抛物线常用性质总结

结论一：若AB 是抛物线2

2(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：

2

124

p x x =，212y y p =-。

结论二：已知直线AB 是过抛物线2

2(0)y px p =>焦点F ，求证：112=AF BF p

+

。

结论三：（1）若AB 是抛物线2

2(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则

22sin P AB α

=

（α≠0）。（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。

结论四：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。

（2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。

证明结论二：

例：已知直线AB 是过抛物线2

2(0)y px p =>焦点F ，求证：11AF BF

+为定值。

证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线的定义知：12p AF x =+

，22

p

BF x =+，又AF +BF =AB ，所以1x +2x =AB -p ，且由结论一知：2

124

p x x =。 则：212

121211()()()2224AF BF AB AB p p AF BF AF BF x x x x x x ++===?+++++ =22

2()424

AB p p p p AB p =+-+（常数

证明：结论四：

已知AB 是抛物线2

2(0)y px p =>的过焦点F 的弦，求证：（1）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。

(2)分别过A 、B 做准线的垂线，垂足为M 、N ，求证：以MN

切。

证明：(1)设AB 的中点为Q,过A 、Q 、B 向准线l 作垂线， 垂足分别为M 、P 、N

，连结AP 、BP 。

由抛物线定义：AM AF =，BN BF =， ∴111

()()222

QP AM BN AF BF AB =

+=+=， ∴以AB 为直径为圆与准线l 相切

（2）作图如（1），取MN 中点P ，连结PF 、MF 、NF ，

∵AM AF =，AM ∥OF ，∴∠AMF=∠AFM ，∠AMF=∠MFO ∴∠AFM=∠MFO 。同理，∠BFN=∠NFO ，

∴∠MFN=

1

2

（∠AFM+∠MFO+∠BFN+∠NFO ）=90°， ∴1

2

MP NP FP MN ===，

∴∠PFM=∠FMP

∴∠AFP=∠AFM+∠PFM=∠FMA+∠FMP=∠PMA=90°，∴FP ⊥AB