1高考湘教考苑数学一轮复习教材研读：第二章 第六节 对数与对数函数 含解析
第六节 对数与对数函数
命题导航
考试要点
命题预测
(1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在化简运算中的作用.
(2)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点.
(3)知道对数函数是一类重要的函数模型.
(3)了解指数函数y=a x
与对数函数y=log a x 互为反函数(a>0,且a ≠1).
1.考向预测:①利用对数函数的单调性比较大小;
②求对数型函数的定义域、值域及最值;
③对数函数性质的应用.
2.学科素养:主要考查直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
1.对数的概念
(1)对数的定义:
一般地,如果① a x =N(a>0,且a ≠1) ,那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作② x=log a N ,其中③ a 叫做对数的底数,④ N 叫做真数.
(2)几种常见的对数: 对数形式
特点
记法 一般对数 底数为a(a>0且a ≠1) ⑤ log a N 常用对数 底数为10 ⑥ lg N 自然对数
底数为e
⑦ ln N
2.对数的性质与运算法则
(1)对数的性质:
a log a N =⑧ N ;log a a N =⑨ N .(a>0且a ≠1) (2)对数的重要公式:
换底公式:⑩ log b N =log a N
log a
b (a,b 均大于0且不等于1);
相关结论:log a b=1
log b
a ,log a
b ·
log b c ·log c d= log a d (a,b,c 均大于0且不等于1,d 大于
0).
(3)对数的运算法则:
如果a>0且a ≠1,M>0,N>0,那么 log a (MN)= log a M+log a N ; log a M
N = log a M-log a N ; log a M n = nlog a M (n ∈R); lo g a m M n =n
m log a M(m,n ∈R,且m ≠0). 3.对数函数的图象与性质
a>1
0 图象 性质 定义域:(0,+∞) 值域:R 图象恒过点(1,0),即x=1时,y=0 当x>1时,y>0; 当0 是(0,+∞)上的减函数 ?提醒 当对数函数的底数a 的大小不确定时,需分a>1和0 指数函数y=a x (a>0,且a ≠1)与对数函数 y=log a x (a>0,且a ≠1)互为反函数,它们的图象关于直线 y=x 对称. 知识拓展 对数函数的图象与底数大小的比较如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数,故0 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“?”). (1)log a(MN)=log a M+log a N.(?) (2)log a x·log a y=log a(x+y).(?) (3)log2x2=2log2x.(?) (4)若log a m (5)函数y=ln1+x 与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同.(√) 1-x ,-1),函数图象经过第一、(6)对数函数y=log a x(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),(1 a 四象限.(√) π,c=π-2,则a,b,c的大小关系是() 2.设a=log2π,b=lo g1 2 A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>b>a 答案C 3.计算:log23·log34+(√3)log34=. 答案4 4.函数f(x)=log2x,x≥4的值域为. 答案[2,+∞) 5.函数y=√log0.5(4x-3)的定义域为. ,1] 答案(3 4 6.(教材习题改编)函数y=log a(4-x)+1(a>0,且a≠1)的图象恒过点. 答案 (3,1) 对数的概念、性质与运算 命题方向一 对数的概念与性质 典例1 (1)若log a 2=m,log a 5=n,则a 3m+n ( ) A.11 B.13 C.30 D.40 (2)已知2a =5b =10,则a+b ab = . (3)设52log 5(2x -1)=9,则x= . 答案 (1)D (2)1 (3)2 命题方向二 对数的运算 典例2 计算:(1)(lg 2)2+lg 2·lg 50+lg 25; (2)log 3 √274 3 +lg 5+7log 72 +log 23·log 94+lg 2; (3)(log 32+log 92)·(log 43+log 83). 解析 (1)原式=(lg 2)2+(1+lg 5)·lg 2+lg 52 =(lg 2+lg 5+1)lg 2+2lg 5=(1+1)lg 2+2lg 5=2(lg 2+lg 5)=2. (2)原式=log 3334 -1+lg 5+2+lg3lg2·2lg22lg3+lg 2=3 4-1+(lg 5+lg 2)+2+1 =-1 4+1+3=15 4. (3)原式=log 32·log 43+log 32·log 83+log 92·log 43+log 92·log 83 =lg2 lg3·lg3 2lg2+lg2 lg3·lg3 3lg2+lg2 2lg3·lg3 2lg2+lg2 2lg3·lg3 3lg2 =12+13+14+16=1512=54. 规律方法 对数运算的求解思路 (1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后利用对数的运算性质求解. (2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,将其转化为同底数对数真数的积、商、幂的运算. 1-1 (1)(lg 5)2+lg 2·lg 5+lg 20-log 23·log 38+2(1+log 25)= . (2)如果45x =3,45y =5,那么2x+y= . 答案 (1)9 (2)1 解析 (1)原式=lg 5(lg 5+lg 2)+lg 2+lg 10-log 23·log 28 log 2 3+2·2log 25=1+1-3+10=9. (2)∵45x =3,45y =5,∴x=log 453,y=log 455, ∴2x+y=2log 453+log 455=log 459+log 455=log 45(9×5)=1. 对数函数的图象及应用 典例3 (1)函数f(x)=ln|x-1|的大致图象是( ) (2)当0 2时,4x √2 2 ) B.(√2 2,1) C.(1,√2) D.(√2,2) (3)已知函数f(x)=4+log a (x-1)的图象恒过定点P,则点P 的坐标是 . 答案 (1)B (2)B (3)(2,4) 解析 (1)当x>1时, f(x)=ln(x-1),又f(x)的图象关于直线x=1对称,故选B. (2)易知0 与y=log a x 的大致图象如图,则由题意可知只需满足log a 1 2>412 ,解得a>√2 2,∴√2 2 方法技巧 对数函数图象的应用方法 一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数的图象问题,利用数形结合法求解. 