概率统计分布表(常用)

标准正态表

2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857 2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890 2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916 2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936 2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964 2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981

2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986

3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990 3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993 3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995 3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997 3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998 3.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 3.6 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.7 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.8 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.9 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

24 9.8862 10.8564 12.4012 13.8484 15.6587 19.0373 28.2412 33.1962 36.4150 39.3641 42.9798 45.5585

25 10.5197 11.5240 13.1197 14.6114 16.4734 19.9393 29.3389 34.3816 37.6525 40.6465 44.3141 46.9279

26 11.1602 12.1981 13.8439 15.3792 17.2919 20.8434 30.4346 35.5632 38.8851 41.9232 45.6417 48.2899

27 11.8076 12.8785 14.5734 16.1514 18.1139 21.7494 31.5284 36.7412 40.1133 43.1945 46.9629 49.6449

28 12.4613 13.5647 15.3079 16.9279 18.9392 22.6572 32.6205 37.9159 41.3371 44.4608 48.2782 50.9934

29 13.1211 14.2565 16.0471 17.7084 19.7677 23.5666 33.7109 39.0875 42.5570 45.7223 49.5879 52.3356

30 13.7867 14.9535 16.7908 18.4927 20.5992 24.4776 34.7997 40.2560 43.7730 46.9792 50.8922 53.6720

31 14.4578 15.6555 17.5387 19.2806 21.4336 25.3901 35.8871 41.4217 44.9853 48.2319 52.1914 55.0027

32 15.1340 16.3622 18.2908 20.0719 22.2706 26.3041 36.9730 42.5847 46.1943 49.4804 53.4858 56.3281

33 15.8153 17.0735 19.0467 20.8665 23.1102 27.2194 38.0575 43.7452 47.3999 50.7251 54.7755 57.6484

34 16.5013 17.7891 19.8063 21.6643 23.9523 28.1361 39.1408 44.9032 48.6024 51.9660 56.0609 58.9639

35 17.1918 18.5089 20.5694 22.4650 24.7967 29.0540 40.2228 46.0588 49.8018 53.2033 57.3421 60.2748

36 17.8867 19.2327 21.3359 23.2686 25.6433 29.9730 41.3036 47.2122 50.9985 54.4373 58.6192 61.5812

37 18.5858 19.9602 22.1056 24.0749 26.4921 30.8933 42.3833 48.3634 52.1923 55.6680 59.8925 62.8833

38 19.2889 20.6914 22.8785 24.8839 27.3430 31.8146 43.4619 49.5126 53.3835 56.8955 61.1621 64.1814

39 19.9959 21.4262 23.6543 25.6954 28.1958 32.7369 44.5395 50.6598 54.5722 58.1201 62.4281 65.4756

40 20.7065 22.1643 24.4330 26.5093 29.0505 33.6603 45.6160 51.8051 55.7585 59.3417 63.6907 66.7660

41 21.4208 22.9056 25.2145 27.3256 29.9071 34.5846 46.6916 52.9485 56.9424 60.5606 64.9501 68.0527

42 22.1385 23.6501 25.9987 28.1440 30.7654 35.5099 47.7663 54.0902 58.1240 61.7768 66.2062 69.3360

43 22.8595 24.3976 26.7854 28.9647 31.6255 36.4361 48.8400 55.2302 59.3035 62.9904 67.4593 70.6159

44 23.5837 25.1480 27.5746 29.7875 32.4871 37.3631 49.9129 56.3685 60.4809 64.2015 68.7095 71.8926

45 24.3110 25.9013 28.3662 30.6123 33.3504 38.2910 50.9849 57.5053 61.6562 65.4102 69.9568 73.1661

