1997-2018年考研数学1真题
1997年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)201
3sin cos
lim
(1cos )ln(1)
x x x x x x →+++=_____________.
(2)设幂级数
1
n
n n a x
∞
=∑的收敛半径为3,则幂级数
1
1
(1)
n n
n na x ∞
+=-∑的收敛区间为_____________.
(3)对数螺线e
θ
ρ=在点2(,)
(e ,)2
π
π
ρθ=处切线的直角坐标方程为_____________.
(4)设12243,311t -????=????-??
A B 为三阶非零矩阵,且
,=AB O 则t =_____________. (5)袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)二元函数
(,)f x y =
22
(,)(0,0)0(,)(0,0)
xy
x y x y
x y ≠+=,在点(0,0)处 (A)连续,偏导数存在 (B)连续,偏导数不存在 (C)不连续,偏导数存在
(D)连续,偏导数不存在
(2)设在区间[,]a b 上
()0,()0,()0.f x f x f x '''><>令 1231
(),()(),[()()](),2
b a S f x dx S f b b a S f a f b b a ==-=+-?则
(A)123S S S << (B)213S S S << (C)3
12S S S <<
(D)2
31S S S <<
(3)设2sin ()e sin ,x t x
F x tdt π
+=?
则()F x
(A)为正常数
(B)为负常数
(C)恒为零
(D)不为常数
(4)设111122232333,,,a b c a b c a b c ????????????===??????????????????
ααα则三条直线 1112223330,0,0
a x
b y
c a x b y c a x b y c ++=++=++= (其中2
20,1,2,3i i a b i +≠=)交于一点的充要条件是
(A)123,,ααα线性相关
(B)123,,ααα线性无关
(C)秩123(,,)r =ααα秩12(,)r αα
(D)123,,ααα线性相关12,,αα线性无关
(5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2,则随机变量32X Y -的方差是
(A)8
(B)16 (C)28
(D)44
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
(1)计算22
(),I
x y dv Ω
=+???其中Ω为平面曲线
220
y z x ==绕z 轴旋转一周所成的曲面与平面
8z =所围成的区域.
(2)计算曲线积分
()()(),c
z y dx x z dy x y dz -+-+-??其中c 是曲线
221
2
x y x y z +=-+=从z 轴正
向往z 轴负向看c 的方向是顺时针的.
(3)在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的,设该人群的总人数为,N 在0t
=时刻
已掌握新技术的人数为0,x 在任意时刻t 已掌握新技术的人数为()(x t 将()x t 视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数0,k
>求().x t
四、(本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题7分,满分13分)
(1)设直线:l
030
x y b x ay z ++=+--=在平面π上,而平面π与曲面22
z x y =+相切于点(1,2,5),-求
,a b 之值.
(2)设函数()f u 具有二阶连续导数,而(e sin )x
z f y =满足方程22222e ,x z z
z x y
??+=??求().f u
五、(本题满分6分) 设
()f x 连续1
,()(),x f xt dt ?=
?
且0
()
lim
(x f x A A x
→=为常数),求()x ?'并讨论()x ?'在0x =处的连续性.
六、(本题满分8分)
设1
111
0,()(1,2,),2n n n
a a a n a +==
+=L 证明
(1)lim n x a →∞
存在.
(2)级数1
1
(
1)n
n n a a ∞
=+-∑收敛.
七、(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,满分11分)
(1)设B 是秩为2的54?矩阵123,[1,1,2,3],[1,1,4,1],[5,1,8,9]T T T ==--=--ααα是齐次
线性方程组x =B 0的解向量,求x =B 0的解空间的一个标准正交基.
(2)已知111??
??=??
??-??
ξ是矩阵2125312a b -????=????--??A 的一个特征向量. 1)试确定,a b 参数及特征向量ξ所对应的特征值.
2)问A 能否相似于对角阵?说明理由.
