第八讲 数列 2

第八讲 数列 2

（4）已知数列{}n a 中，12n n a S +=，且11S =求数列{}n a 的通项公式。 解：由题意得

12n n a S +=

当2n ≥时，12n n a S -=

111

12()233,(2)

n n n n n

n n n n a a S S a a a a n a +-++-=-=?=?=≥

则2

2,(2)n n a a q n -==≥

212

22

23,(2)n n a S a n -==?=?≥

（此处与（3）题不同，在于较小项为n ，而非n-1.所以最小项为第二项，而非第一项。则最后结果需检验第一项的值是否成立。） 当n 取1时，由通项公式223n n a -=?得12

3a =1≠

则得出数列{}n a 的通项公式为

1,(1)n a n ==且2

23,(2)n n a n -=?≥

（4）等差型数列：1()n n a a f n +-=（当等式的右边为常数时，此数列就是等差数列；当为一个有关与n 的表达式，就是等差型数列） 所利用的方法：叠加法

例3 （1）已知数列{}n a 中，满足1111,3,(2)n n n a a a n --==+≥。求数列{}n a 的通项公式。

解：由题意得

1

13n n n a a --=+

整理得113,(2)n n n a a n ---=≥

利用叠加法（书写：每个等式的各项之间必须竖直对齐） 1

212

32.

.

1

13

3

3n n n a a a a a a ---=-=-=

各式相加（各个等式的相同的一边分别相加，以致各项能相互抵消，得到所需的结果）得

112

1113(13)333...3(31)132n n n

n a a -----=++==--

11

3,(2)22n n a n ?=?-≥

当n 取1时，由通项公式11

322n n a =?-得11a =（成立）

则数列{}n a 的通项公式为11

3,(1)22n n a n =?-≥

（2）已知数列{}n a 中，满足0n a >，22

111,n n a a a n +==+。求数列{}n a 的

通项公式。

思路分析：欲求出{}n a 的通项公式，需利用题目中的递推公式22

1n n a a n +=+，可是式中皆为平方，并不符合叠加法的运算方式，则此时就需要将等式的形式进行转换，设出2

n n b a =，得到1n n b b n +=+，

这样就顺利的将二次等式转化为可以利用叠加法的一次等式。此时只需要利用叠加法求出n b ，再利用n b 与n a 的关系就可以求出n a 了。

解：由题意得

22

1n n a a n +=+

令2

n n b a =，得1n n b b n +=+1n n b b n +?-=

利用叠加法（书写：每个等式的各项之间必须竖直对齐） 213211

2

1n n b b b b b b n ?

?

--=-=-=-

各式相加（各个等式的相同的一边分别相加，以致各项能相互抵消，得到所需的结果）得

112 3...1n b b n -=++-(1)

2n n -=

又由11a =，2

111b a == 得22

2n n n b -

+=

则数列{}n a 的通项公式为

22

(1)2n n n n a b n -+==≥

例4 已知数列{}n a 中，满足121,3a a ==，2132n n n a a a ++=-（1）求证数列1{}n n a a +-是等比数列。（2）求数列{}n a 的通项公式。

解：由题意得

（1）利用解证明题的通法即可（这里也可以设出1n n n b a a +=-使得等式更加严谨）

211()n n n n a a a a +++--11

1322

()n n n n n a a

a a a +++--==-（常数）

212a a -=，

则数列1{}n n a a +-是以首项212a a -=，公比为2的等比数列。

（2）由（1）问得出{}n b 是以首项为2，公比为2的等比数列。

则12n n n n b a a +=-=

利用叠加法（书写：每个等式的各项之间必须竖直对齐） 212

32.

.

