第二章：动力学系统的微分方程模型

第二章：动力学系统的微分方程模型

利用计算机进行仿真时，一般情况下要给出系统的数学模型，因此有必要掌握一定的建立数学模型的方法。在动力学系统中，大多数情况下可以使用微分方程来表示系统的动态特性，也可以通过微分方程可以将原来的系统简化为状态方程或者差分方程模型等。在这一章中，重点介绍建系统动态问题的微分方程的基本理论和方法。

在实际工程中，一般把系统分为两种类型，一是连续系统；其数学模型一般是高阶微分方程；另一种是离散系统，它的数学模型是差分方程。

§2.1 动力学系统统基本元件

任何机械系统都是由机械元件组成的，在机械系统中有3种类型的基本机械元件：惯性元件、弹性元件和阻尼元件。

1 惯性元件：惯性元件是指具有质量或转动惯量的元件，惯量可以定义为使加速度（或角加速度）产生单位变化所需要的力（或力矩）。 惯量（质量）=

）

加速度（力（2

/)

s m N 惯量（转动惯量）=

）

角加速度（力矩（2/)

s rad m N ?

2 弹性元件：它在外力或外力偶作用下可以产生变形的元件，这种元件可以通过外力做功来储存能量。按变形性质可以分为线性元件和非线性元件，通常等效成一弹簧来表示。

对于线性弹簧元件，弹簧中所受到的力与位移成正比，比例常数为弹簧刚度k 。

x k F ?=

这里k 称为弹簧刚度，x ?是弹簧相对于原长的变形量，弹性力的方向总是指向弹簧的原长位移，出了弹簧和受力之间是线性关系以外，还有所谓硬弹簧和软弹簧，它们的受力和弹簧变形之间的关系是一非线性关系。

3 阻尼元件：这种元件是以吸收能量以其它形式消耗能量，而不储存能量，可以形象的表示为一个活塞在一个充满流体介质的油缸中运动。阻尼力通常表示为：

α

x

c R = 阻尼力的方向总是速度方向相反。当1=α，为线性阻尼模型。否则为非线性阻

尼模型。应注意当α等于偶数情况时，要将阻尼力表示为：

||1--=αx x

c R 这里的“-”表示与速度方向相反

§2.2 动力学建模基本定理

1 动力学普遍定理

对于大多数力学问题，可以使用我们熟知的牛顿动力学基本定理来解决，

动力学普遍定理包括动量定理、动量矩定理和动能定理，以及其他变形形式，普遍定理的特点是比较直观，针对不同的问题可以选择不同的力学定理，在一般情况下利用普遍定理可以得到大多数动力学系统的数学模型。 1）动量定理与质心运动定理：

设系统在任意瞬时的动量矢为K ,作用在系统上的外力矢量和为∑i F

，则

任意瞬时的动量对时间的导数等于作用在系统中所有外力的矢量和构成了动量定理。

∑=F dt

dK

（2-1）

通常将该式投影到直接坐标轴系、自然坐标轴系等，（更详细的情况请参阅理论力学有关知识）

利用质心坐标的计算表达式，可以将动量定理转化为质心运动定理，即：

i c F a M ∑= 或： i ci i F a m

∑∑= （2-2）

其中：M 是系统的总质量，c a 是系统的质心；i m 是分刚体是质心，ci a 是分刚体的质心。

2） 动量矩定理 ： 系统在任意瞬时的动量矩对时间的导数等于作用在系统

中所有外力矩的矢量和。

∑=)(00

F M dt

dH （2-3） 其中，0H 是系统对固定点o 的动量矩， )(F M O 力F 对O 点的矩. 除了对固定点的动量矩定理外，还有对质心的动量矩定理，对速度瞬心的动量矩定理和对加速度瞬心的动量矩定理。

3） 动能定理 ： 动能定理的导数形式：

系统在任意瞬时的动能对时间的导数等于作用在系统中所有力的功率的代数和。

∑=N dt

dT

（2-4） 动能定理的积分形式：系统在任意两瞬时的动能的变化等于作用在系统中所有力的功的代数和。∑=-W T T 12

2 动力学普遍方程

将达朗伯原理与虚位移原理相结合，得到了建立动力学模型的另一种方法。

1) 达朗伯原理 达朗伯原理提供了研究动力学问题的一个新的方法，即借助

于惯性力（ a m Q

-=）的概念，可用研究静力学平衡的方法来研究

动力学问题，这种方法常称为动静法。即：在任意时刻，质点在主动力、

约束力和惯性力的主矢作用下处于平衡；

0=++∑∑∑

i i i Q N F

（2-5）

以及主动力、约束力和惯性力对某点的矩矢等于零，即：

0)()()(=++∑∑∑

i O i O i O Q M N M F M

通常先计算惯性力的主矢和主矩，从而得到质点系的达朗伯原理。 2) 虚位移原理

虚位移原理本身是通过虚功的引入，提出了求解静力学问题的一种方法，它与达朗伯原理相结合得到了建立动力学模型的另一种方法。

对于理想约束的完整系统，质点（质点系）在其给定位置上处于平衡的必要

充分条件是作用在该质点（质点系）上的所有主动力i F 在其作用点的虚位移i r δ上

所做的虚功和等于零，即：

0=?∑

i i r F

δ

或

0)(=?+?+?∑

i iz i iy i ix z F y F x F δδδ

3） 动力学的普遍方程

受理想约束的系统，作用在质点系上的所以主动力和惯性力在各自的虚位移上所做的虚功和等于零，即：

0)(1

=-∑

=r a m F i i i n

i

δ

或

0])()()[(1

=-+-+-∑

=i i i zi i i i yi i i i xi n

i z z

m F y y m F x x m F δδδ 在具体应用这个方程的时候，可以先引入广义坐标，使得问题处理简单。

例2-1 质量为m 均质的杆可以绕O 轴定动，试求系统做微幅振动时的微分方程。

解：杆绕O 轴做定轴转动，水平位置为系统

a

a

3k

c

x

o

)(t f

的平衡状态，取杆绕O 轴转动的角度?为坐标，可以方便的使用动量矩定理来建立动力学方程。（假定在微小转动情况下）

a a k a c a t f J 3)33()(???

+-= 这里J 是杆绕O 轴转动的转动惯量。 这是关于?的二阶线性微分方程。如果不计杆

的质量，则微分方程为：)(99t f ka ca =+??

这个方程是关于?的一阶线性微分方程，称该系统模型为一阶系统。

例2-2 悬浮摆的动力学建模 下图所示为小型起重机简图，21,m m 是吊车和吊重的质量，吊绳长为l 且不计质量，吊车的驱动力为

F ，考虑轨道的阻力为x

c ，试以θ,x 为广义坐标，建立系统的动力学控制方程。 利用水平方向的质心运动定理，即：

(1) )sin (22

21x c F l x dt

d m x

m -=++θ 或： x c - )s i n c o s (221 F l l x m x m =-++θ

θθθ 重物做平面曲线运动，则可以直接利用牛顿定律得到切线方向的动力学方程：

(2) sin )cos (22θθθg m x l m -=+

（1），（2）两式是耦合的非线性动力学方程。

当系统被限制在0=θ附近运动时，可将其在0=θ处线性化处理，则可以得到系统的方程为：

))(221F l m x c x m m =-++θ )(221F l l x m x m =-++θθθ

当给定)(t F F =时，可以建立仿真模型。

请读者考虑，如果要考虑摆杆的质量，则动力学方程如何？

例2-3： 车辆悬架系统的动力学模型

考虑图2.2所示的汽车悬架系统示意图。设计悬架缓冲系统的2211,;,c k c k 的目的是减小车辆在崎岖道路上行驶时产生的震动，因为道路表面的不平坦会引起悬架沿垂直方向的移动和绕某个轴的转动。

θ

1

m 2

m F

l

m

1

k 2

k 1

c 2

c ?

o

A B y

a

b

图2.2悬架系统示意图 图2.3架系统的受力分析示意图

我们将整个系统的质量中心作为坐标的原点,因此系统在不平道路上的振动运动可以看作是质心的沿垂直方向的平移运动以及绕质心的旋转运动。车架质量为m,转动惯量为J 。输入车轮的位置信息1y 、2y 表明路况信息。

假设每个车轴的缓冲系统由具有阻尼特性的弹簧构成。忽略轮胎的质量,每个车轮受到的外力为弹簧弹力与阻尼力之和,即

)()()(1111

A A A A y k y

c s y k dt d

c F +=+= )()()(2222B B B B y k y

c s y k dt

d

c F +=+= 其中：1y a y y A -+=? 2y b y y B --=?

A y 和

B y 分别表示每个弹簧距离参考位置的瞬时距离。代入上式后

))((111y a y k dt d

c F A -++=?

))((222y b y k dt d

c F B --+=?

根据质心运动与相对于质心的动量矩定理得：B A F F dt

y d M --=2

2

或者：

)()()()(22221111y b y k y b y c y a y k y a y c y

m -------+--+-=???? 整理后得到：

2211221121212121)()()()(y k y k y c y

c b k a k b c a c y k k y c c y

m +++=-+-+++++ ??

用)(t y 和)(t ?分别表示系统质心的平移位移和沿质心的旋转角度。

上式中假定在很小的角度位置条件下满足??≈sin ，并且?取顺时针的旋转方向为正方向。

再根据系统相对于质心的动量矩定理可得：

y

?

a y +y

1

y 2

y ?

b y -A F B

F ?

a F

b F a F b F dt

d J a b A B -≈-=???

cos cos 22 其中J 是车驾相对于质心的转动惯量，将上式整理后可得： a y a y k dt d

c b y b y k dt

d c dt

d J ))(())((11122222-++---+=???