八、（本题满分5分）
设A 是n 阶可逆方阵,将A 的第i 行和第j 行对换后得到的矩阵记为.B (1)证明B 可逆. (2)求1
.-AB
九、（本题满分7分）
从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设再各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概
率都是
2
.5
设X 为途中遇到红灯的次数,求随机变量X 的分布律、分布函数和数学期望.
十、（本题满分5分） 设总体X 的概率密度为
()f x =
(1)0
x θθ+ 01x <<其它
其中1θ
>-是未知参数12,,,,n X X X L 是来自总体X 的一个容量为n 的简单随机样本,分别用矩估计
法和极大似然估计法求θ的估计量.
1998年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)0
x →
(2)设1
()(),,z f xy y x y f x ??=++具有二阶连续导数,则
2z x y ???=_____________. (3)设l 为椭圆22
1,43x y +=其周长记为,a 则22(234)L
xy x y ds ++??=_____________. (4)设A 为
n 阶矩阵*,0,≠A A 为A 的伴随矩阵,E 为n 阶单位矩阵.若A 有特征值,λ则
*2()+A E 必有特征值_____________.
(5)设平面区域D 由曲线
1y x
=
及直线2
0,1,e y x x ===所围成,二维随机变量(,)X Y 在区域D 上服从均匀分布,则(,)X Y 关于X 的边缘概率密度在2x =处的值为_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设()f x 连续,则
220
()x
d tf x t dt dx -?= (A)2()xf
x (B)2()xf
x -
(C)22()xf x
(D)22()xf x -
(2)函数23()(2)f x x x x x
=---不可导点的个数是 (A)3 (B)2 (C)1
(D)0
(3)已知函数()y y x =在任意点x 处的增量2
,1y x
y x
α??=
++且当0x ?→时,α是x ?的高阶无穷小,
(0)y π=,则(1)y 等于 (A)2π
(B)π
(C)4
e π
(D)4e π
π
(4)设矩阵
11122233
3a b c a b c a b c ??
????????
是满秩的,则直线
333
121212
x a y b z c a a b b c c ---==
---与直线
111
232323
x a y b z c a a b b c c ---==
---
(A)相交于一点 (B)重合 (C)平行但不重合
(D)异面
(5)设,A B 是两个随机事件,且0()1,()0,(|)(|),P A P B P B A P B A <<>=则必有
(A)(|)(|)P A B P A B =
(B)(|)(|)P A B P A B ≠
(C)()()()P AB P A P B =
(D)()()()P AB P A P B ≠
三、(本题满分5分)
求直线11
:
111
x y z l --==
-在平面:210x y z π-+-=上的投影直线0l 的方程,并求0l 绕y 轴旋转一周所成曲面的方程.
四、(本题满分6分)
确定常数,λ使在右半平面0x >上的向量4
2242(,)2()()x y xy x
y x x y λλ=+-+A i j 为某二
元函数(,)u x y 的梯度,并求(,).u x y
五、(本题满分6分)
从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度
(y 从海平面算起)与下沉速度v
之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为,m 体积为,B 海水密度为,ρ仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为(0).
k k >试建立y 与v 所满足的微分方程,并求出函数关系式
().y y v =
六、(本题满分7分)
计算222212(),()axdydz z a dxdy x y z ∑
++++??其中∑
为下半平面z =,a 为大于零
的常数.
七、(本题满分6分)
求2sin sin sin lim .1112x n n n n n n πππ→∞??
??+++??+??
++?
?L
八、（本题满分5分） 设正向数列{}n a 单调减少,且1
(1)n
n n a ∞
=-∑发散,试问级数1
1(
)1
n
n n a ∞
=+∑是否收敛?并说明理由.
九、（本题满分6分） 设
()y f x =是区间[0,1]上的任一非负连续函数.
(1)试证存在
0(0,1),x ∈使得在区间0[0,]x 上以0()f x 为高的矩形面积,等于在区间0[,1]x 上以
()y f x =为曲边的曲边梯形面积.