T分布

n\p 0.750 0.800 0.850 0.900 0.950 0.975 0.990 0.995 0.9975 0.9990 0.9995

19 0.6876 0.8610 1.0655 1.3277 1.7291 2.0930 2.5395 2.8609 3.1737 3.5794 3.8834

20 0.6870 0.8600 1.0640 1.3253 1.7247 2.0860 2.5280 2.8453 3.1534 3.5518 3.8495

21 0.6864 0.8591 1.0627 1.3232 1.7207 2.0796 2.5176 2.8314 3.1352 3.5272 3.8193

22 0.6858 0.8583 1.0614 1.3212 1.7171 2.0739 2.5083 2.8188 3.1188 3.5050 3.7921

23 0.6853 0.8575 1.0603 1.3195 1.7139 2.0687 2.4999 2.8073 3.1040 3.4850 3.7676

24 0.6848 0.8569 1.0593 1.3178 1.7109 2.0639 2.4922 2.7969 3.0905 3.4668 3.7454

25 0.6844 0.8562 1.0584 1.3163 1.7081 2.0595 2.4851 2.7874 3.0782 3.4502 3.7251

26 0.6840 0.8557 1.0575 1.3150 1.7056 2.0555 2.4786 2.7787 3.0669 3.4350 3.7066

27 0.6837 0.8551 1.0567 1.3137 1.7033 2.0518 2.4727 2.7707 3.0565 3.4210 3.6896

28 0.6834 0.8546 1.0560 1.3125 1.7011 2.0484 2.4671 2.7633 3.0469 3.4082 3.6739

29 0.6830 0.8542 1.0553 1.3114 1.6991 2.0452 2.4620 2.7564 3.0380 3.3962 3.6594

30 0.6828 0.8538 1.0547 1.3104 1.6973 2.0423 2.4573 2.7500 3.0298 3.3852 3.6460

31 0.6825 0.8534 1.0541 1.3095 1.6955 2.0395 2.4528 2.7440 3.0221 3.3749 3.6335

32 0.6822 0.8530 1.0535 1.3086 1.6939 2.0369 2.4487 2.7385 3.0149 3.3653 3.6218

33 0.6820 0.8526 1.0530 1.3077 1.6924 2.0345 2.4448 2.7333 3.0082 3.3563 3.6109

34 0.6818 0.8523 1.0525 1.3070 1.6909 2.0322 2.4411 2.7284 3.0020 3.3479 3.6007

35 0.6816 0.8520 1.0520 1.3062 1.6896 2.0301 2.4377 2.7238 2.9960 3.3400 3.5911

36 0.6814 0.8517 1.0516 1.3055 1.6883 2.0281 2.4345 2.7195 2.9905 3.3326 3.5821

37 0.6812 0.8514 1.0512 1.3049 1.6871 2.0262 2.4314 2.7154 2.9852 3.3256 3.5737

38 0.6810 0.8512 1.0508 1.3042 1.6860 2.0244 2.4286 2.7116 2.9803 3.3190 3.5657

39 0.6808 0.8509 1.0504 1.3036 1.6849 2.0227 2.4258 2.7079 2.9756 3.3128 3.5581

40 0.6807 0.8507 1.0500 1.3031 1.6839 2.0211 2.4233 2.7045 2.9712 3.3069 3.5510

41 0.6805 0.8505 1.0497 1.3025 1.6829 2.0195 2.4208 2.7012 2.9670 3.3013 3.5442

42 0.6804 0.8503 1.0494 1.3020 1.6820 2.0181 2.4185 2.6981 2.9630 3.2960 3.5377

43 0.6802 0.8501 1.0491 1.3016 1.6811 2.0167 2.4163 2.6951 2.9592 3.2909 3.5316

44 0.6801 0.8499 1.0488 1.3011 1.6802 2.0154 2.4141 2.6923 2.9555 3.2861 3.5258

45 0.6800 0.8497 1.0485 1.3006 1.6794 2.0141 2.4121 2.6896 2.9521 3.2815 3.5203

46 0.6799 0.8495 1.0483 1.3002 1.6787 2.0129 2.4102 2.6870 2.9488 3.2771 3.5150

47 0.6797 0.8493 1.0480 1.2998 1.6779 2.0117 2.4083 2.6846 2.9456 3.2729 3.5099

48 0.6796 0.8492 1.0478 1.2994 1.6772 2.0106 2.4066 2.6822 2.9426 3.2689 3.5051

49 0.6795 0.8490 1.0475 1.2991 1.6766 2.0096 2.4049 2.6800 2.9397 3.2651 3.5004

50 0.6794 0.8489 1.0473 1.2987 1.6759 2.0086 2.4033 2.6778 2.9370 3.2614 3.4960

51 0.6793 0.8487 1.0471 1.2984 1.6753 2.0076 2.4017 2.6757 2.9343 3.2579 3.4918

53 0.6791 0.8485 1.0467 1.2977 1.6741 2.0057 2.3988 2.6718 2.9293 3.2513 3.4838

54 0.6791 0.8483 1.0465 1.2974 1.6736 2.0049 2.3974 2.6700 2.9270 3.2481 3.4800

55 0.6790 0.8482 1.0463 1.2971 1.6730 2.0040 2.3961 2.6682 2.9247 3.2451 3.4764

56 0.6789 0.8481 1.0461 1.2969 1.6725 2.0032 2.3948 2.6665 2.9225 3.2423 3.4729

57 0.6788 0.8480 1.0459 1.2966 1.6720 2.0025 2.3936 2.6649 2.9204 3.2395 3.4696

58 0.6787 0.8479 1.0458 1.2963 1.6716 2.0017 2.3924 2.6633 2.9184 3.2368 3.4663

59 0.6787 0.8478 1.0456 1.2961 1.6711 2.0010 2.3912 2.6618 2.9164 3.2342 3.4632

60 0.6786 0.8477 1.0455 1.2958 1.6706 2.0003 2.3901 2.6603 2.9146 3.2317 3.4602

61 0.6785 0.8476 1.0453 1.2956 1.6702 1.9996 2.3890 2.6589 2.9127 3.2293 3.4573

62 0.6785 0.8475 1.0452 1.2954 1.6698 1.9990 2.3880 2.6575 2.9110 3.2270 3.4545

63 0.6784 0.8474 1.0450 1.2951 1.6694 1.9983 2.3870 2.6561 2.9093 3.2247 3.4518

64 0.6783 0.8473 1.0449 1.2949 1.6690 1.9977 2.3860 2.6549 2.9076 3.2225 3.4491

65 0.6783 0.8472 1.0448 1.2947 1.6686 1.9971 2.3851 2.6536 2.9060 3.2204 3.4466

66 0.6782 0.8471 1.0446 1.2945 1.6683 1.9966 2.3842 2.6524 2.9045 3.2184 3.4441

67 0.6782 0.8470 1.0445 1.2943 1.6679 1.9960 2.3833 2.6512 2.9030 3.2164 3.4417

68 0.6781 0.8469 1.0444 1.2941 1.6676 1.9955 2.3824 2.6501 2.9015 3.2145 3.4394

69 0.6781 0.8469 1.0443 1.2939 1.6672 1.9949 2.3816 2.6490 2.9001 3.2126 3.4372

70 0.6780 0.8468 1.0442 1.2938 1.6669 1.9944 2.3808 2.6479 2.8987 3.2108 3.4350

71 0.6780 0.8467 1.0441 1.2936 1.6666 1.9939 2.3800 2.6469 2.8974 3.2090 3.4329

72 0.6779 0.8466 1.0440 1.2934 1.6663 1.9935 2.3793 2.6459 2.8961 3.2073 3.4308

73 0.6779 0.8466 1.0438 1.2933 1.6660 1.9930 2.3785 2.6449 2.8949 3.2057 3.4289

74 0.6778 0.8465 1.0437 1.2931 1.6657 1.9925 2.3778 2.6439 2.8936 3.2041 3.4269

75 0.6778 0.8464 1.0436 1.2929 1.6654 1.9921 2.3771 2.6430 2.8924 3.2025 3.4250

76 0.6777 0.8464 1.0436 1.2928 1.6652 1.9917 2.3764 2.6421 2.8913 3.2010 3.4232

77 0.6777 0.8463 1.0435 1.2926 1.6649 1.9913 2.3758 2.6412 2.8902 3.1995 3.4214

78 0.6776 0.8463 1.0434 1.2925 1.6646 1.9908 2.3751 2.6403 2.8891 3.1980 3.4197

79 0.6776 0.8462 1.0433 1.2924 1.6644 1.9905 2.3745 2.6395 2.8880 3.1966 3.4180

80 0.6776 0.8461 1.0432 1.2922 1.6641 1.9901 2.3739 2.6387 2.8870 3.1953 3.4163

81 0.6775 0.8461 1.0431 1.2921 1.6639 1.9897 2.3733 2.6379 2.8860 3.1939 3.4147

82 0.6775 0.8460 1.0430 1.2920 1.6636 1.9893 2.3727 2.6371 2.8850 3.1926 3.4132

83 0.6775 0.8460 1.0429 1.2918 1.6634 1.9890 2.3721 2.6364 2.8840 3.1913 3.4116

84 0.6774 0.8459 1.0429 1.2917 1.6632 1.9886 2.3716 2.6356 2.8831 3.1901 3.4102

85 0.6774 0.8459 1.0428 1.2916 1.6630 1.9883 2.3710 2.6349 2.8822 3.1889 3.4087

87 0.6773 0.8458 1.0426 1.2914 1.6626 1.9876 2.3700 2.6335 2.8804 3.1866 3.4059

88 0.6773 0.8457 1.0426 1.2912 1.6624 1.9873 2.3695 2.6329 2.8795 3.1854 3.4045

89 0.6773 0.8457 1.0425 1.2911 1.6622 1.9870 2.3690 2.6322 2.8787 3.1843 3.4032

90 0.6772 0.8456 1.0424 1.2910 1.6620 1.9867 2.3685 2.6316 2.8779 3.1833 3.4019 100 0.6770 0.8452 1.0418 1.2901 1.6602 1.9840 2.3642 2.6259 2.8707 3.1737 3.3905 120 0.6765 0.8446 1.0409 1.2886 1.6577 1.9799 2.3578 2.6174 2.8599 3.1595 3.3735