或：

221122112121222112)()()()(by k ay k y b c y

ca y b k a k a k b k y c c a c b c J -+-=-+++-+++ ???

将系统的动力学方程写成矩阵形式：

????????????+????????????=????????????+????????????+????????????2122

2112112122212112221121122211211 00 y y F F F F y y E E E E y C C C C y B B B B y J m

???简写为：??

????+??????=???

???+??????+??????2121][][][][][y y F y y E y C y B y A ???

其中:??????=J m A 00 ][??????+--+=b c a c b c a c b c a c c c B 21212121 ][ ??????+--+=b k a b k

k a k b k a k k k C 21212121][ ??????=b c a c c c E 2121- ][ ??????=b k a k k k F 21

21-

][

??

????+??????=??????+??????+??????----211

21111][][][][][][][][y y F A y y E A y C A y B A y ??? 当][A 为非奇异阵时，可以通过矢量信号我们可以得到系统的仿真模型如（图2-5）

。

图2.5 悬架系统仿真框图

以上系统中假定1y 、2y 是系统两个相互独立的输入变量,但实际上,后轮与前 车轮的位置时间相差Δt =L /V 时间。这样,实际系统满足)(12t t y y ?-=。由于借助了拉斯变换，将微分方程换成了代数方程，如果要得到时域响应则需要借助拉斯反变换。根据第一章的基本知识，给出基于微分方程的仿真模型，具体计算过程留给读者练习。

例 2-4 机构运动学建模

曲柄滑块机构的运动学仿真建模(速度分析与建模)

曲柄滑块机构如图所示：该机构只有一个自由度，首先给出机构的运动学分析模型， （1） 机构的封闭的矢量方程

21r r r +=

（2） 矢量方程的分解式

r r r =+2211cos cos ?? 0sin sin 2211=+??r r

（3）关于机构速度问题的运动学方程；

r r r =--222111sin sin ???

? 0cos cos 222111=+???

? r r 机构的输入运动量为

11,?

? ，输出量为 r r ,,,22??，写成矩阵形式 111

1122222cos sin 0 cos 1

sin ?????? ???????--=?????????????r r r r r

可以写成显式表达式 111111

22222c o s s i n

0 cos 1 sin ??

????

???????--???

??

??=??????-r r r r r

Simulink 仿真模型建立

在该仿真模型中，设系统的输入角速度为：=1?

150弧度/秒，通过一次积分可以得到角度1?，将这两个输入量通过一个信号混合器（以向量形式混合为一路信号），输入给MATLAB FCN 模块，通过该函数模块中的代码入 ，从而可以得到输

出量（r ,2?），再进一步积分后，得到位移量)(),(2t r t ?。

r

B

A

D

A

B

D

2

r 1

r 2

?1

?1

?2

?1

r 2

r r

在MA TLAB FUNTION 模块中写上函数过程文件名：Compv，其它不变，建立m脚本文件如下：（函数子程序）

function[x]=compv(u); [x]输出，（u）输入。

%% 参数说明：r1 曲柄长度，r2 连杆长度

%% u(1)曲柄角速度；u(2)曲柄角度，u(3)连杆角度

r1=15; r2=55; a=[r2*sin(u(3)) 1; r2*cos(u(3)) 0];

b=-u(1)*r1*[sin(u(2)); cos(u(2))];

x=inv(a)*b;

将该文件名储存为compv.m,然后运行仿真模型，得如下结果。

图2-10 图2-11 连杆的角速度与角度的变化规律滑快的速度与位移变化规律曲柄滑块机构的运动学仿真（加速度分析）

加速度表达式

r r r =+-+-)sin (cos )sin (cos 222

222112111???????? 0)cos sin ()cos sin (222222112111=+-++-?

??????? r r 机构的输入运动量为

111,,??? ，输出量为 r r r ,,,,,222???，写成矩阵形式

????????+----=?????????????222211*********

2222111222

22sin cos sin sin cos cos 0 cos 1

sin ??????????????? r r r r r r r r r

???

?????+----???????=??????-2

22211121111112

22221111

22222sin cos sin sin cos cos 0 cos 1 sin ???????????????

r r r r r r r r r 和速度仿真一样，请读者建立机构的加速度仿真模型。

如果要对此机构的动力学仿真，可以再列写出系统的动力学方程，与运动学方程联立求解。

例2- 5 建立如下系统的振动微分方程，并使用子系统封装技术。

111112212211)()(x c x k x x c x x k x

m -+-+--= )()()(12212222t f x x c x x k x

m +----= 改写上式为：

][1

1111122212221

1x c x k x c x

c x k x k m x

---+-= )]([1

122212222

2t f x c x

c x k x k m x

++-+-= 设：kg m 211=, kg m 92=, m Ns c c /221==,

m

N k /4001= ,

m N k /6002=,)sin()(t t f =

利用子系统技术，我们可以建立相应的仿真模型，利用摸态分析方法可以得到系统的解析解和仿真解进行比较。

若将激励作用在左边质量块上，取

)5sin()(t t f =，并分析当2m 取值

为多大时，质量1m 的振幅接近于零

1

c 2

k 1

m 1

k 2

m 2

c 1

x 2

x )

(t f

（动力消振器原理）。并进一步分析，当021==c c 时，主系统的消振效果。说明有阻尼消振效果好还是无阻尼消振效果好。

§2.3 Hamilton 动力学建模体系

除了使用牛顿力学的基础理论建模，还可以使用有关Hamilton 力学体系的建模方法，这些建模的基础理论有 Lagrange 第二类方程，Hamilton 原理、Hamilton 正则方程、APPELL 方程和凯恩方程等. 1. Lagerange 第二类方程

j j

j Q q T

q T dt d =??-??)( 其中，T 是系统的总动能，j Q 是对应于第j 个广义坐标的广义力。

即：2

n 121i i i v m T ∑== j i i n i j q r F Q ???=∑= 1

如果系统受到的力全是保守系力，则Lagerange 可简化为：

0)(=??-??j

j q L q L dt d 其中：V T L -= 称为Lagerange 函数。

这里：T 是系统的总动能，V 是系统的总势能。

对于具有保守力作用和非保守力作用的混合系统，其方程为：

*)(j j

j Q q L q L dt d =??-?? （2- 其中 *

j Q 是对应非保守力的广义力。

拉格朗日方程式是一组关于m 个广义坐标的二阶微分方程，它有统一的格式和步骤，因此在动力学建立模型时经常采用。

2 系统有耗散元件的拉格朗日方程

在工程实际问题中，如果存在有与速度有关的阻力。例如当物体在空气、液体中运动时会受到流体介质的阻力作用。实验表明，流动介质的阻力与相对速度有关，并且使系统的总能量不断减少。这种阻力统称为耗散力，将这类元件统称为耗散元件。

作用于系统的耗散力一般可以表示为如下形式

),,,,2,1( )(n i v v v f k F i

i

i i i i =-=

其中i v 表示第i 个质点的速度，i F

表示第i 个质点受到的耗散力，i k 是阻力系数、)(i i v f 是与广义速度有关的函数，其中的负号表示阻尼与速度方向相反。

在系统中如果存在有耗散力时，只需将耗散力的广义力添加在拉格朗日方程的右边即可。关于耗散广义力计算可参考下式：

根据广义力的定义

j i i i i n i i i n

i j i i j q r v v v f k q r F Q ???-=??=∑∑== )(11'

考虑到j i j i q r

q r ??=

??，则有： j

i

i i i n i i i n i j i i j q v v v v f k q r F Q ???-=??=∑∑==)(11' 其中j i i j i i i j j i i q

v v q v v v q q v v

??=??=???=???2

21)(21

因此有

?

∑∑==??-

=??-=i

v i i i n

i i j j i i n

i i i j dv v f k q q v v f k Q 0

1

1

')()(

令 ?∑==

i

v i i i n

i i dv v f k D 0

1

)(

称D 为系统的耗散函数，于是耗散力的广义力为： j j q

D

Q ??-=' 这样容易得到具有耗散系统的拉格朗日方程为：

j j j q

D

q L q L dt d ??-

=??-??)( 或者：

0)(=??+??+??-??j j j j q

D q U q T q T dt d 因此对于耗散系统，只需将耗散力的广义力加进Lagerange 方程的普通广义

力中即可。

例如，在线性动力学系统中，一般当阻尼力是广义速度的一次式，即：

, v v kv F -=则对应的耗散函数为：202

v k

vdv k D i v ==?，对应的广义力为：

kv v

D Q -=??-=。

例2-6 一旋转摆如图所示，摆长为L ，摆锤质量为m ，用光滑铰链连接在铅直

轴上，如果要考虑Om 构件的质量为M ，当铅直轴以任意角速度转动时求出对应的动力学模型。

解： 当ω为任意时，此时系统有两个自由度，分别取?和θ为广义坐标，其动能和势能分别为：

??θ?cos )sin (2

22

222mgl V l l m T -=+=

Lagerange 函数为：

??θ?cos )sin (2

22

222mgl l l m V T L ++=

-=

在通常情况下，在转轴上作用有外加力偶矩M ，根据Lagerange 方程： M L L dt d =??-??θ

θ)( ： M ml =?θ? 22sin

0)(=??-???

?L L dt d ： 0sin sin 212222=+-??θ?

mgl ml ml 以上两式仍为耦合非线性动力学方程。

（1）如果要考虑AB 杆的质量，则动能为：

]3

3sin [2]sin [2))sin (2

222222222

202222?

θ?ξ?

ξ?θξ?ξθ?ξ l l m d l m dm T l +?==+=+=??

