专题五 绝对值
1.(第15届希望杯竞赛题)已知a=|-2004|+15,则a 是( )
A .合数
B .质数
C .偶数
D .负数
2.(北京市迎春杯竞赛题)已知|a|=1,|b|=2,|c|=3,且a>b>c ,那么a+b-c=
3.(第16届希望杯竞赛题)如果|a|=3,|b|=5,那么|a+b|-|a-b|的绝对值等于
4.(2004年重庆市竞赛题)计算:|31-21|+|41-31|-|41-21
|=
5.(希望杯竞赛题)若|a+b+1|与(a-b+1)2互为相反数,则a 与b 的大小关系是
A .a>b
B .a=b
C .a
D .a b
6.(希望杯竞赛题)如果|m-3|+(n+2)2=0,则方程3mx+1=x+n 的解是
7.(希望杯竞赛题)|x+1|+|x-1|的最小值是
A.2 B.0 C.1 D.-1
8.(第13届江苏省竞赛题)|x+1|+|x-2|+|x-3|的最小值是多少?
9.(希望杯竞赛题)设a,b,c为整数,且|a-b|+|c-a|=1,求|c-a|+|a-b|+|b-c|的值10.(2004年广西竞赛题)已知a
13.(第18届北京市迎春杯竞赛题)代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值为
14.(第17届希望杯竞赛题)已知a,b,c 都是整数,m=|a+b|+|b-c|+|a-c|,那么( )
A .m 一定是奇数
B .m 一定是偶数
C .仅当a,b,c 同奇或同偶时,m 是偶数
D .m 的奇偶性不能确定
15.已知a,b,c 都是有理数,且满足
a a ||+
b b ||+
c c ||=1,求||abc abc 的值
作业:
1.已知2|3a-2b|+(4b-12)2=0,求41a 2b-1-(a 3+21a b +4) 2.求y=|x-1|+|x-2|的最小值
3.已知a,b 是整数,且满足|a-b|+|ab|=2,求ab 的值
绝对值综合专题讲义 绝对值的定义及性质 绝对值的定义: 绝对值的性质: (1)绝对值的非负性,可以用下式表示 (2) |a|= ( 3)若|a|=a,则;若|a|=-a,则;任何一个数的绝对值都不小于这个数,也不小于这个数的相反数, (4)若 |a|=|b| ,则 ( 5)|a+b||a|+|b||a-b|||a|-|b|| |a|+|b||a+b||a|+|b||a-b| 【例 1】 ( 1)绝对值大于而小于的整数有多少个 ( 2)若 ab<|ab|,则下列结论正确的是() < 0, b< 0> 0, b< 0< 0, b> 0< 0 ( 3)下列各组判断中,正确的是() A.若 |a|=b,则一定有 a=b B.若|a| > |b|,则一定有 a> b C. 若 |a| >b,则一定有 |a|> |b| D.若 |a|=b,则一定有 a 2 =(-b)2 ( 4)设 a, b 是有理数,则 |a+b|+9 有最小值还是最大值其值是多少 ( 5)若3|x-2|+|y+3|=0,则y 的值是多少x ( 6)若|x+3|+(y-1) 2 =0,求( 4 ) n的值 y x
【巩固】 1、绝对值小于的整数有哪些它们的和为多少 2、有理数 a 与 b 满足 |a|>|b|,则下面哪个答案正确() >b =b 初一奥数专题五绝对值
专题五 绝对值 1.(第15届希望杯竞赛题)已知a=|-2004|+15,则a 是( ) A .合数 B .质数 C .偶数 D .负数 2.(北京市迎春杯竞赛题)已知|a|=1,|b|=2,|c|=3,且a>b>c ,那么a+b-c= 3.(第16届希望杯竞赛题)如果|a|=3,|b|=5,那么|a+b|-|a-b|的绝对值等于 4.(2004年重庆市竞赛题)计算:|31-21|+|41-31|-|41-21 |= 5.(希望杯竞赛题)若|a+b+1|与(a-b+1)2互为相反数,则a 与b 的大小关系是 A .a>b B .a=b C .a
7.(希望杯竞赛题)|x+1|+|x-1|的最小值是 A.2 B.0 C.1 D.-1 8.(第13届江苏省竞赛题)|x+1|+|x-2|+|x-3|的最小值是多少? 9.(希望杯竞赛题)设a,b,c为整数,且|a-b|+|c-a|=1,求|c-a|+|a-b|+|b-c|的值10.(2004年广西竞赛题)已知a
13.(第18届北京市迎春杯竞赛题)代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值为 14.(第17届希望杯竞赛题)已知a,b,c 都是整数,m=|a+b|+|b-c|+|a-c|,那么( ) A .m 一定是奇数 B .m 一定是偶数 C .仅当a,b,c 同奇或同偶时,m 是偶数 D .m 的奇偶性不能确定 15.已知a,b,c 都是有理数,且满足 a a ||+ b b ||+ c c ||=1,求||abc abc 的值 作业: 1.已知2|3a-2b|+(4b-12)2=0,求41a 2b-1-(a 3+21a b +4) 2.求y=|x-1|+|x-2|的最小值 3.已知a,b 是整数,且满足|a-b|+|ab|=2,求ab 的值