F分布

19 2.99 2.61 2.40 2.27 2.18 2.06 2.02 1.98 1.86 1.81 1.76

20 2.97 2.59 2.38 2.25 2.16 2.04 2.00 1.96 1.84 1.79 1.74

21 2.96 2.57 2.36 2.23 2.14 2.02 1.98 1.95 1.83 1.78 1.72

22 2.95 2.56 2.35 2.22 2.13 2.01 1.97 1.93 1.81 1.76 1.70 24 2.93 2.54 2.33 2.19 2.10 1.98 1.94 1.91 1.78 1.73 1.67 26 2.91 2.52 2.31 2.17 2.08 1.96 1.92 1.88 1.76 1.71 1.65 28 2.89 2.50 2.29 2.16 2.06 1.94 1.90 1.87 1.74 1.69 1.63 30 2.88 2.49 2.28 2.14 2.05 1.93 1.88 1.85 1.72 1.67 1.61

P= 0.99

12 9.33 6.93 5.95 5.41 5.06 4.64 4.50 4.39 4.16 4.05 3.97 3.91 3.86

13 9.07 6.70 5.74 5.21 4.86 4.44 4.30 4.19 3.96 3.86 3.78 3.72 3.66

14 8.86 6.51 5.56 5.04 4.69 4.28 4.14 4.03 3.80 3.70 3.62 3.56 3.51

15 8.68 6.36 5.42 4.89 4.56 4.14 4.00 3.89 3.67 3.56 3.49 3.42 3.37

16 8.53 6.23 5.29 4.77 4.44 4.03 3.89 3.78 3.55 3.45 3.37 3.31 3.26

17 8.40 6.11 5.18 4.67 4.34 3.93 3.79 3.68 3.46 3.35 3.27 3.21 3.16

18 8.29 6.01 5.09 4.58 4.25 3.84 3.71 3.60 3.37 3.27 3.19 3.13 3.08

19 8.18 5.93 5.01 4.50 4.17 3.77 3.63 3.52 3.30 3.19 3.12 3.05 3.00

20 8.10 5.85 4.94 4.43 4.10 3.70 3.56 3.46 3.23 3.13 3.05 2.99 2.94

21 8.02 5.78 4.87 4.37 4.04 3.64 3.51 3.40 3.17 3.07 2.99 2.93 2.88

22 7.95 5.72 4.82 4.31 3.99 3.59 3.45 3.35 3.12 3.02 2.94 2.88 2.83

23 7.88 5.66 4.76 4.26 3.94 3.54 3.41 3.30 3.07 2.97 2.89 2.83 2.78

24 7.82 5.61 4.72 4.22 3.90 3.50 3.36 3.26 3.03 2.93 2.85 2.79 2.74

25 7.77 5.57 4.68 4.18 3.85 3.46 3.32 3.22 2.99 2.89 2.81 2.75 2.70

26 7.72 5.53 4.64 4.14 3.82 3.42 3.29 3.18 2.96 2.86 2.78 2.72 2.66

29 7.60 5.42 4.54 4.04 3.73 3.33 3.20 3.09 2.87 2.77 2.69 2.63 2.57

30 7.56 5.39 4.51 4.02 3.70 3.30 3.17 3.07 2.84 2.74 2.66 2.60 2.55

Excel公式1.正态分布函数

Excel计算正态分布时，使用NORMDIST函数，其格式如下：

NORMDIST（a，μ，σ，累积）

其中，“累积”：若为TRUE，则输出分布函数值，即P{X≤a}；

若为FALSE，则为概率密度函数值．

示例：已知X服从正态分布，μ＝600，σ＝100，求P{X≤500}．

输入公式

NORMDIST(500, 600, 100, TRUE)

得到的结果为0.158655，即P{X≤500}=0.158655．

2、正态分布函数的反函数

Excel计算正态分布函数的反函数使用NORMINV函数，

格式如下：NORMINV（p，μ ，σ ），此公式计算a，使P{X ≤a}=p

3标准正态分布反函数=NORMSINV(0.975)

3、t分布

Excel计算t分布的值,采用TDIST函数，

格式如下：TDIST（a，自由度，侧数）

其中，“侧数”：指明分布为单侧或双侧：

若为1，为单侧；此命令输出P{ T >a }

若为2，为双侧．此命令输出P{ |T| >a}

示例：设T服从自由度为24的t分布，求P(T>1.711)．

已知t＝1.711，df=24，采用单侧，则T分布的值：

TDIST(1.711,24,1)

得到0.05，即P(T > 1.711)=0.05．

4. t分布的反函数

Excel使用TINV函数得到t分布的反函数，

输出T 分布的α / 2 分位点：t_α/2_(n)

若求临界值tα(n)，则使用公式＝TINV(2*α, n)

5.返回F分布的函数是FDIST

FDIST(x,degrees_freedom1,degrees_freedom2) 函数FDIST 的计算公式为FDIST=P( F>x )，

5.F分布的反函数

FINV(probability,deg_freedom1,deg_freedom2)

已知probability=P( F>x )，求x

大学概率论与数理统计复习资料

第一章 随机事件及其概率 知识点：概率的性质 事件运算 古典概率 事件的独立性 条件概率 全概率与贝叶斯公式 常用公式 ) ()()()()()2(加法定理AB P B P A P B A P -+= ) ,,() ()(211 1 有限可加性两两互斥设n n i i n i i A A A A P A P ∑===) ,(0 )()()()()(互不相容时独立时与B A AB P B A B P A P AB P ==) ()()()()5(AB P A P B A P B A P -==-) () ()()()(时当A B B P A P B A P B A P ?-==-))0(,,()()/()()()6(211 >Ω=∑=i n n i i i A P A A A A B P A P B P 且的一个划分为其中全概率公式 ) ,,()] (1[1)(211 1 相互独立时n n i i n i i A A A A P A P ∏==--=) /()()/()()()4(B A P B P A B P A P AB P ==) (/)()/()3(A P AB P A B P =) () /()() /()()/()7(1 逆概率公式∑== n i i i i i i A B P A P A B P A P B A P )(/)()(/)()1(S L A L A P n r A P ==

应用举例 1、已知事件,A B 满足)()(B A P AB P =，且6.0)(=A P ，则=)(B P （ ）。 2、已知事件,A B 相互独立，,)(k A P =6.0)(,2.0)(==B A P B P ，则=k （ ）。 3、已知事件,A B 互不相容，,3.0)(=A P ==)(,5.0)(B A P B P 则（ ）。 4、若,3.0)(=A P ===)(,5.0)(,4.0)(B A B P B A P B P （ ）。 5、,,A B C 是三个随机事件，C B ?，事件()A C B - 与A 的关系是（ ）。 6、5张数字卡片上分别写着1，2，3，4，5，从中任取3张，排成3位数，则排成3位奇数的概率是（ ）。 某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车。 （1）试求他在5:40~5:50到家的概率； （2）结果他是5:47到家的。试求他是乘地铁回家的概率。 解（1）设1A ={他是乘地铁回家的}，2A ={他是乘汽车回家的}， i B ={第i 段时间到家的}，4,3,2,1=i 分别对应时间段5:30~5:40，5:40~5:50，5:50~6:00，6:00以后 则由全概率公式有 )|()()|()()(2221212A B P A P A B P A P B P += 由上表可知4.0)|(12=A B P ，3.0)|(22=A B P ，5.0)()(21==A P A P 35.05.03.04.05.0)(2=?+?=B P （2）由贝叶斯公式 7 4 35.04.05.0)()()|(22121=?== B P B A P B A P 8、盒中12个新乒乓球，每次比赛从中任取3个来用，比赛 后仍放回盒中，求：第三次比赛时取到3个新球的概率。 看作业习题1: 4, 9, 11, 15, 16

