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3.1 微分方程模型的建模步骤

第3章微分方程模型

3.1 微分方程模型的建模步骤

在自然科学以及工程、经济、医学、体育、生物、社会等学科中的许多系统,有时很难找到该系统有关变量之间的直接关系——函数表达式,但却容易找到这些变量和它们的微小增量或变化率之间的关系式,这时往往采用微分关系式来描述该系统——即建立微分方程模型。我们以一个例子来说明建立微分方程模型的基本步骤。

例1 某人的食量是10467(焦/天),其中5038(焦/天)用于基本的新陈代谢(即自动消耗)。在健身训练中,他所消耗的热量大约是69(焦/公斤•天)乘以他的体重(公斤)。假设以脂肪形式贮藏的热量100%地有效,而1公斤脂肪含热量41868(焦)。试研究此人的体重随时间变化的规律。

模型分析

在问题中并未出现“变化率”、“导数”这样的关键词,但要寻找的是体重(记为W )关于时间t 的

函数。如果我们把体重W 看作是时间t 的连续可微函数,我们就能找到一个含有的dt dW

微分方程。

模型假设

1.以)(t W 表示t 时刻某人的体重,并设一天开始时人的体重为0W 。

2.体重的变化是一个渐变的过程。因此可认为

)(t W 是关于t 连续而且充分光滑的。 3.体重的变化等于输入与输出之差,其中输入是指扣除了基本新陈代谢之后的净食量吸收;输出就是进行健身训练时的消耗。

模型建立

问题中所涉及的时间仅仅是“每天”,由此,对于“每天”

体重的变化=输入-输出。

由于考虑的是体重随时间的变化情况,因此,可得

体重的变化/天=输入/天—输出/天。

代入具体的数值,得

输入/天 = 10467(焦/天)—5038(焦/天)=5429(焦/天),

输出/天 = 69(焦/公斤•天)×W (公斤)= 69W (焦/天)。

体重的变化/天=t W ∆∆(公斤/天)dt dW t =→∆0

考虑单位的匹配,利用 “公斤/天=公斤焦天

焦/41868/”, 可建立如下微分方程模型

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