形ACBP的而积S = 2 A B?OC+ 2 A B?PE=2 2 (3).假设存在 二Z PAB= Z BAC =45 匚PA 丄AC ZMG丄 * 轴于点G, □ Z MGA= Z PAC = 90 在Rt 二AOC 中,OA=OC= 1 二AC=Q 在Rt 二PAE 中, AE=PE= 3 ZAP= 3^2 设M点的横坐标为m ,则M(加,m~ -1) □点M在y轴左侧时,贝0VT 图2

中考相似三角形经典综合题

中考相似三角形经典综合题 1、如图,在平面直角坐标系中,点0为坐标原点,A点的坐标为(3,0),以0A为边作等边三角形OAB,点B在第一象限,过点B作AB的垂线交x轴于点C.动点P从0点出发沿0C 向C点运动,动点Q从B点出发沿BA向A点运动,P,Q两点同时出发,速度均为1个单位/秒。设运动时间为t秒. (1)求线段BC的长; (2)连接PQ交线段OB于点E,过点E作x轴的平行线交线段BC于点F。设线段EF的长为m,求m与t之间的函数关系式,并直接写出自变量t的取值范围: (3)在(2)的条件下,将△BEF绕点B逆时针旋转得到△BE1F1,使点E的对应点E1落在线 段AB上,点F的对应点是F1,E1F1交x轴于点G,连接PF、QG,当t为何值时,2BQ-PF= 3 3 QG? 2、在平面直角坐标系中,已知点A(﹣2,0),点B(0,4),点E在OB上,且∠OAE=∠0BA. (Ⅰ)如图①,求点E的坐标; (Ⅱ)如图②,将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′,连接A′B、BE′. ①设AA′=m,其中0<m<2,试用含m的式子表示A′B2+BE′2,并求出使A′B2+BE′2取得最小值时点E′的坐标; ②当A′B+BE′取得最小值时,求点E′的坐标(直接写出结果即可).

3、如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=3,AB=5.点P从点B出发,以每秒1个单位长度沿B→C→A→B的方向运动;点Q从点C出发,以每秒2个单位沿C→A→B方向的运动,到达点B后立即原速返回,若P、Q两点同时运动,相遇后同时停止,设运动时间为ι秒.(1)当ι=7时,点P与点Q相遇; (2)在点P从点B到点C的运动过程中,当ι为何值时,△PCQ为等腰三角形? (3)在点Q从点B返回点A的运动过程中,设△PCQ的面积为s平方单位. ①求s与ι之间的函数关系式; ②当s最大时,过点P作直线交AB于点D,将△ABC中沿直线PD折叠,使点A落在直 线PC上,求折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积. 4、如图,点A是△ABC和△ADE的公共顶点,∠BAC+∠DAE=180°,AB=k·AE,AC=k·AD,点M是DE的中点,直线AM交直线BC于点N. (1)探究∠ANB与∠BAE的关系,并加以证明. (2)若△ADE绕点A旋转,其他条件不变,则在旋转的过程中(1)的结论是否发生变化?如果没有发生变化,请写出一个可以推广的命题;如果有变化,请画出变化后的一个图形,并证明变化后∠ANB与∠BAE的关系. 5.如图,已知一个三角形纸片ABC,BC边的长为8,BC边上的高为6,B ∠和C ∠都为锐角,M为AB一动点(点M与点A B 、不重合),过点M作MN BC ∥,交AC于点N,在AMN △中,设MN的长为x,MN上的高为h. (1)请你用含x的代数式表示h. (2)将AMN △沿MN折叠,使AMN △落在四边形BCNM所在平面,设点A落在平面 A B C E M D N

经典相似三角形练习题(附参考答案)