卡方分布概念及表和查表方法

若n个相互独立的随机变量ξ?，ξ?，...,ξn，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布（chi-square distribution）。 目录 1简介 2定义 3性质 4概率表 简介 分布在数理统计中具有重要意义。分布是由阿贝(Abbe)于1863年首先提出的，后来由海尔墨特(Hermert)和现代统计学的奠基人之一的卡·皮尔逊(C K·Pearson)分别于1875年和1900年推导出来，是统计学中的一个非常有用的著名分布。 定义 若n个相互独立的随机变量ξ?、ξ?、……、ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为分布（chi-square distribution）， 卡方分布是由正态分布构造而成的一个新的分布，当自由度很大时，分布近似为正态分布。

对于任意正整数x，自由度为的卡方分布是一个随机变量X的机率分布。 性质 1) 分布在第一象限内，卡方值都是正值，呈正偏态（右偏态），随着参数 的增大，分布趋近于正态分布；卡方分布密度曲线下的面积都是1。 2) 分布的均值与方差可以看出，随着自由度的增大，分布向正无穷方向延伸（因为均值越来越大），分布曲线也越来越低阔（因为方差越来越大）。 3）不同的自由度决定不同的卡方分布，自由度越小，分布越偏斜。 4) 若互相独立，则：服从分布，自由度为 。 5) 分布的均数为自由度，记为 E( ) = 。 6) 分布的方差为2倍的自由度( )，记为 D( ) = 。 概率表 分布不象正态分布那样将所有正态分布的查表都转化为标准正态分布去查，在 分布中得对每个分布编制相应的概率值，这通过分布表中列出不同的自由度来表示， 查分布概率表时，按自由度及相应的概率去找到对应的值。如上图所示的单侧概率(7)=的查表方法就是，在第一列找到自由度7这一行，在第一行中找到概率这一列，行列的交叉处即是。 表中所给值直接只能查单侧概率值，可以变化一下来查双侧概率值。例如，要在自由度为7的卡方分布中，得到双侧概率为所对应的上下端点可以这样来考虑：双侧概率指的是在

正态概率图(normal probability plot)

正态概率图(normal probability plot) 方法演变：概率图，分位数-分位数图( Q- Q) 概述 正态概率图用于检查一组数据是否服从正态分布。是实数与正态分布数据之间函数关系的散点图。如果这组实数服从正态分布，正态概率图将是一条直线。通常，概率图也可以用于确定一组数据是否服从任一已知分布，如二项分布或泊松分布。 适用场合 ·当你采用的工具或方法需要使用服从正态分布的数据时； ·当有50个或更多的数据点，为了获得更好的结果时。 例如： ·确定一个样本图是否适用于该数据； ·当选择作X和R图的样本容量，以确定样本容量是否足够大到样本均值服从正态分布时；·在计算过程能力指数Cp或者Cpk之前； ·在选择一种只对正态分布有效的假设检验之前。 实施步骤 通常，我们只需简单地把数据输入绘图的软件，就会产生需要的图。下面将详述计算过程，这样就可以知道计算机程序是怎么来编译的了，并且我们也可以自己画简单的图。 1将数据从小到大排列，并从1～n标号。 2计算每个值的分位数。i是序号： 分位数＝(i－0.5)/n 3找与每个分位数匹配的正态分布值。把分位数记到正态分布概率表下面的表A.1里面。然后在表的左边和顶部找到对应的z值。 4根据散点图中的每对数据值作图：每列数据值对应个z值。数据值对应于y轴，正态分位数z值对应于x轴。将在平面图上得到n个点。 5画一条拟合大多数点的直线。如果数据严格意义上服从正态分布，点将形或一条直线。将点形成的图形与画的直线相比较，判断数据拟合正态分布的好坏。请参阅注意事项中的典型图

形。可以计算相关系数来判断这条直线和点拟合的好坏。 示例 为了便于下面的计算，我们仅采用20个数据。表5. 12中有按次序排好的20个 值，列上标明“过程数据”。 下一步将计算分位数。如第一个值9，计算如下： 分位数＝(i－0.5)/n＝(1－0.5)/20＝0.5/20＝0.025 同理，第2个值，计算如下： 分位数＝(i－0.5)/n＝(2－0.5)/20＝1.5/20＝0.075 可以按下面的模式去计算：第3个分位数=2.5÷20，第4个分位数＝3 5÷20 以此类推直到最后1个分位数＝19. 5÷20。 现在可以在正态分布概率表中查找z值。z的前两 个阿拉伯数字在表的最左边一列，最后1个阿拉伯数 字在表的最顶端一行。如第1个分位数＝0. 025，它位 于－1.9在行与0.06所在列的交叉处，故z＝－1.96。 用相同的方式找到每个分位数。 如果分位数在表的两个值之间，将需要用插值法 进行求解。例如：第4个分位数为0. 175，它位于0.1736 与0.1762之间。0.1736对应的z值为－0.94，0.1762 对应的z值为－0.93，故 这两数的中间值为z＝－0.935。 现在，可以用过程数据和相应的z值作图。图表5. 127显示了结果和穿过这些点的直线。注意：在图形的两端，点位于直线的上侧。这属于典型的右偏态数据。图表5.128显示了数据的直方图，可进行比较。 概率图( probability plot) 该方法可以用于检验任何数据的已知分布。这时我们不是在正态分布概率表中查找分位数，而是在感兴趣的已知分布表中查找它们。 分位数-分位数图（quantile-quantile plot） 同理，任意两个数据集都可以通过比较来判断是否服从同一分布。计算每个分布的分位数。一个数据集对应于x轴，另一个对应于y轴。作一条45°的参照线。如果这两个数据集来自同一分布，那么这些点就会靠近这条参照线。 注意事项 ·绘制正态概率图有很多方法。除了这里给定的程序以外，正态分布还可以用概率和百分数来表示。实际的数据可以先进行标准化或者直接标在x轴上。 ·如果此时这些数据形成一条直线，那么该正态分布的均值就是直线在y轴截距，标准差就是直线斜率。 ·对于正态概率图，图表5.129显示了一些常见的变形图形。 短尾分布：如果尾部比正常的短，则点所形成的图形左边朝直线上方弯曲，右边朝直线下方弯曲——如果倾斜向右看，图形呈S型。表明数据比标准正态分布时候更加集中靠近均值。 长尾分布：如果尾部比正常的长，则点所形成的图形左边朝直线下方弯曲，右边朝直线上方弯曲——如果倾斜向右看，图形呈倒S型。表明数据比标准正态分布时候有更多偏离的数据。

