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第二十八章第1-2节圆的认识;与圆有关的位置关系

年级初三学科数学版本华东师大版

内容标题28.2 与圆有关的位置关系

编稿老师史继生

【本讲教育信息】

一、教学内容:

§28.2 与圆有关的位置关系

二、重点、难点:

1、重点:

⑴点与圆、直线与圆、圆与圆位置关系的判断;

⑵三角形外接圆、三角形内切圆的性质特征,以及它们的联系与区别;

⑶圆的切线的性质及识别.

2、难点:

⑴掌握圆的切线的判定方法及性质特征;

⑵理解圆与圆的位置关系的形成过程;

⑶充分认识基本图形在证、解题中的作用,正确恰当地根据基本规律来添加辅助线.

三. 知识梳理:

(一)点与圆的位置关系

1、点与圆的位置关系

如图,设⊙O的半径为r,①若点A在⊙O内,则OA<r;反过来,若OA<r,则点A 在⊙O内.②若点B在⊙O上,则OB=r;反过来,若OB=r,则点B在⊙O上.③若点C 在⊙O外,则OC>r;反过来,若OC>r,则点C在⊙O外.(圆心只是用来确定圆的位置,圆心不是圆的一个部分,圆心在圆内.)

第二十八章第1-2节圆的认识;与圆有关的位置关系

第二十八章第1-2节圆的认识;与圆有关的位置关系

2、过三点的圆

不在同一直线上的三个点确定一个圆.如上图示,过三点A、B、C所作的圆O的圆心在线段AB、BC的垂直平分线的交点处.如果A、B、C三点在一条直线上,不能画出经过这三点的圆.因为AB、BC的垂直平分线互相平行,没有交点,所以过同一直线上的三点不能画圆

(二)直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系的特征与识别

直线与圆的位置关系相离相切相交

第二十八章第1-2节圆的认识;与圆有关的位置关系

(三)切线

1、切线的判定和性质

切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线

切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径

注意:要识别直线是否为圆的切线,常用以下两种方法:

①到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.如果直线和圆的公共点没有确定,则过圆心,作已知直线的垂线段,再证这条垂线段等于半径,即“作垂线证半径”.

②经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.即已知直线与圆有一个公共点时,连结这点和圆心再证直线与这条半径垂直,简称:“连半径证垂直”;

切线的性质定理也有两个推论:

①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

2、切线长与切线长定理

圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.下图中P A、PB的长就是点P到⊙O的切线长.

第二十八章第1-2节圆的认识;与圆有关的位置关系

由前面的知识可知,过圆上一点可以引一条直线与圆相切,所以有:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.即:如上图,因为P A、PB是⊙O的切线,所以P A=PB,∠APO=∠BPO.

3、三角形与圆

经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆.三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.这个三角形叫做这个圆的内接三角形.三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点,

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点.

(四)圆与圆的位置关系

第二十八章第1-2节圆的认识;与圆有关的位置关系

如果设两圆的半径为 1r 、2r ,两圆的圆心距为d ,则圆与圆的位置关系与数量关系如下表

第二十八章第1-2节圆的认识;与圆有关的位置关系

【典型例题】

例1、如图,已知 ⊙O 的半径为r =10 ,圆心O 到直线l 的距离OD =6 ,在直线l 上有A 、B 、C 三点,且AD =6 ,BD =8 ,CD =53 .问A 、B 、C 三点对于⊙O 的位置关系各是怎样?

分析:只要计算出这些点到圆心的距离,看其是大于、等于还是小于圆的半径,就可以相应得出点在圆外、圆上、圆内的位置关系来.

第二十八章第1-2节圆的认识;与圆有关的位置关系

解:连结OA ,在Rt △AOD 中,

72=6+6=+=2222AD OD OA <10,即OA <r ,则点A 在⊙O 内;

同理,108622=+=OB ,即O B =r ,则点B 在⊙O 上;

111=)35(+5=22OC >10,即OC >r ,则点C 在 ⊙O 外.

例2、在平面直角坐标系中,以A (1,2)为圆心的圆的半径满足下列条件时,分别求出其半径的取值范围:⑴与坐标轴只有唯一交点;⑵与坐标轴只有两个交点;⑶与坐标轴只有三个交点;⑷与坐标轴有四个交点.

