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几何直线形题(卷四)

几何直线形题(卷四)
几何直线形题(卷四)

几何直线形检测题【卷四】

姓名_______班级_______成绩________ 一、一元选择题(每小题3分,共24分)

答 题 卡

1. 下列命题为假命题的是:

A .

射线只有一个端点 B .两点之间线段最短 C .三角形任何

两边之和大于第三边 D .三角形的一个外角大于任何一个内角

2. 下列图形中,是中心对称图形又是轴对称图形的是

A .等腰梯形

B .等边三角形

C .平行四边形

D .菱形 3. 菱形的两条对角线的长分别为3cm 和4cm ,那么这个菱形的面积为:

A .12cm 2

B .6cm 2

C . 4cm 2

D .2cm 2 4. 正方形具有,而矩形不一定具有的性质是:

A .

对角线互相平分 B .对角线相等

C .对角线互相平分且相等

D .对角线互相垂直

5. 如果两个相似三角形的周长比为1:4,那么这两个相似三角形的面积

比为:

A .1:16

B .1:8

C .1:4

D .1:2

6. 如果一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍,那么这个多边形是:

A .三角形

B .四边形

C .五边形.

D .六边形 7. △ABC 中,∠C =900,∠A =300,则BC :AC 等于:

A .1:2

B .3:2

C .3:3

D .2:3

8. 梯形上、下底长分别为1和4,两条对角线长分别为3和4,则此梯形

的面积是:

A .6

B . 8

C .10

D .12

二、填空题(每小题4分,共48分)

9. 已知角α为42036/,那么角α的余角的度数为____度

10. 已知平行四边形ABCD 的周长为24,AB :AD =1:2,那么AB 的长

是______

11. 已知梯形ABCD ,AD//BC ,如果中位线FE 的长为6cm ,BC =2AD ,

那么BC 的长是______

12. 等腰三角形底边中点与一腰的距离为5cm ,则腰上的高为_____cm 13. 已知CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高,若AD =4,BD =16,则CD =

____,AC ·BC =_____

14. 已知2===f

e

d c b a ,且4=++f d b ,则______=++

e c a

15. 已知直角三角形的两条直角边的长分别为5,12,则斜边上的中线长为

______

16. 已知O 是△ABC 的内心,若∠BOC =1300,则∠A =______ 17. 顺次连结矩形各边中点所得的四边形是_______ 18. 在梯形ABCD 中,AD//BC ,∠A =2∠C ,AD =a ,

BC =b ,(a

DC 上,且FE//AD ,AE :EB =m :n ,AD =c ,BC =b ,则EF =______

20.在Rt△ABC中,∠C=900,AC=3,BC=4,则△ABC的内切圆半径

为______

三、解答题(共28分)

21.(10分)已知:如图在菱形ABCD中,E,F分别为BC、CD的中点,

求证:AE=AF

22.(10分)已知:如图在平行四边形ABCD中,E,F是对角线AC的两

个三等分点,

求证:四边形BFDE是平行四边形23.(8分)已知:如图在Rt△ABC中,∠ACB=900,AC>BC,CD⊥AB

于D,E是BC边中点,直线AC、DE延长相交于F,

求证:

DF

AF

BC

AC

数形结合例题选集

数形结合 一、在一些命题证明中的应用举例: 1、证明勾股定理: 2222 c b a b a 0.5ab 4=+=-+?)()( 解析:上图中,四个小三角形(阴影部分)的面积加上中间小正方形的面积等于大正方形的面积,化简后得到勾股定理222c b a =+。 2、证明乘法公式(平方差与完全平方): ))((b a b a b a 22-+=- 2ab b a b a 222 ++=+)( 解析:在上图中,利用正方形和小正方形面积的转化,能更进一步理解平方差公式与完全平方公式的运算过程以及公式的本质问题。 3、证明基本不等式:

解析:如上图所示,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,长度为 2 b a +,根据直角三角形的相似关系,可以得到直角三角形斜边上的高的长度为a b ,显然在直角三角形中,斜边上的中线的长度会大于等于高,利用这样简洁明了的几何图解,对基本不等式的理解也就更加简单了。 4、证明正(余)弦定理: 解析: (1)如上图所示,csinB bsinC bsinC a 2 1 h a 21S ABC =??=?= ?的面积; 即sinC c sinB b sinA a sinC c sinB b ===,同理可得; 根据圆的性质(等弧对等角)2R sinA a 2R a sinD sinA D A ===∠=∠,即,; 综上,得正弦定理:2R sinC c sinB b sinA a ===。 (2)根据勾股定理2 2222222cosB c a b cosB c c CE AC BE AB )()(,即?--=?--=-; 整理可得余弦定理:2ac b c a cosB 2 22-+=;同理得出cosA 、cosC 的余弦定理。 5、证明结论),(,2 0x sinx x x tan π ∈>>

(word完整版)初中三角形总复习+中考几何题证明思路总结

初中三角形总复习 【知识精读】 1. 三角形的定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2. 三角形中的几条重要线段: (1)三角形的角平分线(三条角平分线的交点叫做内心) (2)三角形的中线(三条中线的交点叫重心) (3)三角形的高(三条高线的交点叫垂心) 3. 三角形的主要性质 (1)三角形的任何两边之和大于第三边,任何两边之差小于第三边; (2)三角形的内角之和等于180° (3)三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角,等于和它不相邻的两个内角的和; (4)三角形中,等角对等边,等边对等角,大角对大边,大边对大角; (5)三角形具有稳定性。 4. S S ABE ?? 基础。 5. 三角形边角关系、性质的应用 【分类解析】