2-1函数y=log a x与y=-x+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是() 答案A 对数函数的性质及应用 命题方向一比较对数值的大小 典例4(1)(2018天津,5,5分)已知a=log2e,b=ln2,c=lo g1 21 3 ,则a,b,c的大小关系为() A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 1<1 a <1 b ,则下列结论中正确的是() A.log a b>log b a B.|log a b+log b a|>2 C.(log b a)2<1 D.|log a b|+|log b a|>|log a b+log b a| 答案(1)D(2)AB 解析(1)由已知得c=log 23, ∵log23>log2e>1,b=ln2<1, ∴c>a>b,故选D. (2)∵1<1 a <1 b , ∴0 则log a b>1,0 log a b+log b a ≥2√a b ·log b a =2, 当且仅当log a b=log b a 时,等号成立, 又易知其不相等,故B 正确. 0<(log b a)2<1,故C 错误. |log a b|+|log b a|=|log a b+log b a|,故D 错误. 命题方向二 解简单对数不等式 典例5 (1)函数f(x)=√(log 2x)2-1 的定义域为( ) A.(0,1 2) B.(2,+∞) C.(0,12)∪(2,+∞) D.(0,1 2]∪[2,+∞) (2)函数y=√3(2x -1)+1的定义域是( ) A.[1,2] B.[1,2) C.[23,+∞) D.(2 3,+∞) 答案 (1)C (2)C 命题方向三 对数函数性质的综合应用 典例6 已知函数f(x)=log a (ax 2-x+1)(a>0,且a ≠1). (1)若a=1 2,求函数f(x)的值域; (2)当f(x)在区间[14,3 2]上为增函数时,求a 的取值范围. 解析 (1)当a=12时,ax 2-x+1=12x 2-x+1=1 2[(x-1)2+1]>0恒成立, 故函数f(x)的定义域为R, ∵12x 2-x+1=12[(x-1)2+1]≥1 2,且函数y=lo g 12 x 在(0,+∞)上单调递减, ∴lo g 12 (12x 2-x +1)≤lo g 12 1 2=1, 即函数f(x)的值域为(-∞,1]. (2)依题意可知, ①当a>1时,由复合函数的单调性可知,必有y=ax 2-x+1在[14,3 2]上单调递增,且ax 2-x+1>0对任意x ∈[14,3 2]恒成立. 故有{x =12a ≤1 4,a ·(14)2-1 4+1>0, 解得a ≥2; ②当0 2]恒成立,故有{x =12a ≥3 2, a ·(32)2-32+1>0, 解得29 3 . 综上,实数a 的取值范围是(29,1 3]∪[2,+∞). 规律方法 1.比较对数值的大小的方法 (1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论. (2)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较. (3)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较. 2.对数不等式的类型及解法 (1)形如log a x>log a b(a>0且a ≠1)的不等式,需借助y=log a x 的单调性求解,如果a 的取值不确定,那么需分a>1与0 (2)形如log a x>b 的不等式,需先将b 化为以a 为底的对数式的形式,再求解. 3-1 设a=log 36,b=log 510,c=log 714,则( ) A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c 答案 D ∵a=log 36=1+log 32=1+1 log 2 3, b=log 510=1+log 52=1+1 log 2 5, c=log 714=1+log 72=1+1 log 2 7, 且log 27>log 25>log 23>0, ∴a>b>c. 3-2 已知函数f(x)=ln(2求f(lg 2)+f (lg 1 2)的值. 解析 由√1+9x 2-3x>0恒成立知,函数f(x)的定义域为R, 又f(-x)+f(x)=[ln(√1+9x 2+3x)+1]+[ln(√1+9x 2-3x)+1] =ln[(√1+9x 2+3x)(√1+9x 2-3x)]+2 =ln 1+2=2, 所以f(lg 2)+f (lg 1 2) =f(lg 2)+f(-lg 2)=2. 1.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总 数N 约为1080,则下列各数中与M N 最接近的是(参考数据:lg 3≈0.48)( ) A.1033 B.1053 C.1073 D.1093 答案 D 设M N =x=3361 1080,两边取对数, 得lg x=lg 3361 1080=lg 3361-lg 1080=361×lg 3-80≈93.28, 所以x=1093.28,即M N 最接近1093. 2.在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足 m 2-m 1=52lg E 1E 2 ,其中星等为m k 的星的亮度为E k (k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是 -1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A.1010.1 B.10.1 C.lg 10.1 D.10-10.1 答案 A 依题意,m 1=-26.7,m 2=-1.45, 所以52·lg E 1E 2 =-1.45-(-26.7)=25.25, 所以 lg E 1E 2 =25.25×2 5 =10.1, 所以E 1E 2 =1010.1.故选A. A 组 基础题组 1.函数y=√log 23 (2x -1)的定义域是( ) A.[1,2] B.[1,2) C.[1 2,1] D.(1 2,1] 答案 D 2.log 6[log 4(log 381)]的值为( ) A.-1 B.1 C.0 D.2 答案 C 3.已知函数y=log a (x+c)(a,c 为常数,其中a>0,且a ≠1)的图象如图,则下列结论成立的是( ) A.a>1,c>1 B.a>1,0 C.0 D.0 4.(2019河南郑州模拟)设a=log 50.5,b=log 20.3,c=log 0.32,则 ( ) A.b 答案 B a=log 50.5>log 50.2=-1,b=log 20.3 3=-1,log 0.32=lg2 lg0.3, log 50.5=lg0.5lg5=lg2 -lg5=lg2 lg0.2. ∵-1 lg0.3 即c 5.若lg 2=a,lg 3=b,则log 418=( ) A.a+3b a B. a+3b 2a C. a+2b a 2 D. a+2b 2a 答案 D log 418=lg18lg4= lg2+2lg3 2lg2 .因为lg 2=a,lg 3=b,所以log 418= a+2b 2a .故选D. 6.已知函数f(x)=log 2(x 2-2x+a)的最小值为2,则a=( ) A.4 B.5 C.6 D.7 答案 B 7.已知函数f(x)=lg 1-x 1+x ,若f(a)=1 2,则f(-a)=( ) A.2 B.-2 C.1 2 D.