（2）如果考虑多转轴与轨道之间的摩擦阻尼，即?

k M -='，耗散函数为：221? k D =

，耗散力的广义力为：?

?

? k D

Q -=??-=

3 Hamlton 原理

Hamilton 原理是以变分为基础的建模方法，设系统的动能为T ，势能为V ，

非保守力的虚元功为w δ，则Hamilton 原理可以表示为：

0)(1

=+?

dt w L t t δδ 其中： V T L -= 称为拉格朗日函数

Hamilton 原理常用来建立连续的质量分布和连续刚度分布的系统（弹性系

统）的动力学模型。

?

O

ω

l

θ

x

y

z

m

例2-7 弹性系统的动力学建模

所谓的弹性系统是指具有连续的质量分布和连续刚度分布的系统，下面通过梁的横向振动来说明弹性体的建模方法。

设梁的长度为l ，截面的弯曲刚度EI 为常数，单位长度质量为ρ，在x 截面形心处横向位移为),(t x y ，忽略剪切变形，

则梁的动能表达式为：dx t

y x T l 2

0))((21??=

?ρ 势能为：dx x

y x EI V l 2

220))((21??=?，

拉格朗日函数为： V T L -=

当系统无外力作用时，根据Hamilton 原理有：

0]))()((2

1

[2201010=''-=???dt dx y EI y

x Ldt l t t t t ρδδ 当)(x ρ为常数时，则上式积分为：

dt dx y EIy y y

l

t t ])([''''01

δδρ-??

dxdt EIy x

y EIy x y y y y t l

t t ])()()(['''''0

1

??

+??--??=?

?δδρδρ 0

])()]([)(0010

1

''''''220

=-??

+??+-=??

??dx y EIy y

EIy x ydxdt EIy x

y y dx y y t t t t l

t t t t l δδδδρδρ 根据Hamilton 原理，满足时间端点的条件当：0t t = 和 1t t = 时有：

0)()(10==t y t y δδ

于是我们可以得到：

0)]([''22

1

=??+?

?ydxdt EIy x

y l

t t δρ 根据y δ的任意性，满足上式条件为：

x

y

)

,(t x y o

A

x

l

0)(222222=????+??x

y

EI x t y ρ 0])([10'''''=-??t t y EIy y EIy x δδ

第一式为梁的自由振动方程，第二式是变分问题中自然满足的边界条件。可以使用模态分析方法，将偏微分方程化为常微分方程，然后就可以利用前面的方法来建立数学模型。

当梁上作用有分布载荷力和分布力偶时，如下图：则，系统的虚功可以表示为：

dx y t x m ydx t x q w l

l

)(),(),(0

'+=??δδδ

其中：

ydx x

m y t x m dx y t x m l

l l

δδδ??-='?

?000|),()(),( 这里第一项积分为零，代入Hamilton 原理

中有可以得到：

x m t x q x

y EI x t y ??+=????+??),()(222222ρ

如在梁上某点a 处作用集中力P 和b 点处作用有集中力偶矩M 时，这时，其

右边的广义力可以表示为：

)(a x P -δ，和

x

b x M ?-?))

((δ

并注意到：

)())

((b x M x

b x M -'=?-?δδ

在一般情况下，一个连续系统的动态特性可以用一个高阶微分方程或微分方程组来表示；

u c dt

u

d c dt u d c y a dt y d a dt y d n n n n n n n n n n 1221110111............-------++=++ （2-1）

其中： y 是系统的输出，u 表示系统的输入量，如果引进微分算子

n

n

n

dt d p = 则有： u c u p c u p c y a y p a y p a n n n n n n 121101110.......-----++=++

即：

u p c y p a

n j j j n n j j

j

n ∑∑-=---=--=1

11

1

一个动力学系统的数学模型建立起来以后，还需要对该系统响应规律进行分析，以便揭示真正的运动规律。或者通过建立仿真模型来揭示运动规律。

F

a

C m

b

)

(x q m

)

(x m

§2．4 一维弹性体有限元建模

有限元的基本思想是先把结构分割成N 个不同单元，分别对单元和节点编号1,2….N 。单元划分越细，计算精度越高，但是计算工作量也越大，因此，要根据具体情况合理的划分单元数，本节将介绍一维梁单元有限元建模方法。

2.5.1 梁单元质量矩阵与刚度矩阵

设梁单元中的第i 个单元的坐标e x （局部坐标），单元长度为l ，该单元有两个节点，而每个节点有两个广义坐标，这样一个梁单元共有4个广义坐标，分别的左界面的位移

21,e e q q 与转角和右截面的位移和转角43,e e q q ，有：

01|),(==e x e e t x w q ；02|)

,(=??=e x e e e x t x w q ，

l x e e e t x w q ==|),(3

，l x e

e e e x t x w q =??=

|)

,(4

设单元的位移模式为432

23

1),(c x c x c x c t x w e e e e +++= 将单元边界条件带入上式，可得：

)22(1

432131e e e e lq q lq q l c +-+=

)333(1

432132e e e e lq q lq q l

c -+--=

23e q c = 14e q c =

整理后可得：???

?

??????????=43211111] )( )( )( )([),(e e e e e e e e e q q q q x x x x t x w ????

其中：)231()(33

221l x l x x e

e e +-=?， )2()(3322l x l x x x e e e +-=?， )23()(33223l x l x x e e e +=?， )()(23

24l

x l x x e

e e +-=?

设梁的单位长度质量为ρ，系统的动能为

1

2

N

l )

,(t x w 2

q x

1

q 3

q 4

q i

{}{}e e T

e ej ei ij j i l q M q q q m dx t w T ][2

121)(214

1

4

1

20=

=??=∑

∑

?==ρ 其中：e e j i l

ij dx x x m )()(0

?ρ??

=

可得单元质量矩阵为： ?????

?

????????=2

224 22- 156 3- 13 4

13- 54 22

156420l l l l l l l l M e ρ

系统的势能为；

{}{}e e T

e ej ei ij j i e l e q K q q q k dx x w EI U ][2

121)(214

1

4

1

20=

=??=∑

∑?== 其中：e e j e i l

ij dx x x EI k )()(0

???

=

可得单元刚度矩阵为： ??

????

?????

???=2

22232 3- 6 3- 2 3 6- 3 62l l l l l l l l EI K e 将动能和势能带入大拉格朗日方程中，即：

j j

j Q q T q T dt d =??-??)( ；4,3,2,1=j 其中的广义力可以利用虚功原理导出。设作用在单元体上的外力为 ),(t x f e ，其虚功表达式为： j j j l

e j e j j e l

e e e q Q dx q x t x

f dx t x w t x f W δδ?δδ∑?∑?

=====

4

1

41

])()[,(),(),(

其中：e e j e l

j

e

dx x t x f t Q )(),()(0

??

=

这样就可得到系统的单元微分方程为： {}{}{}e e e e e Q q K q

M =+][][ 这里：{}???

?

?

?

??

???

???????????=????dx x t x f dx x t x f dx x t x f dx x t x f Q e e l e e l e e l e e l

e

)(),()(),()(),()(),(40

302010????

2.5.2 总体系统动力学微分方程：

以上仅仅给出了单元系统的微分方程，通过个单元的对接条件，我们可以得到总体坐标下的动力学微分方程，为了得到总体坐标系中的动力学方程，先引入总体节点位移向量：{} ] [T 21n q q q q =对于两单元，有：)1(2+=N n 个位移分量，与单元节点位移向量，{} q q q q q T e e e e e ][4321=

设局部位移向量与总体位移向量的关系为： {}{}q s q i ei ][= , N i 2,1= 则系统的总动能为：

{}{}{}{}{}{}q M q q s M s q q M q E T i e T i T N i ei e T

ei N i ][2

1]][[][21][21===∑∑ 得: ei N

i

i ei T

i N

i M s M s M ~

]][[][∑∑

==

， 其中：]][[][~i ei T i ei s M s M =

同理：ei N

i

i ei T

i N i

K s K s K ~]][[][∑∑

==

， 其中：]][[][~

i ei T i ei s K s K =

激励列阵为{}{}ei N

i ei T

i N

i Q Q s Q ~][1

1

∑∑

====

其中：{}ei T i ei Q s Q ][~

=

这样可以得到总体坐标下的动力学方程

[]{}[]{}{}Q q K q

M =+ 如果结构有的零边界条件，可以得到降阶方程。

例2-9 试用有限元法建立如下简支梁的动力学方程

解，将该梁化为两个相同单元 共有三个节点6个自由度，总体位移向量为：

{} ] [T 654321q q q q q q q =，单元质量和刚度矩阵如前，

单元的与总体坐标之间的变换关系为：{}{}q s q e ][11=，{}{}q s q e ][22=

容易得到：

t

F ωsin 0l

l

A

B

C

1

①

②

2

3

2q 1

q 3q 4

q 5q 6

q l

l

?????????

???=0 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 11s ?????

???????=1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1

0 02s 易得：

????

???

?????????????= 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 4 0 0 22- 156

0 0 3- 13 4 0

0 13- 54 22 156420~2

221

l l l l l l l l M e ρ ??

?????

??

???????????=2

22212

4 22- 4 13- 0 0 22- 156 13 54 0 03- 13 4 22 0

0 13- 54 22 156 0

00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0420~

l l l l l l l l l l l l l M e ρ ????

???

??

??????

?????=0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 2 0 0 3- 6 0 0 3- 2 0 0 3 6- 3 62~

222231l l l l l l l l EI K e

??

?????

??

???????????=2

222302

2 0 03- 6 0 0 3- 2 0 0

3 6- 3 6 0

00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 02~

l l l l l l l l EI K e ，

广义力：

{}??

?????

???????=?????????

??

