第11讲 反比例函数(含答案点拨)

第11讲反比例函数

考纲要求命题趋势

1．理解反比例函数的概念，能根据已知

条件确定反比例函数的解析式．

2．会画反比例函数图象，根据图象和解

析式探索并理解其基本性质．

3．能用反比例函数解决简单实际问题.

反比例函数是中考命题

热点之一，主要考查反比例函

数的图象、性质及解析式的确

定，也经常与一次函数、二次

函数及几何图形等知识综合

考查．考查形式以选择题、填

空题为主.

知识梳理

一、反比例函数的概念

一般地，形如________________(k是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数．

1．反比例函数y＝

k

x中的

k

x是一个分式，所以自变量________，函数与x轴、y轴无交点．2．反比例函数解析式可以写成xy＝k(k≠0)，它表明在反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积，总等于已知常数k.

二、反比例函数的图象与性质

1．图象

反比例函数的图象是双曲线．

2．性质

(1)当k＞0时，双曲线的两支分别在

________象限，在每一个象限内，y随x的增大而________；当k＜0时，双曲线的两支分别在________象限，在每一个象限内，y随x的增大而________．注意双曲线的两支和坐标轴无限靠近，但永远不能相交．(2)双曲线是轴对称图形，直线y＝x或y＝－x是它的对称轴；双曲线也是中心对称图形，对称中心是坐标原点．

三、反比例函数的应用

1．利用待定系数法确定反比例函数解析式

由于反比例函数y＝

k

x中只有一个待定系数，因此只要一对对应的x，y值，或已知其图象上一个______的坐标即可求出k，进而确定反比例函数的解析式．

2．反比例函数的实际应用

解决反比例函数应用问题时，首先要找出存在反比例关系的两个变量，然后建立反比例函数模型，进而利用反比例函数的有关知识加以解决．

自主测试

1．如图，是我们学过的反比例函数图象，它的函数解析式可能是()

A．y＝x2B．y＝

4

x

C．y＝－

3

x D．y＝

1

2x

2．已知点P (－1,4)在反比例函数y ＝k

x

(k ≠0)的图象上，则k 的值是( )

A ．－14

B ．1

4

C ．4

D ．－4

3．若点A (1，y 1)，B (2，y 2)是双曲线y ＝3

x

上的点，则y 1__________y 2(填“＞”“＜”或“＝”)．

考点一、反比例函数的图象与性质

【例1】反比例函数y ＝m －1

x

的图象在第一、三象限，则m 的取值范围是__________．

解析：∵函数的图象在第一、三象限，∴m －1＞0，∴m ＞1. 答案：m ＞1

方法总结 1．.由于双曲线自变量的取值范围是x ≠0的实数，故其性质强调在每个象限内y 随x 的变化而变化的情况．

2．反比例函数图象的分布取决于k 的符号，当k ＞0时，图象在第一、三象限，当k ＜0时，图象在第二、四象限．

触类旁通 1 若双曲线y ＝2k －1

x

的图象经过第二、四象限，则k 的取值范围是

__________．

考点二、反比例函数解析式的确定

【例2】如图，直线y ＝2x 与反比例函数y ＝k

x

的图象在第一象限的交点为A ，AB 垂直

于x 轴，垂足为B ，已知OB ＝1，求点A 的坐标和这个反比例函数的解析式．

解：∵AB 垂直x 轴于点B ，OB ＝1，且点A 在第一象限，∴点A 的横坐标为1.又∵直线y ＝2x 的图象经过A ，∴y ＝2x ＝2×1＝2，即点A 的坐标为(1,2)．

∵y ＝k x 的图象过点A (1,2)，∴2＝k

1

.∴k ＝2.

∴这个反比例函数的解析式为y ＝2

x

.

方法总结 反比例函数只有一个基本量k ，故只需一个条件即可确定反比例函数．这个条件可以是图象上一点的坐标，也可以是x ，y 的一对对应值．

触类旁通2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝－2x 的图象与反比例函数y ＝k

x

的图象的一个交点为A (－1，n )．

(1)求反比例函数y ＝k

x

的解析式；

(2)若P 是坐标轴上一点，且满足P A ＝OA ，直接写出点P 的坐标． 考点三、反比例函数的比例系数k 的几何意义

【例3】已知点P 在函数y ＝2

x

(x ＞0)的图象上，P A ⊥x 轴，PB ⊥y 轴，垂足分别为A ，B ，

则矩形OAPB 的面积为__________．

解析：矩形OAPB 的面积等于|xy |＝|k |＝2. 答案：2

方法总结 过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为|k |；过双曲线上

任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形的面积S ＝1

2

|k |.