例1. 锐角三角形ABC 中,∠C =2∠B ,则∠B 的范围是( ) A. 1020?<?∠∠B C 90 ∴>?390∠B ,即∠B >?30 ∴?<

初中几何经典培优题型(三角形)

全等三角形辅助线 找全等三角形的方法: (1)可以从结论出发,看要证明相等的两条线段(或角)分别在哪两个可能全等的三角形中; (2)可以从已知条件出发,看已知条件可以确定哪两个三角形相等; (3)从条件和结论综合考虑,看它们能一同确定哪两个三角形全等; (4)若上述方法均不行,可考虑添加辅助线,构造全等三角形。 三角形中常见辅助线的作法: ①延长中线构造全等三角形; ②利用翻折,构造全等三角形; ③引平行线构造全等三角形; ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种: 1)遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”. 2)遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”.

3)遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的 思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理. 4)过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是 全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 5)截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相 等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.特殊方法:在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答. 常见辅助线写法: ⑴过点A作BC的平行线AF交DE于F ⑵过点A作BC的垂线,垂足为D ⑶延长AB至C,使BC=AC ⑷在AB上截取AC,使AC=DE ⑸作∠ABC的平分线,交AC于D ⑹取AB中点C,连接CD交EF于G点

数形结合找规律试题集锦

4=1+3 9=3+6 16=6+10 图7 … 数形结合找规律试题集锦 1 如图所示,每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵,根据图中提供的信息,用含n 的等式表示第n 个正方形点阵中的规律____________________。 2古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”,而 把1、4、9、16 … 这样的数称为“正方形数”. 从图7中可以发现,任何一个大于1 的“正方形数”都可以看作两个相邻 “三角形数”之和.下列等式中,符 合这一规律的是( ) A .13 = 3+10 B .25 = 9+16 C .36 = 15+21 D .49 = 18+31 3 如图,是由12个边长相等的正三角形镶嵌而成的平面图形,则图中的平行四 边形共有_______个. 4 (08河北)有一个四等分转盘,在它的上、右、下、左的位置分别挂着“众”、“志”、“成”、“城”四个字牌,如图5-1.若将位于上下位置的两个字牌对调,同时将位于左右位置的两个字牌对调,再将转盘顺时针旋转90,则完成一次变换.图5-2,图5-3分别表示第1次变换和第2次变换.按上述规则完成第9次变换后,“众”字位于转盘的位置是( ) A .上 B .下 C .左 D .右 第(4)题 图5-1 图5-2 图5-3 …

5 如图①是一块瓷砖的图案,用这种瓷砖来铺设地面,如果铺成一个2×2的正方形图案(如图②),其中完整的圆共有5个,如果铺成一个3×3的正方形图案(如图③),其中完整的圆共有13个,如果铺成一个4×4的正方形图案(如图④),其中完整的圆共有25个,若这样铺成一个10×10的正方形图案,则其中完整的 圆共有个. 6把长方形的纸条对折一次可得1条折痕,对折两次可得3条折痕,那么对折6次可得条折痕。对折n次可得条折痕。 7如图第二个三角形是由第一个三角形连接三边的中点而得到的,猜想第四个图形中有个三角形,………,第n个图形共有个三角形 (1 )( 2 )( 3 )这n个图形共有个三角形。 8 一块正方形的地板,由相同的小正方形瓷砖铺满,若地板对角线上的瓷砖是黑色的,其余瓷砖是白色的,如果用了黑色瓷砖101块,那么白色瓷砖的总数是 块。 9 (2008年山东省临沂市)如图,以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA 1 ,再以等腰直角三角形ABA 1 的斜边为直角边向外作第3个等 腰直角三角形A 1 BB 1 ,……,如此作下去,若OA=OB=1,则第n个等腰直角三角形 的面积S n =________。 B1 B2 A1 A O B

2020年全国各地中考数学压轴题按题型(几何综合)汇编(一)三角形中的计算和证明综合(原卷版)

2020全国各地中考数学压轴题按题型(几何综合)汇编 一、三角形中的计算和证明综合题 1.(2020贵州黔东南州)如图1,△ABC和△DCE都是等边三角形. 探究发现 (1)△BCD与△ACE是否全等?若全等,加以证明;若不全等,请说明理由. 拓展运用 (2)若B、C、E三点不在一条直线上,∠ADC=30°,AD=3,CD=2,求BD的长. (3)若B、C、E三点在一条直线上(如图2),且△ABC和△DCE的边长分别为1和2,求△ACD的面积及AD的长. 2.(2020黑龙江牡丹江)在等腰△ABC中,AB=BC,点D,E在射线BA上,BD=DE,过点E作EF∥BC, 交射线CA于点F.请解答下列问题:

(1)当点E 在线段AB 上,CD 是△ACB 的角平分线时,如图①,求证:AE +BC =CF ;(提示:延长CD ,FE 交于点M .) (2)当点E 在线段BA 的延长线上,CD 是△ACB 的角平分线时,如图②;当点E 在线段BA 的延长线上,CD 是△ACB 的外角平分线时,如图③,请直接写出线段AE ,BC ,CF 之间的数量关系,不需要证明; (3)在(1)、(2)的条件下,若DE =2AE =6,则CF = . 3.(2020武汉)问题背景:如图(1),已知△ABC ∽△ADE ,求证:△ABD ∽△ACE ; 尝试应用:如图(2),在△ABC 和△ADE 中,∠BAC =∠DAE =90°,∠ABC =∠ADE =30°,AC 与DE 相交于点F ,点D 在BC 边上, AD BD = √3,求 DF CF 的值; 拓展创新 如图(3),D 是△ABC 内一点,∠BAD =∠CBD =30°,∠BDC =90°,AB =4,AC =2√3,直接写出AD 的长. 4.(2020湖南常德)已知D 是Rt △ABC 斜边AB 的中点,∠ACB =90°,∠ABC =30°,过点D 作Rt △DEF 使∠DEF =90°,∠DFE =30°,连接CE 并延长CE 到P ,使EP =CE ,连接BE ,FP ,BP ,设BC 与DE 交于M ,PB 与EF 交于N . (1)如图1,当D ,B ,F 共线时,求证: ①EB =EP ; ②∠EFP =30°; (2)如图2,当D ,B ,F 不共线时,连接BF ,求证:∠BFD +∠EFP =30°.

上海初二数学几何证明练习之全等三角形

上海初中数学几何证明练习之全等三角形 一、填空题(每小题2分,共20分) 1.如图,△ABC ≌△DEB ,AB =DE ,∠E =∠ABC ,则∠C 的对应角为 ,BD 的对应边为 . 2.如图,AD =AE ,∠1=∠2,BD =CE ,则有△ABD ≌△ ,理由是 ,△ABE ≌ (第1题) (第 2题) (第4题) 3.已知△ABC ≌△DEF ,BC =EF =6cm ,△ABC 的面积为18平方厘米,则EF 边上的高是 cm. 4.如图,AD 、A′D′分别是锐角△ABC 和△A′B′C′中BC 与B′C′边上的高,且AB = A′B′,AD = A′D′,若使△ABC ≌△A′B′C′,请你补充条件 (只需填写一个你认为适当的条件) 5. 若两个图形全等,则其中一个图形可通过平移、 或 与另一个三角形 完全重合. 6. 如图,有两个长度相同的滑梯(即BC =EF ),左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向 的长度DF 相等,则∠ABC +∠DFE =___________度 (第6题) (第7题) (第8题) 7.已知:如图,正方形ABCD 的边长为8,M 在DC 上,且DM =2,N 是AC 上的一动点, 则DN +MN 的最小值为__________. 8.如图,在△ABC 中,∠B =90o ,D 是斜边AC 的垂直平分线与BC 的交点,连结AD ,若 ∠DAC :∠DAB =2:5,则∠DAC =___________. 9.等腰直角三角形ABC 中,∠BAC =90o ,BD 平分∠ABC 交AC 于点D ,若AB +AD =8cm , M N D C B A E D C B A

数形结合——让“几何直观”在课堂教学中秀出风采

数形结合——让“几何直观”在课堂教学中秀出风采 我国著名的数学家华罗庚曾说过:“形缺数时难入微,数缺形时少直观”,即“数无形不直观,形无数难入微”。“数形结合”的思想是重要的数学思想,新课标中特别注重这种思想在教学中的渗透,借助几何直观,可以把数形结合的思想更好地反映出来。如在第一学段中对数字的教学、对加、减、乘、除意义的教学和一些抽象概念的教学;第二学段中对分数、小数、百分数、负数意义的教学、立体图形教学、代数的教学以及一些复杂数量关系的分析等等,都无不渗透着数形结合的思想。 下面就结合我的教学实践,谈一谈我对这个核心内容的粗浅认识。 1.以图示本。 几何直观的最大好处就在于它的直观性,它让学生的眼球一下子就能集中到黑板上、问题上。在第一学段对学生的数字教学中,我通过出示可爱的动物、植物、人物等画片,将图与数形成了“一一对应”的视觉冲突,让学生以此建立初步的数感。而在后面加减乘除意义的教学中,我利用图形的圈入、划去,几组相同或几组不同个数图形的对比研究以及图形的平均分和不平均分存在的根本差别等等,让学生经历反复的视觉刺激,在师生不断的探求和总结中,逐步揭示出这些概念的数学本质。以直观的图为媒介,很好地向抽象的概念过渡。 2.以图促思。 举个例子,例如在教学“连除应用题”时,我先给学生示题:学

校图书室买来200本新书,放在2个书架上,每个书架有4层。平均每层放了多少本书?然后又出示了书架的实物图,我让学生用长方体的图模代替书往上面放,最后让学生说明自己解决问题的过程。学生会根据自己的摆放方式不同而得出三种不同的算法:①先算每个书架放了几本?②先算两个书架共有几层?③先算两个书架的一层共放几 本书?我觉得只有这样的几何直观才能帮助学生感悟到用连除两步计算解决问题的数学本质。借助“形”的直观,能促进学生形成从“数”和“形”的角度把“数和形”结合起来考虑问题的意识,很好地发展了他们的数学思想和推理能力。 3.以图明理。 例如:为了学好分数乘法应用题,我是这样来引题的: (1)每生准备一张长方形纸 要求:把这张长方形纸折一折,平均分成4份,把其中的3份画上阴影。 师:看着这个图,你想说什么?(放开来让学生说)(主要说明:阴影部分、空白部分和整个长方形三者之间有什么关系?)(2)根据学生的回答,当学生说到空白部分是整张长方形的1/4时,引导复习:如果知道阴影部分是整张长方形的3/4,怎样知道空白部分是整个长方形的几分之几?(这个问题为后面例题的学习作了铺垫。) 类似的方法还可以广泛地运用到抽象的概念教学中,通过形象的

