中考数学锐角三角函数与圆综合训练题

2015 年春季人教版中考数学锐角三角函数与圆综合训练题

例题一 2013?泸州）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，∠CDA=∠CBD．（1）求证：CD2=CA?CB；

（2）求证：CD是⊙O的切线；

（3）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=12，tan∠CDA=，求BE的长．

=

而tan∠CDA=，

OEB=，

∴===，

例题二（2013?呼和浩特）如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3．

（1）求证：点F是AD的中点；

（2）求cos∠AED的值；

（3）如果BD=10，求半径CD的长．

=5k

AD EF=AE

DM==k

ME=k

∴cos∠AED==；

k

CD=

例题三 2014 烟台

例题四

（2014?沈阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD．

（1）求证：AD=CD；

（2）若AB=10，cos∠ABC=，求tan∠DBC的值．

，然后由垂径定理证得，=，继

ABC==，OA=OD=AB=5×==4DAE===∴tan ∠DBC=．

综合练习

1、如图，AB 是⊙O 的直径，PA ，PC 分别与⊙O 相切于点A ，C ，

PC 交AB 的延长线于点D ，DE ⊥PO 交PO 的延长线于点E. （1）求证：∠EPD=∠EDO.（2）若PC=6，tan ∠PDA=

4

3

，求OE 的长.

2、如图，AB 是⊙0的直径，C 是⊙0上的一点，直线MN 经过

点C ，过点A 作直线MN 的垂线，垂足为点D ，且∠BAC=∠DAC ． （1）猜想直线MN 与⊙0的位置关系，并说明理由； （2）若CD=6，cos=∠ACD=，求⊙0的半径．

3、已知：如图，AB 是O ⊙的直径，C 是O ⊙上一点，OD BC ⊥于点D ，过点C 作O ⊙的切线，交OD 的延长线于点

E ，连结BE ．（1）求证：BE 与O ⊙相切；（2）连结AD 并延长交BE 于点

F ，若9OB =，2

sin 3

ABC ∠=

，求BF 的长．

4、如图，已知⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ， AB ⊥CD ，⊙O 的切线BF 与弦AD 的延长线相交于点F ． （1）求证：CD ∥ BF ； （2）若⊙O 的半径为5， cos ∠BCD=

5

4

，求线段AD 的长．

5、如图11，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，直线PO 交⊙O 于点E ，F ，过点B 作PO 的垂线BA ，垂足为点D ，交⊙O 于点A ，延长AO 与⊙O 交于点C ，连接BC ，AF ． （1）求证：直线PA 为⊙O 的切线；

（2）试探究线段EF ，OD ，OP 之间的等量关系，并加以证明； （3）若BC ＝6，tan ∠F ＝

1

2

，求cos ∠ACB 的值和线段PE 的长．

图11

P

6、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于H ，过CD 延长线上一点E 作⊙O 的切线交AB 的延长线于F ．切点为G ，连接AG 交CD 于K ． （1）求证：KE=GE ；

（2）若2

KG =KD ·GE ，试判断AC 与EF 的位置关系，并说明理由；

（3） 在（2）的条件下，若sinE=

3

5

，AK=，求FG 的长．

7、如图11，AB 是⊙O 的弦，D 是半径OA 的中点，过D 作CD ⊥OA 交弦AB 于点E ，交⊙O 于F ，且CE=CB 。（1）求证：BC ⊙O 是的切线；（2）连接AF 、BF ，求∠ABF 的度数；（3）如果CD=15，BE=10，sinA=

13

5

，求⊙O 的半径。

8、如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点0，过点O 作

OE ⊥AC 交AB 于E,若BC=4，△AOE 的面积为5，求sin ∠BOE 的值．

参考答案： 1

【

1、

3、【解析】圆与直线的位置关系；相似和三角函数

【答案】

（1）证明：连结OC ∵OD ⊥BC 所以∠EOC =∠EOB

在△EOC 和△EOB 中

OC OB EOC EOB OE OE =??

∠=∠??=?