-12 答案 D ∵f(x)=lg 1-x 1+x 的定义域为{x|-1 1-x =-lg 1-x 1+x =-f(x), ∴f(x)为奇函数,∴f(-a)=-f(a)=-1 2. 8.若y=log 13 (3x 2-ax+5)在[-1,+∞)上单调递减,则a 的取值范围是( ) A.(-∞,-6) B.(-6,0) C.(-8,-6] D.[-8,-6] 答案 C 由题意得a 6≤-1,且3x 2-ax+5>0 在[-1,+∞)上恒成立,所以3+a+5>0?a>-8, 即-8 9.设f(x)=lg(10x +1)+ax 是偶函数,那么a 的值为( ) A.1 B.-1 C.1 2 D.-12 答案 D 函数f(x)=lg(10x +1)+ax 的定义域为R,因为f(x)为偶函数,所以f(x)-f(-x)=0,即lg(10x +1)+ax-[lg(10-x +1)+a(-x)]=(2a+1)x=0.从而2a+1=0,a=-1 2. 10.若函数f(x)=log a x(0 √2 4 11.若log a (a 2+1) 2,1) 解析 由题意得a>0且a ≠1,故必有a 2+1>2a,又log a (a 2+1) 2. 综上,a ∈(1 2,1). 12.已知2x ≤16且log 2x ≥1 2,求函数f(x)=log 2x 2·lo g √2 √x 2 的值域. 解析 由2x ≤16,解得x ≤4, ∴log 2x ≤2, 又log 2x ≥1 2, ∴1 2≤log 2x ≤2, f(x)=log 2x 2·lo g √2 √x 2 =(log 2x-1)(log 2x-2) =(log 2x)2-3log 2x+2 =(log 2x -32)2-1 4, ∴当log 2x=3 2时, f(x)min =-1 4. 又当log 2x=1 2时, f(x)=3 4; 当log 2x=2时, f(x)=0, ∴当log 2x=1 2时, f(x)max =3 4. 故f(x)的取值范围是[-14,3 4]. B 组 提升题组 1.已知f(x)=lo g 12 x,则不等式(f(x))2>f(x 2)的解集为( ) A.(0,1 4) B.(1,+∞) C.(14,1) D.(0,1 4)∪(1,+∞) 答案 D 由(f(x))2>f(x 2)得,(lo g 12 x)2>lo g 12 x 2?lo g 12 x(lo g 12 x-2)>0,即lo g 12 x>2或lo g 12 x<0,解得 x ∈(0,1 4)∪(1,+∞). 2.设方程10x =|lg(-x)|的两个根分别为x 1,x 2,则( ) A.x 1x 2<0 B.x 1x 2=0 C.x 1x 2>1 D.0 答案 D 作出y=10x 与y=|lg(-x)|的大致图象,如图. 显然x1<0,x2<0. 不妨令x1 所以10x1=lg(-x1),10x2=-lg(-x2), 此时10x1<10x2,即lg(-x1)<-lg(-x2), 由此得lg(x1x2)<0, 所以0 3.设x、y、z为正数,且2x=3y=5z,则() A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z 答案D令2x=3y=5z=k(k>1),则x=log 2k,y=log3k,z=log5k,∴2x 3y =2lgk lg2 ·lg3 3lgk =lg9 lg8 >1,则2x>3y, 2x 5z =2lgk lg2 ·lg5 5lgk =lg25 lg32 <1,则2x<5z,故选D. 4.已知函数f(x)=|log3x|,实数m,n满足0 n m =. 答案9 解析∵f(x)=|log 3x|, 实数m,n满足0 ∴m<1 ∴mn=1. ∵f(x)在区间[m2,n]上的最大值为2, 函数f(x)在[m2,1)上是减函数,在(1,n]上是增函数, ∴-log3m2=2或log3n=2. 若-log3m2=2,则m=1 3 , 从而n=3, 此时log3n=1=-log3m,符合题意, 则n m =3÷1 3 =9; 若log 3n=2,则n=9,从而m=19,此时-log 3m 2=4>2,不符合题意.故n m =9. 5.已知函数f(x)=3-2log 2x,g(x)=log 2x. (1)当x ∈[1,4]时,求函数h(x)=[f(x)+1]·g(x)的值域; (2)如果对任意的x ∈[1,4],不等式f(x 2)·f(√x )>k ·g(x)恒成立,求实数k 的取值范围. 解析 (1)h(x)=(4-2log 2x)·log 2x=-2(log 2x-1)2+2. 因为x ∈[1,4],所以log 2x ∈[0,2], 故函数h(x)的值域为[0,2]. (2)由f(x 2)·f(√x )>k ·g(x)得 (3-4log 2x)(3-log 2x)>k ·log 2x. 令t=log 2x,因为x ∈[1,4], 所以t=log 2x ∈[0,2], 所以(3-4t)(3-t)>k ·t 对一切t ∈[0,2]恒成立. 当t=0时,k ∈R; 当t ∈(0,2]时,k< (3-4t)(3-t) t 恒成立, 即k<4t+9 t -15恒成立. 因为4t+9 t ≥12, 当且仅当4t=9t , 即t=3 2时取等号, 所以(4t +9 t -15)min =-3, 则k<-3. 综上,k ∈(-∞,-3). C 咨询电话：4006-211-001 WWW r haOfangfa COm 1 指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数 a . 1及O ：：： a ：：： 1两种不同情况。 1、指数函数： 定义：函数y =a x a . 0且a --1叫指数函数。 定义域为R 底数是常数，指数是自变量。 认识。 图象特征 函数性质 （1）图象都位于X 轴上方； （1）X 取任何实数值时，都有 a X A0 ； （2）图象都经过点（0, 1）； （2）无论a 取任何正数，X = 0时，y = 1 ； （3） y — 2 ， y — 10在第一象限内的纵坐 \ > 0 ,贝U a X A 1 （3）当 a > 1 时，｛ →, X 标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于 1， < < 0 ,贝U a <1 X A 0 ,贝U a x V 1 y = — ［的图象正好相反； 当 0 ca c1 时，< X ￡ 0 ,贝U a x A 1 k （4） y =2X ， y=10X 的图象自左到右逐渐 （4）当a >1时，y =a x 是增函数， 当0cac1时，y=a x 是减函数。 为什么要求函数 y = a 中的a 必须a . 0且a = 1。 X 因为若a ：：;0 时, X 1、对三个指数函数 a = 0 ， y = 0 a =1 时，y = 1 =1x 的反函数不存在, y =a x ，y =Iog a X 在 上升，y = f l］的图象逐渐下降。 k2 J ①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y=2x和y=10x相交于（0，1）， 的图象在y =2x的图象的上方，当X ：：：0 ,刚好相反，故有1 0 2. 22及10 ^ ：：： 2 ^。 步认识无限个函数的图象。 2、对数： 定义：如果a tl = N（a . 0且a ■■ 1）,那么数b就叫做以a为底的对数，记作b = Iog a N （a是底数，N是 真数，log a N是对数式。） 由于N ^a b . 0故log a N中N必须大于0。 当N为零的负数时对数不存在。 （1）对数式与指数式的互化。 