数形结合的几个经典题

数形结合 1. 如图 1,大长方形的面积从整体看为 S=m (a +b +c ), 同时这个大长方形的面积也可以从局部表示成: S = S 1+S 2+S 3= ma +mb +mc ; 于是有 m ( a +b +c )= m a +m b +m c 。 。 2. 如图 2,大长方形的面积从整体可以表示成( a+b )(m+n ), 同 时 这 个 大 长 方 形 的 面 积 也 可 以 从 局 部 表 示 成 S = S 1+S 2+S 3+S 4 = ma +mb +na +nb ; 于是有 ( a + b )( m+n )= ma +mb +na +nb . 。 3. 如图 3,阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面 2 2 积,即 a - b ; 若把小长方形 S 4 旋转到小长方形 S 3 的位置, 则此时的阴影部分的面积又可以看成 S 1+S 2+ S 3= ( a +b )( a -b ) 。 2 2 于是有 ( a +b )( a -b ) =a -b 。 4. 如图 4:将边长为 b 的小正方形放到边长为 a 的正方形的一角, 2 2 空白部分的面积从整体计算为 a - b ; 其面积为 而如果从局部考虑,其面积可以看作为两个梯形 S 1+S 2 之和, b) 。 2 2 于是有 ( a +b )( a -b ) =a -b 。 5. 如图 5,大正方形的面积从整体可以表示为 ( a +b ) 2 , 从局部可以表示为也可以表示为 S = S 1 + S 2+ S 3 +S 4, 2 2 2 2 同时 S = a +ab +ab +b =a +2ab +b , a b a 2 b a b a 2 b (a b )( a

八年级下册三角形几何证明

八年级下册三角形几何证明 1.三角形的一个外角等于_________的两个内角的和. 2.在△ABC中,若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则∠C=________. 3.在△ABC中,∠B=45°,∠C=72°,那么与∠A相邻的一个外角等于_______. 4.如图1所示,△ABC中,D,E分别是AC,BD上的点, 且∠A=65°,∠ABD=∠DCE=30?°,则∠BEC的度数是_________. (1) (2) (3) (4) 5.按第4题图所示,请你直接写出∠A,∠BEC,∠EDC之间的大小关系,用“55°或70°D.以上答案都不对 9.若三角形的三个外角的度数之比为2:3:4,则与之对应的三个内角的度数之比为()A.4:3:2 B.3:2:4 C.5:3:1 D.3:1:5 10.满足下列条件的△ABC中,不是直角三角形的是() A.∠B+∠A=∠C B.∠A:∠B:∠C=2:3:5 C.∠A=2∠B=3∠C D.一个外角等于和它相邻的一个内角 11.如图3所示,在△ABC中,∠ABC与∠BAC的平分线相交于点O,若∠BOC=120°,则∠A为() A.30°B.60°C.80°D.100° 12.如图所示,在锐角△ABC中,CD和BE分别是AB和AC边上的高,且CD和BE?交于点P,若∠A=50°,则∠BPC的度数是() A.150°B.130°C.120°D.100°

专题十一 几何证明之三角形中作辅助线造全等 2020年中考数学冲刺难点突破 几何证明问题(原卷版)

2020年中考数学冲刺难点突破几何证明问题 专题十一几何证明之三角形中作辅助线造全等 1、如图1,OA=2,OB=4,以点A为顶点,AB为腰在第三象限作等腰直角△ABC. (Ⅰ)求C点的坐标; (Ⅱ)如图2,OA=2,P为y轴负半轴上的一个动点,若以P为直角顶点,PA为腰等腰直角△APD,过D作DE⊥x轴于E点,求OP﹣DE的值; (Ⅲ)如图3,点F坐标为(﹣4,﹣4),点G(0,m)在y轴负半轴,点H(n,0)x轴的正半轴,且FH⊥FG,求m+n的值. 2、如图,在△ABC中,AB=AC,点M在△ABC内,AM平分∠BAC.点D与点M在AC所在直线的两侧, AD⊥AB,AD=BC,点E在AC边上,CE=AM,连接MD、BE. (1)补全图形; (2)请判断MD与BE的数量关系,并进行证明; (3)点M在何处时,BM+BE会有最小值,画出图形确定点M的位置;如果AB=5,BC=6,求出BM+BE 的最小值.

3、如图1,∠AOB=90°,OC平分∠AOB,以C为顶点作∠DCE=90°,交OA于点D,OB于点E. (1)求证:CD=CE; (2)图1中,若OC=3,求OD+OE的长; (3)如图2,∠AOB=120°,OC平分∠AOB,以C为顶点作∠DCE=60°,交OA于点D,OB于点E.若OC=3,求四边形OECD的面积. 4、在△ABC中,AB=AC,CD是AB边上的高,若AB=10,BC=. (1)求CD的长. (2)动点P在边AB上从点A出发向点B运动,速度为1个单位/秒;动点Q在边AC上,从点A出发向点C运动,速度为v个单位/秒(v>1).设运动的时间为t(t>0),当点Q到点C时,两个点都停止运动. ①若当v=2时,CP=BQ,求t的值. ②若在运动过程中存在某一时刻,使CP=BQ成立,求v关于t的函数表达式,并写出自变量t的取值 范围.

