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波动光学 习题-2015修改 (1)

1.2 光自真空进入金刚石(n d=

2.4)中,若光在真空中的波长λ0=600nm,试求该光波在金刚石中的波长和传播速度。

1.4有一个一维简谐波沿z方向传播,已知其振幅a=20mm,波长λ=30mm,波速v=20mm/s,初相位φ0=π/3。(1)试问该简谐波的振动物理量是什么?(2)写出该简谐波的波函数。(3)试在同一图中画出t=0和t=0.5s两个时刻的波形图(z的范围自0~2λ),并指出波的传播方向。

1.6试求一维简谐波的相速度,问该简谐波的传播方向为何?(z和t的单位分别是米和秒)

1.7 有一频率为v0的一维简谐波沿Z方向传播,已知OB段媒介与BC段媒质性质不同:在OB段,波速为(v1cm/s),波长为λ1(cm),振幅为E10;在BC段,波速为v2,振幅为E20。假设t=0时,O点处的相位为零,在B点处相位连续,试求OB段和BC段的波函数表达式。

1.9有两个简谐波,其波函数分别为:

(1)试用相幅矢量法求合成波的振幅和初位相。

(2)写出合成波的波函数。

1.12 有一个波长为λ的简谐平面波,其波矢k与y轴垂直,与z轴的夹角为α(见图)。试求这个波的各个空间频率分量及在z=0平面上的复振幅表达式。

1.22 设一简谐平面电磁波电矢量的三个分量(采用MKSA单位)分别为:

(1)试求该电磁波的频率、波长、振幅和初位相。并指出其中振动方向和传播方向。

(2)写出这个波的磁感应强度B的分量表达式。

1.23 有一简谐平面波在玻璃内传播,已知其波函数为:

试求该波的频率、波长、传播速度,并求玻璃的折射率。

1.28 一束平面光波以布儒斯特角入射到一透明平行平板上,试证明在平板上、下表面反射的都是线偏振光。

1.33 一玻璃平板(n=1.5)置于空气中,设一束振幅为E0、强度为I0的平行光垂直射到玻璃表面上,试求前三束反射光R1、R2、R3和前三束透射光T1、T2、T3的振幅和强度。(图见书p49)

1.35 一束振动方向平行于入射面的平行光以布儒斯特角射到玻璃棱镜(n=1.5)的侧面AB 上,如图所示,欲使入射光通过棱镜时没有反射损失,问棱镜顶角A应为多大?

1.38 如图所示,一直角棱镜(n=1.5)置于空气中,试问为了保证在棱镜斜面上发生全反射,最大入射角αmax为何?

3.1 试利用复数表示法求下述两个波:

的合成波函数,并说明该合成波的主要特点。

3.3 有两个波面与y轴平行的单色平面波分别以α1和α2角射向观察屏II(z=0平面),如图所示。已知此两光波的振幅均为E0,振动方向平行于xz平面,波长λ=500mm,初相位分别为φ10=0,φ20=30°。

(1)试求沿x轴的光强分布表达式;

(2)试问距离O点最近的光强极大值位置为何?

(3)设α1=20°,α2=30°,求x方向光强度分布(即条纹)的空间频率和空间周期。

(4)求干涉条纹的反衬度

3.5 在杨氏实验装置的一个小孔s1后面放置一块n=1.5、厚度h=0.01mm的薄玻璃片,如图所示。试问与放玻璃片之前相比,屏II上干涉条纹将向哪个方向移动?移动多少个条纹间距?(设光源波长为500nm)。

3.6 在图3-16的杨氏干涉装置中,设光源s是一个轴外点光源,位于ξ=0.2mm处,光源波长λ=550nm。已知双缝间距l=1mm,光源至双缝距离a=100mm,双缝至观察屏II的距离d=1m。试求:(1)屏II上的强度分布;(2)零级条纹的位置;(3)条纹间距和反衬度。

3.9 已知He – Ne激光器的波长λ=632.8nm,谱线宽度约为0.00006nm,试问若用它作为光源,干涉条纹的最高干涉级和相干光程各为何?