∴△EOC ≌△EOB （SAS ）

∴∠OBE =∠OCE =90° ∴BE 与⊙O 相切 （2）解：过点D 作DH ⊥AB

∵△ODH ∽△OBD

∴OD ：OB =OH ：OD =DH ：BD

又∵sin ∠ABC =23

∴OD =6

∴OH =4，OH =5，DH

又∵△ADH ∽△AFB ∴AH ：AB =DH ：PB

:FB ∴FB

【点评】（1）利用全等三角形求出角度为90°，即得到相切的结论。 （2）利用三角形相似和三角函数求出三角形各线段的长。

4 分析】（1）由BF 是圆O 的切线，AB 是圆O 的直径，根据切线的性质，可得到BF ⊥AB ，然后利用平行线的判定得出CD ∥BF

（2）由AB 是圆O 的直径，得到∠ADB=90o ，由圆周角定理得出∠BAD=∠BCD ，再根据三角函数cos ∠BAD= cos ∠BCD=

54=AD AB

即可求出AD 的长

【解析】（1）证明：∵BF 是圆O 的切线，AB 是圆O 的直径

∴BF ⊥AB ∵CD ⊥AB ∴CD ∥BF

（2）解：∵AB 是圆O 的直径

∴∠ADB=90o

B

A

B

A

∵圆O 的半径5 ∴AB=10 ∵∠BAD=∠BCD ∴

cos ∠BAD= cos ∠BCD=

45=AD AB

∴105

4

cos ?=?∠=AB BAD AD =8 ∴AD=8

【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理和解直角三角形，此题难度适中。圆是一个特殊的几何体，它有很多独到的几何性质，知识点繁多而精粹。圆也是综合题中的常客，不仅会联系三角形、四边形来考察，代数中的函数也是它的友好合作伙伴。因此圆在中考中占有重要的地位，是必考点之一。在近几年各地的中考中,圆的有关性质,如垂径定理、圆周角、切线的判定与性质等一般以计算或证明的形式考查，与圆有关的应用题、阅读理解题、探索存在性问题仍是中考命题的热点.

5【解析】（1）要证PA 是⊙O 的切线，只要连接OB ，再证∠PAO ＝∠PBO ＝90°即可．（2）OD ，OP 分别是Rt △OAD ，Rt △OPA 的边，而这两个三角形相似且这两边不是对应边，所以可证得OA 2＝OD·OP ，再将EF ＝2OA 代入即可得出EF ，OD ，OP 之间的等量关系．（3）利用tan ∠F ＝1

2

，得出AD ，OD 之间的关系，据此设未知数后，根据AD ＝BD ，OD ＝

1

2

BC ＝3，AO ＝OC ＝OF ＝FD －OF ，将AB ，AC 也表达成含未知数的代数式，再在Rt △ABC 中运用勾股定理构建方程求解．

【答案】解：（1）证明：如下图，连接OB ， ∵PB 是⊙O 的切线，∴∠PBO ＝90°．

∵OA ＝OB ，BA ⊥PO 于D ，∴AD ＝BD ，∠POA ＝∠POB ． 又∵PO ＝PO ，∴△PAO ≌△PBO ．

∴∠PAO ＝∠PBO ＝90°．∴直线PA 为⊙O 的切线．

（2）EF 2＝4OD·OP ．

证明：∵∠PAO ＝∠PDA ＝90°，

∴∠OAD ＋∠AOD ＝90°，∠OPA ＋∠AOP ＝90°． ∴∠OAD ＝∠OPA ．∴△OAD ∽△OPA ．∴OD OA

＝OA OP ，即OA 2＝OD·OP ． 又∵EF ＝2OA ，∴EF 2＝4OD·OP ．

（3）∵OA ＝OC ，AD ＝BD ，BC ＝6，∴OD ＝1

2

BC ＝3． 设AD ＝x ，∵tan ∠F ＝

1

2

，∴FD ＝2x ，OA ＝OF ＝2x －3．

P

在Rt △AOD 中，由勾股定理 ，得(2x －3)2＝x 2＋32． 解之得，x 1＝4，x 2＝0（不合题意，舍去）． AD ＝4，OA ＝2x －3＝5．

∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°． 而AC ＝2OA ＝10，BC ＝6， ∴cos ∠ACB ＝