对几何直观的理解

对几何直观的理解 《课标(2011年版)》在“课程设计思路”中提出了“几何直观”这个与学习内容有关的新的核心概念,怎样理解“几何直观”?它在小学数学学习和教学中有何作用? 一、把握十个核心概念的三个层次 第一层,主要体现在某一内容领域的核心概念,如:数感、符号意识、运算能力主要体现在数与代数领域,空间观念主要体现在图形与几何领域,数据分析观念主要体现在统计与概率领域; 第二层,体现在不同领域的核心概念,包括几何直观、推理能力和模型思想; 第三层,超越课程内容,整个小学数学课程都应特别注重培养学生的应用意识和创新意识。 二、对直观的理解 1、直观是相对的,有不同的层面和表现。眼前的美景难以描摹,我们拍下照片,这是一种直观;抽象的道理难以领悟,我们讲了一个故事,这是直观;复杂的逻辑关系难以梳理,我们画了一个流程图,这也是直观。 2、直观含有可视化的意思(英文Visual),作为一个隐喻,直观意味着是感官可以直接感知的,但并不局限于视觉。比如,相较于文字的描绘,声音、颜色、气味、图形、味道,可以直接作用于不同感官的东西都可以构成一种直观。 3、直观它是认识的浅层次阶段,是进一步抽象的基础。 三、几何直观的含义 《标准》指出:“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题.借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象,有助于探索解决问题的思路,预测结果.几何直观可以帮助学生直观地理解数学,在整个数学学习过程中都发挥着重要作用.” 著名数学家徐利治先生也有过对几何直观的描述:“几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系,产生对数量关系的直接感知.” 也有学者这么描述:“几何直观是一种思维活动,是人脑对客观事物及其关系的一种直接的识别或猜想的心理状态.” 从这些描述中,我们可以有以下的认识: ◆几何直观是一种运用图形认识事物的能力,或者说是一种解决数学问题的思维方式。 ◆这种能力可外化为一种在解决某些数学问题时的方法,这种方法区别于其他方法的典型特征在于它是以几何图形为工具的——即“几何”两字的意义.

数形结合的几个经典题

数形结合 1.如图1,大长方形的面积从整体看为 S=m (a +b +c ), 同时这个大长方形的面积也可以从局部表示成: S = S +S+S 3= ma^mk +mc 于是有 m (a +b +c )= mahmb +mc 。 2. 如图2,大长方形的面积从整体可以表示成( 同 时这个大长方形的面积也可以从局部表示成 于是有( a+b ) ( m+n = m3+mt+na +nb . 3. 如图3,阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积, 若把小长方形S 4旋转到小长方形S 3的位置, 则此时的阴影部分的面积又可以看成 S +S 2+S 3= ( a +b )( a - b ) o 于是有 (a +b )( a -b ) = a 2 -b 2 。 4. 如图4 :将边长为b 的小正方形放到边长为 a 的正方形的一角, 空白部分的面积从整体计算为 a 2- b 2; 而如果从局部考虑,其面积可以看作为两个梯形 [1 Sk Si S, Sa a+b ) (m+n , S = S +S 2+S 3+S = 即 a 2- b 2 ; S 1+S 2之和,

2 2 2 2 于是有 (a +b )( a — b ) = a — b 。 5. 如图5,大正方形的面积从整体可以表示为 (a +b )2 , 从局部可以表示为也可以表示为 S = S + S 2+ S 3+S 4, 同时 S = a 2 +ab +ab +b 2 = a 2 +2ab +b 2 , 于是有(a +b ) 2 = a 2 +2ab +b 2 。 6. 如图6,从整体看,这个图形的面积为 从局部我们可以看出,它分为 6部分, 2 2 所以(a+b ) ( a+2b ) = a +3ab+2b 。 数形结合例题 例1在边长为a 的正方形中挖去一个边长为 b 的小正方形(a >b )(如图1),把余下的部分 拼成一个长方形(如图 2),根据两个图形中阴影部分的面积相等,可以验证( ) A. (a +b ) 2= a 2+2ab +b 2 B . (a -b ) 2 =a 2 -2ab +b 2 C. a 2-b 2= (a +b ) (a -b ) D (a +2b ) (a -b ) =a 2 +ab-2 b 2 析解:图1的阴影部分面积等于边长为 a 的正方形面积与边长为 b 的正方形的面积差, 表示为a 2 -b 2 .图2中阴影部分是长方形,其中长为a +b ,宽为a - b ,其面积为(a +b ) (a -b ).根 据两 个图形中阴影部分的面积相等,有 a 2- b 2= (I a b a b 1\ -k 1 ■ ■ ■ b 图1 E2 例2如图3是四张全等的长方形纸片拼成的图形, 请利用图中空白部分面积的不同表 其面积为 a b a b a b a b (a b)(a b)。 ( a+b ) ( a+2b ), 这6部分的面积之和为 a 2 +3ab+2b 2 . Si Sj s, 隔 (a +b ) (a -b ).故选 C. b 阎5 b b