1

12

2

2n n n a a a a a a ---=-=-=

各式相加（各个等式的相同的一边分别相加，以致各项能相互抵消，得到所需的结果）得

21122...2n n a a --=++112(12)

2(21)

12n n ---==--

21,(1)n n a n ?=-≥

（5）等比型数列：1()

n n a f n a +=（当等式的右边为常数时，此数列就是等比数列；当为一个有关与n 的表达式，就是等比型数列） 所利用的方法：叠乘法

例5 已知数列{}n a 中，满足11a =，12n n n a a +=。求数列{}n a 的通项公式。

解：由题意得

12n n n a a += 整理得12n

n n a a +=

利用叠乘法（书写：每个等式的各项之间必须横向对齐） 1231

32412312222n n n a a a a a a a a --?????=?????

各式相乘（各个等式的相同的一边分别相乘，以致各项能相互抵

消，得到所需的结果）得

(1)(1)

2

2122,(1)

n n n n n n a a n a --?=?=≥

则数列{}n a 的通项公为(1)

22,(1)n n n a n -=≥

例6 已知数列{}n a 中，满足11a =，0n a >，2

2

110n n n n a na a a ++-+=。

解：由题意得

22

110n n n n a na a a ++-+=（利用二次方程的分解因式法）

整理得11()[(1)]0n n n n a a n a na ++?++-=

又有0n a >，则10n n a a +?+≠

由此可知1(1)0n n n a na ++-=

1

1n n a n

a n +?=+

利用叠乘法（书写：每个等式的各项之间必须横向对齐） 32

412311231

234n n a a a a n a a a a n --?????=?????

各式相乘（各个等式的相同的一边分别相乘，以致各项能相互抵消，得到所需的结果）得

111

,(1)

n

n a a n a n n ?=?=≥

则数列{}n a 的通项公为1

,(1)n a n n =≥ 总结：在所有数列中若求得1,(2)

n n a q n a +=≥（需要检验1a ）若是1,(2)

n

n a q n a -=≥（无需检验）

等差，比型数列（注意书写）

数列综合测试题与答案

高一数学数列综合测试题 1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于( )． A ．667 B ．668 C ．669 D ．670 2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )． A ．33 B ．72 C ．84 D ． 3．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( )． A ．a 1a 8＞a 4a 5 B ．a 1a 8＜a 4a 5 C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5 D ．a 1a 8＝a 4a 5 4．已知方程(x 2 －2x ＋m )(x 2 －2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为4 1 的等差数列，则｜m －n ｜等于( )． A ．1 B ． 4 3 C ． 2 1 D ． 8 3 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ). A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 6.若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大 自然数n 是( )． A ．4005 B ．4006 C ．4007 D ．4008 7．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列, 则a 2＝( )． A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ． －10 8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若35a a ＝9 5 ，则59S S ＝( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D ． 2 1 9．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则2 1 2b a a -的值是( )． A ． 2 1 B ．－ 2 1 C ．－ 21或2 1 D ． 4 1 10．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2 n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝( )． A ．38 B ．20 C ．10 D ．9 二、填空题 11．设f (x )＝ 2 21+x ，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋ f (5)＋f (6)的值为 . 12．已知等比数列{a n }中， (1)若a 3·a 4·a 5＝8，则a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝ ． (2)若a 1＋a 2＝324，a 3＋a 4＝36，则a 5＋a 6＝ ． (3)若S 4＝2，S 8＝6，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝ .

高考数学第2讲数列求和及综合问题

第2讲数列求和及综合问题 高考定位 1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透. 真题感悟 1.(2020·全国Ⅰ卷)数列{a n}满足a n＋2＋(－1)n a n＝3n－1，前16项和为540，则a1＝________. 解析法一因为a n＋2＋(－1)n a n＝3n－1， 所以当n为偶数时，a n＋2＋a n＝3n－1， 所以a4＋a2＝5，a8＋a6＝17，a12＋a10＝29，a16＋a14＝41， 所以a2＋a4＋a6＋a8＋a10＋a12＋a14＋a16＝92. 因为数列{a n}的前16项和为540， 所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＋a13＋a15＝540－92＝448.① 因为当n为奇数时，a n＋2－a n＝3n－1， 所以a3－a1＝2，a7－a5＝14，a11－a9＝26，a15－a13＝38， 所以(a3＋a7＋a11＋a15)－(a1＋a5＋a9＋a13)＝80.② 由①②得a1＋a5＋a9＋a13＝184. 又a3＝a1＋2，a5＝a3＋8＝a1＋10，a7＝a5＋14＝a1＋24，a9＝a7＋20＝a1＋44，a11＝a9＋26＝a1＋70，a13＝a11＋32＝a1＋102，