由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如: 分析：对于初学者来说，对上述问题一般是束手无策，若将它写成 比较好办。 解：设Iog 0.32 X ■? 0 时，y = 10 % ②y =2x与y X 的图象关于y轴对称。 ③通过y = 2 X X 三个函数图象，可以画出任意一个函数y = a 示意图，如y =3x的图象，一定位于y =2x和y =IO x两个图象的中间，且过点（0, 1）,从而y = X 也由关于y轴的对称性，可得的示意图，即通过有限个函数的图象进 再改写为指数式就 指数函数和对数函数知识点总结及练习题 一.指数函数 （一）指数及指数幂的运算 n m n m a a = s r s r a a a +=? rs s r a a =)( r r r b a ab =)( （二）指数函数及其性质 1.指数函数的概念：一般地，形如x a y =（0>a 且1≠a ）叫做指数函数。 2.指数函数的图象和性质 10<a 6 54321 -1 -4-2 2460 1 6 5 4 3 2 1 -1 -4-2 246 1 定义域 R 定义域 R 值域y ＞0 值域y ＞0 在R 上单调递减 在R 上单调递增 非奇非偶函数 非奇非偶函数 定点（0，1） 定点（0，1） 二.对数函数 （一）对数 1.对数的概念：一般地，如果N a x =（0>a 且1≠a ），那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作N x a log =，其中a 叫做底数，N 叫做真数，N a log 叫做对数式。 2.指数式与对数式的互化 幂值 真数 x N N a a x =?=log 底数 指数 对数 3.两个重要对数 （1）常用对数：以10为底的对数N lg （2）自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数N ln （二）对数的运算性质（0>a 且1≠a ，0,0>>N M ） ①MN N M a a a log log log =+ ②N M N M a a a log log log =- ③M n M a n a log log = ④换底公式：a b b c c a log log log =（0>c 且1≠c ） 关于换底公式的重要结论：①b m n b a n a m log log = ②1log log =?a b b a （三）对数函数 1.对数函数的概念：形如x y a log =（0>a 且1≠a ）叫做对数函数，其中x 是自变量。 2对数函数的图象及性质 0 2.1.1指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次 当n 是偶数时，正数a 的正的n 负的n 次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数 时，0a ≥． n a =；当n a =；当n (0)|| (0) a a a a a ≥?==?-∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．② 正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0 的负分数指 数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ① (0,,) r s r s a a a a r s R +?=>∈ ② ()(0,,) r s rs a a a r s R =>∈ ③ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 2.1.2指数函数及其性质 指数函数练习 1．下列各式中成立的一项 （ ） A ．71 7 7)(m n m n = B ．31243)3(-=- C ．4 343 3)(y x y x +=+ D ． 33 39= 2．化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 （ ） A ．a 6 B ．a - C ．a 9- D ．2 9a 3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确的是 （ ） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．) () (y f x f y x f =-） （ C ．)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D ．)()]([· )]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n 4．函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y （ ） A ．}2,5|{≠≠x x x B ．}2|{>x x C ．}5|{>x x D ．}552|{>< 对数函数图像和性质及经典例题 第一部分：回顾基础知识点 对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 对数函数的图象和性质 ○ 1 在同一坐标系中画出下列对数函数的图象； （1） x y 2log = （2） x y 2 1log = （3） x y 3log = （4） x y 3 1log = ○ 2 对数函数的性质如下： 图象特征 函数性质 1a > 1a 0<< 1a > 1a 0<< 函数图象都在y 轴右侧 函数的定义域为（0，＋∞） 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 向y 轴正负方向无限延伸 函数的值域为R 函数图象都过定点（1，1） 11=α 自左向右看， 图象逐渐上升 自左向右看， 图象逐渐下降 增函数 减函数 第一象限的图象纵坐标都大于0 第一象限的图象纵坐标都大于0 0log ,1>>x x a 0log ,10>< 第二部分：对数函数图像及性质应用 例1．如图，A ，B ，C 为函数x y 2 1log =的图象上的三点，它们的横坐标分别是t , t +2, t +4(t ≥1). (1)设?ABC 的面积为S 。求S=f (t ) ； (2)判断函数S=f (t )的单调性； (3) 求S=f (t)的最大值 . 解：（1）过A,B,C,分别作AA 1,BB 1,CC 1垂直于x 轴，垂足为A 1,B 1,C 1， 则S=S 梯形AA 1B 1B +S 梯形BB 1C 1C －S 梯形AA 1C 1C . )44 1(log )2(4log 2 3223 1t t t t t ++=++= （2）因为v =t t 42+在),1[+∞上是增函数,且v ≥5, [)∞++=.541在v v 上是减函数，且1 幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案 如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，就是ab=N，那么数b就叫做以a为底N的对数，记作 logaN=b， 其中a叫做底数，N叫做真数，式子logaN叫做对数式． 练习1 把下列指数式写成对数形式： 练习2 把下列对数形式写成指数形式： 练习3 求下列各式的值： 因为22=4，所以以2为底4的对数等于2． 因为53=125，所以以5为底125的对数等于3． 