几何证明三角形

1.在△ABC、△AED中,AB=AC,AD=AE,且∠CAB=∠DAE,若将△AED绕点A沿逆时针方向旋转,使D、E、B 在一条直线上,CE=BD成立吗?若成立,请说明理由 1.已知点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上,若E、F分别是BC、CD的中点,G在AE、BF的交点上 求证:GD=AD 2.已知BD、CE是△ABC的两条高,M、N分别是BC、DE的中点,求证:(1)EM=DM(2)MN⊥DE 3.正方形ABCD,E、F分别为BC、CD边上一点。(1)若∠EAF=45·。求证:EF=BE+DF(2)若△AEF绕A点旋转,保持∠EAF=45·,问△CEF的周长是否随△AEF的位置的变化而变化? 4.已知正方形ABCD的边长为1,BC、CD上各有一点E、F,如果△CEF的周长为2,求∠EAF的度数 5.已知正方形ABCD,F为BC中点E为CD边上一点,且满足∠BAF=∠FAE求证:AF=BC+CE 6.已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合),PE⊥BC,PF⊥CD于点F,(1)若四边形PECF 绕点C旋转,在旋转过程中是否总有BP=DP?若是,请证明之;若不是,请举出反例(2)试选取正方形ABCD 的两个顶点,分别与四边形PECF的两个顶点连结,使得到的两条线段在旋转的过程中长度始终相等,并证明之 求任意三角形面积公式的方法? 7.某人在上午6点至7点之间去长跑,开始时看表,分针与时针成110度,跑完后再看,有、又成110度,问此人跑了多久?(表没停) 8.已知三角形ABC是等腰三角形,角C=90度, 1,操作并观察,如图将三角板的45度角的顶点于点C重合,使这个角落在角ACB的内部,两边分别与斜边AB交于E,F两点,(E, F不与AB重合)然后将这个角绕点C在角ACB的内部旋转,观察并指出在点E,F的位置发生什么变化时,AE , EF , FB中最长的线段 2探索AE , EF , FB这三条线段能否组成直角三角形?如果能加以证明!!! 9.有浓度为百分之五十五的酒精溶液若干升,加入一升浓度为百分之八十的酒精溶液后,酒精溶液浓度变为百分之六十。如果要得到百分之七十的酒精溶液需要再加入多少升浓度为百分之八十的酒精溶液? 10. 22÷33333=() 11. 1/2 , 1/3 , 2/3 , 1/4 , 2/4 , 3/4 , 1/5 , 2/5 , 3/5 , 4/5...... 问:第一百个分数是!? 12..若方程组:kx-y=1和4x+my=2无解,则k与m的值分别为K= ,M= . 13.一个数的平方根是a +b 和4a-6b+13,那么这个数是 1

中考几何证明题知识点分析

目录 1、考点总分析 2、知识点讲解 3、出题的类型 4、解题思路 5、相关练习题

几何证明题专题 本题的主要知识点(中考中第3道,分值为8分) 七年级上第4章几何图形初步七年级下第5章相交线与平行线 八年级上第11章三角形第12章全等三角形第13章轴对称 八年级下第17章勾股定理第18章平行四边形 九年级上第23章旋转第24章圆 九年级下第27章相似第28章投影与视图 1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题,它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。 几何证明有两种基本类型:一是平面图形的数量关系;二是有关平面图形的位置关系。 这两类问题常常可以相互转化,如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法: (1)综合法(由因导果),从已知条件出发,通过有关定义、定理、公理的应用,逐步向前推进,直到问题的解决; (2)分析法(执果索因)从命题的结论考虑,推敲使其成立需要具备的条件,然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲,如此逐步往上逆求,直到已知事实为止; (3)两头凑法:将分析与综合法合并使用,比较起来,分析法利于思考,综合法易于表达,因此,在实际思考问题时,可合并使用,灵活处理,以利于缩短题设与结论的距离,最后达到证明目的。 3. 掌握构造基本图形的方法:复杂的图形都是由基本图形组成的,因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形,在构造基本图形时往往需要添加辅助线,以达到集中条件、转化问题的目的。 几何证明题重点考察的是学生的逻辑思维能力,能通过严密的"因为"、"所以"逻辑将条件一步步转化为所要证明的结论。这类题目出法相当灵活,不像代数计算类题目容易总结出固定题型的固定解法,而更看重的是对重要模型的总结、常见思路的总结。所以本文对中考中最常出现的若干结论做了一个较为全面的思路总结。 知识结构图