绝对值的性质及化简 【绝对值的几何意义】一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . (距离具有非负性) 【绝对值的代数意义】一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数; 0的绝对值是0. 注意:① 取绝对值也是一种运算,运算符号是“| |”,求一个数的绝对值,就是根 据性质去掉绝对值符号. ② 绝对值的性质:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相 反数;0的绝对值是0. ③ 绝对值具有非负性,取绝对值的结果总是正数或0. ④ 任何一个有理数都是由两部分组成:符号和它的绝对值,如:5-符号是负 号,绝对值是5. 【求字母a 的绝对值】 ①(0)0(0)(0)a a a a a a >??==??- ②(0)(0)a a a a a ≥?=?- ③(0)(0)a a a a a >?=?-≤? 利用绝对值比较两个负有理数的大小:两个负数,绝对值大的反而小. 绝对值非负性:|a|≥0 如果若干个非负数的和为0,那么这若干个非负数都必为0. 例如:若0a b c ++=,则0a =,0b =,0c = 【绝对值的其它重要性质】 (1)任何一个数的绝对值都不小于这个数,也不小于这个数的相反数, 即a a ≥,且a a ≥-; (2)若a b =,则a b =或a b =-; (3)ab a b =?; a a b b =(0)b ≠; (4)222||||a a a ==; (5)||a|-|b|| ≤ |a ±b| ≤ |a|+|b| a 的几何意义:在数轴上,表示这个数的点离开原点的距离. a b -的几何意义:在数轴上,表示数a .b 对应数轴上两点间的距离.
绝对值综合练习题一 1、有理数的绝对值一定是() 2、绝对值等于它本身的数有()个 3、下列说法正确的是() A、—|a|一定是负数 B只有两个数相等时它们的绝对值才相等 C、若|a|=|b|,则a与b互为相反数 D、若一个数小于它的绝对值,则这个数为负数 4.() A、a>|b| B、a|b| D、|a|<|b| 5、相反数等于-5的数是______,绝对值等于5的数是________。 6、-4的倒数的相反数是______。 7、绝对值小于2的整数有________。 8、若|-x|=2,则x=____;若|x-3|=0,则x=______;若|x-3|=1,则x=_______。 9、实数a_______。 10、已知|a|+|b|=9,且|a|=2,求b的值。 11、已知|a|=3,|b|=2,|c|=1,且a0, n<0, m<|n|,那么m,n,-m, -n的大小关系() 13、如果,则的取值范围是() A.>O B.≥O C.≤O D.<O 14、绝对值不大于11.1的整数有()
A .11个 B .12个 C .22个 D .23个 15、│a │= -a,a 一定是( ) A 、正数 B 、负数 C 、非正数 D 、非负数 16、有理数m ,n 在数轴上的位置如图, 17、若|x-1| =0, 则x=__________,若|1-x |=1,则x=_______. 18、如果,则,. 19、已知│x+y+3│=0, 求│x+y │的值。 20、│a -2│+│b -3│+│c -4│=0,则a+2b+3c= 21、如果a,b 互为相反数,c,d 互为倒数,x 的绝对值是1, 求代数式x b a ++x 2+cd 的值。 22、已知│a │=3,│b │=5,a 与b 异号,求│a -b │的值。 23.如果 a,b 互为相反数,那么a + b = ,2a + 2b = . 24. a+5的相反数是3,那么, a = . 25.如果a 和 b 表示有理数,在什么条件下, a +b 和a -b 互为相反数? 26、若X 的相反数是—5,则X=______;若—X 的相反数是—3.7,则X=_______ 27、若一个数的倒数是1.2,则这个数的相反数是________,绝对值是________ 28、若—a=1,则a=____; 若—a=—2,则a=_______;如果—a=a,那么a=_______ 29、已知|X —4|+|Y+2|=0,求2X —|Y|的值。 30.若)5(--=-x ,则=x ________,42=-x ,则=x ________
绝对值的知识是初中代数的重要内容,在中考和各类竞赛中经常出现,含有绝对值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一,解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义,将绝对值符号化去,将问题转化为不含绝对值符号的问题,确定绝对值符号内部分的正负,借以去掉绝对值符号的方法大致有三种类型。 一、根据题设条件 例1 设化简的结果是()。 (A)(B)(C)(D) 思路分析由可知可化去第一层绝对值符号,第二次绝对值符号待合并整理后再用同样方法化去. 解 ∴应选(B). 归纳点评只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零,就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号,这是解答这类问题的常规思路. 二、借助数轴 例2 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示,则代数式的值等于(). (A)(B)(C)(D) 思路分析由数轴上容易看出,这就为去掉绝对值符号扫清了障碍. 解原式 ∴应选(C).