3.11 假设图示菲涅耳双棱镜的折射率n=1.5,顶角α=0.5°,光源s和观察屏II至双棱镜的距离分别为a=100mm和d=1m,若测得屏II上干涉条纹间距为0.8mm,试求所用光源波长的大小。

3.13 瑞利干涉仪可用来测量媒质折射率的大小,其光路如图所示,T1和T2是两个完全相同的玻璃管,对称地放置在双缝S1、S2后的光路中。通过玻璃管的两束光被透镜L2汇聚在屏II上产生干涉条纹。测量时,光在T1、T2管内以相同气压的空气开始观察干涉条纹;然后把T1管逐渐抽成真空,与此同时计数到条纹向下移动了49条。其后,再向T1管内充以相同气压的CO2气体,观察到条纹回到原位后又向上移动了27条。已知管长为100mm,光源波长为589nm,试求空气和CO2气体的折射率大小。

3.14 在海定格干涉仪中,设平板玻璃折射率为n=1.5,板厚d=2mm,宽光源s的波长λ=600nm,透镜焦距f=300mm。试求:

(1)干涉条纹中心的干涉级,试问是亮纹还是暗纹;

(2)从中心向外数第8个暗环的半径及第8个和第9个暗纹间的条纹间距;

(3)条纹的反衬度。

3.15 一束波长λ=600nm的平行光垂直照射到位于空气中的薄膜上,设薄膜的折射率为n=1.5。试问使两表面反射光干涉抵消的最小薄膜厚度为多少?

3.16 利用干涉法测细丝直径,如书上图。形成的是空气楔。当用λ=589nm的纳黄光垂直照明时,可观察到10个条纹,试求细丝直径φ的大小。

3.19 在平凸透镜和平晶产生牛顿环的装置中,若已知透镜材料的折射率为1.5,照明光波波长为λ=589nm,测得牛顿环第5个暗环半径为1.2mm,试问透镜曲率半径?

3.21 在做迈克尔逊干涉仪实验时,若将钠灯作为光源,则在移动M1镜的过程中会看到条纹由清晰到模糊再到清晰的周期变化。已知纳双线的波长分别为589nm和589.6nm,试问在条纹相继两次消失之间,M1镜动了多少距离?

3.24 设法–珀干涉仪两反射镜的距离d=2mm,准单色宽光源波长λ=546nm,透镜焦距f=320mm。试求从中心向外算第6个亮纹的角半径,半径和条纹间距。

3.26 汞的同位素Hg198、Hg200、Hg202和Hg204在绿光范围各有一条特征谱线,波长分别为546.0753nm、546.0745nm、546.0734nm和546.0728nm。分别用一法–珀标准具(ρ=0.9)分析这一精细结构,试问标准具的间隔d需要满足什么条件?

4.4 波长为546nm的绿光垂直照射到缝宽为1mm的狭缝,在狭缝后面放置一个焦距为1m 的透镜透镜,将衍射光聚焦在透镜后焦面的观察屏上。试求:

(1)衍射图形中央亮环的宽度与角宽度;

(2)衍射图形中央两侧2mm处的辐照度与中央辐照度的比值。

4.5 如图所示,一束平行光以角β射向宽度为a的单缝,并在屏Π上形成夫琅和费衍射图形。(1)试求屏Π上的辐照度表达式;

(2)试问衍射图形中心应位于何处?

(3)证明中央亮斑的半角宽度

4.9 试以单缝夫琅和费衍射装置为例,讨论装置作如下变化时对衍射图形的影响。

(1)透镜L2:焦距变大;

(2)衍射屏Σ:设为单缝。

①Σ屏设ξ轴平移,但不超出入射光照明范围;

②Σ屏绕z轴旋转;

(3)光源s:

①s是点光源,但设x方向有一移动;

②s是平行于狭缝的线光源。

解:(1)增大透镜L2的焦距后,整个衍射花样会有所扩展,由确定,f越大,x 越大。当然,零级条纹边线宽度增大了,注意,此时接收平面要后移,应始终位于L2的焦平面上。

(2)①此时几何像点的位置不变,因此零级衍射的位置不变。但是显然由于衍射孔径不再对于光轴对称,所以衍射图样也不再对零级条纹对称。也就是说,零级条纹的两侧的条纹数目不再相同。我们已经知道,对光波的限制造成了衍射,限制的越多,衍射越强烈。所以,当单缝向上移动时,上面光波的受限制程度略低于下部,所以上部条纹减少,而下部条纹增多。以此类推,其余衍射特征不变。

②当Σ屏绕z轴旋转时,衍射图样也一起转,其余不变。因为光波受限的方向在旋转,条纹也随之而转。

(3)①点光源s移动后,其几何像点边条纹改变位置,向下移动,所以衍射图样整体向下移动。下移后,有:,,其中θ0是点光源平移后与L1中心点连线相对光轴z的夹角。

②将点光源换成为平行与狭缝的线光源后,衍射条纹在线光源方向扩展,其余不变。

4.11 (1)试求在正入射照明下,图示两种衍射屏的夫琅和费衍射对图形的复振幅分布和复照度分布。设波长为λ,透镜焦距为f。

(2)设,试求方环衍射与边长为L的方孔衍射的中央辐照度之比。

(3)设,试求圆环衍射与半径为R1的圆孔衍射的中央辐照度之比。

4.12 一台天文望远镜物镜的入射光瞳直径为D=2.5m,设光波长λ=0.55μm,求该望远镜的分辨本领。若人眼瞳孔直径D e=3mm,为了充分利用望远镜的分辨率本领,望远镜的视角放大率应等于多少?