分析:因为点A 到x 轴的距离是2,到y 轴的距离是1,所以与坐标轴只有唯一交点,就是与y 轴相切而与x 轴相离;与坐标轴只有两个交点,就是与y 轴相交而与x 轴相离;与坐标轴只有三个交点,就是与y 轴相交而与x 轴相切;与坐标轴有四个交点,就是与x 轴、y 轴都相交.

解:⑴r =1;⑵1<r <2;⑶r =2或r 5r >2且r 5.

例3、在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =4,BC=3,若以C 为圆心画⊙C ,当⊙C 的半径r 为多少时?⊙C 与线段AB 的交点分别为0个、1个、2个.

分析:首先要审清题意,不能误以为⊙C 与直线AB 的交点分别为0个、1个、2个.⑴⊙C 与线段AB 的交点分别为0个,有两种情况:⊙C 与直线AB 相离或点A 在⊙C 内而点B 也在⊙C 内;⑵⊙C 与线段AB 的交点分别为1个,有两种情况:⊙C 与直线AB 相切或点B 在⊙C 内而点A 在⊙C 外;⑶⊙C 与线段AB 的交点分别为2个,有两种情况:线段AB 与⊙C 相交或点A 在⊙C 外而点B 和线段AB 上其它一点在⊙C 上.

第二十八章第1-2节圆的认识;与圆有关的位置关系

解:先求点C 到AB 的距离d ,利用Rt △ABC 的面积的两种求法来求出CD 的长, 因为 AB

5 

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第二十八章第1-2节圆的认识;与圆有关的位置关系

而 S △ABC =

21AB ·CD =2

1

AC ·BC 所以 5CD =3×4, CD =12

5

=2.4

所以 当⊙C 的半径r 满足r ﹤2.4或r ﹥4时,⊙C 与线段AB 的交点分别为0个;当⊙C 的半径r 满足r=2.4或3﹤r ﹤4时,⊙C 与线段AB 的交点分别为1个;当⊙C 的半径r 满足2.4﹤r ≤3时,⊙C 与线段AB 的交点分别为2个.

例4、如图,C 是⊙O 的直径延长线上一点,D 是⊙O 上一点,且AD =CD ,∠C =30°,DC 是⊙O 的切线吗?为什么

?

第二十八章第1-2节圆的认识;与圆有关的位置关系

分析:要说明一条直线是圆的切线,需要有两个条件:⑴经过半径的外端,⑵垂直于这条半径.此题中已知点D在圆上,则只须说明该直线垂直于过这一点的半径;由D 是⊙O 上一点,因此连结OD ,判断OD 与DC 是否垂直即可.

解:DC 是⊙O 的切线 理由如下: 连结OD

因为 AD =CD 所以 ∠A =∠C

因为 OA =OD ,∠C =30° 所以 ∠ODA =∠A =∠C =30° 因为 ∠DOC =∠A +∠ODA =60° 所以 ∠ODC =90°

所以 DC 是⊙O 的切线.

例5、已知,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠D =90°,AB 是⊙O 的直径,且AB =AD +BC ,试说明:CD 是⊙O 的切线.

分析:要说明一条直线是圆的切线,有两种方法,此题因为不知CD 是否过⊙O 上的点,所以要说明CD 是⊙O 的切线,只好说明圆心O 到直线CD 的距离等于⊙O 的半径.

B

C

D

O

E

A

证明:过O 作OE ⊥CD ,垂足为E , 则OE ∥AD ∥BC .

又AO =BO ,所以DE =CE .

所以 OE 是梯形ABCD 的中位线, 所以 )(2

1

BC AD OE +=

. 又因为AB =AD+BC ,所以AB OE 2

1

=

. 即圆心O 到直线CD 的距离OE 等于⊙O 的半径,所以 CD 是⊙O 的切线.

例6、下列结论正确的是( ).