师：由定义，我们还应注意到对数式logaN=b中字母的取值范围是什么？ 生：a＞0且a≠1；b∈R；N∈R． 师：N∈R？（这是学生最易出错的地方，应一开始让学生牢牢记住真数大于零．） 生：由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因而ab=N中N总是正数． 师：要特别强调的是：零和负数没有对数． 师：定义中为什么规定a＞0，a≠1？ 生：因为若a＜0，则N取某些值时，b可能不存在，如b=log（-2）8不存在；若a=0，则当N不为0时，b不存在，如log02不存在；当N为0时，b可以为任何正数，是不唯一的，即log00有无数个值；若a=1，N 不为1时，b不存在，如log13不存在，N为1时，b可以为任何数，是不唯一的，即log11有无数多个值．因此，我们规定：a＞0，a≠1． 师：（板书）对数logaN（a＞0且a≠1）在底数a=10时，叫做常用对数，简记lgN；底数a=e时，叫做自然对数，记作lnN，其中e是个无理数，即e≈2.718 28……． 练习4 计算下列对数： lg10000，lg0.01，2log24，3log327，10lg105，5log51125． 师：请同学说出结果，并发现规律，大胆猜想． 生：2log24=4．这是因为log24=2，而22=4． 生：3log327=27．这是因为log327=3，而33=27． 生：10lg105=105． 生：我猜想alogaN=N，所以5log51125=1125． alogaN=N（a＞0，a≠1，N＞0）．（用红笔在字母取值范围下画上曲线） 证明：设指数等式ab=N，则相应的对数等式为logaN=b，所以ab=alogaN=N． 师：你是根据什么证明对数恒等式的？ 生：根据对数定义． 师：（分析小结）证明的关键是设指数等式ab=N．因为要证明这个对数恒等式，而现在我们有关对数的知 2020-2021学年高一数学单元知识梳理：指数函数与对数函数 1．指数式、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数式、对数的运算性质，在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化． 2．指数函数和对数函数的性质及图象特点是这部分知识的重点，而底数a的不同取值对函数的图象及性质的影响则是重中之重，要熟知a在(0,1)和(1，＋∞)两个区间取值时， 函数的单调性及图象特点． 3．比较几个数的大小是指数函数、对数函数性质的应用，在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与1比较，分出大于1还是小于1；然后在各类中两两相比较． 4．求含有指数函数和对数函数的复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数、对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数定义域的子集．其次要结合函数的图象，观察确定其最值或单调区间． 5．函数图象是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及．考查形式有知式选图、知图选式、图象变换以及用图象解题．函数图象形象地显示了函数的性质．在解方程或不等式时，特别是非常规的方程或不等式，画出图象，利用数形结合能快速解决问题． 6．方程的解与函数的零点：方程f(x)＝0有实数解?函数y＝f(x)有零点?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点． 7．零点判断法：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 注意：由f(a)f(b)<0可判定在(a，b)内至少有一个变号零点c，除此之外，还可能有其他的变号零点或不变号零点．若f(a)f(b)>0，则f(x)在(a，b)内可能有零点，也可能无零点． 8．二分法只能求出其中某一个零点的近似值，另外应注意初始区间的选择． 9．用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下： 一、指数、对数函数的典型问题及求解策略 指数函数、对数函数的性质主要是指函数的定义域、值域、单调性等，其中单调性是高考考查的重点，并且经常以复合函数的形式考查，求解此类问题时，要以已学函数的单 【教学设计中学数学】 区县雁塔区 学校西安市航天中学 姓名贾红云 联系方式 邮编710100 《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》教学设计 一、设计理念 《普通高中数学课程标准》明确指出：“学生的数学学习活动，不应该只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应该倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等信息数学的方式；课程内容的呈现，应注意反映数学发展的规律以及学生的认知规律，体现从具体到抽象，特殊到一般的原则；教学应注意创设情境，从具体实例出发，展现数学知识的发生、发展过程，使学生能够从中发现问题、提出问题，经历数学的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉等”。本节课是北师大版高中数学必修Ⅰ第三章第6节内容，本节专门研究指数函数、幂函数、对数函数的增长的比较，目的是探讨不同类型的函数模型，在描述实际增长问题时的不同变化趋势，通过本节课的学习，可以引导学生积极地开展观察、思考和探究活动，利用几何画板这种信息技术工具，可以让学生从动态的角度直观观察指数函数、幂函数、对数函数增长情况的差异，使学生有机会接触一些过去难以接触到的数学知识和数学思想，并为学生提供了学数学、用数学的机会，体现了发展数学应用意识、提高实践能力的新课程理念。 二、教学目标 1．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义，理解它们增长的差异性； 2．能借助信息技术，利用函数图像和表格，对几种常见增长类型的函数增长的情况进行比较，体会它们增长的差异； 3.体验指数函数、幂函数、对数函数与现实世界的密切联系及其在刻画实际问题中的作用，体会数学的价值. 三、教学重难点 教学重点：认识指数函数、幂函数、对数函数增长的差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长的含 义。 教学难点：比较指数函数、幂函数、对数函数增长的差异 四、教学准备 ⒈提醒学生带计算器； ⒉制作教学用幻灯片； ⒊安装软件：几何画板 ，准备多媒体演示设备 五、教学过程 ㈠基本环节 ⒈创设情景，引起悬念 杰米和韦伯的故事 一个叫杰米的百万富翁，一天，碰上一件奇怪的事，一个叫韦伯的人对他说，我想和你定个合同，我将在整整一个月中每天给你 10万元，而你第一天只需给我一分钱，而后每一天给我的钱是前一天的两倍。杰米说：“真的？！你说话算数？” 合同开始生效了，杰米欣喜若狂。第一天杰米支出一分钱，收入10万元；第二天，杰米支出2分钱，收入10万元；第三天，杰米支出4分钱，收入10万元；第四天，杰米支出8分钱，收入10万元…..到了第二十天，杰米共得到200万元，而韦伯才得到1048575分，共10000元多点。杰米想：要是合同定两个月、三个月多好！ 你愿意自己是杰米还是韦伯？ 