几何直观

什么是几何直观 ——对几何直观的认识与思考(七) 关于几何直观,课标在第一部分前言的“课程设计思路”中描述了其定义,阐发了其价值与作用:几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象,有助于探索解决问题的思路,预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学,在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。可以说,这段话是目前理解几何直观的最重要依据。 数学课程标准(2011版)解读第92页—95页对几何直观的认识中指出:几何直观,顾名思义,所指有两点:一是几何,在这里几何是指图形;二是直观,这里的直观不仅仅是指直接看到的东西,更重要的是依托现在看到的东西、以前看到的东西进行思考、想象,综合起来,它在本质上是一种通过图形所展开的想象力。用最通俗的话说几何直观,它不仅是看到了什么?而是通过看到的图形思考到了什么?想象到了什么?直白点就是看图想事,看图说理,也包括想图、画图、表达想法。利几何直观在小学数学中的运用 2011年版课标指出:“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象,有助于探索解决问题的思路,预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学,在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”教师在理解几何直观的过程中,要注意以下几个问题:第一,几何直观指的是通过“几何”的手段,达到“直观”的目的,实现“描述和分析问题”的目标。这里的“几何”手段主要是指“利用图形”,“直观”的目的主要是将“复杂、抽象的问题变得简明、形象”。因此,几何直观对学生而言是一种有效的学习方法,对教师而言是一种有效的教学手段,它是数形结合思想的体现,在整个数学学习过程中发挥着重要作用。第二,几何直观所利用的“图形”主要是指点、线、面、体以及由以上四要素组成的其他几何图形,在小学阶段主要有正方形、长方形、三角形、平等四边形、梯形、圆以及线段、直线、射线等。几何直观所要描述和分析的问题,不仅可以是生活问题,而且可以是数学问题。第三,几何直观的意义和价值主要体现在三个方面:一是有助于把复杂、抽象的问题变得简明、形象,二是有助于探索解决问题的思路并预测结果,三是有助于帮助学生直观地理解数学。 因此,教师要善于在教学中利用几何直观,将复杂、抽象的问题变得简明、形象,帮助学生探索解决问题的思路,帮助学生直观地理解数学。如在教学“数的认识”时,教师要帮助学生利用圆形、三角形、正方形或长方形等纸片,直观理解数量和数的意义;在教学“解决复杂数量关系的问题”时,要善于利用线段图等描述和分析问题中的数量关系;在解决“鸡兔同笼”等问题时,要重视通过列表分析解决问题;在探索事件发生的变化规律时,要重视利用统计图表帮助学生直观感受事件发生的变化规律并预测结果;在探索函数关系的变化规律时,要重视利用表格、图像进行描述和分析等。 用图形进行数学的思考和想象。 几何直观在小学数学中的运用 2011年版课标指出:“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象,有助于探索解决问题的思路,预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学,在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”教师在理解几何直观的过程中,要注意以下几个问题:第一,几何直观指的是通过“几何”的手段,达到“直观”的目的,实现“描述和分析问题”的目标。这里的“几何”手段主要是指“利用图形”,“直观”的目的主要是将“复杂、抽象的问题变得简明、形象”。因此,几何直观对学生而言是一种有效的学习方法,对教师而言是一种有效的教学手段,它是数形结合思想的体现,在整个数学学习过

三角形全等证明题(含答案)

如何做几何证明题 【知识精读】 1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题,它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型:一是平面图形的数量关系;二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化,如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法: (1)综合法(由因导果),从已知条件出发,通过有关定义、定理、公理的应用,逐步向前推进,直到问题的解决; (2)分析法(执果索因)从命题的结论考虑,推敲使其成立需要具备的条件,然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲,如此逐步往上逆求,直到已知事实为止; (3)两头凑法:将分析与综合法合并使用,比较起来,分析法利于思考,综合法易于表达,因此,在实际思考问题时,可合并使用,灵活处理,以利于缩短题设与结论的距离,最后达到证明目的。 3. 掌握构造基本图形的方法:复杂的图形都是由基本图形组成的,因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形,在构造基本图形时往往需要添加辅助线,以达到集中条件、转化问题的目的。 【分类解析】 1、证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质,其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。 例1. 已知:如图1所示,?ABC 中,∠=?===C AC BC AD DB AE CF 90,,,。 求证:DE =DF

分析:由?ABC 是等腰直角三角形可知,∠=∠=?A B 45,由D 是AB 中点,可考虑连结CD ,易得CD AD =,∠=?DCF 45。从而不难发现??DCF DAE ? 证明:连结CD ΘΘΘAC BC A B ACB AD DB CD BD AD DCB B A AE CF A DCB AD CD =∴∠=∠∠=?=∴==∠=∠=∠=∠=∠=90,,,, ∴?∴=??ADE CDF DE DF 说明:在直角三角形中,作斜边上的中线是常用的辅助线;在等腰三角形中,作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然,在等腰直角三角形中,更应该连结CD ,因为CD 既是斜边上的中线,又是底边上的中线。本题亦可延长ED 到G ,使DG =DE ,连结BG ,证?EFG 是等腰直角三角形。有兴趣的同学不妨一试。 例2. 已知:如图2所示,AB =CD ,AD =BC ,AE =CF 。 求证:∠E =∠F

初一几何三角形练习题及答案

初一几何---三角形 一.选择题 (本大题共 24 分) 1.以下列各组数为三角形的三条边,其中能构成直角三角形的是() (A)17,15,8 (B)1/3,1/4,1/5 (C) 4,5,6 (D) 3,7,11 2.如果三角形的一个角的度数等于另两个角的度数之和,那么这个三角形一定是() (A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)等腰三角形 3.下列给出的各组线段中,能构成三角形的是() (A)5,12,13 (B)5,12,7 (C)8,18,7 (D)3,4,8 4.如图已知:Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,AE=AC,连接DE,则下列结论中,不正确的是() (A) DC=DE (B) ∠ADC=∠ADE (C) ∠DEB=90°(D) ∠BDE=∠DAE 5.一个三角形的三边长分别是15,20和25,则它的最大边上的高为() (A)12 (B)10 (C) 8 (D) 5 6.下列说法不正确的是() (A)全等三角形的对应角相等 (B)全等三角形的对应角的平分线相等 (C)角平分线相等的三角形一定全等 (D)角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 7.两条边长分别为2和8,第三边长是整数的三角形一共有() (A)3个(B)4个(C)5个(D)无数个 8.下列图形中,不是轴对称图形的是() (A)线段MN (B)等边三角形(C) 直角三角形(D) 钝角∠AOB 9.如图已知:△ABC中,AB=AC,BE=CF,AD⊥BC于D,此图中全等的三角形共有() (A)2对(B)3对(C)4对(D)5对 10.直角三角形两锐角的平分线相交所夹的钝角为() (A)125°(B)135°(C)145°(D)150°