A 、垂直于圆的半径的直线是圆的切线

B 、经过半径外端的直线是圆的切线

C 、直线上一点到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线

D 、到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线 分析:因为经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线,需要有两个条件:(1)经过半径的外端,(2)垂直于这条半径,所以A 、B 都不对;又因为到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线,这是一个点到直线的距离,所以C 也不对,只有D 是正确的. 故选D

例7、如图,⊙O 是△ABC 的内切圆,D 、E 、F 为切点,AB =12,BC =14,CA =18,求AE 、BF 、CD 的长.

第二十八章第1-2节圆的认识;与圆有关的位置关系

分析:三角形的三边及内切圆构成了切线长定理的基本图形,此题可利用构造方程组来解几何题.

解:设AE =x ,BF =y ,CD =z .由切线长定理知,AE =AD ,BF =BE ,CD =CF ,

所以 ??

???=+=+=+.

,,181412x z z y y x 解得?????===.,,1048z y x

答:AE =8,BF =4,CD =10.

例8、两圆半径是R 和r (R >r ),圆心距是d ,且R 2+d 2 - r 2=2dR ,则两圆的位置关系

为 ( )

A 、相交

B 、内切

C 、外切

D 、内切或外切

分析:根据R 2+d 2 - r 2=2dR 这一已知条件,来推出圆心距 d 与两圆的半径R 和r 之间的大小关系,从而得出两圆的位置关系.

因为 R 2+d 2-r 2=2dR 所以 R 2-2dR +d 2=r 2 即 (R -d )2=r 2,r=±(R -d ) 所以 d=R -r 或d=R +r ,故选D

例9、如图,△ABC 内接于⊙O ,且AB =AC ,D 是线段BC 上一点,E 是直线AD 和△ABC 外接圆的交点.

⑴试说明AB 2=AD ·AE .

⑵当D 为BC 延长线上一点时,第(1)题中的结论成立吗?若成立,试说明;若不成立,请说明理由.

第二十八章第1-2节圆的认识;与圆有关的位置关系

第二十八章第1-2节圆的认识;与圆有关的位置关系

分析:⑴因为点E 也在⊙O 上,利用“在同圆或等圆中,如果两弦相等,则其所对的两弧相等,此时两弧所对的圆周角相等”和相似三角形的性质可解此题.

⑵很多图形条件变动后,结论却不变,此题一样,此为中考热点. 解:⑴连结BE ,因为AB =AC ,所以=

第二十八章第1-2节圆的认识;与圆有关的位置关系

, 所以∠ABD =∠E ,又∠1=∠1, 所以△ABD ∽△AEB ,

所以

,=AB

AD

AE AB 即AB 2=AD ·AE . ⑵图形变化后,结论仍成立. 连结BE ,因为AB =AC ,所以=, 所以∠ABD =∠AEB ,又∠BAE =∠BAE , 所以△ABD ∽△AEB ,所以,=AB

AD

AE AB 即AB 2=AD ·AE .

例10、如图,⊙I 是△ABC 的内切圆,AB =9,BC =8,CA =10,点D 、E 分别为AB 、AC 上的点,且DE 为⊙I 的切线,求△ADE 的周长.

第二十八章第1-2节圆的认识;与圆有关的位置关系

分析:利用从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等这一定理来解答此题.注意弄清图形中的一些相等的线段.

解:设DE 、AB 、BC 、CA 分别与⊙I 相切于点F 、H 、G 、K . 则DF =DH ,BH =BG ,CG =CK ,EK =EF ,

所以△ADE 的周长=AH +AK =AB +CA -BC =11.

例11、如图,⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点,AC 切⊙O 1于点A ,交⊙O 2于点C ;BD 切⊙O 2于点B ,交⊙O 1于点D ,连结AB 、AD 、BC .

⑴试说明:AB 2=AD ·BC

⑵若∠C =∠D ,问四边形ADBC 是什么四边形?请加以说明.

第二十八章第1-2节圆的认识;与圆有关的位置关系

分析:要说明AB 2=AD ·BC ,只要说明

AB

BC

AD AB =,即说明△ABD ∽△BCA ,所以只要找∠2=∠D ,∠1=∠C .由于第一问中得到了△ABD ∽△BCA ,建立了角相等的对应关系,因此在说明ADBC 的归属时,只须利用“两组对角分别相等的四边形为平行四边形”即可.