大学概率论与数理统计必过复习资料试题解析(绝对好用)

《概率论与数理统计》复习提要第一章随机事件与概率1．事件的关系 2．运算规则（1）（2）（3）（4） 3．概率满足的三条公理及性质：（1）（2）（3）对互不相容的事件，有（可以取）（4）（5） （6），若，则，（7）（8） 4．古典概型：基本事件有限且等可能 5．几何概率 6．条件概率（1）定义：若，则（2）乘法公式：若为完备事件组，，则有（3）全概率公式： （4） Bayes公式： 7．事件的独立 性：独立（注意独立性的应用）第二章随机变量与概率分 布 1．离散随机变量：取有限或可列个值，满足（1），（2）（3）对 任意， 2．连续随机变量：具有概率密度函数，满足（1）（2）； （3）对任意， 4．分布函数，具有以下性质（1）；（2）单调非降；（3）右连续；（4），特别；（5）对离散随机变量，； （6）为连续函数，且在连续点上， 5．正态分布的 概率计算以记标准正态分布的分布函数，则有（1）；（2）；（3） 若，则；（4）以记标准正态分布的上侧分位 数，则 6．随机变量的函数（1）离散时，求的值，将相同的概率相加；（2）连续，在的取值范围内严格单调，且有一阶连续导 数，，若不单调，先求分布函数，再求导。第三章随机向量 1．二维离散随机向量，联合分布列，边缘分布，有（1）；（2 （3）， 2．二维连续随机向量，联合密度，边缘密度，有 （1）；（2）（4）（3）；，3．二维均匀分布，其中为的面积 4．二维正态分布 且； 5．二维随机向量的分布函数有（1）关于单调非降；（2）关 于右连续；（3）；（4），，；（5）；（6）对 二维连续随机向量， 6．随机变量的独立性独立（1） 离散时独立（2）连续时独立（3）二维正态分布独立，且 7．随机变量的函数分布（1）和的分布的密度（2）最大最小分布第四章随机变量的数字特征 1．期望 (1) 离散时 (2) 连续 时， ；，； (3) 二维时， (4)； （5）；（6）；（7）独立时， 2．方差（1）方差，标准差（2）； （3）；（4）独立时， 3．协方差 （1）；；；（2）（3）；（4）时， 称不相关，独立不相关，反之不成立，但正态时等价；（5） 4．相关系数；有， 5．阶原点矩，阶中心矩第五章大数定律与中心极限定理 1．Chebyshev不等式 2．大数定律 3．中心极限定理（1）设随机变量独立同分布， 或，或

正态分布讲解(含标准表)

2．4正态分布 复习引入： 总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线． 总体密度曲线 b 单位 O 频率/组距 a 它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积． 观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示： 2 2 () 2 , 1 (),(,) 2 x x e x μ σ μσ ? πσ - - =∈-∞+∞ 式中的实数μ、)0 (> σ σ是参数，分别表示总体的平均数与标准差，, ()x μσ ? 的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线． 讲解新课：

一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足 ,()()b a P a X B x dx μσ?<≤=?, 则称 X 的分布为正态分布（normal distribution ) ．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作),(2 σ μN ．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X ～),(2σμN . 经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标 X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．因此，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．正态分布在概率和统计中占有重要的地位． 说明:1参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计． 2.早在 1733 年，法国数学家棣莫弗就用n ！的近似公式得到了正态分布．之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布． 2．正态分布),(2 σ μN ）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布 通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响

正态分布概率表

参考医学 正态分布概率表 1 — f? 0( u )= t P⑴t F(t)t F(0t卩⑴0.00 0.000 00.230. 181 9 0.46 0.354 5 W9 0. 50 9 8 0.01 0.008 00.24 0. 1H9 70.47 0.361 6 0.70 0,516 1 0+02 0,0160 0. 25 0,197 4 0,48 0.368 80+71 0.522 3 0.03 0*023 9(1. 26 0.205 1 0.49 0.375 9 0.72 0. 52 8 5 044 0.031 9(1.27 0,212 8 0.50O.3R2 9 0.73 "4 6 0R5 0039 90.28 0.220 5 0,51 0.389 9 0.74 0.540 7 0.06 0.047 80.29 0.228 20.52 036 9 0.75 0*546 7 0+07 0 €55 g0,30 0,235 8 0,53 0.403 9 276 0.552 7 0+08 0.063 80 31 0.243 4 0.54 0.410 8 0+77 0.558 7 0+09 (1.(171 7(J. 32 0.251 00.55 0.417 70.78 0.564 6 0. 10 0.0797 fl. 33 0.258 6 0.56 0,424 50.79 0.570 5 0.110,(J87 60.34 0.266 1 0.57 0.431 3 0.B0 0.576 3 0.12 0.09$ 50. 35 0.273 7 0.5S 0.43S 10.S1 O.5S2 1 0+13 OJ03 40. 36 0.281 20.59 0.444 8 0+82 0.587 8 0+14 (1.111 3 0. 37 0.288 6 0.60 0.451 5 M3 0.593 5 0.15 0J19 2 0. 38 0.296 1 0.61 0.458 10.84 0.599 1 0+160.127 10.39 0. 303 50.62 0.464 7 0.85 0.604 7 0.17 0.135 0 040 0330 8 0.63 0.471 3 0.S6 0.610 2 0+18 0.142 S0.41 0.318 20,64 0.477 8 0.87 0.6157 0+19 0.150 7 0 42 0, 325 50.650.484 3 0.88 0.621 1 0,20 0J58 5(J. 43 0. 332 8 0.66 0.490 10.89 0 . 62 6 5 0,21 0J66 3(J.44 0,340 1 0.67 0.497 10.90 0.631 9 0 + 220.174 10.45 0347 3 0.68 0.503 50.91 0.637 2

概率论与数理统计中的三种重要分布

概率论与数理统计中的三种重要分布 摘要：在概率论与数理统计课程中，我们研究了随机变量的分布，具体地研究了离散型随机变量的分布和连续型随机变量的分布，并简单的介绍了常见的离散型分布和连续型分布，其中二项分布、Poisson 分布、正态分布是概率论中三大重要的分布。因此，在这篇文章中重点介绍二项分布、Poisson 分布和正态分布以及它们的性质、数学期望与方差，以此来进行一次比较完整的概率论分布的学习。 关键词：二项分布；Poisson 分布；正态分布；定义；性质 一、二项分布 二项分布是重要的离散型分布之一，它在理论上和应用上都占有很重要的地位，产生 这种分布的重要现实源泉是所谓的伯努利试验。 （一）泊努利分布[Bernoulli distribution ] (两点分布、0-1分布) 1．泊努利试验 在许多实际问题中，我们感兴趣的是某事件A 是否发生。例如在产品抽样检验中，关心的是抽到正品还是废品；掷硬币时，关心的是出现正面还是反面，等。在这一类随机试验中，只有两个基本事件A 与A ，这种只有两种可能结果的随机试验称为伯努利试验。 为方便起见，在一次试验中，把出现A 称为“成功”，出现A 称为“失败” 通常记(),p A P = () q p A P =-=1。 2．泊努利分布 定义：在一次试验中，设p A P =)(，p q A P -==1)(，若以ξ记事件A 发生的次数， 则??? ? ??ξp q 10 ~，称ξ服从参数为)10(<