所以a 1＋a 1＋10＋a 1＋44＋a 1＋102＝184，所以a 1＝7. 法二 同法一得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝448. 当n 为奇数时，有a n ＋2－a n ＝3n －1， 由累加法得a n ＋2－a 1＝3(1＋3＋5＋…＋n )－n ＋1 2 ＝32(1＋n )·n ＋12－n ＋12＝34n 2＋n ＋1 4， 所以a n ＋2＝34n 2＋n ＋1 4＋a 1. 所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＋a 13＋a 15 ＝a 1＋? ????34×12＋1＋14＋a 1＋? ????34×32＋3＋14＋a 1＋? ?? ?? 34×52＋5＋14＋a 1＋ ? ????34×72＋7＋14＋a 1＋? ????34×92＋9＋14＋a 1＋? ?? ??34×112 ＋11＋14＋a 1＋ ? ???? 34×132＋13＋14＋a 1＝8a 1＋392＝448，解得a 1＝7. 答案 7 2.(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________. 解析 法一 因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－(2a n －1＋1)， 所以a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是以－1为首项，2为公比的等比数列， 所以a n ＝－2n －1. 所以S 6＝－1×（1－26）1－2 ＝－63. 法二 由S n ＝2a n ＋1，得S 1＝2S 1＋1，所以S 1＝－1，当n ≥2时，由S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n －S n －1)＋1，即S n ＝2S n －1－1，∴S n －1＝2(S n －1－1)，又S 1－1＝－2，∴{S n －1}是首项为－2，公比为2的等比数列，所以S n －1＝－2×2n －1＝－2n ，所以S n ＝1－2n ，∴S 6＝1－26＝－63.

2.2等差数列教学设计(第一课时)

2.2等差数列教学设计(第一课时)

2.2.1《等差数列》教学设计 教材分析1.教学内容分析 本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》（人教版）第二章数列第二节等差数列第一课时。主要内容是等差数列定义和等差数列的通项公式。 2.地位与作用数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用．等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广．同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法． 教学目标知识目标 1.理解并掌握等差数列的定义，能用定义判断一个数 列是否为等差数列； 2.掌握等差数列的通项公式. 能力目标 1.通过概念的引入与通项公式的推导，培养学生分析 探索能力，增强运用公式解决实际问题的能力; 2.培养学生观察、归纳能力，在学习过程中，体会归 纳思想和化归思想并加深认识. 情感目标 通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般 数列的内在联系，渗透特殊与一般的辩证唯物主义观 点，加强理论联系实际，激发学生的学习兴趣． 教学重难点重点 1.等差数列的概念； 2.等差数列的通项公式的推导过程及应用． 难点 理解等差数列“等差”的特点及 通项公式的含义. 教学设想 本课教学，重点是等差数列的概念，在讲概念时，通过创设情境引导学生理解概念，进一步引导学生通过概念来判断一个数列是否是等差数列。整个过程以学生自主思考、合作探究、教师适时点拨为主，

真正体现课堂教学中学生的主体作用。 教学过程 教学环节 教师活动 学生 活动 设计意图 环节一 环节1 创设情境，提出问题 在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星： （1）1682，1758，1834，1910，1986，（ ） 你能预测出下一次的大致时间吗？ 主持人问: 最近的时间什么时候可以看到哈雷慧星？ 天文学家陈丹说: 2062年左右。 学生活动 通过情景 引出数列，观察发现 其规律，并通过规律 填写内容。 情景引入 提高学生 的学习兴 趣， 调动 学生的积极性