解:⑴因为 AC 切⊙O 1于点A 所以 ∠2=∠D

因为 BD 切⊙O 2于点B 所以 ∠1=∠C

所以 △ABD ∽△BCA 所以

AB

BC

AD AB = 所以 AB 2=AD ·BC ⑵若∠C =∠D ,则四边形ADBC 是平行四边形

理由如下:因为 △ABD ∽△BCA 所以 ∠3=∠4 又因为 ∠C =∠D 所以 ∠2=∠1

所以 ∠DBC =∠DAC

所以 四边形ADBC 是平行四边形 说明:弦切角等于它所夹弧所对的圆周角,这是一个相当有用的判别两个角相等关系的定理,其关系可以通过作出直径,可用同角的余角相等来证明,平时做题时我们可以直接运

用.

【模拟试题】(答题时间:40分钟)

1、已知⊙O 的半径为3,A 为线段PO 的中点,则当OP=6时,点A 与⊙O 的位置关系为( )

A 、点在圆内

B 、点在圆上

C 、点在圆外

D 、不能确定 2、⊙O 的半径为5,圆心O 的坐标为(0,0),点P 的坐标为)3,4(-,则点P 与⊙O 的位置关系是( )

A 、点P 在⊙O 内

B 、点P 在⊙O 上

C 、点P 在⊙O 外

D 、不确定 3、已知,如图,等边△ABC 的边长为23cm ,下列以A 为圆心的各圆中,半径是3cm 的圆是( )

A

C

B A B

C

G E F D

B

A C

C

E

B

A

C

E

D

B

A

4、I 为△ABC 的内心,如果∠ABC+∠ACB=100°,那么∠BIC 等于( ) A 、80° B 、100° C 、130° D 、160°

5、已知两圆的半径分别为3和5,圆心距为7,则这两圆的位置关系是( ) A 、内切 B 、相交 C 、外切 D 、外离

6、如图所示,⊙O 的外切形梯形ABCD 中,如果AD ∥BC ,那么∠DOC 的度数为( ) A 、70° B 、90° C 、60° D 、45°

7、两圆半径之比为3:5,外切时圆心距等于24cm ,则两圆内切时的圆心距d=____ . 8、已知两圆的半径分别是方程0232=+-x x 的两根,圆心距为3,则两圆的位置关系是__________.

9、如图所示,已知AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的切线,切点为B ,OC 与弦AD 平行.

求证:DC 是⊙O 的切线.

C

D

A

O

10、如图所示,点I 是△ABC 的内心,AI 的延长线交边BC 于点D ,交△ABC 外接圆于点E .(1)求证:IE=BE ;(2)若IE=4,AE=8,求DE 的长.

第二十八章第1-2节圆的认识;与圆有关的位置关系

第二十八章第1-2节圆的认识;与圆有关的位置关系

第二十八章第1-2节圆的认识;与圆有关的位置关系

I

C

第二十八章第1-2节圆的认识;与圆有关的位置关系

A

E

D B

11、如图,△ABC 中,∠BAC 的平分线AD 交BC 于D ,⊙O 过点A ,且和BC 切于D ,和AB 、AC 分别交于E 、F .设EF 交AD 于G ,连结DF .

(1)试说明:EF ∥BC ;

(2)已知:DF =2 ,AG =3 ,求

EB

AE

的值.

12、如图,已知:在?ABC 中,AD 为∠BAC 的平分线,以C 为圆心,CD 为半径的半圆交BC 的延长线于点E ,交AD 于点F ,交AE 于点M ,且∠B =∠CAE .

(1)试说明:AF DF =

(2)如果BD=10,求AE 长.

13、在钝角△ABC 中,AD ⊥BC ,垂足为D 点,且AD 与DC 的长度为x 2-7x+12=0方程的两个根,⊙O 是△ABC 的外接圆,如果BD 长为a (a>0).

求△ABC 的外接圆⊙O 的面积.