概率统计公式大全(复习重点)汇总

第一章随机事件和概率 （1）排列组合公式 )! ( ! n m m P n m- =从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 )! (! ! n m n m C n m- =从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 （2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 （3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个） 顺序问题 （4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。 （5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。 一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。 Ω为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 （6）事件的关系与运算①关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：B A? 如果同时有B A?，A B?，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者B A，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：A B，或者AB。A B=?，则表示A与B不可能同时发生，称 事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 Ω-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的

概率论与数理统计期末复习重要知识点

概率论与数理统计期末复习重要知识点 第二章知识点： 1.离散型随机变量：设X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X 为一个离散随机变量。 2.常用离散型分布： （1）两点分布（0-1分布）： 若一个随机变量X 只有两个可能取值，且其分布为 12{},{}1(01) P X x p P X x p p ====-<<， 则称X 服从 12 ,x x 处参数为p 的两点分布。 两点分布的概率分布：12{},{}1(01) P X x p P X x p p ====-<< 两点分布的期望：()E X p =；两点分布的方差：()(1)D X p p =- （2）二项分布： 若一个随机变量X 的概率分布由式 {}(1),0,1,...,. k k n k n P x k C p p k n -==-= 给出，则称X 服从参数为n,p 的二项分布。记为X~b(n,p)(或B(n,p)). 两点分布的概率分布：{}(1),0,1,...,. k k n k n P x k C p p k n -==-= 二项分布的期望：()E X np =；二项分布的方差：()(1)D X np p =- （3）泊松分布： 若一个随机变量X 的概率分布为{},0,0,1,2,... ! k P X k e k k λ λλ-==>=，则称X 服从参 数为λ的泊松分布，记为X~P (λ) 泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,... ! k P X k e k k λ λλ-==>= 泊松分布的期望： ()E X λ=；泊松分布的方差：()D X λ= 4.连续型随机变量： 如果对随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函数 ()f x ，使得对于任意实数x ，有 (){}()x F x P X x f t dt -∞ =≤=? ，则称X 为连续型随机变量，称 ()f x 为X 的概率密度函数， 简称为概率密度函数。 5.常用的连续型分布：

随机变量及其分布考点总结

第二章 随机变量及其分布 复习 一、随机变量. 1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件： ①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 它就被称为一个随机试验. 2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数.则b a +=ξη也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，)(x f 是连续函数或单调函数，则)(ξf 也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量. 3、分布列：设离散型随机变量ξ可能取的值为： ,,,,21i x x x ξ取每一个值),2,1( =i x 的概率p x P ==)(ξ，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. 121i 注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：]5,0[∈ξ即ξ可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数. 典型例题： 1、随机变量ξ的分布列为(),1,2,3(1) c P k k k k ξ== =+……，则P(13)____ξ≤≤= 2、袋中装有黑球和白球共7个，从中任取两个球都是白球的概率为1 7 ，现在甲乙两人从袋中轮流摸去一 球，甲先取，乙后取，然后甲再取……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，用ξ表示取球的次数。（1）求ξ的分布列（2）求甲取到白球的的概率 3、5封不同的信，放入三个不同的信箱，且每封信投入每个信箱的机会均等，X 表示三哥信箱中放有信件树木的最大值，求X 的分布列。 4 已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为5 ． （1）请将上面的列联表补充完整； （2）是否有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由； （3）已知喜爱打篮球的10位女生中，12345,,A A A A A ，，还喜欢打羽毛球，123B B B ，，还喜欢打乒乓球，12C C ，还喜欢踢足球，现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出1名进行其他方面的调查，求1B 和1C 不全被选中的概率． (参考公式：2 ()()()()() n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)

正态分布概率公式(部分)

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图 62正态分布概率密度函数的曲线 正态曲线可用方程式表示。 n 当 →∞时，可由二项分布概率函数方程推导出正态 分布曲线的方程：
fx= （61 ） () .6
式中： x—所研究的变数； fx —某一定值 x出现的函数值，一般称为概率 () 密度函数 （由于间断性分布已转变成连续性分布，因而我们只能计算变量落在某 一区间的概率， 不能计算变量取某一值， 即某一点时的概率， 所以用 “概率密度” 一词以与概率相区分），相当于曲线 x值的纵轴高度； p—常数，等于 31 .4 19……； e— 常数，等于 2788……； μ 为总体参数，是所研究总体 5 .12 的平均数， 不同的正态总体具有不同的 μ ， 但对某一定总体的 μ 是一个常数； δ 也为总体参数， 表示所研究总体的标准差， 不同的正态总体具有不同的 δ ， 但对某一定总体的 δ 是一个常数。 上述公式表示随机变数 x的分布叫作正态分布， 记作 N μ ,δ2 )， “具 ( 读作 2 平均数为 μ，方差为 δ 的正态分布”。正态分布概率密度函数的曲线叫正态 曲线，形状见图 62。 （二）正态分布的特性
1、正态分布曲线是以 x μ 为对称轴，向左右两侧作对称分布。因 =
的
数值无论正负， 只要其绝对值相等， 代入公式 61 ） （ .6 所得的 fx 是相等的， () 即在平均数 μ 的左方或右方，只要距离相等，其 fx 就相等，因此其分布是 () 对称的。在正态分布下，算术平均数、中位数、众数三者合一位于 μ 点上。

概率分布查表联系

1. 若某班学生统计学成绩服从正态分布） ，（25 80~N X ，任从中抽取一个同学，试问该同学的成绩在以下范围内的概率： （1）85)P(X ≤=()8413.0)1(1 58085580= Φ=≤=?? ? ??-≤-Z P X P （2）75)P(X ≤ =()1587.08413.01)1(1)1(1580755 80=-=Φ-=-Φ=-≤=??? ??-≤-Z P X P （3）85)X P(75≤≤ =()[]6827 .018413.0*21)1(2)1(1)1()1()1(11580855805 8075=-=-Φ=Φ--Φ=-Φ-Φ=≤-=??? ??-≤-≤-=Z P X P π

（4）85) X P(70≤≤19772.08413.01)2()1()]2(1[)1()2()1(-+=-Φ+Φ=Φ--Φ=-Φ-Φ= （5）90)P(X ≥ 9772.01)2(1)2(1)2(-=Φ-=≤-=≥=Z P Z P 2. 查表计算有关t 分布 （1）132.2)4(t 0.05= （2）169.3)10(t -2 0.01-= （3）10.01.476)5(t ==αα， （4）05.0-2.447)6(t -2 ==αα， （5）103.169)n (t 0.005==n ，