???????????-?-?-?-?=????0000)()(sin )()(sin )()(sin )()(sin 40003000200010001

dx x l x t F dx x l x t F dx x l x t F dx x l x t F Q e e l e e l e e l e e l e ?δω?δω?δω?δω

{}???????

???????=?????

????

??

???????????????=????00

0sin )()(sin )()(sin )()(sin )()(sin 0400

3002001002

t F dx x x t F dx x x t F dx x x t F dx x x t F Q e e l e e l e e l e e l e ω?δω?δω?δω?δω

{}??

???

?

??

??????????????=??????????????????????????????????===0000000000 0 0 0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 1 0 00 0 1 0 0 0 0 1][~

1

11e T e Q s Q

{}??

???

?

????????????????=????????????????????????

??????????===000sin 00000sin 1 0 0 0 0 1 0 00 0 1 0 0 0 0 10 0 0 00 0 0 0][~

002

22t F t

F Q s Q e T e ωω

根据以上，可以得到总体坐标下的质量矩阵、刚度矩阵以及激振力列阵

??

??

???

??

???????????==∑

2

2222222

4 22 3- 13- 0 022 156 13 54 0 03- 13 8 0 3- 13-13- 4

5 0 312 13 540 0 3- 13 4 220 0

13- 54 22 156420~

l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l M M ei i

ρ

[]??

?????

?????????????==∑

=2

22

2222312

1

2 3-

3 0 0 3- 6 3- 6- 0 0 3-

4 0 33 6- 0 12 3 - 6-0 0 3- 2 30 0 3 6- 3 62~

l l l l l l l l l l l l l l l l l l l EI K K e i {}?????

?????????????????==∑

=000sin 0002

1

t F Q Q ei i ω

由于总体坐标中的边界条件中有01=q ，05=q ，则划去1、5行和1、5列，最后得到缩减的动力方程

????

???

???????=????????????????????????????+????????????????????????????00sin 0 2 3 0 4 0 3 0 12 3 -0 3- 224 3- 13- 03- 8 0 3-13- 0 312 130 3- 13 44206432222222236432222202t F q q q q l l l l l l l l l l l EI q q q q l l l l l l l l l l l l ωρ

§2．5 SIMULINK 高级积分器的仿真模型建立

积分器是仿真过程中最常使用的重要模型之一，在前面使用积分器模型中，积分的初始值仅在初时条件一拦（Initial Condition ）设计即可，但是在复杂问题中往往需要在运行中不断改变积分初始值，这就需要应用高级积分器，高级积分器有多个端口。

1 定义外部初始条件（external ） 在积分器的 Initial condition sources 有两种选择（internal external ） ，如果选择internal ,则直接可以在 initial condition 参数中设置初始值，但有时候在动态仿真过程中需要改变初始条件，这样就出现了外部条件源的设定方法，同时积分器的形状发生改变。如右图所示。

2 限制积分器（饱和输出）

为了防止超出指定的范围，

可以选择

车辆系统动力学解析

汽车系统动力学的发展现状 仲鲁泉 2014020326 摘要：汽车系统动力学是研究所有与汽车系统运动有关的学科，它涉及的范围较广，除了影响车辆纵向运动及其子系统的动力学响应，还有汽车在垂直和横向两个方面的动力学内容。介绍车辆动力学建模的基础理论、轮胎力学及汽车空气动力学基础之外，重点介绍了受汽车发动机、传动系统、制动系统影响的驱动动力学和制动动力学，以及行驶动力学和操纵动力学内容。本文主要讲述的是通过对轮胎和悬架的系统动力学研究，来探究汽车系统动力学的发展现状。 关键词：轮胎；悬架；系统动力学;现状 0 前言 汽车系统动力学是讨论动态系统的数学模型和响应的学科。它是把汽车看做一个动态系统，对其进行研究，讨论数学模型和响应。是研究汽车的力与其汽车运动之间的相互关系，找出汽车的主要性能的内在联系，提出汽车设计参数选取的原则和依据。 车辆动力学是近代发展起来的一门新兴学科。有关车辆行驶振动分析的理论研究，最早可以追溯到100年前。事实上，知道20世纪20年代，人们对车辆行驶中的振动问题才开始有初步的了解；到20世纪30年代，英国的Lanchester、美国的Olley、法国的Broulhiet开始了车辆独立悬架的研究，并对转向运动学和悬架运动学对车辆性能的影响进行了分析。开始出现有关转向、稳定性、悬架方面的文章。同时，人们对轮胎侧向动力学的重要性也开始有所认识。在过去的70多年中，车辆动力学在理论和实际应用方面也都取得了很多成就。在新车型的设计开发中，汽车制造商不仅依靠功能强大的计算机软件，更重要的是具有丰富测试经验和高超主观评价技能的工程师队伍。 在随后的20年中，车辆动力学的进展甚微。进入20世纪50年代，可谓进入了一个车辆操纵动力学发展的“黄金时期”。这期间建立了较为完整的车辆操纵动力学线性域（即侧向加速度约小于0.3g）理论体系。随后有关行驶动力学的进一步发展，是在完善的测量和计算手段出现后才得以实现。人们对车辆动力学理解的进程中，理论和试验两方面因素均发挥了作用。随后的几十年，汽车制造商意识到行驶平顺性和操纵稳定性在汽车产品竞争中的重要作用，因而车辆动力学得以迅速发展。计算机及应用软件的开发，使建模的复杂程度不断提高。

系统动力学模型部分集

第10章系统动力学模型 系统动力学模型(System Dynamic)是社会、经济、规划、军事等许多领域进行战略研究的重要工具，如同物理实验室、化学实验室一样，也被称之为战略研究实验室，自从问世以来，可以说是硕果累累。 1 系统动力学概述 2 系统动力学的基础知识 3 系统动力学模型 第1节系统动力学概述 1.1 概念 系统动力学是一门分析研究复杂反馈系统动态行为的系统科学方法，它是系统科学的一个分支，也是一门沟通自然科学和社会科学领域的横向学科，实质上就是分析研究复杂反馈大系统的计算仿真方法。 系统动力学模型是指以系统动力学的理论与方法为指导，建立用以研究复杂地理系统动态行为的计算机仿真模型体系，其主要含义如下： 1 系统动力学模型的理论基础是系统动力学的理论和方法； 2 系统动力学模型的研究对象是复杂反馈大系统； 3 系统动力学模型的研究内容是社会经济系统发展的战略与决策问题，故称之为计算机仿真法的“战略与策略实验室”； 4 系统动力学模型的研究方法是计算机仿真实验法，但要有计算

机仿真语言DYNAMIC的支持，如：PD PLUS，VENSIM等的支持； 5 系统动力学模型的关键任务是建立系统动力学模型体系； 6 系统动力学模型的最终目的是社会经济系统中的战略与策略决策问题计算机仿真实验结果，即坐标图象和二维报表； 系统动力学模型建立的一般步骤是：明确问题，绘制因果关系图，绘制系统动力学模型流图，建立系统动力学模型，仿真实验，检验或修改模型或参数，战略分析与决策。 地理系统也是一个复杂的动态系统，因此，许多地理学者认为应用系统动力学进行地理研究将有极大潜力，并积极开展了区域发展，城市发展，环境规划等方面的推广应用工作，因此，各类地理系统动力学模型即应运而生。 1.2 发展概况 系统动力学是在20世纪50年代末由美国麻省理工学院史隆管理学院教授福雷斯特（JAY.W.FORRESTER）提出来的。目前，风靡全世界，成为社会科学重要实验手段，它已广泛应用于社会经济管理科技和生态灯各个领域。福雷斯特教授及其助手运用系统动力学方法对全球问题，城市发展，企业管理等领域进行了卓有成效的研究，接连发表了《工业动力学》，《城市动力学》，《世界动力学》，《增长的极限》等著作，引起了世界各国政府和科学家的普遍关注。 在我国关于系统动力学方面的研究始于1980年，后来，陆续做了大量的工作，主要表现如下： 1）人才培养

铁道车辆系统动力学作业及试地的题目详解

作业题 1、车辆动力学的具体内容是研究车辆及其主要零部件在各种运用情况下，特别是在高速运行时的位移、加速度和由此而产生的动作用力。 2、车辆系统动力学目的在于解决下列主要问题： ①确定车辆在线路上安全运行的条件； ②研究车辆悬挂装置和牵引缓冲装置的结构、参数和性能对振动及 动载荷传递的影响，并为这些装置提供设计依据，以保证车辆高速、安全和平稳地运行； ③确定动载荷的特征，为计算车辆动作用力提供依据。 3、铁路车辆在线路上运行时，构成一个极其复杂的具有多自由度的振动系统。 4、动力学性能归根结底都是车辆运行过程中的振动性能。 5、线路不平顺不是一个确定量，它因时因地而有不同值，它的变化规律是随机的，具有统计规律，因而称为随机不平顺。 （1）水平不平顺； （2）轨距不平顺； （3）高低不平顺； （4）方向不平顺。 6、车轮半径越大、踏面斜度越小，蛇行运动的波长越长，即蛇行运动越平缓。 7、自由振动的振幅，振幅大小取决于车辆振动的初始条件：初始位移和初始速度（振动频率）。