(2)又设()f x 在区间(0,1)内可导,且2()
(),f x f x x
'>-
证明(1)中的0x 是唯一的.
已知二次曲面方程222
2224x ay z bxy xz yz +++++=可以经过正交变换x y z ξηζ????
????=????????????
P 化为
椭圆柱面方程2
244,η
ξ+=求,a b 的值和正交矩阵.P
十一、（本题满分4分）
设A 是n 阶矩阵,若存在正整数,k 使线性方程组k
x =A 0有解向量,α且1.k -≠A α0
证明:向量组1,,,k -αA αA αL
是线性无关的.
十二、（本题满分5分） 已知方程组
(Ⅰ)
1111221,222112222,221122,220
00
n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=+++=+++=L L M
L
的一个基础解析为11121,221222,212,2(,,,),(,,,),,(,,,).T T T n n n n n n b b b b b b b b b L L L L 试写出线性方
程组
(Ⅱ)
1111221,222112222,221122,220
00
n n n n n n n n n b y b y b y b y b y b y b y b y b y +++=+++=+++=L L M
L
的通解,并说明理由.
设两个随机变量,X Y
相互独立,且都服从均值为0、方差为
1
2
的正态分布,求随机变量X Y -的方差.
十四、（本题满分4分） 从正态总体2
(3.4,6
)N 中抽取容量为n 的样本,如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率
不小于0.95,问样本容量n 至少应取多大? 附:标准正态分布表
2
2
()
t z
x dt -Φ=?
十五、（本题满分4分）
设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生地成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分.问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70 分?并给出检验过程. 附:t 分布表
{()()}p P t n t n p ≤=
1999年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)20
11lim(
)tan x x x x
→-=_____________. (2)20
sin()x d x t dt dx -?=_____________. (3)
24e x y y ''-=的通解为y =_____________.
(4)设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的n 个特征值是 _____________. (5)设两两相互独立的三事件,A B 和C 满足条件:1
,()()(),2
ABC P A P B P C =?==<
且已知9
(),16
P A B C =
U U 则()P A =_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设()f x 是连续函数,()F x 是()f x 的原函数,则
(A)当()f x 是奇函数时,()F x 必是偶函数
(B)当()f x 是偶函数时,()F x 必是奇函数 (C)当
()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数 (D)当()f x 是单调增函数时,()F x 必是单调增函数
(2)
设
2 0()() 0x f x x g x x >=≤?
,其中()g x 是有界函数,则()f x 在0x =处 (A)极限不存在 (B)极限存在,但不连续
(C)连续,但不可导
(D)可导
(3)设
01()1
22 12
x x f x x x ≤≤??=?-<
==+-∞<<+∞∑ 其中1
02()cos n
a f x n xdx π=? (0,1,2,)n =L ,则5
()2
S -等于
(A)1
2
(B)12-
(C)3
4
(D)34-
(4)设A 是m n ?矩阵,B 是n m ?矩阵,则
(A)当m n >时,必有行列式||0≠AB
(B)当m n >时,必有行列式||0=AB
(C)当n
m >时,必有行列式||0≠AB
(D)当n m >时,必有行列式||0=AB
(5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布(0,1)N 和(1,1)N ,则
(A)1{0}2P X
Y +≤=
(B)1{1}2P X
Y +≤=
(C)1
{0}2
P X Y -≤=
(D)1
{1}2
P X Y -≤=
三、(本题满分6分)
设(),()y y x z z x ==是由方程()z xf x y =+和(,,)0F x y z =所确定的函数,其中f
和F 分别
具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求.dz
dx
四、(本题满分5分)
求
(e sin ())(e cos ),
x x L
I y b x y dx y ax dy =-++-?其中
,a b
为正的常数,L 为从点
(2,0)A a 沿曲线y =(0,0)O 的弧.