（6）112.718)n (t 2 0.02==n ， 3. 查表计算有关2 χ分布 （1）307.18102 0.05 =）（χ （2）975.04.404122==αχα，） （ （3）511.072n 20.05==n ，）（χ （4）看下图查表，在（ ）处写出正式表达方式和具体数值。

正态分布概率公式(部分)

图 6-2 正态分布概率密度函数的曲线 正态曲线可用方程式表示。当n→∞时，可由二项分布概率函数方程推导出正态分布曲线的方程： f(x)= （6.16 ） 式中： x —所研究的变数； f(x) —某一定值 x 出现的函数值，一般称为概率密度函数（由于间断性分布已转变成连续性分布，因而我们只能计算变量落在某一区间的概率，不能计算变量取某一值，即某一点时的概率，所以用“概率密度”一词以与概率相区分），相当于曲线 x 值的纵轴高度； p —常数，等于 3.14 159 ……； e —常数，等于 2.71828 ……；μ为总体参数，是所研究总体的平均数，不同的正态总体具有不同的μ，但对某一定总体的μ是一个常数；δ也为总体参数，表示所研究总体的标准差，不同的正态总体具有不同的δ，但对某一定总体的δ是一个常数。 上述公式表示随机变数 x 的分布叫作正态分布，记作 N( μ , δ2 ) ，读作“具平均数为μ，方差为δ 2 的正态分布”。正态分布概率密度函数的曲线叫正态曲线，形状见图 6-2 。 （二）正态分布的特性 1 、正态分布曲线是以 x= μ为对称轴，向左右两侧作对称分布。因的数值无论正负，只要其绝对值相等，代入公式（ 6.16 ）所得的 f(x) 是相等的，即在平均数μ的左方或右方，只要距离相等，其 f(x) 就相等，因此其分布是对称的。在正态分布下，算术平均数、中位数、众数三者合一位于μ点上。

2 、正态分布曲线有一个高峰。随机变数 x 的取值范围为（ - ∞，+ ∞ ），在（ - ∞ ，μ）正态曲线随 x 的增大而上升，；当 x= μ时， f(x) 最大；在（μ，+ ∞ ）曲线随 x 的增大而下降。 3 、正态曲线在︱x-μ︱=1 δ处有拐点。曲线向左右两侧伸展，当x →± ∞ 时，f(x) →0 ，但 f(x) 值恒不等于零，曲线是以 x 轴为渐进线，所以曲线全距从 -∞到+ ∞。 4 、正态曲线是由μ和δ两个参数来确定的，其中μ确定曲线在 x 轴上的位置 [ 图 6-3] ，δ确定它的变异程度 [ 图 6-4] 。μ和δ不同时，就会有不同的曲线位置和变异程度。所以，正态分布曲线不只是一条曲线，而是一系列曲线。任何一条特定的正态曲线只有在其μ和δ确定以后才能确定。 5 、正态分布曲线是二项分布的极限曲线，二项分布的总概率等于 1 ，正态分布与 x 轴之间的总概率（所研究总体的全部变量出现的概率总和）或总面积也应该是等于 1 。而变量 x 出现在任两个定值 x1到x2(x1≠x2)之间的概率，等于这两个定值之间的面积占总面积的成数或百分比。正态曲线的任何两个定值间的概率或面积，完全由曲线的μ和δ确定。常用的理论面积或概率如下： 区间μ ± 1 δ面积或概率 =0.6826 μ ± 2 δ =0.9545 μ ± 3 δ=0.9973 μ± 1.960δ=0.9500 μ ±2.576 δ =0.9900

概率统计分布表(常用)

标准正态表 x 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753 0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517 0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549 0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133 0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389

概率分布期望方差汇总

1.编号1,2,3的三位学生随意入座编号为 1, 2 , 3的三个座位，每位学生坐一个座位 设与座位编号相同的学生的个数是 X. （1） 求随机变量X 的分布列； （2） 求随机变量X 的数学期望和方差. 解（1）P （ X=0）= _L =1 - A 33 ； P （ X=1）=-C3 = 1 ； P （ X=3）= 2 =丄； A 3 2 A 3 6 (2) E (X ) =1 X 丄 +3 X 丄=1. 2 6 D (X ) =(1-0) 2 1 +(1-1) 2 丄+(3-1) 2 1 =1. 3 2 6 2某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次 随机地摸岀一个球，记下颜色后放回，摸岀一个红球可获得奖金 10元；摸岀两个红 球可获得奖金50元.现有甲、乙两位顾客，规定:甲摸一次，乙摸两次，令X 表示 甲、乙两人摸球后获得的奖金总额.求： （1 ） X 的分布列； （2） X 的均值. 解 （1 ） X 的所有可能取值为0，10，20，50，60. 9 1 9 P(X=50)= X =- 10 102 1 000 1 1 P(X=60)= 3 = . ' 103 1 000 故X 的分布列为 P (X=0 ) @ 1 = 729 10 = 1 000 P ( X=10)」X 「2 X C 2 X 丄 10 〔0 丿 10 10 9 X 一 = 243 1 000 P(X=20)= 丄 X C 2 X 丄 X ?= 10 10 10 18 1 000

729 243 18 9 (2 ) E ( X ) =0 X +10 X -243+20 X 18+50 X — +60 X 1 000 1 000 1 000 1 000 1 =3.3（兀）. 1 000 ' ' 3 （本小题满分13分） 为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生 产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y的含 （1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量； （2）当产品中的微量元素x,y满足x》175 ,且y》75时,该产品为优等 品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量； （3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数?的分布列极其均值（即数学期望）。 & 98 解：（1）7,5 7=35，即乙厂生产的产品数量为35件。 14 （2）易见只有编号为 2 , 5的产品为优等品，所以乙厂生产的产品中

概率统计复习提纲(百度文库)讲解

《概率论与数理统计》总复习提纲 第一块随机事件及其概率 内容提要 基本内容：随机事件与样本空间，事件的关系与运算，概率的概念和基本性质，古典概率，几何概率，条件概率，与条件概率有关的三个公式，事件的独立性，贝努里试验. 1、随机试验、样本空间与随机事件 （1）随机试验：具有以下三个特点的试验称为随机试验，记为. 1）试验可在相同的条件下重复进行； 2）每次试验的结果具有多种可能性，但试验之前可确知试验的所有可能结果； 3）每次试验前不能确定哪一个结果会出现. （2）样本空间：随机试验的所有可能结果组成的集合称为的样本空间记为Ω；试验的每一个可能结果，即Ω中的元素，称为样本点，记为. （3）随机事件：在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件称为随机事件，简称事件；也可表述为事件就是样本空间的子集，必然事件（记为）和不可能事件（记为）. 2、事件的关系与运算 （1）包含关系与相等：“事件发生必导致发生”，记为或；且. （2）互不相容性：；互为对立事件且. （3）独立性： （1）设为事件，若有，则称事件与相互独立. 等价于：若 (). （2）多个事件的独立：设是n个事件，如果对任意的，任意的 ，具有等式，称个事件相互独立． 3、事件的运算 （1）和事件（并）：“事件与至少有一个发生”，记为. （2）积事件（交）：“事件与同时发生”，记为或.