相似三角形 一.解答题(共30小题) 1.如图,在△ABC 中,DE ∥BC ,EF ∥AB ,求证:△ADE ∽△EFC . 2.如图,梯形ABCD 中,AB ∥CD ,点F 在BC 上,连DF 与AB 的延长线交于点G . (1)求证:△CDF ∽△BGF ; (2)当点F 是BC 的中点时,过F 作EF ∥CD 交AD 于点E ,若AB=6cm ,EF=4cm ,求CD 的长. 3.如图,点D ,E 在BC 上,且FD ∥AB ,FE ∥AC . 求证:△ABC ∽△FDE . 4.如图,已知E 是矩形ABCD 的边CD 上一点,BF ⊥AE 于F ,试说明:△ABF ∽△EAD . 5.已知:如图①所示,在△ABC 和△ADE 中,AB=AC ,AD=AE ,∠BAC=∠DAE ,且点B ,A ,D 在一条直线上,连接BE ,CD ,M ,N 分别为BE ,CD 的中点. (1)求证:①BE=CD ;②△AMN 是等腰三角形; (2)在图①的基础上,将△ADE 绕点A 按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立; (3)在(2)的条件下,请你在图②中延长ED 交线段BC 于点P .求证:△PBD ∽△AMN . 6.如图,E 是?ABCD 的边BA 延长线上一点,连接EC ,交AD 于点F .在不添加辅助线的情况下,请你写出图中所有的相似三角形,并任选一对相似三角形给予证明. 7.如图,在4×3的正方形方格中,△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上. (1)填空:∠ABC= _________ °,BC= _________ ; (2)判断△ABC 与△DEC 是否相似,并证明你的结论. 8.如图,已知矩形ABCD 的边长AB=3cm ,BC=6cm . 某一时刻,动点M 从A 点出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向B 点匀速运动;同时,动点N 从D 点出发沿DA 方向以2cm/s 的速度向A 点匀速运动,问: (1)经过多少时间,△AMN 的面积等于矩形ABCD 面积的? (2)是否存在时刻t ,使以A ,M ,N 为顶点的三角形与△ACD 相似?若存在,求t 的值;若不存在,请说明理由. 9.如图,在梯形ABCD 中,若AB ∥DC ,AD=BC ,对角线BD 、AC 把梯形分成了四个小三角形. (1)列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况,并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少;(注意:全等看成相似的特例) (2)请你任选一组相似三角形,并给出证明. 10.如图△ABC 中,D 为AC 上一点,CD=2DA ,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE ⊥BD 于E ,连接AE . (1)写出图中所有相等的线段,并加以证明; (2)图中有无相似三角形?若有,请写出一对; 若没有,请说明理由; (3)求△BEC 与△BEA 的面积之比.

初中数学相似三角形的经典综合题

初中数学相似三角形的性质与应用经典试题 一、知识体系: 1.相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等; ②相似三角形的对应边成比例; ③相似三角形对应边上的高之比,对应边上的中线之比,对应角的角平分线之比都等于相似比; ④相似三角形的周长之比等于相似比。 ⑤相似三角形的面积之比等于相似比的平方(2 k )。 二、典型例题: 例1:若△ABC∽△A′B′C′,且,, 3 4AB A B ,△ABC 的周长为15cm ,则△A′B′C′的周长为( ) A .18 B .20 C .154 D .80 3 针对练习: 1.已知△ABC∽△DEF,且△ABC 的三边长为3、4、5,若△DEF 的周长为6,那么下列不可能是△DEF 一边长的是( ) A .1.5 B .2 C .2.5 D .3 2.一直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x ,那么x 的值为( ) A .7 B .5 C .7或5 D .无数个 例2:(2014江苏南京,3)若△ABC ∽△A′B′C′,相似比为1:2,则△ABC 与△A′B′C′的面积的比为( ) A .1:2 B .2:1 C .1:4 D .4:1 针对练习: 1.两相似三角形的最短边分别是5cm 和3cm ,它们的面积之差为322 cm ,那么小三角形的面积为( ) A .102 cm B .142 cm C .162 cm D .182 cm 2.如图,DE ∥BC ,若AD =1,BD =2,则△ADE 与四边形DBCE 面积之比是 ▲ 。 3.如图,平行四边形ABCD 中,E 是CD 的延长线上一点,BE 与AD 交于点F ,CD =2DE ,若△DEF 的面积为a ,则平行四边形ABCD 的面积为 ▲ (用a 的代数式表示)。 4.如图,在四边形ABCD 中,E 是AD 上的一点,EC ∥AB ,EB ∥DC ,若△ABE 的面积为3,△ECD 的面积为1,则△BCE 的面积为 ▲ 。

初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)

经典练习题相似三角形 一.解答题(共30小题) 1.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC. 2.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G. (1)求证:△CDF∽△BGF; (2)当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长. $ 3.如图,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC. 求证:△ABC∽△FDE.