触类旁通3 一个反比例函数的图象如图所示，若A 是图象上任意一点，AM ⊥x 轴于M ，O 是原点，如果△AOM 的面积是3，那么这个反比例函数的解析式是__________．

1．(2012浙江台州)点(－1，y 1)，(2，y 2)，(3，y 3)均在函数y ＝6

x

的图象上，则y 1，y 2，

y 3的大小关系是( )

A ．y 3＜y 2＜y 1

B ．y 2＜y 3＜y 1

C ．y 1＜y 2＜y 3

D ．y 1＜y 3＜y 2

2．(2012湖南常德)对于函数y ＝6

x

，下列说法错误的是( )

A ．它的图象分布在第一、三象限

B ．它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形

C ．当x ＞0时，y 的值随x 的增大而增大

D ．当x ＜0时，y 的值随x 的增大而减小

3.(2012贵州铜仁)如图，正方形ABOC 的边长为2，反比例函数y ＝k

x

的图象经过点A ，

则k 的值是( )

A ．2

B ．－2

C ．4

D ．－4

4．(2012兰州)如图，点A 在双曲线y ＝1x 上，点B 在双曲线y ＝3

x

上，且AB ∥x 轴，点C

和点D 在x 轴上．若四边形ABCD 为矩形，则矩形ABCD 的面积为__________．

5．(2012四川成都)如图，一次函数y ＝－2x ＋b (b 为常数)的图象与反比例函数y ＝k

x

(k

为常数，且k ≠0)的图象交于A ，B 两点，且点A 的坐标为(－1,4)．

(1)分别求出反比例函数及一次函数的表达式； (2)求点B 的坐标．

6．(2012四川攀枝花)据媒体报道，近期“手足口病”可能进入发病高峰期，某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“手足口病”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧机释放过程中，室内空气中每立方米含药量y (毫克)与燃烧时间x (分钟)之间的关系如图所示(即图中线段OA 和双曲线在A 点及其右侧的部分)，根据图象所示信息，解答下列问题：

(1)写出从药物释放开始，y 与x 之间的函数关系式及自变量的取值范围；

(2)据测定，当空气中每立方米的含药量低于2毫克时，对人体无毒害作用，那么从消毒开始，至少在多长时间内，师生不能进入教室？

1．某反比例函数的图象经过点(－1,6)，则下列各点中，此函数图象也经过的点是( ) A ．(－3,2) B ．(3,2) C ．(2,3) D ．(6,1)

2．若函数y ＝m ＋2

x

的图象在其象限内y 的值随x 值的增大而增大，则m 的取值范围是

( )

A ．m ＞－2

B ．m ＜－2

C ．m ＞2

D ．m ＜2

3．对于反比例函数y ＝1

x

，下列说法正确的是( )

A ．图象经过点(1，－1)

B ．图象位于第二、四象限

C ．图象是中心对称图形

D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大

4．已知(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)是反比例函数y ＝－4

x

的图象上的三点，且x 1＜x 2＜0，

x 3＞0，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )

A ．y 3＜y 1＜y 2

B ．y 2＜y 1＜y 3

C ．y 1＜y 2＜y 3

D ．y 3＜y 2＜y 1

5．反比例函数y ＝k

x

的图象位于第一、三象限，其中第一象限内的图象经过点A (1,2)，

请在第三象限内的图象上找一个你喜欢的点P ，你选择的点P 的坐标为__________．

6．在直角坐标系中，有如图所示的Rt △ABO ，AB ⊥x 轴于点B ，斜边AO ＝10，sin ∠AOB ＝35，反比例函数y ＝k

x (x ＞0)的图象经过AO 的中点C ，且与AB 交于点D ，则点D 的坐

标为__________．

7．如图，已知点A 在反比例函数图象上，AM ⊥x 轴于点M ，且△AOM 的面积是1，则反比例函数的解析式为__________．

8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 分别与x 轴、y 轴交于点B ，A ，与反比

例函数的图象分别交于点C ，D ，CE ⊥x 轴于点E ，tan ∠ABO ＝1

2

，OB ＝4，OE ＝2.

(1)求该反比例函数的解析式； (2)求直线AB 的解析式．

参考答案

导学必备知识

自主测试

1．B 因为图象的两个分支在第一、三象限，所以k ＞0，A ，D 选项不是反比例函数，故选B.

2．D k ＝xy ＝－1×4＝－4.

3．＞ 因为当x ＝1时，y 1＝3；当x ＝2时，y 2＝3

2

，

所以y 1＞y 2. 探究考点方法

触类旁通1．k ＜1

2 ∵图象经过第二、四象限，

∴2k －1＜0，∴k ＜1

2

.

触类旁通2．分析：(1)把A 的坐标代入函数解析式即可求得k 的值，即可得到函数解析式；

(2)以A 为圆心，以OA 为半径的圆与坐标轴的交点就是P . 解：(1)∵点A (－1，n )在一次函数y ＝－2x 的图象上， ∴n ＝－2×(－1)＝2.∴点A 的坐标为(－1,2)．

∵点A 在反比例函数y ＝k

x

的图象上，∴k ＝－2.

∴反比例函数的解析式为y ＝－2

x

.