4.14 光谱范围为400~700nm的可见光径光栅衍射后被展开成光谱。

(1)若光栅常数d=2μm,试求一级光谱的衍射角范围。

(2)欲使一级光谱的线范围为50mm,试问应选用多大焦距的透镜?

(3)问可见光的一级与二级光谱,二级与三级光谱会不会更叠?

4.15 用宽度为50mm,每毫米有500刻线的光栅分析汞光谱。已知汞的谱线有λ1=404.7nm,λ2=43

5.8nm,λ3=491.6nm,λ4=54

6.1nm,λ5=577nm,λ6=579nm等,假设照明光正入射。(1)试求一级光栅中上述各谱线的角距离。

(2)试求一级光谱中汞绿谱线(λ4)附近的角色散。

(3)用此光栅能否分辨一级光谱的两条汞黄线(λ5

、λ6)?

(4)用此光栅最多能观察到λ6的几级光谱?

4.21复色光垂直照射一闪耀光栅,如图。设光栅常数d=4μm,闪耀角α=10°。

(1)试求干涉零级和衍射零级的方位角,并在图中大致画出它们的方向。

(2)问此光栅对什么波长的光波在二级光谱上闪耀?

解:(1)衍射零级的方位即为符合几何光学传播规律的方向,如图,在光栅表面刻槽处,光线的入射角为α,则根据反射定律,零级衍射在与光栅平面成2α角方位。

干涉零级:由于是多束干涉,干涉极大满足:

零级即m=0,衍射角θ=0,即在与光栅面垂直的方向上。

4.25 波长λ=625nm的单色平面波垂直照明半径ε=2.5mm的与圆孔,设轴上考察点P0至圆孔的距离d=500mm。

(1)试求圆孔内所包含的半波带数。

(2)试问这时P0点的光强为何?

4.30 有一半径为2mm的小圆屏被强度为I0,波长λ=500nm的平面波垂直照明。试求与小圆屏相距2m远的轴上点P0处的光强为何?

解:根据半波带数目的计算公式:

平面波照明时,R=∞,

所以在P0点处,其光强为第五个波带的强度

由于圆屏较小,只挡住了4个波带,所以P0处的光强度较大,可认为是强度较大的泊松亮点。

补充题1. 一单缝被氦氖激光器所照明(λ=632.8nm),所得夫琅和费衍射图样中的第一极小对单缝法线的夹角为5°,问缝宽为多少?

补充题2. 考察缝宽b=8.8×10-3cm,双缝间隔d=7.0×10-2cm,波长为632.8nm时的双缝衍射,在衍射中央极大两侧的两个衍射极小间,将出现多少个干涉极小值?若屏离开双缝457.2cm,计算条纹宽度。

解:(1)这是一个双缝衍射问题,首先需要求出衍射中央极大两侧的衍射极小,也就是单缝衍射的第一极小的衍射角,再求在这两个衍射极小间干涉条纹的情况。

根据单缝衍射公式:,则第一衍射极小的衍射角为:

再由双缝干涉的公式,有:,将第一衍射极小的衍射角带入,则得到此时干涉的级次:

也就是说,在第一衍射极小处,大约是第8级干涉极大,所以从中央开始数,到第一衍射极小处,有8个暗纹,两侧共有16个暗纹。

补充题3. 用波长为624nm的单色光照射一光栅,已知该光栅的缝宽为0.012mm,不透明部分宽度为0.029mm,缝数为1000条,求(1)中央峰的角宽度;(2)中央峰内干涉主极大的数目。(3)中央峰内主极大的角半宽度。

6.16 将两块线偏振器叠起来使用,通过改变它们主方向之间的夹角θ可以控制透射光的强度I。假设θ=0时透射光的强度为I0,试问:

(1)欲,θ应为多少度?

(2)若要求I的精度在2%以内,角θ的最大允许误差为多少?

补充题4. 有两个偏振片,他们的偏振方向的夹角为45度,有一束强度为I0单色自然光透过该系统,则透射光的强度为多少?若有另一束单色自然光透过该系统,透射光的强度I0,问第二束入射光的强度是多少?