8、转向架设计中，往往把车辆悬挂的静挠度大小作为一项重要技术指标。 9、具有变摩擦减振器的车辆，当振动停止时车体的停止位置不是一个点，而是一个停滞区。 10、在无阻尼的情况下共振时振幅随着时间增加，共振时间越长，车辆的振幅也越来越大，一直到弹簧全压缩和产生刚性冲击。 11、出现共振时的车辆运行速度称为共振临界速度 12、在车辆设计时一定要尽可能避免激振频率与自振频率接近，避免出现共振。 13、弹簧簧条之间要留较大的间距以避免在振动过程中簧条接触而出现刚性冲击 14、两线完全重叠时，摩擦阻力功与激振力功在任何振幅条件下均相等。 15、在机车车辆动力学研究中，把车体、转向架构架（侧架）、轮对等基本部件近似地视为刚性体，只有在研究车辆各部件的结构弹性振动时，才把他们视为弹性体。 16、簧上质量：车辆支持在弹性元件上的零部件，车体（包括载重）及摇枕质量 17、簧下质量：车辆中与钢轨直接刚性接触的质量，如轮对、轴箱装置和侧架，客车转向架构架，一般是簧上质量。 18、一般车辆（结构对称）的垂向振动与横向振动之间是弱耦合，因此车辆的垂向和横向两类振动可以分别研究。 19、若车体质心处于纵垂对称面上，但不处于车体的横垂对称面上，则车体的浮沉振动将和车体的点头振动耦合起来。

第五章微分方程模型

第五章 微分方程模型 、 某人每天由饮食获取10467焦热量，其中5038焦用于新陈代谢，此外每公斤体重需支付69焦热量作为运动消耗，其余热量则转化为脂肪，已知以脂肪形式贮存的热量利用率为100%，每公斤脂肪含热量41868焦，问此人的体重如何随时间而变化 解： 设此人的体重为w ，则根据题意有，每天获取的热量，减去新陈代谢，减去运动消耗的热量，剩余的按利用率100% 转化为脂肪，即有下列等式成立： 1046750386941868 w dw dt --= 经化简有： 232313956139565429()41868t t w e t e c - =-?+ 假设此人现在的体重为0w ，则此人的体重随时间的变化如下： 2323139561395605429()41868t t w e t e w - =-?+ 、 生活在阿拉斯加海滨的鲑鱼服从Malthus 增长模型)(003.0)(t p dt t dp = 其中t 以分钟计。在0=t 时一群鲨鱼来到此水域定居，开始捕食鲑鱼。鲨鱼捕杀鲑鱼的速率是)(001.02t p ，其中)(t p 是t 时刻鲑鱼总数。此外，由于在它们周围出现意外情况，平均每分钟有条鲑鱼离开此水域。 （1）考虑到两种因素，试修正Malthus 模型。 （2）假设在0=t 是存在100万条鲑鱼，试求鲑鱼总数 )(t p ，并问∞→t 时会发生什么情况 解：

（1），由题可知， 在考虑两种因素后，修正后的Malthus 模型如下： 2()0.003()0.001()0.002dp t p t p t dt =-- （2），假设在0t = 时，存在100万条鲑鱼，即(0)1000000p = ，解下列初值问题 2()0.003()0.001()0.002(0)1000000 dp t p t p t dt p ?=--???=? 解得 0.0010.0012999998()11000001t t ae p t a ae --+==-其中 当t →∞ 时，2p →。 、 根据罗瑟福的放射性衰变定律，放射性物质衰变的速度与现存的放射性物质的原子数成正比，比例系数成为衰变系数，试建立放射性物质衰变的数学模型。若已知某放射性物质经时间21T 放射物质的原子下降至原来的一半（21T 称为该物质的半衰期）试决定其衰变系数。 解： 假设初始时刻该放射性物质的原子数位0N ，在时间t 时，该放射性物质的原子个数为N ，设衰变系数为k ，则有下列微分方程： 0,(0)dN kN N N dt =-= 解得 0()kt N t N e =

车辆系统动力学发展1

汽车系统动力学的发展和现状 摘要：近年来，随着汽车工业的飞速发展，人们对汽车的舒适性、可靠性以及安全性也提出越来越高的要求，这些要求的实现都与汽车系统动力学相关。汽车系统动力学是研究所有与汽车系统运动有关的学科，它涉及的范围较广，除了影响车辆纵向运动及其子系统的动力学响应，还有车辆在垂向和横向两个方面的动力学内容。本文通过对汽车系统动力学的的介绍，对这一新兴学科的发展和现状做一阐述。 关键字：汽车系统动力学动力学响应发展历史 Summary：In recent years, with the rapid development of automobile industry, people on the vehicle comfort, reliability and safety are also put forward higher requirements, to achieve these requirements are related to vehicle system dynamics.Vehicle system dynamics is the study of all related to the movement of the car system discipline, it involves the scope is broad, in addition to the effects of dynamic response of vehicle longitudinal motion and its subsystems, and vehicles to and dynamic content crosswise two aspects in the vertical.Based on the vehicle system dynamics is introduced, the development and status of this emerging discipline to do elaborate. Keywords：Dynamics of vehicle system dynamics Dynamic response Development history 0 引言 车辆动力学是近代发展起来的一门新兴学科。有关车辆行驶振动分析的理论研究，最早可以追溯到100年前。事实上，知道20世纪20年代，人们对车辆行驶中的振动问题才开始有初步的了解；到20世纪30年代，英国的Lanchester、美国的Olley、法国的Broulhiet开始了车辆独立悬架的研究，并对转向运动学和悬架运动学对车辆性能的影响进行了分析。开始出现有关转向、稳定性、悬架方面的文章。同时，人们对轮胎侧向动力学的重要性也开始有所认识。 在随后的20年中，车辆动力学的进展甚微。进入20世纪50年代，可谓进入了一个车辆操纵动力学发展的“黄金时期”。这期间建立了较为完整的车辆操纵动力学线性域（即侧向加速度约小于0.3g）理论体系。随后有关行驶动力学的进一步发展，是在完善的测量和计算手段出现后才得以实现。人们对车辆动力学理解的进程中，理论和试验两方面因素均发挥了作用。随后的几十年，汽车制造商意识到行驶平顺性和操纵稳定性在汽车产品竞争中的重要作用，因而车辆动力学得以迅速发展。计算机及应用软件的开发，使建模的复杂程度不断提高。在过去的70多年中，车辆动力学在理论和实际应用方面也都取得了很多成就。在新车型的设计开发中，汽车制造商不仅依靠功能强大的计算机软件，更重要的是具有丰富测试经验和高超主观评价技能的工程师队伍。 传统的车辆动力学研究都是针对被动元件的设计而言，而采用主动控制来改变车辆动态性能的理念，则为车辆动力学开辟了一个崭新的研究领域。在车辆系统动力学研究中，采用“人—车—路”大闭环的概念应该是未来的发展趋势。作为驾驶者，人既起着控

结构动力学第二讲

结构的动力特性

k c m ( )y t ( )F t ?承受动力荷载的结构体系的主要物理特性： ?质量m = 结构的惯性；?弹簧k = 结构的刚度；?阻尼器c = 结构的能量耗散. 质量、弹性特性、阻尼特性、外荷载 ?在最简单的单自由度体系模型中，所有特性都假定集结于一个简单的基本动力体系模型内，每一个特性分别由一个具有相应物理特性的元件表示： 数学模型

t y 表征结构动力响应特性的一些固有量称为结构的动力特性，又称自振特性。 定义 结构的动力响应 ?结构的动力特性与结构的质量、刚度、阻尼及其分布有关。

t y 定义 ?结构受外部干扰后发生振动，而在干扰消失后继续振动，这种振动称为结构的自由振动。 ?如果结构在振动过程中不断地受到外部干扰力作用，这种振动称为结构的强迫振动，又称受迫振动。 t y 结构的自由振动与受迫振动

固有频率 ?质点在运动过程中完成一个完整的循环所需要的时间称为周期，单位时间内完成的循环次数称为频率。 ?结构在自由振动时的频率称为结构的自振频率或固有频率。?对大部分工程结构，结构的自振频率的个数与结构的动力自由度数相等。 ?结构的自振频率与结构的质量和刚度有关。 t y T

阻尼 ?结构在振动过程中的能量耗散作用称为阻尼。 ?结构的自由振动会因为阻尼作用而随时间衰减并最终停止。?由于阻尼而使振动衰减的结构系统称为有阻尼系统。?阻尼原因复杂：内摩擦、连接摩擦、周围介质阻力等。y c F D ?等效粘滞阻尼：以阻尼器表示结构阻尼作用： c 为阻尼系数，为质量的速度。y t y T t y T

(完整版)系统动力学模型案例分析

系统动力学模型介绍 1.系统动力学的思想、方法 系统动力学对实际系统的构模和模拟是从系统的结构和功能两方面同时进行的。系统的结构是指系统所包含的各单元以及各单元之间的相互作用与相互关系。而系统的功能是指系统中各单元本身及各单元之间相互作用的秩序、结构和功能，分别表征了系统的组织和系统的行为，它们是相对独立的，又可以在—定条件下互相转化。所以在系统模拟时既要考虑到系统结构方面的要素又要考虑到系统功能方面的因素，才能比较准确地反映出实际系统的基本规律。系统动力学方法从构造系统最基本的微观结构入手构造系统模型。其中不仅要从功能方面考察模型的行为特性与实际系统中测量到的系统变量的各数据、图表的吻合程度，而且还要从结构方面考察模型中各单元相互联系和相互作用关系与实际系统结构的一致程度。模拟过程中所需的系统功能方面的信息，可以通过收集，分析系统的历史数据资料来获得，是属定量方面的信息，而所需的系统结构方面的信息则依赖于模型构造者对实际系统运动机制的认识和理解程度，其中也包含着大量的实际工作经验，是属定性方面的信息。因此，系统动力学对系统的结构和功能同时模拟的方法，实质上就是充分利用了实际系统定性和定量两方面的信息，并将它们有机地融合在一起，合理有效地构造出能较好地反映实际系统的模型。 2.建模原理与步骤