【详解】三年级(上)第22讲 等差数列应用

第二十二讲 等差数列应用 1. 例题1 答案：3 详解：先求出第4项：105715÷=，所以公差为：()()2115412-÷-=，第10项为：()2121013-?-=． 2. 例题2 答案：10 详解：9个连续自然数是一个公差为1的等差数列，第5项为：126914÷=，所以最小的数为：14410-=． 3. 例题3 答案：3；9 详解：先根据前15项之和，求出第8项为：4501530÷=．再根据21项之和，求出第 11项为：8192139÷=．所以公差是：()()39301183-÷-=，首项为： () 303819-?-=． 4. 例题4 答案：38 详解：8个连续偶数构成的是公差为2的一个等差数列，最大数应该比最小数大2714?=，再算出最小数与最大数的和：2482862?÷=，所以最大数为：()6214238+÷=． 5. 例题5 答案：3；9 详解：“前15项之和为450”，所以第1项与第15项之和为：45021560?÷=．同样地，算出第1项与第20项之和为75，都含有第1项，所以第20项比第15项大了756015-=，公差为：1553÷=，第15项比首项大31442?=，所以首项为：()604229-÷=． 6. 例题6 答案：99分 详解：原来是最低的，加了21分之后应该变成最高的，公差是3，所以小组里共有7人．原来中间的数为609787÷=分，所以最后小高是99分． 7. 练习1 答案：60 简答：第6项为：1981118÷=，公差为：()()183613-÷-=，第20项为： 331960+?=． 8. 练习2 答案：7 简答：第4个是：91713÷=，最小数为7． 9. 练习3 答案：11 简答：第7项为：5331341÷=，第8项为：6901546÷=，公差为5，则首项为：415611-?=． 10. 练习4

数列综合测试附答案

复习综合测试 一．选择题（60分） 1．在等差数列{}n a 中，有()()35710133224a a a a a ++++=，则此数列的前13项之和为（ ） A ．52 B ．26 C ．13 D ．156 2．等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若==--=1815183,18,6S S S S 则 （ ） A ．36 B ．18 C ．72 D ．9 3．已知等差数列}a {n 的公差0d <, 若24a a 64=?, 10a a 82=+, 则该数列的前n 项和 n S 的最大值为( ). A. 50 B. 45 C. 40 D. 35 4.已知等比数列{a n }，a 2＞a 3=1，则使不等式(a 1-11a )+(a 2-21a )+…+(a n -1n a )≥0成立的最大自然数n 是 A ．4 B.5 C.6 D.7 5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2:1:,4811311872==+++a a a a a a ，则 n n n S na 2lim ∞→等于 A.41 B.2 1 C.1 D. 2 6．等差数列}{ n a 中，12324a a a ++=-，18192078a a a ++=,则此数列前20项和等于 A .160 B .180 C .200 D .220 7.在等差数列{a n }中，a 1+a 2+…+a 50=200,a 51+a 52+…+a 100=2700，则a 1等于 A ．-1221 B.-21.5 C.-20.5 D.-20 8．在正项等比数列{a n }中，a 1、a 99是方程x 2－10x + 16 = 0的两个根，则a 40·a 50·a 60的值为（ ） A ．32 B ．64 C ．±64 D ．256 9．等比数列}{n a 的前n 项和为S n ，已知S 4=1，S 8=3，则20191817a a a a +++的值为 A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 10．等差数列{}n a 的前n 项和记为S n ，若a 2+a 4+a 15=p （常数），则数列{}n S 中也是常数的项是（ ） （A ）S 7 （B ）S 8 （C ）S 13 （D ）S 15 11.已知数列{log 3(a n +1)}(n ∈N *)为等差数列，且a 1=2,a 2=8，则