4.如图,已知E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F,试说明:△ABF∽△EAD. ; 5.已知:如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点. (1)求证:①BE=CD;②△AMN是等腰三角形; (2)在图①的基础上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立; (3)在(2)的条件下,请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证:△PBD∽△AMN.

6.如图,E是?ABCD的边BA延长线上一点,连接EC,交AD于点F.在不添加辅助线的情况下,请你写出图中所有的相似三角形,并任选一对相似三角形给予证明. | 7.如图,在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上. (1)填空:∠ABC=_________°,BC=_________; (2)判断△ABC与△DEC是否相似,并证明你的结论. 8.如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻,动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动;同时,动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动,问: ' (1)经过多少时间,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的 (2)是否存在时刻t,使以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.

(完整版)九年级数学相似三角形综合练习题及答案

九年级数学相似三角形综合练习题及答案 1.填空(本题14分) (1)若a=8cm ,b=6cm ,c=4cm ,则a 、b 、c 的第四比例项d=___;a 、c 的比例中项x=__。 (2))x 1(:x x :)x 2(-=-。则x=__________。 (3)在比例尺为1:10000的地图上,距离为3cm 的两地实际距离为______公里。 (4)圆的周长与其直径的比为________。 (5)若 35b a =,则b b a -=________。 (6)若a :b :c=1:2:3,且6 c b a =+-,则a=________,b=_______,c=________。 (7)如图1,23DE BC AE AC AD AB ===,则(1)=AE CE ________(2)若BD=10cm ,则AD=______cm 。(3)若△ADE 的周长为16cm ,则△ABC 的周长为________。 (8)若点c 是线段AB 的黄金分割点,且CB AC >,=AC AB ________,= AB BC ________。 2.选择题(本题9分) (1)根据ab=cd ,共可写出以a 为第四比例项的比例式的个数是( ) A .0 B .1 C .2 D .3 (2)若线段a 、b 、c 、d 成比例,则下列各式中一定能成立的是( ) A . c b d a = B .b d a c = C .b a c d = D .a b d c = (3)如图:DE//BC ,在下列比例式中,不能成立的是( ) A . EC AE DB AD = B .EC AE BC DE = C .AE AC AD AB = D .AC AB EC DB =

二次函数与相似三角形综合

第10讲:二次函数中因动点产生的相似三角形问题 二次函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径: 例题1:已知抛物线的顶点为A (2,1),且经过原点O ,与x 轴的另一个交点为B 。 (1)求抛物线的解析式;(用顶点式求得抛物线的解析式为x x 41 y 2+-=) (2)连接OA 、AB ,如图2,在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ,使得△OBP 与△OAB 相似?若存在,求出P 点的坐标;若不存在,说明理由。 解:如图2,由抛物线的对称性可知:AO =AB,△AOB =△ABO. 若△BOP 与△AOB 相似,必须有△POB =△BOA =△BPO 设OP 交抛物线的对称轴于A′点,显然A′(2,-1) △直线OP 的解析式为x 21y -= 由 x x 41 x 212+-=- , 得6x ,0x 21== .△P(6,-3) 过P 作PE△x 轴,在Rt△BEP 中,BE =2,PE =3, △PB =13≠4. △PB≠OB,△△BOP≠△BPO, △△PBO 与△BAO 不相似, 同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P 点. 所以在该抛物线上不存在点P,使得△BOP 与△AOB 相似. 例1题图 图1 O A B y x O A B y x 图2 E A' O A B P y x 图2 ① 求相似三角形的第三个顶点时,先要分析已知三角形的边和角的特点,进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 ② 或利用已知三角形中对应角,在未知三角形中利用勾股定理、三角比、对称、旋转等知识来推导边的大小。 ③ 若两个三角形的各边均未给出,则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度,之后利用相似来列方程求解。