(1)建模原理 用系统动力学方法进行建模最根本的指导思想就是系统动力学的系统观和方法论。系统动力学认为系统具有整体性、相关性、等级性和相似性。系统内部的反馈结构和机制决定了系统的行为特性，任何复杂的大系统都可以由多个系统最基本的信息反馈回路按某种方式联结而成。系统动力学模型的系统目标就是针对实际应用情况，从变化和发展的角度去解决系统问题。系统动力学构模和模拟的一个最主要的特点，就是实现结构和功能的双模拟，因此系统分解与系统综合原则的正确贯彻必须贯穿于系统构模、模拟与测试的整个过程中。与其它模型一样，系统动力学模型也只是实际系统某些本质特征的简化和代表，而不是原原本本地翻译或复制。因此，在构造系统动力学模型的过程中，必须注意把握大局，抓主要矛盾，合理地定义系统变量和确定系统边界。系统动力学模型的一致性和有效性的检验，有一整套定性、定量的方法，如结构和参数的灵敏度分析，极端条件下的模拟试验和统计方法检验等等，但评价一个模型优劣程度的最终标准是客观实践，而实践的检验是长期的，不是一二次就可以完成的。因此，一个即使是精心构造出来的模型也必须在以后的应用中不断修改、不断完善，以适应实际系统新的变化和新的目标。 (2)建模步骤 系统动力学构模过程是一个认识问题和解决问题的过程，根据人们对客观事物认识的规律，这是一个波浪式前进、螺旋式上升的过程，因此它必须是一个由粗到细，由表及里，多次循环，不断深化的过程。系统动力学将整个构模过程归纳为系统分析、结构分析、模型建立、模型试验和模型使用五大步骤这五大步骤有一定的先后次序，但按照构模过程中的具体情况，它们又都是交叉、反复进行的。 第一步系统分析的主要任务是明确系统问题，广泛收集解决系统问题的有关数据、资料和信息，然后大致划定系统的边界。 第二步结构分析的注意力集中在系统的结构分解、确定系统变量和信息反馈机制。 第三步模型建立是系统结构的量化过程(建立模型方程进行量化)。 第四步模型试验是借助于计算机对模型进行模拟试验和调试，经过对模型各种性能指标的评估不断修改、完善模型。 第五步模型使用是在已经建立起来的模型上对系统问题进行定量的分析研究和做各种政策实验。 3.建模工具 系统动力学软件VENSIM PLE软件 4.建模方法 因果关系图法 在因果关系图中，各变量彼此之间的因果关系是用因果链来连接的。因果链是一个带箭头的实线(直线或弧线)，箭头方向表示因果关系的作用方向，箭头旁标有“+”或“-”号，分别表示两种极性的因果链。

车辆系统动力学-复习提纲

1. 简要给出完整约束与非完整约束的概念2-23,24,25, 1)、约束与约束方程 一般的力学系统在运动时都会受到某些几何或运动学特性的限制，这些构成限制条件的具体物体称为约束，用数学方程所表示的约束关系称为约束方程。 2）、完整约束与非完整约束 如果约束方程只是系统位形及时间的解析方程，则这种约束称为完整约束。 完整约束方程的一般形式为： 式中，qi为描述系统位形的广义坐标(i=1，2，…，n)；n为广义坐标个数；m为完整约束方程个数；t为时间。 如果约束方程是不可积分的微分方程，这种约束就称为非完整约束。 一阶非完整约束方程的一般形式为：

式中，qi为描述系统位形的广义坐（i = 1, 2, …,n）；为广义坐标对时间的一阶与数；n为广义坐标个数；m为系统中非完整约束方程个数；t为时间。 2. 解释滑动率的概念3-7,8 1.滑动率S 车轮滑动率表示车轮相对于纯滚动（或纯滑动）状态的偏离程度，是影响轮胎产生纵向力的一个重要因素。 为了使其总为正值，可将驱动和被驱动两种情况分开考虑。驱动工况时称为滑转率；被驱动（包括制动，常以下标b以示区别）时称为滑移率，二者统称为车轮的滑动率。

参照图3-2，若车轮的滚动半径为rd，轮心前进速度(等于车辆行驶速度)为uw，车轮角速度为ω，则车轮滑动率s定义如下： 车轮的滑动率数值在0~1之间变化。当车轮作纯滚动时，即uw=rd ω，此时s=0；当被驱动轮处于纯滑动状态时，s=1。 3. 轮胎模型中表达的输入量和输出量有哪些？3-22,23 轮胎模型描述了轮胎六分力与车轮运动参数之间的数学关系，即轮胎在特定工作条件下的输入和输出之间的关系，如图3-7所示。 根据车辆动力学研究内容的不同，轮胎模型可分为：

车辆系统动力学试题及答案

西南交通大学研究生2009－2010学年第( 2 )学期考试试卷 课程代码 M01206 课程名称 车辆系统动力学 考试时间 120 分钟 阅卷教师签字： 答题时注意：各题注明题号，写在答题纸上（包括填空题） 一． 填空题（每空2分，共40分） 1．Sperling 以 频率与幅值的函数 ，而ISO 以 频率与加速度的函数 评定车辆的平稳性指标。 2．在轮轨间_蠕滑力的_作用下,车辆运行到某一临界速度时会产生失稳的_自激振动_即蛇行运动。 3．车辆运行时，在转向架个别车轮严重减重情况下可能导致车辆 脱轨 ，而车辆一侧全部车轮严重 减重情况下可能导致车辆 倾覆 。 4．在车体的六个自由度中，横向运动是指车体的横移、 侧滚 和 摇头 。 5．在卡尔克线性蠕滑理论中，横向蠕滑力与 横向 蠕滑率和 自旋 蠕滑率呈相关。 6．设具有锥形踏面的轮对的轮重为W ，近似计算轮对重力刚度还需要轮对的 接触角λ 和 名义滚动圆距离之半b 两个参数。 7．转向架轮对与构架之间的 横向定位刚度 和 纵向定位刚度 两个参数对车辆蛇行运动稳定性影 响较大。 8． 纯滚线距圆曲线中心线的距离与车轮 的_曲率_成反比、与曲线的_曲率_成正比。 9．径向转向架克服了一般转向架 抗蛇行运动 和 曲线通过 对转向架参数要求的矛盾。 10．如果两辆同型车以某一相对速度冲击时其最大纵向力为F ，则一辆该型车以相同速度与装有相同缓冲器 的止冲墩冲击时的最大纵向力为_21/2F _，与不装缓冲器的止冲墩冲击时的最大纵向力为_2F_。 院 系 学 号 姓 名 密封装订线 密封装订线 密封装订线

共2页 第1页 5．什么是稳定的极限环？ 极限环附近的内部和外部都收敛于该极限环，则称该极限环为稳定的极限环。 6．轨道不平顺有几种？各自对车辆的哪些振动起主要作用？ 方向、轨距、高低（垂向）、水平不平顺。方向不平顺引起车辆的侧滚和左右摇摆。轨距不平顺对轮轨磨耗、车辆运行稳定性和安全性有一定影响。高低不平顺引起车辆的垂向振动。水平不平顺则引起车辆的横向滚摆耦合振动。 三．问答题 （每题15分，共30分） 1．已知：轮轨接触点处车轮滚动圆半径r ，踏面曲率半径R w ，轨面曲率半径R t ， 法向载荷N ，轮轨材料的弹性模量E 和泊松比o 。试写出Hertz 理论求解接触椭圆 长短半径a 、b 的步骤。P43-P44 根据车轮滚动圆半径、踏面在接触点处的曲率半径、钢轨在接触点处的曲率半径得到A+B 、B-A ，算得cos β，查表得到系数m 、n ，然后分别根据钢轨和车轮的弹性模量E 和泊松比σ，求得接触常数k ，得出轮轨法向力N ，然后带人公式求得a 、b 。 2． 在车辆曲线通过研究中，有方程式 ()W f r y f w O W μψλ212 1 2 222 * 11=??? ?????+???? ?? 二．简答题 （每题5分，共30分） 1．与传统机械动力学相比，轨道车辆动力学有何特点？ 2．轮轨接触几何关系的计算有哪两种方法，各有何优缺点？ 解析和数值方法。数值方法可以用计算机，算法简单，效率高，但存在一定误差；解析方法是利用轮轨接触几何关系建立解析几何的方式求解，比较准确，但是计算繁琐，方法难于理解。 3．在车辆系统中，“非线性”主要指哪几种关系？ 轮轨接触几何非线性、轮轨蠕滑关系非线性、车辆悬挂系统非线性 4．怎样根据特征方程的特征根以判定车辆蛇行运动稳定性？。 根据求出的特征根实部的正负判断车辆蛇行运动的稳定性，当所有的特征根实部均为负时，车辆系统蛇行运动稳定，存在特征根为零或者负时，车辆系统的蛇行运动不稳定。

铁道车辆平稳性分析

铁道车辆平稳性分析 1.车辆平稳性评价指标 1.1 sperling平稳性指标 欧洲铁路联盟以及前社会主义国家铁路合作组织均采用平稳性指数来评定车辆的运行品质。等人在大量单一频率振动的实验基础上提出影响车辆平稳性的两个重要因素。其中一个重要因素是位移对时间的三次导数,亦即（加速度变化率）。若上式两边均乘以车体质 量,并将之积改写为，则。由此可见,在一定意义上代表力F的变化率的增减变化引起冲动的感觉。 如果车体的简谐振动为,则，其幅值为： 影响平稳性指数的另一个因素是振动时的动能大小,车体振动时的最大动能为： 所以： sperling在确定平稳性指数时,把反映冲动的和反映振动动能的乘积作为衡量标准来评定车辆运行平稳性。 车辆运行平稳性指数的经验公式为： 式中——振幅（cm）； f——振动频率（Hz）； a——加速度,其值为：； ——与振动频率有关的加权系数。 对于垂向振动和横向振动是不同的，具体情况见错误!未找到引用源。。 表1振动频率与加权系数关系 对于垂向振动的加权系数对于横向振动的加权系 f的取值范围（Hz）公式f的取值范围（Hz）公式 0.5~5.9 0.5~5.5