数列的综合问题题型归纳总结

数列的综合问题题型归纳总结 题型1 数列与不等式的综合 思路提示 数列与不等式的综合是高考的热点问题，内容主要包括两个方面：其一，不等式恒成立条件下，求参数的取值范围；其二，不等式的证明，常见方法有比较法、构造辅助函数法、放缩法和数学归纳法等. 一、不等式恒成立条件下，求参数的取值范围问题 利用等价转化思想将其转化为最值问题. ()a F n >恒成立max ()a F n ?>； ()a F n <恒成立min ()a F n ?<. 例6.38 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，1110,910n n a a S +==+. （1）求证：{lg }n a 是等差数列； （2）设n T 是数列13{}(lg )(lg )n n a a +的前n 项和，求使21 (5)4 n T m m >-对所有的*n N ∈都成立的最大正整 数m 的值. 解析 （1）由题意，1910(*)n n a S n N +=+∈ ① 故有1910(2,*)n n a S n n N -=+≥∈ ② 由①-②，可得19n n n a a a +-=，即110(2,*)n n a a n n N +=≥∈，所以有1 10(2,*)n n a n n N a +=≥∈， 令1n =，代入式①，可得21910100a a =+=，故 2110a a =，故有110(*)n n a n N a +=∈， 故数列{}n a 是以10为首项，以10为公比的等比数列，故1101010n n n a -==g . 所以lg lg10n n a n ==，即有1lg lg (1)1n n a a n n +-=+-=， 故{lg }n a 是等差数列，且首项为lg101=，公差为1. （2）解法一：由（1）可知lg lg10n n a n ==，所以 13311 3()(lg )(lg )(1)1 n n a a n n n n +==-++， 故1111113 3[(1)()()]3(1)3223111 n T n n n n =-+-++-=-=- +++L . 由1n ≥，可知33 312 n T n =-≥+. 依题意， 2 31(5)24 m m >-，解得16m -<<，则最大正整数m 的值为5. 解法二：先由题意21(5)4n T m m >-对任意的*n N ∈都成立，故需n T 的最小值2min 1 ()(5)4 n T m m >-，而 133 0(lg )(lg )(1) n n a a n n +=>+，

数列综合测试题

高二数学数列综合测试题 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1.已知a ，b ，c 成等比数列，a ，m ，b 和b ，n ，c 分别成两个等差数列，则a m ＋c n 等于 ( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 2．已知{a n }是等差数列，a 4＝15，S 5＝55，则过点P (3，a 3)，Q (4，a 4)的直线斜率为 ( ) A ．4 B.14 C ．－4 D ．－1 4 3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9 S 6 ＝ ( ) A ．2 B.73 C.8 3 D ．3 4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且1 5 S n ＝a n －1，则a 2等于 ( ) A ．－54 B.54 C.516 D.2516 5．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4＝( ) A ．7 B ．8 C ．15 D ．16 6．若数列{a n }的通项公式为a n ＝n (n －1)·…·2·1 10 n ，则{a n }为 ( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．从某项后为递减 D ．从某项后为递增 7．等差数列{a n }的通项公式是a n ＝1－2n ，其前n 项和为S n ，则数列{S n n }的前11项和为( ) A ．－45 B ．－50 C ．－55 D ．－66 8．设数列{a n }的前n 项和为S n , 已知15a =，且12(1)(1)n n nS n n n S +=+++( n ∈N*)， 则过点P(n,n a ) 和Q(n+2,2+n a )( n ∈N*)的直线的一个方向向量的坐标可以是 （ ） A ．（2， 2 1 ） B ．(-1, -1) C ．(2 1 - , -1) D ．（2,2 1 -- ） 9．在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝32，则a 2 9 a 11的值为 ( ) A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 10．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a n b n 为整数的正整数n 的个数是 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 11．已知{a n }是递增数列，对任意的n ∈N *，都有a n ＝n 2 ＋λn 恒成立，则λ的取值范围是 ( ) A ．(－7 2 ，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．(－2，＋∞) D ．(－3，＋∞) 12．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，且a 1＝1 2 ，则该数列的前2 008项的和等于 ( ) A ．1 506 B ．3 012 C ．1 004 D ．2 008 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填写在题中的横线上) 13.已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1＝????? a n 2，当a n 为偶数时 3a n ＋1，当a n 为奇数时，若a 6＝1，则m 所有可能的取值为________． 14.已知数列{a n }满足a 1＝12，a n ＝a n －1＋1 n 2－1 (n ≥2)，则{a n }的通项公式为________． 15．已知等差数列{a n }的首项a 1及公差d 都是整数，前n 项和为S n (n ∈N *)．若a 1>1，a 4>3，S 3≤9，则通项公式a n ＝________. 16.下面给出一个“直角三角形数阵”： 14 12，14 34，38，316 … 满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行第j 列的数为a ij (i ≥j ，i ，j ∈N *)，则a 83＝________. 三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{b n }的第二项，第三项，第四项． ⑴求数列{a n }与{b n }的通项公式． ⑵设数列{c n }对任意正整数n ，均有133 2211+=+??+++n n n a b c b c b c b c ，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2010的值． 18．(本小题满分12分)已知数列{a n }中，其前n 项和为S n ，且n ，a n ，S n 成等差数列(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求S n >57时n 的取值范围．