五、(本题满分6分)
设函数
()(0)y x x ≥二阶可导且()0,(0) 1.y x y '>=过曲线()y y x =上任意一点(,)P x y 作该
曲线的切线及x 轴的垂线,上述两直线与x 轴所围成的三角形的面积记为1S ,区间[0,]x 上以()y y x =为
曲线的曲边梯形面积记为2S ,并设1
22S S -恒为1,求曲线()y y x =的方程.
六、(本题满分7分)
论证:当0x >时,2
2(1)ln (1).x x x -≥-
七、(本题满分6分)
为清除井底的淤泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口(见图).
已知井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,在提升过程中,污泥以20N/s 的速率从抓斗缝隙中漏掉.现将抓起污泥的抓斗提升至井口,问克服重力需作多少焦耳的功?
(说明:①1N ?1m=1Jm,N,s,J 分别表示米,牛,秒,焦.②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.)
八、(本题满分7分)
设
S 为椭球面
22
2122
x y z ++=的上半部分,点(,,),P x y z S π∈为
S 在点P 处的切平
面,(,,)x y z ρ为点(0,0,0)O 到平面π的距离,求
.(,,)S
z
dS x y z ρ??
设40
tan :n n
a xdx π
=?
(1)求
211
()n n n a a n
∞
+=+∑的值. (2)试证:对任意的常数0,λ>级数1n
n a n
λ∞
=∑
收敛.
十、(本题满分8分)
设矩阵153,10a c b c a -????=??
??--??
A 其行列式
||1,=-A 又A 的伴随矩阵*A 有一个特征值0λ,属于0λ的一个特征向量为(1,1,1),T =--α
求,,a b c 和0λ的值.
十一、(本题满分6分)
设A 为m 阶实对称矩阵且正定,B 为m n ?实矩阵,T B 为B 的转置矩阵,试证T B AB 为正定矩阵的充分必要条件是B 的秩()
.r n =B
设随机变量X 与Y 相互独立,下表列出了二维随机变量(,)X Y 联合分布率及关于X 和关于Y 的边缘分布率中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处.
十三、(本题满分6分)
设X 的概率密度为
3
6() 0< ()0 其它
x
x x f x θθ
θ?-
本
(1)求θ的矩估计量?θ
. (2)求?θ
的方差?().D θ
2000年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)
?
=_____________.
(2)曲面2
222321x y z ++=在点(1,2,2)--的法线方程为_____________.
(3)微分方程30xy y '''+=的通解为_____________.
(4)已知方程组12312
112323120x a x a x ????????????+=????????????-??????
无解,则a = _____________. (5)设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1
9
,A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等,则()P A =_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设()f x 、()g x 是恒大于零的可导函数,且()()()()0f x g x f x g x ''-<,则当a x b <<时,有
(A)()()()()f x g b f b g x >
(B)()()()()f x g a f a g x > (C)
()()()()f x g x f b g b >
(D)()()()()f x g x f a g a > (2)设22221:(0),S x y z a z S ++=≥为S 在第一卦限中的部分,则有
(A)1
4S
S xdS xdS =????
(B)1
4S
S ydS xdS =????
(C)
1
4S
S zdS xdS =????
(D)
1
4S
S xyzdS xyzdS =????