初三数学相似三角形练习题集

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相似三角形练习题 1.如图所示,给出下列条件: ①;②;③;④. 其中单独能够判定的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 2.如图,已知,那么下列结论正确的是() A.B.C.D. 3. 如图,已知等边三角形ABC的边长为2,DE是它的中位线,则下面四个结论: (1)DE=1,(2)△CDE∽△CAB,(3)△CDE的面积与△CAB的面积之比为 1:4.其中正确的有:() A.0个B.1个C.2个D.3个 4.若△ABC∽△DEF, △ABC与△DEF的相似比为1∶2,则△ABC与△DEF的周长比为() A.1∶4B.1∶2C.2∶1D.1∶ 5.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x,那么x的值() D B C A N M O

A.只有1个 B.可以有2个 C.有2个以上但有限 D.有无数个 6.如图,菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,M、N分别是边AB、AD 的中点,连接OM、ON、MN,则下列叙述正确的是() A.△AOM和△AON都是等边三角形 B.四边形MBON和四边形MODN都是菱形 C.四边形AMON与四边形ABCD是位似图形 D.四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形 7.如图,在方格纸中,将图①中的三角形甲平移到图② 中所示的位置,与三角形乙拼成一个矩形,那么,下面的平 移方法中,正确的是() A.先向下平移3格,再向右平移1格 B.先向下平移2格,再向右平移1格 C.先向下平移2格,再向右平移2格 D.先向下平移3格,再向右平移2格 8.在中华经典美文阅读中,小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。已知这本书的长为20cm,则它的宽约为() A.12.36cm B.13.6cm C.32.36cm D.7.64cm 9.小明在一次军事夏令营活动中,进行打靶训练,在用枪瞄准目标点B 时,要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上,如图4所示,在射击时,小明有轻微的抖动,致使准星A偏离到A′,若OA=0.2米,OB=40米, AA′=0.0015米,则小明射击到的点B′偏离目标点B的长度BB′为 () A.3米B.0.3米C.0.03米D.0.2米 10、在比例尺为1︰10000的地图上,一块面积为2cm2的区域表示的实际面积是()

【试卷】相似三角形练习题及答案

相似三角形练习题及答案 一、填空题: 1、若b m m a 2,3==,则_____:=b a 。 2、已知6 53 z y x == ,且623+=z y ,则__________,==y x 。 3、在等腰Rt △ABC 中,斜边长为c ,斜边上的中线长为m ,则______:=c m 。 4、反向延长线段AB 至C ,使AC =2 1 AB ,那么BC :AB = 。 5、如果△ABC ∽△A ′B ′C ′,相似比为3:2,若它们的周长的差为40厘米,则△A ′B ′C ′的周长为 厘米。 6、如图,△AED ∽△ABC ,其中∠1=∠B ,则 ()()()AB BC AD _________== 。 第6题图 第7题图 7、如图,△ABC 中,∠ACB =90°,CD ⊥AB 于D ,若∠A =30°,则BD :BC = 。 若BC =6,AB =10,则BD = ,CD = 。 E A D B C 1 C B D A

8、如图,梯形ABCD 中,DC ∥AB ,DC =2cm ,AB =3.5cm ,且MN ∥PQ ∥AB , DM =MP =PA ,则MN = ,PQ = 。 第8题图 第9题图 9、如图,四边形ADEF 为菱形,且AB =14厘米,BC =12厘米,AC =10厘米,那BE = 厘米。 10、梯形的上底长1.2厘米,下底长1.8厘米,高1厘米,延长两腰后与下底所成的三角形的高为 厘米。 二、选择题: 11、下面四组线段中,不能成比例的是( ) A 、4,2,6,3====d c b a B 、3,6,2,1====d c b a D C M P N Q A B A D B F E C