【试题答案】

1、B ;

2、B ;

3、C ;

4、C ;

5、B ;

6、B ;

7、6cm ;

8、外切;

9、证明:如图,连结OD ,∵OA=OD ,∴∠1=∠2, ∵AD ∥OC ,∴∠1=∠3,∠2= ∠4, ∴∠3=∠4,

在△OBC 和△ODC 中,∵∠3=∠4,

1OB OC

OD OC

==, ∴△OBC ≌△ODC ,∴∠OBC=∠ODC , ∵BC 是⊙O 的切线,∴∠OBC=90°, ∴∠ODC=90°,∴DC 是⊙O 的切线.

第二十八章第1-2节圆的认识;与圆有关的位置关系

10、⑴证明:如图,连结BI ,

∵I 为△ABC 的内心,∴∠1=∠2,∠3=∠4, ∵∠5=∠1+∠3,∠2=∠6,∴∠5=∠4+∠6, 又∵∠EBI=∠4+∠6,

∴∠EBI=∠BIE ,∴IE=BE .

⑵解:∵∠1=∠2,∠2=∠6,∴∠1=∠6.

又∵∠E=∠E ,∴△BDE ∽△ABE ,

BE DE

AE BE

= ,∴BE 2=AE ·DE ,即IE 2=DE ·AE , ∵IE=4,AE=8,∴42=8DE ,∴DE=2.

11、⑴说明:因为⊙O 切BC 于D ,所以∠CDF=∠DAC ,又因为∠BAD=∠DFE ,∠BAD =∠DAC ,所以∠FDC=∠EFD ,所以EF ∥BC

⑵解:因为∠BAD =∠DFE ,∠BAD =∠DAC ,所以∠DAC =∠DFE ,

又因为∠ADF=∠FDG ,所以△ADF ∽△FDG ,所以GD

FD

FD AD =, 设GD=x ,则

x

x 2

23=+ ,解得x 1=1,x 2=-4,经检验x 1 =1,x 2=-4为所列方程的根,但x 2=-4<0应舍去,所以GD=1 ,由⑴得EF ∥BC ,所以

31

3

===GD AG EB AE 12、⑴说明:因为AD 平分∠BAC ,所以∠BAD =∠DAC , 因为∠B =∠CAE ,所以∠BAD +∠B =∠DAC +∠CAE ,

因为∠ADE =∠BAD +∠B ,所以∠ADE =∠DAE ,所以EA =ED ,

因为DE 是半圆C 的直径,所以∠DFE =90° 所以AF =DF

⑵因为∠B =∠CAE ,∠AEB =∠CEA , 所以△CAE ∽△ABE ,所以

AE

CE

BE AE =, 所以AE 2=BE ·CE ,因为ED =EA ,所以CE=21ED=2

1

AE , 因为BE=BD+DE ,所以 BE=BD+AE , 所以AE 2=(10+ AE )·

2

1

AE ,解得 AE=10 13、解:∵AD 与DC 的长度为x 2-7x+12的两根 ∴有两种情况:①AD=3,DC=4 ②AD=4,DC=3

由勾股定理:求得AC=5

(求△ABC 的外接圆⊙O 的直径长, 介绍两种方法供参考)

方法一:连接AO 并延长交⊙O 于E 点,连接BE ∴∠ABE=90°又∵∠E=∠C ∴△ABE ∽△ADC , ∴

AC AD

AB

AE AC AE AD AB ?=?= 方法二:连接AO 并延长交⊙O 于E 点,连接BE ∴∠ABE=90°在Rt △ADC 中:sinC=AD

AC

; 在Rt △ABE 中:sinE=

AB

AE

又∵∠C=∠E ,∴sinC=sinE ∴

AC AD

AB

AE AE AB AC AD ?=?=

①当AD=3,DC=4时,AB =

第二十八章第1-2节圆的认识;与圆有关的位置关系

∴AE =

第二十八章第1-2节圆的认识;与圆有关的位置关系

⊙O 的面积为:π+=??

? ???π)a 9(36252AE 2

2

②当AD=4,DC=3时,AB

第二十八章第1-2节圆的认识;与圆有关的位置关系

∴AE =

第二十八章第1-2节圆的认识;与圆有关的位置关系

⊙O 的面积为:π+=??

?

???π)a 16(64252AE 22