(3)设级数
1n
n u
∞
=∑收敛,则必收敛的级数为
(A)1
(1)n
n
n u
n ∞
=-∑ (B)
2
1
n
n u
∞
=∑
(C)
21
21
()n n n u
u ∞
-=-∑
(D)
11
()n
n n u
u ∞
+=+∑
(4)设n 维列向量组1,,()m m n <ααL 线性无关,则n 维列向量组1,,m ββL 线性无关的充分必要条
件为
(A)向量组1,,m ααL 可由向量组1,,m ββL 线性表示
(B)向量组1,,m ββL
可由向量组1,,m ααL 线性表示
(C)向量组1,,m ααL 与向量组1,,m ββL 等价
(D)矩阵1(,,)m =A
ααL 与矩阵1(,,)m =B ββL 等价
(5)设二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布,则随机变量X Y
ξ=+与 X Y
η
=-不相关的充分
必要条件为
(A)()()E X E Y =
(B)2
222()[()]()[()]E X E X E Y E Y -=-
(C)2
2()()E X E Y =
(D)2
222()[()]()[()]E X E X E Y E Y +=+
三、(本题满分6分)
求142e sin lim(
).1e
x
x x
x
x
→∞
++
+
四、(本题满分5分)
设(,)()x x
z f xy g y y
=+,其中f
具有二阶连续偏导数,g 具有二阶连续导数,求2.z
x y
???
五、(本题满分6分)
计算曲线积分22
4L xdy ydx I
x y -=+?
?,其中L 是以点(1,0)为中心,R 为半径的圆周(1),R >取逆时针
方向.
六、(本题满分7分)
设对于半空间
0x >内任意的光滑有向封闭曲面,S 都有
2()()e
0,x
S
xf x dydz xyf x dzdx zdxdy --=??ò其中函数()f x 在(0,)+∞内具有连续的一阶导数,且
0lim ()1,x f x +
→=求()f x .
七、(本题满分6分) 求幂级数113(2)
n
n
n
n x n ∞
=+-∑的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性.
八、(本题满分7分)
设有一半径为R 的球体0,P 是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到0P 距离的平方成正比(比例常数0k
>),求球体的重心位置.
九、(本题满分6分) 设函数
()f x 在[0,]π上连续,且
()0,()cos 0.f x dx f x xdx π
π
==?
?试证:在(0,)π内至少存在
两个不同的点12,,ξξ使12()()0.f f ξξ==
十、(本题满分6分)
设矩阵A 的伴随矩阵*10000100,101003
8??????=???
?-??
A 且113--=+ABA BA E ,其中E
为4阶单位矩阵,
求矩阵B .
十一、(本题满分8分)
某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将1
6熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有2
5
成为熟练工.设第n 年1月
份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为n x 和
,n y 记成向量.n n x y ??
???
(1)求11n n x y ++??
???与n n x y ?? ???的关系式并写成矩阵形式:11.n n n n x x y y ++????
= ? ?????
A
(2)验证1
241,11-????
== ? ?????
ηη是A 的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值. (3)当111212x y ??
?
??= ? ? ?
?? ???
时,求11.n n x y ++?? ???
十二、(本题满分8分)
某流水线上每个产品不合格的概率为(01)p p <<,各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品
时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为X ,求X 的数学期望()E X 和方差()D X .
十三、(本题满分6分)
设某种元件的使用寿命X 的概率密度为
2()2e (;)0
x x f x x θθ
θθ-->?=?
≤?,其中0θ>为未知参数.又设
12,,,n x x x L 是X
的一组样本观测值,求参数θ的最大似然估计值.
2001年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)设
e (sin cos )(,x y a x b x a b =+为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方
程为_____________.
(2)2
22z y x r
++=,则(1,2,2)
div(grad )
r -= _____________.
(3)交换二次积分的积分次序:?
?
--01
12
),(y dx y x f dy ＝_____________.
(4)设2
4+-=A
A E O ,则1(2)--A E = _____________.
(5)()2D X =,则根据车贝晓夫不等式有估计≤≥-}2)({X E X P _____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设函数
)(x f 在定义域内可导,)(x f y =的图形如右图所示,则)(x f y '=的图形为
(A) (B)
(C) (D)
(2)设
),(y x f 在点(0,0)的附近有定义,且1)0,0(,3)0,0(='='y x f f 则
(A)(0,0)|3dz dx dy =+ (B)曲面),(y x f z
=在(0,0,(0,0))f 处的法向量为{3,1,1}