归纳点评这类题型是把已知条件标在数轴上,借助数轴提供的信息让人去观察,一定弄清: 1.零点的左边都是负数,右边都是正数. 2.右边点表示的数总大于左边点表示的数. 3.离原点远的点的绝对值较大,牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了. 三、采用零点分段讨论法 例3 化简 思路分析本类型的题既没有条件限制,又没有数轴信息,要对各种情况分类讨论,可采用零点分段讨论法,本例的难点在于的正负不能确定,由于x是不断变化的,所以它们为正、为负、为零都有可能,应当对各种情况—一讨论. 解令得零点:; 令得零点:, 把数轴上的数分为三个部分(如图) ①当时, ∴原式 ②当时,, ∴原式 ③当时,,
∴原式 ∴ 归纳点评虽然的正负不能确定,但在某个具体的区段内都是确定的,这正是零点分段讨论法的优点,采用此法的一般步骤是: 1.求零点:分别令各绝对值符号内的代数式为零,求出零点(不一定是两个). 2.分段:根据第一步求出的零点,将数轴上的点划分为若干个区段,使在各区段内每个绝对值符号内的部分的正负能够确定. 3.在各区段内分别考察问题. 4.将各区段内的情形综合起来,得到问题的答案. 误区点拨千万不要想当然地把等都当成正数或无根据地增加一些附加条件,以免得出错误的结果. 练习: 请用文本例1介绍的方法解答l、2题 1.已知a、b、c、d满足且,那么 2.若,则有()。 (A)(B)(C)(D) 请用本文例2介绍的方法解答3、4题 3.有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示,则式子化简结果为().
初一数学绝对值难题解析 绝对值是初一数学的一个重要知识点,它的概念本身不难,但却经常拿来出一些难题,考验的是学生对基本概念的理解程度和基本性质的灵活运用能力。 绝对值有两个意义: (1)代数意义:非负数(包括零)的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数。 即|a|=a(当a≥0), |a|=-a (当a<0) (2)几何意义:一个数的绝对值等于数轴上表示它的点到原点的距离。 灵活应用绝对值的基本性质: (1)|a|≥0;(2)|ab|=|a|·|b|;(3)|a/b|=|a|/|b|(b≠0) (4)|a|-|b|≤ |a+b|≤|a|+|b|;(5)|a|-|b|≤ |a-b|≤|a|+|b|; 思考:|a+b|=|a|+|b|,在什么条件下成立? |a-b|=|a|-|b|,在什么条件下成立? 常用解题方法: (1)化简绝对值:分类讨论思想(即取绝对值的数为非负数和负数两种情况) (2)运用绝对值的几何意义:数形结合思想,如绝对值最值问题等。 (3)零点分段法:求零点、分段、区段内化简、综合。 例题解析: 第一类:考察对绝对值代数意义的理解和分类讨论思想的运用 1、在数轴上表示a、b两个数的点如图所示,并且已知表示c的点在原点左侧,请化简下列式子: (1)|a-b|-|c-b| 解:∵a<0,b>0 ∴a-b<0 c<0,b>0 ∴c-b<0 故,原式=(b-a)-(b-c) =c-a (2)|a-c|-|a+c| 解:∵a<0,c<0 ∴a-c要分类讨论,a+c<0 当a-c≥0时,a≥c,原式=(a-c)+(a+c)=2a 当a-c<0时,a<c,原式=(c-a)+(a+c)=2c 2、设x<-1,化简2-|2-|x-2|| 。 解:∵x<-1 ∴x-2<0 原式=2-|2-(2-x)|=2-|x|=2+x 3、设3<a<4,化简|a-3|+|a-6| 。 解:∵3<a<4 ∴a-3>0,a-6<0 原式=(a-3)-(a-6) =3 4、已知|a-b|=a+b,则以下说法:(1)a一定不是负数;(2)b可能是负数;哪个是正确的? 答:当a-b≥0时,a≥b,|a-b|=a-b,由已知|a-b|=a+b,得a-b=a+b, 解得b=0,这时a≥0;
《绝对值》练习 一.选择题 1. -3的绝对值是( ) (A )3 (B )-3 (C )13 (D )-13 2. 绝对值等于其相反数的数一定是 A .负数 B .正数 C .负数或零 D .正数或零 3. 若│x│+x=0,则x 一定是 ( ) A .负数 B .0 C .非正数 D .非负数 5.绝对值最小的数( ) A .不存在 B .0 C .1 D .-1 6.当一个负数逐渐变大(但仍然保持是负数)时( ) A .它的绝对值逐渐变大 B .它的相反数逐渐变大 C .它的绝对值逐渐变小 D .它的相反数的绝对值逐渐变大 7.下列说法中正确的是( ) A .a -一定是负数 B .只有两个数相等时它们的绝对值才相等 C .若b a =则a 与b 互为相反数 D .若一个数小于它的绝对值,则这个数是负数 8.绝对值不大于11.1的整数有( ) A .11个 B .12个 C .22个 D .23个 12.______7.3=-;______0=;______3.3=--;______75.0=+-.