【设计意图】创设情景，构造问题悬念，激发兴趣，明确学习目标 ⒉复习旧知，提出问题 图1-1 图1-2 图1-3 ⑴ 如图1-1，当a 时，指数函数x y a =是单调 函数，并且对于0x >，当底数a 越大时，其 函数值的增长就越 ； ⑵ 如图1-2当a 时，对数函数log a y x =是单调 函数，并且对1x >时，当底数a 越 时 其函数值的增长就越快； ⑶ 如图1-3当0x >，0n >时，幂函数n y x =是增函数，并且对于1x >，当n 越 时，其函数值 指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数 y a y x x a ==，log 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01且。 因为若a <0时，()y x =-4，当x =1 4 时，函数值不存在。 a =0，y x =0，当x ≤0，函数值不存在。 a =1时，y x =1对一切x 虽有意义，函数值恒为1， 但y x =1的反函数不存在，因为要求函数y a x =中的a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ? ? ?=21210，，的图 象的认识。 对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）： ①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y x =2和y x =10相交于()01，，当x >0 时，y x =10的图象在y x =2的图象的上方，当x <0，刚好相反，故有10222>及 10222--<。 ②y x =2与y x =?? ?? ?12的图象关于y 轴对称。 ③通过y x =2，y x =10，y x =?? ?? ?12三个函数图象，可以画出任意一个函数y a x =（a a >≠01且）的示意图，如y x =3的图象，一定位于y x =2和y x =10两个图象的中 间，且过点()01，，从而y x =?? ???13也由关于y 轴的对称性，可得y x =?? ? ? ?13的示意图，即 通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 2、对数： 定义：如果a N a a b =>≠()01且，那么数b 就叫做以a 为底的对数，记作b N a =log （a 是底数，N 是真数，log a N 是对数式。） 由于N a b =>0故log a N 中N 必须大于0。 当N 为零的负数时对数不存在。 （1）对数式与指数式的互化。 （2）对数恒等式： 由a N b N b a ==()log ()12 将（2）代入（1）得a N a N log = 运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。 计算： () 313 2 -log 解：原式==?? ?? ?-=3 131 2 222 13 1 3 log log 。 （3）对数的性质： ①负数和零没有对数； ②1的对数是零； ③底数的对数等于1。 （4）对数的运算法则： ①()()log log log a a a MN M N M N R =+∈+ ， ②()log log log a a a M N M N M N R =-∈+ ， ③()()log log a n a N n N N R =∈+ ④()log log a n a N n N N R =∈+ 1 指数函数与对数函数知识点总结 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次 方根，其中n >1，且n ∈N * ． 当n 是奇数时， a a n n =，当n 是偶数时， ?? ?<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3）s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数， 记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化 幂值 真数 （二）对数的运算性质 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○ 1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○ 2 =N M a log M a log －N a log ； ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式 a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ； 0>b ）． 利用换底公式推导下面的结论 （1）b m n b a n a m log log =； （2）a b b a log 1log =． （二）对数函数 一、指数的性质 （一）整数指数幂 1．整数指数幂概念： a n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()010a a =≠ ()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +?=∈ （2）()(),n m mn a a m n Z =∈ （3）()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=， ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? ． 3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根， 即： 若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根， ()* ∈>N n n ,1 例如：27的3次方根3273=， 27-的3次方根3273-=-， 32的5次方根2325=， 32-的5次方根2325-=-． 说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0 ⑤式子n a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 ∴ n a =． ． 4．a 的n 次方根的性质 一般地，若n 是奇数，则a a n n =； 若n 是偶数，则?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n ． 5．例题分析： 例1．求下列各式的值： （1）() 338- （2） ()210- （3）()44 3π- （4） ()()b a b a >-2解：略。 例2．已知,0<N n n ,1， 化简：()()n n n n b a b a ++-． 解：当n 是奇数时，原式a b a b a 2)()(=++-= 当n 是偶数时，原式a b a a b b a b a 2)()(||||-=--+-=++-= 所以，()()n n n n b a b a ++-22a n a n ?=? -?为奇数 为偶数 ． 例3．计算：407407-++ 解：407407-++52)25()25(22=-++= 例4．求值： 54 925-+． 解：549 25-+4 25254 5 49252 ）（-+=-+= 452622525+=-+= 2 1 54152 += +=）（ （二）分数指数幂 1．