中考相似三角形经典综合题解析资料

中考相似三角形经典综合题解析 1、(2013哈尔滨)如图,在平面直角坐标系中,点0为坐标原点,A点的坐标为(3,0),以0A为边作等边三角形OAB,点B在第一象限,过点B作AB的垂线交x轴于点C.动点P从0点出发沿0C向C点运动,动点Q从B点出发沿BA向A点运动,P,Q两点同时出发,速度均为1个单位/秒。设运动时间为t秒. (1)求线段BC的长; (2)连接PQ交线段OB于点E,过点E作x轴的平行线交线段BC于点F。设线段EF的长为m,求m与t之间的函数关系式,并直接写出自变量t的取值范围: (3)在(2)的条件下,将△BEF绕点B逆时针旋转得到△BE1F1,使点E的对应点E1落在线 段AB上,点F的对应点是F1,E1F1交x轴于点G,连接PF、QG,当t为何值时,2BQ-PF= 3 3 QG? (1)解:如图l∵△AOB为等边三角形∴∠BAC=∠AOB=60。∵BC⊥AB ∴∠ABC=900∴∠ACB=300∠OBC=300 ∴∠ACB=∠OBC ∴CO=OB=AB=OA=3 ∴AC=6 ∴3 33 (2)解:如图l过点Q作QN∥0B交x轴于点N ∴∠QNA=∠BOA=600=∠QAN ∴QN=QA ∴△AQN为等边三角形 ∴NQ=NA=AQ=3-t ∴NON=3- (3-t)=t ∴PN=t+t=2t ∴OE∥QN.∴△POE∽△PNQ ∴OE PO QN PN = ∴ 1 32 OE t = - ∴ 31 22 OE t =- ∵EF∥x轴 ∴∠BFE=∠BCO=∠FBE=300 ∴EF=BE∴m=BE=OB-OE 13 22 t =+ (0

(3)解:如图2 11180120BE F BEF EBF EFB ∠=∠=-∠-∠= ∴∠AEG=600=∠EAG ∴GE 1 =GA ∴△AE’G 为等边三角形 111331 2222 QE BE BQ m t t t t =-=-=+-=- 111131 22 QE GA AE AB BE BQ t QE ∴===--=-= ∴∠l=∠2 ∠3=∠4 ∵∠l+∠2+∠3+∠4=1800∴∠2+∠3=900 即∠QGA=900 ∵EF ∥OC BF BE BC BO ∴ =333 332233 BF m BF m t ∴ =∴==+31 3322 BC CF -= - 3CP CO OP t =-=- 31 33322633 t CF t CP CB CA --∴=== ∵∠FCP=∠BCA ∴△FCP∽△BCA. 32 PF CP t PF AB CA -∴ =∴= ∵2BQ —PF=33QG ∴33312(33)2322t t t --=?-∴t=1∴当t=1 时,2BQ —PF= 3 3 QG 2、(2013?天津)在平面直角坐标系中,已知点A (﹣2,0),点B (0,4),点E 在OB 上,且∠OAE=∠0BA . (Ⅰ)如图①,求点E 的坐标; (Ⅱ)如图②,将△AEO 沿x 轴向右平移得到△A ′E ′O ′,连接A ′B 、BE ′. ①设AA ′=m ,其中0<m <2,试用含m 的式子表示A ′B 2+BE ′2,并求出使A ′B 2+BE ′2取得最小值时点E ′的坐标;

相似三角形练习题精选

# 相似三角形练习题精选 相似三角形 例题: 1、(2007杭州)如图,用放大镜将图形放大,应该属于( ) A.相似 B.平移 C.对称 D.旋转 # 2、(2008天津)如图,已知△ABC 中,EF ∥GH ∥IJ ∥BC ,则图中相似三角形共有 对. 跟踪练习: 1、(2007韶关)如图1,CD 是Rt △ABC 斜边上的高,则图中相似三角形的对数有( ) 对 对 C. 2对 对 2、(2007上海)如图2,E 为平行四边形ABCD 的边BC 延长线上一点,连结AE ,交边CD 于点F .在不添加辅助线的情况下,请写出图中一对相似三角形: . 相似三角形的判定 例题: 1.下列各组图形有可能不相似的是( ). A .各有一个角是50°的两个等腰三角形 B .各有一个角是100°的两个等腰三角形 C .各有一个角是50°的两个直角三角形 D .两个等腰直角三角形 ~ 2、(2007永州)如图,添上条件:_______,则△ABC ∽△ADE 。 3. (2009新疆)如图,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与ABC △相似的是( ) 4.(2010临沂) 如图,12∠=∠,添加一个条件使 得ADE ?∽ACB ? . 跟踪练习: 1.(2010陕西西安)如图,在ABC ?中,D 是AB 边上一点,连接CD ,要使ADC ?与 ~ ABC ?相似,应添加的条件是 。 (只需写出一个条件即可) 2、(2008 江西南昌)下列四个三角形,与左图中的三角形相似的是( ) 2 1E D C B A A. 图1 D C B A A B D \ F