5.9~20 5.4~2.6 大于20 1 大于26 1 以上的平稳性指数只适用一种频率一个振幅的单一振动,但实际上车辆在线路上运行时的振动是随机的,即振动频率和振幅都是随时间变化的。因此在整理车辆平稳性指数时,通常把实测的车辆振动加速度按频率分解,进行频谱分析,求出每段频率范围的振幅值,然后对每一频段计算各自的平稳性指数,然后再求出全部频率段总的平稳性指数： Sperling平稳性指标等级一般分为5级，sperling乘坐舒适度指标一般分为4级。但在两级之间可按要求进一步细化。根据W值来评定平稳性等级表见错误!未找到引用源。 表2车辆运行平稳性及舒适度指标与等级 W值运行品质W值乘坐舒适度（对振动的感觉） 1 很好 1 刚能感觉 2 好 2 明显感觉 3 满意 2.5 更明显但无不快 4 可以运行 3 强烈，不正常，但还能忍受3.25 很不正常 4.5 运行不合格 3.5 极不正常，可厌，烦恼，不能长时忍 受 5 危险 4 极可厌，长时忍受有害 我国也主要用平稳性指标来评定车辆运行性能，但对等级做了简化，见错误!未找到引用源。。 表3车辆运行平稳性指标与等级 平稳性等级评定 平稳性指标 客车机车货车 1 优<2.5 <2.75 <3.5 2 良好 2.5~2.75 2.75~3.10 3.5~4.0 3 合格 2.75~3.0 3.10~3.45 4.0~4.25 对sperling评价方法的分析： 1.该评价方法仅按照某一个方向的平稳性指标等级来判断车辆的性能是不全面的,需要同时考虑垂向与横向振动对人体的生理及心理的相互影响,因为有时根据垂向振动确定的平稳性指标等级与根据横向振动确定的平稳性指标等级存在较大的差异。 2.该评价方法不够灵敏。由于人体对不同振动频率的反应不同,当对应某一频率范围的平稳性指标值很大值大于,在该窄带中的振动已超出了人体能够承受的限度,但在其它频带中值都很小,由于该方向总的平稳性指标是不同振动频率的平稳性指标求和,因而可能该方向总的砰值并不大,从而认为该车辆的平稳性能符合要求是不正确的。

车辆系统动力学复习题精选.

车辆系统动力学复习题 1．何谓系统动力学？系统动力学研究的任务是什么？ 2．车辆系统动力学研究的内容和范围有哪些？ 3．车辆系统动力学涉及哪些理论基础？ 4．何谓多体系统动力学？多刚体系统动力学与多柔体系统动力学各有何特点？采用质量-弹簧-阻尼振动模型和多体系统模型研究车辆动力学问题各有何特点？ 5．简述车辆建模的目。 6．期望的车辆特性是什么？如何来评价？ 7．何谓轮胎侧偏角？何谓轮胎侧偏刚度？影响轮胎侧偏的因素有哪些？ 8．何谓轮胎模型？根据车辆动力学研究内容的不同，轮胎模型可分为哪几种？整车建模中对轮胎模型需考虑的因素有哪些？ 9．简述轮胎噪声产生的机理。 10．车辆空气动力学研究的主要内容有哪些？车辆的空气阻力有哪些？产生的原因是什么？试分析空气动力对车辆性能的影响。汽车空气动力学装置有那些？ 11．简述风洞试验的特点？ 12．车辆的制动性能主要由哪三个方面评价？试分析汽车制动跑偏的原因。 13．车辆动力传动系统由哪几部分组成？在激励作用下通常会产生何种振动？标出图示车辆简化扭振系统各部分名称？并说明其主要激振源？ 14．写出货车动力传动系统动力学方程，并写出刚度阵等。 15．路面输入模型有几种？各有何特点？写出各自的表达式？ 16．在整车虚拟仿真中常用的一些典型的特殊路面有哪些？各有何特点？

17．简述最新的舒适性评价标准。 18．车辆的平顺性是如何测量的？ 19．车辆典型的共振频率范围通常是多少？ 20．车辆行驶动力学模型是如何简化的？试写出1/4、1/2和整车系统垂直振动的微分方程式，并写成矩阵的形式。 21．车辆悬架系统的性能一般用哪3个基本参数进行定量评价？各对车辆行驶性能有何影响？ 22．被动悬架存在的问题是什么？半主动悬架和主动悬架的工作原理是什么？写出其系统运动方程。 23．操纵性能的总体目标和期望的车辆操纵特性是什么？ 24．基本操纵模型假设和存在最大问题是什么？ 25．车辆操纵特性分析一般进行哪三种分析？其内容是什么？ 26．何谓中性转向、不足转向和过多转向？各有何特点？ 27．利用拉格朗日方程推导平面3自由度和5自由度汽车振动模型的运动方程，并写成矩阵形式。假定车身是一个刚体，车辆在水平面做匀速直线运动，以2个车轮不同激励和激振力F=F0cos2ωt作为系统输入。

车辆系统动力学 作业

车辆系统动力学作业 课程名称：车辆系统动力学 学院名称：汽车学院 专业班级：2013级车辆工程（一）班 学生姓名：宋攀琨 学生学号：2013122030

作业题目: 一、垂直动力学部分 以车辆整车模型为基础，建立车辆1/4模型，并利用模型参数进行： 1）车身位移、加速度传递特性分析； 2）车轮动载荷传递特性分析； 3）悬架动挠度传递特性分析； 4）在典型路面车身加速度的功率谱密度函数计算； 5）在典型路面车轮动载荷的功率谱密度函数计算； 6）在典型路面车辆行驶平顺性分析； 7）在典型路面车辆行驶安全性分析； 8）在典型路面行驶速度对车辆行驶平顺性的影响计算分析； 9）在典型路面行驶速度对车辆行驶安全性的影响计算分析。 模型参数为： m 1 = 25 kg ；k 1 = 170000 N/m ；m 2 = 330 kg ；k 2 = 13000 (N/m)；d 2 =1000Ns/m 二、横向动力学部分 以车辆整车模型为基础，建立二自由度轿车模型，并利用二自由度模型分析计算： 1） 汽车的稳态转向特性； 2） 汽车的瞬态转向特性； 3）若驾驶员以最低速沿圆周行驶，转向盘转角0sw δ，随着车速的提高，转向盘转角位sw δ，试由 20sw sw u δδ-曲线和0 sw y sw a δ δ-曲线分析汽车的转向特性。 模型的有关参数如下： 总质量 1818.2m kg = 绕z O 轴转动惯量 23885z I kg m =? 轴距 3.048L m = 质心至前轴距离 1.463a m =

质心至后轴距离 1.585b m = 前轮总侧偏刚度 162618/k N rad =- 后轮总侧偏刚度 2110185/k N rad =- 转向系总传动比 20i =

第五章----微分方程模型

第五章 微分方程模型 5.1、 某人每天由饮食获取10467焦热量，其中5038焦用于新陈代谢，此外每公斤体重需支付69焦热量作为运动消耗，其余热量则转化为脂肪，已知以脂肪形式贮存的热量利用率为100%，每公斤脂肪含热量41868焦，问此人的体重如何随时间而变化？ 解： 设此人的体重为w ，则根据题意有，每天获取的热量，减去新陈代谢， 减去运动消耗的热量，剩余的按利用率100% 转化为脂肪，即有下列等式成立： 1046750386941868 w dw dt --= 经化简有： 232313956139565429()41868t t w e t e c -=-?+ 假设此人现在的体重为0w ，则此人的体重随时间的变化如下： 2323139561395605429()41868t t w e t e w - =-?+ 5.2、 生活在阿拉斯加海滨的鲑鱼服从Malthus 增长模型)(003.0)(t p dt t dp = 其中t 以分钟计。在0=t 时一群鲨鱼来到此水域定居，开始捕食鲑鱼。鲨鱼捕杀鲑鱼的速率是)(001.02t p ，其中)(t p 是t 时刻鲑鱼总数。此外，由于在它们周围出现意外情况，平均每分钟有0.002条鲑鱼离开此水域。 （1）考虑到两种因素，试修正Malthus 模型。 （2）假设在0=t 是存在100万条鲑鱼，试求鲑鱼总数 )(t p ，并问∞→t 时会发生什么情况？ 解： （1），由题可知， 在考虑两种因素后，修正后的Malthus 模型如下： 2()0.003()0.001()0.002dp t p t p t dt =-- （2），假设在0t = 时，存在100万条鲑鱼，即(0)1000000p = ，解下列初值问题