分数指数幂： ()10 2 5 0a a a ==> ()124 3 0a a a ==> 即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式； 如果幂的运算性质（2）() n k kn a a =对分数指数幂也适用， 例如：若0a >，则3 223233a a a ???== ??? ，4 554544a a a ???== ???， 23a = 4 5 a =． 即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。 规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是)0,,,1m n a a m n N n *=>∈>； （2）正数的负分数指数幂的意义是)10,,,1m n m n a a m n N n a -* == >∈>． 2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用 一、幂函数 1、幂的有关概念 正整数指数幂： ...() n n a a a a n N =∈ g123 零指数幂： 01(0) a a =≠ 负整数指数幂： 1 (0,) p p a a p N a -=≠∈ 分数指数幂：正分数指数幂的意义是： (0,,,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 且 负分数指数幂的意义是： 1 (0,,,1) m n m n m n a a m n N n a a - ==>∈> 且 2、幂函数的定义 一般地，函数 a y x =叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数(我们只讨论a是有理数的情况)． 3、幂函数的图象 幂函数a y x = 当 11 ,,1,2,3 32 a= 时的图象见左图；当 1 2,1, 2 a=--- 时的图象见上图： 由图象可知，对于幂函数而言，它们都具有下列性质： a y x =有下列性质： (1)0a >时： ①图象都通过点(0,0)，(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数． (2)0a <时： ①图象都通过点(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． (3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； (4)任何幂函数图象都不经过第四象限； (5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点． 二、指数函数 ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞； 3）当10<a 时函数为增函数. 4）有两个特殊点：零点(0,1)，不变点(1,)a . 5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=?-= 三、对数函数 如果b a N =（0a >，1a ≠），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N b = log b a a N N b =?=（0a >，1a ≠，0N >）． 1．对数的性质 ()log log log a a a MN M N =+． log log log a a a M M N N =-． 精品资料 欢迎下载 第四章《指数函数与对数函数》测试卷 一、填空题 1. （ ） A 、118 4 23? B 、314 4 23? C 、213 4 23? D 、8 4 23? 2. =??4 36482（ ） A 、4 B 、8152 C 、2 72 D 、8 3. 函数()f x = （ ） A.（1，3） B. [-∞，3] C. [3，+∞] D. R 4. 3log 81= （ ） A 、2 B 、4 C 、2- D 、-4 5. 指数函数的图象经过点)27,2 3(，则其解析式是 （ ） A 、x y 3= B 、x y )3 1(= C 、x y 9= D 、x y )9 1(= 6. 下列函数在区间（0，+∞）上是减函数的是 （ ） A 、12y x = B 、3 1x y = C 、2y x -= D 、2 y x = 7. 将25628 =写成对数式 （ ） A 、2256log 8= B 、28log 256= C 、8256log 2= D 、2562log 8= 8. 将ln a = b (a >0) 写成指数式 （ ） A 、10 b = a B 、e b = a C 、 a b = e D 、 e a = b 9. 求值2 2ln log 16lg 0.1e +-等于（ ） A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 10. 如果32log (log )1x =，那么x =（ ） A 、8 B 、9 C 、2 D 、3 11. 函数x x f lg 21)(-= 的定义域为（ ） A 、(,10) -∞ -(10,)+∞ B 、（-10，10） C 、（0，100） D 、（-100,100） 12. 3 0.7、3log 0.7、0.7 3 的大小关系是（ ） A 、30.730.73log 0.7 << B 、30.730.7log 0.73<< C 、 30.7 3log 0.70.73<< D 、 0.73 3log 0.730.7<< 二、填空题： 1．用不等号连接： （1）5log 2 6l o g 2 ，（2）若n m 33>，则m n ；（3）35.0 36.0 2. 若43x =， 3 4 log 4=y ，则x y += ； 3. 方程x x 28 )3 1 (3 2--=的解集为______________； 4. 若x x f 2)2(=，则=)8(f ； 三、解答题 1.. 解下列不等式： （1）0)3(log 3<-x （2）14 3log 指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数y a y x x a ==，l o g 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01 且。 因为若a <0时，()y x =-4，当x = 1 4 时，函数值不存在。 a =0 ，y x =0，当x ≤0，函数值不存在。 a =1 时，y x =1对一切x 虽有意义，函数值恒为1，但y x =1的反函数不存在， 因为要求函数y a x =中的 a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ???=212 10，， 的图象的认识。 图象特征与函数性质： 图象特征 函数性质 （1）图象都位于x 轴上方； （1）x 取任何实数值时，都有a x >0； （2）图象都经过点（0，1）； （2）无论a 取任何正数，x =0时，y =1； （3）y y x x ==210，在第一象限内的纵坐标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1，y x =?? ? ? ?12的图象正好相反； （3）当a >1时，x a x a x x >><<<>?????0101， 则， 则 （4）y y x x ==210，的图象自左到右逐渐（4）当a >1时，y a x =是增函数， 指数函数、对数函数知识点 知识点内容典型题 整数和有理指数幂的运算 a 0＝1(a≠0)；a－n＝ 1 a n (a≠0, n∈N*) a m n＝n a m(a＞0 , m，n∈N*, 且n＞1) (a＞0 , m，n∈N*, 且n＞1) 当n∈N*时，(n a)n＝a 当为奇数时，n a n＝a 当为偶数时，n a n＝│a│＝ a (a≥0) －a (a＜0) 运算律:a m a n＝a m + n (a m)n＝a m n (ab)n＝a n b n 1.