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泊松分布的概念及表和查表方法

泊松分布的概念及表和查表方法

泊松分布的概念及表和查表方法

Poisson分布,是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布,由法国数学家西莫恩·德尼·泊松(Siméon-Denis Poisson)在1838年时发表。

中文名泊松分布外文名poisson distribution 分类数学时间1838年

台译卜瓦松分布提出西莫恩·德尼·泊松

目录

1命名原因

2分布特点

3关系

4应用场景

5应用示例

6推导

7形式与性质

命名原因

泊松分布实例

泊松分布(Poisson distribution),台译卜瓦松分布(法语:loi de Poisson,英语:Poisson distribution,译名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配等),是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布(discrete probability distribution)。泊松分布是以18~19 世纪的法国数学家西莫恩·德尼·泊松(Siméon-Denis Poisson)命名的,他在1838年时发表。这个分布在更早些时候由贝努里家族的一个人描述过。

分布特点

泊松分布的概率函数为:

泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数。泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。

泊松分布的期望和方差均为特征函数为

关系

泊松分布与二项分布

泊松分布

当二项分布的n很大而p很小时,泊松分布可作为二项分布的近似,其中λ为np。通常当n≧20,p≦0.05时,就可以用泊松公式近似得计算。

事实上,泊松分布正是由二项分布推导而来的,具体推导过程参见本词条相关部分。应用场景

在实际事例中,当一个随机事件,例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等,以固定的平均瞬时速率λ(或称密度)随机且独立地出现时,那么这个事件在单位时间(面积或体积)内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布P(λ)。因此,泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位(在早期学界认为人类行为是服从泊松分布,2005年在nature上发表的文章揭示了人类行为具有高度非均匀性)。

应用示例

泊松分布适合于描述单位时间(或空间)内随机事件发生的次数。如某一服务设施在一定时间内到达的人数,电话交换机接到呼叫的次数,汽车站台的候客人数,机器出现的故障数,自然灾害发生的次数,一块产品上的缺陷数,显微镜下单位分区内的细菌分布数等等。

观察事物平均发生m次的条件下,实际发生x次的概率P(x)可用下式表示:

泊松分布的概念及表和查表方法

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例如采用0.05J/㎡紫外线照射大肠杆菌时,每个基因组(~4×106核苷酸对)平均产生3个嘧啶二体。实际上每个基因组二体的分布是服从泊松分布的,将取如下形式:

泊松分布的概念及表和查表方法

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泊松分布的概念及表和查表方法

……

是未产生二体的菌的存在概率,实际上其值的5%与采用0.05J/㎡照射时的大肠杆菌uvrA-株,recA-株(除去既不能修复又不能重组修复的二重突变)的生存率是一致的。由于该菌株每个基因组有一个二体就是致死量,因此就意味着全部死亡的概率。

推导

泊松分布是最重要的离散分布之一,它多出现在当X表示在一定的时间或空间内出现的事件个数这种场合。在一定时间内某交通路口所发生的事故个数,是一个典型的例子。泊松分布的产生机制可以通过如下例子来解释。

为方便记,设所观察的这段时间为[0,1),取一个很大的自然数n,把时间段[0,1)分为等长的n段:

我们做如下两个假定:

1. 在每段内,恰发生一个事故的概率,近似的与这段时间的长成正比,

可设为。当n很大时,很小时,在这么短暂的一段时间内,要发生两次或

者更多次事故是不可能的。因此在这段时间内不发生事故的概率为。

2.各段是否发生事故是独立的

把在[0,1)时段内发生的事故数X视作在n个划分之后的小时段内有

事故的时段数,则按照上述两个假定,X应服从二项分布。于是,我们

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注意到当取极限时,我们有

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因此

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从上述推导可以看出:泊松分布可作为二项分布的极限而得到。一般的说,若,其中n很大,p很小,因而不太大时,X的分布接近于泊松分布。这个事实有时可将较难计算的二项分布转化为泊松分布去计算。

形式与性质

阶乘特点以及泰勒公式使得一类期望的计算十分简便

泊松分布的概念及表和查表方法

泊松分布——概率分布表

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泊松分布的概念及表和查表方法

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