铁道车辆系统动力学及应用-西南交通大学出版社

成都西南交大出版社有限公司关于《铁道车辆系统动力学及应用》 图书印刷项目 招标书 2018年1月25日

目录 第一部分招标公告 第二部分投标方须知 第三部分商务资料 第四部分投标相关文件格式

第一部分招标公告 根据《中华人民共和国投标招标法》有关规定，经成都西南交大出版社有限公司总经理办公会决定，现对外公开招标《铁道车辆系统动力学及应用》图书的印刷企业，兹邀请合格投标企业参加竞标。 一、招标内容： 1．招标内容为《铁道车辆系统动力学及应用》图书的印制。 2．投标人按招标人给定的样式清单，根据自身业务经营情况，以综合印张价方式报价，作为投标文件内容之一。报价单上只允许有一种报价，任何有选择报价将不予接受。投标人必须对样式清单上全部事项进行报价，只投其中部分事项投标文件无效。本投标文件中的报价采用人民币表示。 二、投标人资格要求： 1、在中华人民共和国境内注册，具有独立法人资格的印刷企业； 2、必须取得《印刷经营许可证》，且在投标时年审合格。 三、投标截止和开标时间、地点： 1.投标截止时间：2018年1月25日下午17:00（北京时间），逾期不予受理。 投标文件递交地点：成都市二环路北一段111号西南交通大学创新大厦21楼2105室 2.开标时间和地点： 2018年1月25日下午17:00 开标地点：成都市二环路北一段111号西南交通大学创新大厦21楼西南交通大学出版社 四、招标机构联系人信息： 联系人：王蕾 地址：成都市二环路北一段111号西南交通大学创新大厦21楼西南交通大学出版社 邮政编码：610031

电话：8700627 第二部分投标方须知 一、项目说明 1、“招标方”系指本次项目的招标人“成都西南交大出版社有限公司”。 2、“投标方”系指符合招标公告中投标人资格要求的投标单位： 3、“投标报价”应包含该书印刷材料成本、印刷、装订、送货下货、税金等所有费用。 4、无论投标过程中的做法和结果如何，投标方自行承担所有参加投标有关的全部费用。 二、投标文件的编写 1、投标要求 1）投标方应仔细阅读招标文件的所有内容，按招标文件的要求提供投标文件，并保证所提供的全部资料的真实性，不真实的投标文件将视为废标。 2）投标文件应备正本一份、副本一份。在每一份投标文件上要注明“正本”或“副本”字样，一旦正本和副本有差异，以正本为准。若投标文件正本和副本存在较大差异，将在评标中酌情扣分。 3）投标文件应有投标人法定代表人亲自签署并加盖法人单位公章和法定代表人印鉴或授权代表签字，装入档案袋密封，封条上须加盖投标单位印章，在投标截止时间前由法定代表人或法人委托人持本人有效身份证件递交招标单位。 4）投标人必须保证投标文件所提供的全部资料真实可靠，并接受招标人对其中任何资料进一步审查的要求。 5）投标文件所有封袋上都应写明以下内容：

系统动力学模型

1.1 海洋资源可持续开发研究综述 海洋可持续发展包括三层含义，即海洋经济的持续性、海洋生态的持续性和社会的持续性，海洋的可持续发展以保证海洋经济发展和资源永续利用为目的，实现海洋经济发展与经济环境相协调，经济、社会、生态效益相统。运用海洋可持续发展理论和海域承载力理论研究海洋资源开发的可持续性，从我国的海洋产业入手，分析我国海洋资源开发利用的状况，从海洋产业结构和产业布局、海洋管理和海洋开发技术等方面总结我国海洋开发的问题，并针对这些问题，提出切实可行的实现海洋可持续发展的途径和措施。国外学者对海洋资源的发展和研究进行研究，建立相应的模型，认为技术在海洋资源发展过程中起到极其重要的作用。国内学者则以具体省份为例研究海洋资源可持续发展，对辽宁省所拥有的海洋资源进行概述后，分析了辽宁海洋资源开发与海洋生态环境保护之间的关系，提出开展海域资源价值折损评估，采用政策调控和市场机制保护海洋生态环境。利用我国重要海洋产业数据，分析我国海洋资源开发利用的状况，并从海洋产业结构和布局及管理等角度总结海洋资源开发存在的问题，提出实现海洋资源可持续发展的途径。学者从海洋资源与环境保护角度分析，研究开发海洋的过程中，存在着海洋环境污染、海洋渔业资源衰退等问题。 1.2 系统动力学模型研究综述 到20 世纪70 年代初系统动力学被用来解决很多领域的问题，成为比较成熟的学科，系统动力学到20 世纪70 年代初所取得的成就使人们相信它是研究和处理诸如人口、自然资源、生态环境、经济和社会等相互连带的复杂系统问题的有效工具。基于市场均衡论和信用风险理论，完善运用于分析代际消费计划的系统动力学机制模型，并提出可替换选择。国内学者将系统动力学运用于研究资源与

车辆系统动力学报告

垂直动力学部分 题目：以车辆整车模型为基础，建立车辆1/4模型，并利用模型参数进行： 1）车身位移、加速度传递特性分析； 2）车轮动载荷传递特性分析； 3）悬架动挠度传递特性分析； 4）在典型路面车身加速度的功率谱密度函数计算； 5）在典型路面车轮动载荷的功率谱密度函数计算； 6）在典型路面车辆行驶平顺性分析； 7）在典型路面车辆行驶安全性分析； 8）在典型路面行驶速度对车辆行驶平顺性的影响计算分析； 9）在典型路面行驶速度对车辆行驶安全性的影响计算分析。 模型参数为：m 1= 25 kg；k 1 = 170000 N/m；m 2 = 330 kg；k 2 = 13000 (N/m)；c =1000Ns/m 本文拟定应用Matlab/Simulink软件进行分析计算。 1.建模及运动方程 依据课程题目的要求，以Matlab/simulink为仿真平台，建立具有两自由度的1/4车辆模型，如图1所示。 图1双自由度的车辆1/4简化模型 上图中汽车的悬挂（车身）质量m 2 = 330 kg；非悬挂（车轮） 质量m 1= 25 kg；弹簧刚度k 2 = 13000 N/m；轮胎刚度k 2 = 13000 (N/m)； 减震器阻尼系数C=1000Ns/m。

车轮与车身垂直位移坐标分别为1z 、2z ，坐标原点选在各自平衡位置，其运动学方程为： 0)()(z 1221222=-+-+z z K z z c m 0)()()(z 112122111=-+-+-+q z K z z K z z c m 根据运动学方程，通过Matlab/Simulink 建立模型，如图2所示: 图2 Matlab/Simulink 仿真图 2. 模型分析 2.1 车身位移、加速度传递特性分析 2.1.1车轮位移 车轮位移1Z 对q 的频率响应函数为： []2 112 2121232142122211)()() (q z K K w jCK w K m K K m w m m jC w m m K jCw w m K ++++-+-++-= 22100000017000000607150035500825221000000170000005610000q z 23421++--++-=jw w jw w jw w 系统传递函数为：

第5章 微分方程模型

第5章 微分方程模型 一、讨论题 1. 某人每天由饮食获取10467焦热量，其中5038焦用于新陈代谢，此外每公斤体重需支付69焦热量作为运动消耗，其余热量则转化为脂肪，已知以脂肪形式贮存的热量利用率为100%，每公斤脂肪含热量41868焦，问此人的体重如何随时间而变化？ 2. 根据罗瑟福的放射性衰变定律，放射性物质衰变的速度与现存的放射性物质的原子数成正比，比例系数成为衰变系数，试建立放射性物质衰变的数学模型。若已知某放射性物质经时间21T 放射物质的原子下降至原来的一半（21T 称为该物质的半衰期）试决定其衰变系数。 3. 建立耐用消费品市场销售量的模型。如果已知了过去若干时期销售量的情况，如何确定模型的参数。 4. 两棵不同类别的植物种在一起，按比例吸取养料，试建立它们的生长模型。 二、思考题 1、具有什么样特征的数学建模问题需要用微分方程方法建立模型？ 2、用微分方程方法建立数学模型的基本步骤是什么？应注意哪些问题？ 3、某种细菌的增长率不知道，但假设它是常数，试验开始时估计大约有11500个细菌，一时后有2000个，问四时后大约有多少细菌？ 三、习题 1. 生活在阿拉斯加海滨的鲑鱼服从Malthus 增长模型 )(003.0) (t p dt t dp = 其中t 以分钟计。在0=t 时一群鲨鱼来到此水域定居，开始捕食鲑鱼。鲨鱼捕杀鲑鱼的速 率是)(001.02 t p ，其中)(t p 是t 时刻鲑鱼总数。此外，由于在它们周围出现意外情况，平 均每分钟有0.002条鲑鱼离开此水域。 （1）考虑到两种因素，试修正Malthus 模型。 （2）假设在0=t 是存在100万条鲑鱼，试求鲑鱼总数 )(t p ，并问∞→t 时会发生什么情况？ 2. 用具有放射性的14 C 测量古生物年代的原理是：宇宙线轰击大气层产生中子，中子 与氮结合产生14C 。植物吸收二氧化碳时吸收了14C ，动物食用植物从植物中得到14 C 。在 活组织中14C 的吸收速率恰好与14 C 的衰变速率平衡。但一旦动植物死亡，它就停止吸收14C ，于是14C 的浓度随衰变而降低。由于宇宙线轰击大气层的速度可视为常数，既动物刚 死亡时14 C 的衰变速率与现在取的活组织样本（刚死亡）的衰变速率是相同的。若测得古生 物标本现在14C 的衰变速率，由于14 C 的衰变系数已知，即可决定古生物的死亡时间。试建 立用14C 测古生物年代的模型（14 C 的半衰期为5568年）。 3. 试用上题建立的数学模型，确定下述古迹的年代： （1）1950年从法国Lascaux 古洞中取出的碳测得放射性计数率为0.97计数（min ?g ），而活树木样本测得的计数为6.68计数（min ?g ），试确定该洞中绘画的年代； （2）1950年从某古巴比伦城市的屋梁中取得碳标本测得计数率为4.09计数（min ?g ），活数标本为6.68计数（min ?g ），试估计该建筑的年代。 4. 一容器用一薄膜分成容积为A V 和B V 的两部分，分别装入同一物质不同浓度的溶液。