计算: 2－1×6423＝. 2. 224282＝； 333363＝ . 3343427＝； 393 36 ＝ . 3.? - - + +-45 sin 2 )1 2 ( )1 2 (0 1 4. 指数函数的概念、图象与性质1、解析式:y＝a x(a＞0，且a≠1) 2、图象: 3、函数y＝a x(a＞0,且a≠1)的性质: ①定义域:R ，即(－∞，＋∞) 值域:R+ , 即(0，＋∞) ②图象与y轴相交于点(0,1). ③单调性:在定义域R上 当a＞1时，在R上是增函数 当0＜a＜1时,在R上是减函数 ④极值:在R上无极值(最大、最小值) 当a＞1时，图象向左与x轴无限接近； 当0＜a＜1时,图象向右与x轴无限接 近. ⑤奇偶性:非奇非偶函数. 5.指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)的图象过 点(3,π) , 求f (0)、f (1)、f (－3)的值. 6.求下列函数的定义域: ①2 2x y- =；② 2 4 1 5- = - x y. 7.比较下列各组数的大小: ①1.22.5 1.22.51 , 0.4－0.10.4－0.2 , ②0.30.40.40.3, 233322. ③(2 3 )－ 1 2,( 2 3 )－ 1 3,( 1 2 )－ 1 2 8.求函数 17 6 2 2 1+ - ? ? ? ? ? = x x y的最大值. 9.函数x a y)2 (- =在(-∞,+∞)上是减函数， 则a的取值范围( ) A.a＜3 B.c C.a＞3 D.2＜a＜3 10.函数x a y)1 (2- =在(-∞,+∞)上是减函 数，则a适合的条件是( ) A.|a|＞1 B.|a|＞2 C.a＞2 D.1＜|a|＜2 对数函数与指数函数的运算 1.化简下列各式（其中各字母均为正数）: （1） ;)(65312121132 b a b a b a ????-- （2）.)4()3(6521 332121231----?÷-??b a b a b a 2.化简(1) 313 2)3(---a y x (2) )111)((2211b ab a b a +-+-- 3.化简下列各式 (1) 6113175.0231729)95()27174(256)61(027 .0------+-+-- (2) (a 3+a -3)(a 3-a -3)÷[(a 4+a -4+1)(a-a -1)] 4.求值(1)lg14-2lg 37+lg7-lg18 (2)9lg 243lg (3) 2.1lg 10lg 38lg 27lg -+ (4)(lg2)3+(lg5)3+3lg2?lg5 (5)化简22)4(lg 16lg 25lg )25(lg ++ 答案： 1.（1）原式= .100653121612131656131212131=?=?=?-+-+--b a b a b a b a b a （2）原式=- )(45)4(25233136121332361------÷-=?÷b a b a b a b a .45145452 32321ab ab ab b a -=?-=?-=-- 2. (1) 639 27x a y ； (2) 3311b a +； 3.(1) 5132；(2) a a 1 ； 4. (1) 0；(2) 25；(3) 23；(4) 1；(5) 2 ； 第八节 对数与对数函数 [知识能否忆起] 1．对数的概念 (1)对数的定义： 如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．当a ＝10时叫常用对数．记作x ＝lg_N ，当a ＝e 时叫自然对数，记作x ＝ln_N . (2)对数的常用关系式(a ，b ，c ，d 均大于0且不等于1)： ①log a 1＝0. ②log a a ＝1. ③对数恒等式：a log a N ＝N . ④换底公式：log a b ＝log c b log c a . 推广log a b ＝1 log b a ，log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . (3)对数的运算法则： 如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R)； ④log am M n ＝n m log a M . 2．对数函数的概念 (1)把y ＝log a x (a >0，a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． (2)函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)是指数函数y ＝a x 的反函数，函数y ＝a x 与y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象关于y ＝x 对称． 3．对数函数的图象与性质 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 过点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0 当x >1时，y >0当0 指数函数对数函数计算题30-1 1、计算：lg 5·lg 8000＋06.0lg 6 1lg )2 (lg 23++. 2、解方程：lg 2(x ＋10)－lg(x ＋10)3=4. 3、解方程：23log 1log 66-=x . 4、解方程：9-x －2×31-x =27. 5、解方程：x )8 1(=128. 6、解方程：5x+1=12 3-x . 7、计算：10log 5log )5(lg )2(lg 2233+ +·.10 log 18 8、计算：(1)lg 25+lg2·lg50; (2)(log 43+log 83)(log 32+log 92). 9、求函数121log 8.0--= x x y 的定义域. 10、已知log 1227=a,求log 616. 11、已知f(x)=1322+-x x a ,g(x)=522 -+x x a (a ＞0且a ≠1),确定x 的取值范围,使得f(x)＞g(x). 12、已知函数f(x)=321121x x ?? ? ??+-. (1)求函数的定义域;(2)讨论f(x)的奇偶性;(3)求证f(x)＞0. 13、求关于x 的方程a x ＋1=－x 2＋2x ＋2a(a ＞0且a ≠1)的实数解的个数. 14、求log 927的值. 15、设3a =4b =36,求a 2＋b 1的值. 16、解对数方程：log 2(x －1)+log 2x=1 17、解指数方程：4x +4-x －2x+2－2-x+2+6=0 18、解指数方程：24x+1－17×4x +8=0 19、解指数方程：22)223()223( =-++-x x ±2 20、解指数方程：014332 14111=+?------x x 21、解指数方程：042342222=-?--+-+x x x x对数指数函数公式全集
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