(2)点P 的坐标为(－2,0)或(0,4)．

触类旁通3．y ＝6x 设反比例函数为y ＝k

x

(k ≠0)．

∵△AOM 的面积可表示为S △AOM ＝1

2

|k |，

又∵S △AOM ＝3，∴1

2

|k |＝3.∴|k |＝6.

∵双曲线在第一、三象限，∴k ＞0.∴k ＝6.

∴反比例函数的解析式为y ＝6

x

.

品鉴经典考题

1．D 因为k ＝6＞0，所以函数图象的的两个分支分别在第一、三象限，各象限内y 随x 的增大而减小，所以0＜y 3＜y 2，点(－1，y 1)在第三象限，所以y 1＜0＜y 3，所以y 1＜y 3＜y 2.

2．C 因为k ＝6＞0，所以函数图象的的两个分支分别在第一、三象限，各象限内y 随x 的增大而减小，图象是双曲线，既是轴对称图形又是中心对称图形，所以A ，B ，D 正确，C 错误．

3．D 因为正方形ABOC 的边长为2，所以面积为4，根据反比例函数系数k 的几何意义，又图象在第二象限，所以k ＝－4.

4．2 延长BA 交y 轴于点E ，则矩形EBCO 的面积为3，矩形EADO 的面积为1，所以矩形ABCD 的面积为3－1＝2.

5．解：(1)把A (－1,4)代入y ＝k

x 得k ＝－4，

∴反比例函数的解析式为y ＝－4

x

.

把A (－1,4)代入y ＝－2x ＋b 得－2×(－1)＋b ＝4， 解得b ＝2.

∴一次函数解析式为y ＝－2x ＋2.

(2)将y ＝－4

x

和y ＝－2x ＋2组成方程组?????

y ＝－4x ，y ＝－2x ＋2.

解得?

??

??

x ＝－1，y ＝4或?

????

x ＝2，

y ＝－2，所以B 点坐标是(2，－2)． 6．解：(1)药物燃烧后，设y 与x 的函数关系式为y ＝k 1x .把B (25,6)代入得6＝k 1

25

，解得

k 1＝150.

∴药物燃烧后，y 与x 的函数关系式为y ＝150

x

.

令y ＝150

x

＝10，解得x ＝15.∴A (15,10)．

药物燃烧时，设y 与x 的函数关系式为y ＝k 2x . 把A (15,10)代入得10＝15k 2，

解得k 2＝2

3

.

∴药物燃烧时y 与x 的函数关系式为y ＝2

3

x (0≤x ＜15)，药物燃烧后y 与x 的函数关系式

为y ＝150

x

(x ≥15)．

(2)把y ＝2代入y ＝150x ，得150

x

＝2，解得x ＝75，

∴从消毒开始，至少在75分钟内，师生不能进入教室． 研习预测试题

1．A 因为反比例函数图象上所有点的横纵坐标乘积相等，－3×2＝－1×6，故选A. 2．B 因为在象限内y 的值随x 值的增大而增大，所以图象两分支在第二、四象限，得m ＋2＜0，即m ＜－2，故选B.

3．C 因为k ＝1＞0，所以双曲线两分支位于第一、三象限，y 随x 的增大而减小，图象关于原点中心对称，故选C.

4．A ∵k ＝－4，∴图象两分支在第二、四象限，在每个象限y 随x 增大而增大．∵x 1

＜x 2＜0，∴0＜y 1＜y 2.

∵x 3＞0，∴y 3＜0，∴y 3＜y 1＜y 2，故选A.

5．(－1，－2)(答案不唯一) 因为图象过点A (1,2)，所以k ＝2，只需点P 的横纵坐标均为负数且乘积为2即可．

6．????8，32 ∵AO ＝10，sin ∠AOB ＝3

5

，∴AB ＝6， ∴OB ＝8.∵点C 是OA 中点，∴OC ＝5，∴C 点的坐标为(4,3)，∴k ＝12.∵D 点横坐标

为8，∴纵坐标为128＝3

2.

7．y ＝－2

x

8．解：(1)∵OB ＝4，OE ＝2，∴BE ＝2＋4＝6. ∵CE ⊥x 轴于点E ，

∴tan ∠ABO ＝CE BE ＝1

2

，∴CE ＝3.

∴点C 的坐标为(－2,3)．

设反比例函数的解析式为y ＝m

x (m ≠0)．

将点C 的坐标代入，得3＝m

－2

，m ＝－6.

∴该反比例函数的解析式为y ＝－6

x

.

(2)∵OB ＝4，∴B (4,0)．

∵tan ∠ABO ＝OA OB ＝1

2

，∴OA ＝2，∴A (0,2)．

设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)．

将点A ，B 的坐标分别代入，得?

????

b ＝2，

4k ＋b ＝0.

解得?????

k ＝－12，b ＝2.∴直线AB 的解析式为y ＝－1

2

x ＋2.