几何直观在小学数学教学中的运用

几何直观在小学数学教学中的运用 几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知。小学生的思维水平止处于具体运算阶段向形式运算阶段过渡,离不开具体事物的支持。几何直观凭借图形的直观性特点将抽象的数学语言与直观的图形语言有机地结合起来,抽象思维同形象思维结合起来,充分展现问题的本质,能够帮助学生打开思维的大门,开启智慧的钥匙,突破数学理解上的 难点。 (一)以图连线—搭建桥梁,沟通联系 “在传统领域之间界限的日趋消失是现代数学的特性之一,而几何直观在其间起着联络作用。”某些问题的信息之间,某个知识块之间,代数与几何之间,几何直观使复杂多样的分类变得简单明了 (二)以图促思—渗透数形结合思想 “数无形不直观,形无数难入微”,“数形结合”的思想是重要的数学思想,其实质是使数量关系和空间形式巧妙和谐地结合起来,将抽象的数学语言与直观的图形结合起来。小学数学教材中特别注重这种思想的渗透,借助几何直观,可以把数形结合思想更好地反映出来。通过图形的直观性质来阐明数之间的联系,将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化,实现代数问题与图形之间的互相转化,相互渗透,不仅使解题简捷明快,还开拓解题思路,为研究和探求数学问题开辟了条重要的途径。 (三)以图求解—有助于数学方法的再创造 直观是抽象思维问题的信息源,又是途径信息源,它不仅为抽象思维提供信息,而且由于直观形象在认知结构中鲜明性强,可以多思路、反复地给抽象

思维以技巧。通过图形的直观性质来阐明数之间的联系,将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化,实现代数问题与图形之间的互相转化,相互渗透,不仅使解题简捷明,还开拓解题思路,为研究和探求数学问题开辟了条重要的途径。直观图形的使用,不但可以帮助学生发现并理解数学结论,而且有利于掌握数学发现的方法,有利于培养学生的观察能力和空间观念。 借助几何直观进行教学,可以形象生动地展现问题的本质,有助于促进学生的数学理解,有机渗透数学思想方法的同时,提高学生的思维能力和解 决问题的能力。 如何在小学数学教学中培养学生的空间观念 正娟 关键词:空间观念;几何知识;教学;几何图形变式新课标指出:“空间观念是一种自觉地感受空间图形、运用空间图形的意识和能力”.其主要表现在:实物的形状与几何图形之间的想象;复杂图形的分解;描述实物或几何图形的运动、变化和位置的关系;运用图形描述问题、利用图形直观来进行思考等.在初中几何的教学中,教师不仅要重视学生“合情推理”的逻辑思维能力,更应该重视空间观念的培养。本文就如何在教学中培养学生的空间观念浅谈几点。 一、从建立表象到再造想象,再从再造想象到创造想象. 1.运用感性材料,建立表象 空间观念指的是物体的大小、形状、方向、距离在人脑中留下的既直觉又有一些概括性的形象。表象是具有感知的形象在头脑中的保持,它是具体感知向概念、思维过渡的重要环节。没有形成清晰的表象就不能很好地进行思维活动,没有丰富的表象储备,表象的重新组合或再造而产生新的表象的过程将会困难,培养初步的空间想象能力也就无从说起。小学教材的几何知识(系统学习时)的安排是:线→面→体,即一维空间→二维空间→三维空间;从图形来说是简单单一→复杂组合;从计算来说是长度→面积→体积.无论哪一方面,都是以大量表象的化,形象思维活动向抽象思维活动转化,揭示出概念的本质属性而得到概念,形成初步的空间想象能力,发展思维的。

高中数学数形结合思想经典例题(含解析)

高中数学数形结合思想经典例题 一、选择题 1.已知函数f (x )=???? ?3x ,x≤0,log 2 x ,x>0,下列结论正确的是( ) A .函数f (x )为奇函数 B .f (f (14))=1 9 C .函数f (x )的图象关于直线y =x 对称 D .函数f (x )在R 上是增函数 2.已知二次函数f (x )=ax 2-(a +2)x +1(a ∈Z ),且函数f (x )在(-2,-1)上恰有一个零点,则不等式f (x )>1的解集为( ) A .(-∞,-1)∪(0,+∞) B .(-∞,0)∪(1,+∞) C .(-1,0) D .(0,1) 3.函数f (x )=ln|x +cos x |的图象为( )

4.设奇函数f (x )在(0,+∞)上为增函数,且f (2)=0,则不等式f (x )-f (-x ) x <0的解集为( ) A .(-2,0)∩(2,+∞) B .(-∞,-2)∪(0,2) C .(-∞,-2)∪(2,+∞) D .(-2,0)∪(0,2) 5.实数x ,y 满足不等式组???? ?x -y +2≥0,2x -y -5≤0,x +y -4≥0,则z =|x +2y -4|的最大值为( ) A.215 5 B .21 C .20 D .25 6.已知函数f (x )=|x -2|+1,g (x )=kx .若方程f (x )=g (x )有两个不相等的实根, 则实数k 的取值范围是( ) A .(0,1 2) B .(1 2,1) C .(1,2) D .(2,+∞) 7.若实数x ,y 满足|x -3|≤y ≤1,则z =2x +y x +y 的最小值为( ) A.53 B .2 C.35 D.12 8.设方程10x =|lg(-x )|的两个根分别为x 1,x 2,则( ) A .x 1x 2<0 B .x 1x 2=1 C .x 1x 2>1 D .0

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