（3）差事件、对立事件(余事件)：“事件发生而不发生”，记为称为与的差事件； 称为的对立事件；易知：. 4、事件的运算法则 1) 交换律：，； 2) 结合律：，； 3) 分配律：，； 4) 对偶(De Morgan)律：，， 可推广 5、概率的概念 （1）概率的公理化定义： （2）频率的定义：事件在次重复试验中出现次，则比值称为事件在次重复试验中出现的频率，记为，即. （3）统计概率：称为事件的（统计）概率. 在实际问题中，当很大时，取 （4）古典概率：若试验的基本结果数为有限个，且每个事件发生的可能性相等，

正态分布的概念及表和查表方法

正态分布概念及图表 正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由A·棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P·S·拉普拉斯和高斯研究了它的性质。是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。 正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。 若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。 目录 1历史发展 2定理 3定义 ?一维正态分布 ?标准正态分布 4性质 5分布曲线

?图形特征 ?参数含义 6研究过程 7曲线应用 ?综述 ?频数分布 ?综合素质研究 ?医学参考值 历史发展 正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布，高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。但现今德国10马克的印有高斯头像的钞票，其上还印有正态分布的密度曲线。这传达了一种想法：在高斯的一切科学贡献中，其对人类文明影响最大者，就是这一项。在高斯刚作出这个发现之初，也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性，其全部影响还不能充分看出来。这要到20世纪正态小样本理论充分发展起来以后。拉普拉斯很快得知高斯的工作，并马上将其与他发现的中心极限定理联系起来，为此，他在即将发表的一篇文章（发表于1810年）上加上了一点补充，指出如若误差可看成许多量的叠加，根据他的中心极限定理，误差理应有高斯分布。这是历史上第一次提到所谓“元误差学说”——误差是由大量的、由种种原因产生的元误差叠加而成。后来到1837年，海根（）在一篇论文中正式提出了这个学说。

标准正态分布表

标准正态分布表 φ( - x ) = 1 –φ( x )（请暂时忽略此公式） x 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.060.07 0.08 0.09 0 0.500 0 0.504 0 0.508 0 0.512 0 0.516 0 0.519 9 0.523 9 0.527 9 0.531 9 0.535 9 0.1 0.539 8 0.543 8 0.547 8 0.551 7 0.555 7 0.559 6 0.563 6 0.567 5 0.571 4 0.575 3 0.2 0.579 3 0.583 2 0.587 1 0.591 0 0.594 8 0.598 7 0.602 6 0.606 4 0.610 3 0.614 1 0.3 0.617 9 0.621 7 0.625 5 0.629 3 0.633 1 0.636 8 0.640 4 0.644 3 0.648 0 0.651 7 0.4 0.655 4 0.659 1 0.662 8 0.666 4 0.670 0 0.673 6 0.677 2 0.680 8 0.684 4 0.687 9 0.5 0.691 5 0.695 0 0.698 5 0.701 9 0.705 4 0.708 8 0.712 3 0.715 7 0.719 0 0.722 4 0.6 0.725 7 0.729 1 0.732 4 0.735 7 0.738 9 0.742 2 0.745 4 0.748 6 0.751 7 0.754 9 0.7 0.758 0 0.761 1 0.764 2 0.767 3 0.770 3 0.773 4 0.776 4 0.779 4 0.782 3 0.785 2 0.8 0.788 1 0.791 0 0.793 9 0.796 7 0.799 5 0.802 3 0.805 1 0.807 8 0.810 6 0.813 3 0.9 0.815 9 0.818 6 0.821 2 0.823 8 0.826 4 0.828 9 0.835 5 0.834 0 0.836 5 0.838 9 1 0.841 3 0.843 8 0.846 1 0.848 5 0.850 8 0.853 1 0.855 4 0.857 7 0.859 9 0.86 2 1 1.1 0.864 3 0.866 5 0.868 6 0.870 8 0.872 9 0.87 4 9 0.877 0 0.879 0 0.881 0 0.883 0 1.2 0.884 9 0.886 9 0.888 8 0.890 7 0.892 5 0.894 4 0.89 6 2 0.898 0 0.899 7 0.901 5 1.3 0.903 2 0.904 9 0.906 6 0.90 8 2 0.90 9 9 0.911 5 0.913 1 0.914 7 0.916 2 0.917 7 1.4 0.919 2 0.920 7 0.922 2 0.923 6 0.925 1 0.926 5 0.927 9 0.929 2 0.930 6 0.931 9 1.5 0.933 2 0.934 5 0.935 7 0.937 0 0.938 2 0.939 4 0.940 6 0.941 8 0.943 0 0.944 1 1.6 0.945 2 0.946 3 0.947 4 0.948 4 0.949 5 0.950 5 0.951 5 0.952 5 0.953 5 0.953 5 1.7 0.955 4 0.956 4 0.957 3 0.958 2 0.959 1 0.959 9 0.960 8 0.961 6 0.962 5 0.963 3 1.8 0.964 1 0.964 8 0.965 6 0.966 4 0.967 2 0.967 8 0.968 6 0.969 3 0.970 0 0.970 6 1.90.971 3 0.971 9 0.972 6 0.973 2 0.973 8 0.974 4 0.975 00.975 6 0.976 2 0.976 7 2 0.977 2 0.977 8 0.978 3 0.978 8 0.979 3 0.979 8 0.980 3 0.980 8 0.981 2 0.981 7 2.1 0.982 1 0.982 6 0.983 0 0.983 4 0.983 8 0.984 2 0.984 6 0.98 5 0 0.985 4 0.985 7 2.2 0.98 6 1 0.986 4 0.986 8 0.98 7 1 0.987 4 0.987 8 0.988 1 0.988 4 0.988 7 0.98 9 0 2.3 0.989 3 0.989 6 0.989 8 0.990 1 0.990 4 0.990 6 0.990 9 0.991 1 0.991 3 0.991 6 2.4 0.991 8 0.992 0 0.992 2 0.992 5 0.992 7 0.992 9 0.993 1 0.993 2 0.993 4 0.993 6 2.5 0.993 8 0.994 0 0.994 1 0.994 3 0.994 5 0.994 6 0.994 8 0.994 9 0.995 1 0.995 2 2.6 0.995 3 0.995 5 0.995 6 0.995 7 0.995 9 0.996 0 0.996 1 0.996 2 0.996 3 0.996 4 2.7 0.996 5 0.996 6 0.996 7 0.996 8 0.996 9 0.997 0 0.997 1 0.997 2 0.997 3 0.997 4 2.8 0.997 4 0.997 5 0.997 6 0.997 7 0.997 7 0.997 8 0.997 9 0.997 9 0.998 0 0.998 1 2.9 0.998 1 0.998 2 0.998 2 0.998 3 0.998 4 0.998 4 0.998 5 0.998 5 0.998 6 0.998 6 x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 3 0.998 7 0.999 0 0.999 3 0.999 5 0.999 7 0.999 8 0.999 8 0.999 9 0.999 9 1.000 0 0.975就是F（t）