610＝35

． ∵OA 2＝OD·OP ， ∴3(PE ＋5)＝25． ∴PE ＝

103

． 【点评】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，综合性很强，并富有探究性．要证某线是圆的切线，若已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可；若此线与圆的切点未知，可以过圆心作这条直线的垂线段（即为垂直），再证半径即可．另外，与圆有关的探究、计算问题，多与相似三角形和勾股定理有关，上来从这方面着手分析思考，有利于思路的快速打开．

6、解析：利用切线的性质和等边对等角可以证明∠EGK=∠EKG ，然后根据等角对等边，即可证明第（1）小题；

对于第（2）小题，可以先由等积式得到比例式，然后得到三角形相似，根据角的关系可以判断两条直线的位置关系；对于第（3）小题，可以先利用方程的思想求出相关线段的长，然后利用三角函数求FG 的长。 答案：（1）如下图，连接OG ，

∵EG 是⊙O 的切线∴OG ⊥GE ∴∠OGK+∠EGK ＝90°∵CD ⊥AB ∴∠OAG+∠AKH ＝90°∵OG=OA ∴∠OGK=∠OAG ∴∠EGK=∠AKH=∠EKG ∴KE=GE ；

（2）AC ∥EF 理由如下：

∵2

KG =KD ·GE ，GE=KE ∴KG KE

KD KG

∴△KGD ∽△KGE

∴∠KGD ＝∠E ∠KGD ＝∠C ∴∠E ＝∠C

∴AC ∥EF

（3）∵在（2）的条件下，

∴AC ∥EF

∴∠CAF ＝∠F ，∠E ＝∠C

∵sinE=35

∴sinC=35,sinF=45,tanE=tanC=34

连接BG ，过G 作GN ⊥AB 于N ，交⊙O 于Q 则弧BQ=弧BG ∴∠BGN ＝∠BAG 设AH=3k ，则CH=4k

于是BH=221616==33CH k k AH k ，OG=+25=26

BH AH k

∵EG 是切线，CD ⊥AB

∴∠OGF ＝90° ∴∠FOG+∠F=∠E+∠F ∴∠FOG=∠E

∴NG=OGsin ∠FOG=

25365k ?=52

k

∴BN=OB-ON=OG-OGcos ∠FOG=25451-=656

k k

?? ??? ∴

56

点评：本题的第（3）小题是一道大型综合题，且运算量较大，属于较难题；但是，前两个小题比较基础，同学们

应争取做对。

7、【解析】（1）连接OB ，证OB ⊥BC ，即证∠OBE+∠EBC=90°。通过OA=OB ，CE=CB ，∠AED=∠BEC ，可将∠OBE 、∠EBC 分别转化为∠A 、∠AED ，结合CD ⊥OA 可证∠OBE+∠EBC=90°；

（2）连接OF ，由CD 垂直平分OA 得AF=OF=OA ，再结合圆心角与圆周角关系易求∠ABF 的度数；，∴ （3）作CG ⊥BE 于G ，得∠A=∠ECG ，CG 是BE 垂直平分线，由CD=15，BE=10，sinA=13

5

，可求EG 、CE 、CG 、DE 长度，通过△ADE ∽△CGE 可求AD ，从而计算半径OA 。

Q

N

【答案】（1）证明：连接OB 。∵OA=OB ，∴∠A=∠OBE 。∵CE=CB ，∴∠CEB=∠EBC ，∵∠AED =∠EBC ，∴∠AED = ∠EBC ，又∵CD ⊥OA ∴∠A+∠AED=∠OBA+∠EBC=90°，∴BC ⊙O 是的切线；

（2）∵CD 垂直平分OA ，∴OF=AF ，又OA=OF ，∴OA=OF=AF ，∴∠O=60°，∴∠ABF=30°；

（3）作CG ⊥BE 于G ，则∠A=∠ECG 。∵CE=CB ，BD=10，∴EG=BG=5，∵sinECG=sinA=

13

5

，∴CE=13，CG=12.又CD=15，∴DE=2。∵ADE ∽△CGE ，∴

EG DE CG AD =，即

5

2

12=AD ，∴AD=524，∴OA=548，即⊙O 的半径是548。

【点评】本题将多个知识点结合在一起，问题设计层层递进，梯度鲜明，是一道中档偏上的题，有一定区分度．我们必须学会由已知条件寻找相应的定理、性质的基本图形，以及在不能直接根据已知条件解决问题时，要学会运用转化的思想。