二次函数中的相似三角形

二次函数中的相似三角形 例1(2011绵阳):已知抛物线y = x2 -2x +m -1与x轴只有一个交点,且与y轴交于A点,如图,设它的顶点为B. (1)求m的值; (2)过A作x轴的平行线,交抛物线于点C,求证△ABC是等腰直角三角形; (3)将此抛物线向下平移4个单位后,得到抛物线C’,且与x轴的左半轴交于E点,与y轴交于F点。如图,请在抛物线C’上求点P,使得△EFP是以EF为直角边的直角三角形. 例1图例1(1)(2)图例1(3)图

例2:如图,抛物线y = ax2 +bx + 1与x轴交于两点A(-1,0)、B(1,0)与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式; (2)过点B作BD∥CA与抛物线交于点D,求四边形ACBD的面积; (3)在x轴下方的抛物线上是否存在点M,过M作MN⊥x轴于点N,使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似?若存在,则求出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 例2(1)(2)图例2(3)图

例3:已知,如图,二次函数y = ax2 - 2ax + c(a ≠ 0)的图象与y轴交于点C(0,4),与x 轴交于点A、B,点A的坐标为(4,0). (1)求该二次函数的关系式并写出它的对称轴和顶点坐标; (2)点Q是线段AB上的动点,过点Q作QE∥AC交BC于点E,连接CQ,当△CQE的面积最大时,求点Q的坐标; (3)若平行于x轴的直线l与该抛物线交于点P,与直线AC交于点F,点D的坐标(2,0).问:是否存在这样的直线l.使△ODF是等腰三角形?若存在,请求出点P坐标;若不存在,请说明理由. 思考:在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点M,使△BCM是直角三角形?若存在,请直接写出点M坐标;若不存在,请说明理由. 例3(1)(2)图例3(3)图 例3思考

最新相似三角形经典解答题难题含答案(个人精心整理)

一、相似三角形中的动点问题1.如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,过点B作射线BB1∥AC.动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动,同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动.过点D作DH⊥AB于H,过点E作EF⊥AC交射线BB1于F,G是EF中点,连接DG.设点D运动的时 间为t秒. (1)当t为何值时,AD=AB,并 求出此时DE的长度; (2)当△DEG与△ACB相似时, 求t的值. 2.如图,在△ABC 中,ABC=90°,AB=6m,BC=8m,动点P以2m/s的速度从A点出发,沿AC向点C移动.同时,动点Q以1m/s的速度从C点出发,沿CB向点B移动.当其中有一点到达终点时,它们都停止移动.设移动的时间为t秒. (1)①当t=2.5s时,求△CPQ的 面积; ②求△CPQ的面积S(平方米)关 于时间t(秒)的函数解析式; (2)在P,Q移动的过程中,当 △CPQ为等腰三角形时,求出t的 值. 3.如图1,在Rt△ABC 中,ACB =90°,AC=6,BC=8,点D在 边AB上运动,DE 平分CDB交 边BC于点E,EM⊥BD,垂足为 M,EN⊥CD,垂足为N. (1)当AD=CD时,求证:DE∥AC; (2)探究:AD为何值时,△BME与△CNE相似?4.如图所示,在△ABC中, BA=BC=20cm,AC= 30cm,点P从A点出发, 沿着AB以每秒4cm的速 度向B点运动;同时点Q 从C点出发,沿CA以每秒3cm的速度向A点运动,当P点到达B点时,Q点随之停止运动.设运动的时间为x. (1)当x为何值时,PQ∥BC? (2)△APQ与△CQB能否相似?若能,求出AP的长;若不能说明理由. 5.如图,在矩形ABCD中, AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A 以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(0<t<6)。 (1)当t为何值时,△QAP为等腰直角三角形?(2)当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似? 二、构造相似辅助线——双垂直模型 6.在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(2,1),正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45°,求 精品文档

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