三年高考(2016-2018)数学(理)真题分类解析：专题14-与数列相关的综合问题

专题14 与数列相关的综合问题 考纲解读明方向 分析解读 1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和.2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题.3.数列递推关系、非等差、等比数列的求和是高考热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和.分值约为12分,难度中等. 2018年高考全景展示 1．【2018年浙江卷】已知成等比数列，且 ．若 ， 则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析:先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断. 详解：令则 ，令 得，所以当时， ，当 时， ，因此 ， 若公比 ，则 ，不合题意；若公比 ，则

但，即 ，不合题意；因此， ，选B. 点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如 2．【2018年浙江卷】已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________． 【答案】27 【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值. 点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）. 3．【2018年理数天津卷】设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，.

（I）求和的通项公式； （II）设数列的前n项和为， （i）求； （ii）证明. 【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)（i）.（ii）证明见解析. 【解析】分析：（I）由题意得到关于q的方程，解方程可得，则.结合等差数列通项公式可得（II）（i）由（I），有，则. （ii）因为，裂项求和可得. 详解：（I）设等比数列的公比为q.由可得.因为，可得，故.设等差数列的公差为d，由，可得由，可得 从而故所以数列的通项公式为，数列的通项公式为 （II）（i）由（I），有，故 . （ii）因为， 所以. 点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

2019年高考数学真题考点22 等差数列及其前n项和

考点22 等差数列及其前n 项和 一、选择题 1.(2019·全国卷Ⅰ理科·T9)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4=0,a 5=5,则 ( ) A.a n =2n -5 B.a n =3n -10 C.S n =2n 2-8n D.S n = n 2-2n 【命题意图】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式,渗透方程思想,以及数学运算等素养.利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程,解出首项与公差,再通过计算即可作出判断. 【解析】选A .由题知, , , 解得 - , , 所以a n =2n -5,故选A . 【光速解题】本题还可用排除法,对于B ,a 5=5,S 4= (- ) =-10≠0,排除B , 对于C ,S 4=0,a 5=S 5-S 4=2×52-8×5-0=10≠5,排除C . 对于D ,S 4=0,a 5=S 5-S 4= ×52-2×5-0=2.5≠5,排除D ,故选A . 二、填空题 2.(2019·全国卷Ⅲ理科·T14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,a 1≠0,a 2=3a 1,则 = . 【解析】设该等差数列的公差为d ,因为a 2=3a 1, 所以a 1+d =3a 1,故d =2a 1(a 1≠0,d ≠0), 所以 = ( ) ( ) = ( ) = =4. 答案:4 3.(2019·北京高考理科·T10)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2=-3,S 5=-10,则a 5= ,S n 的最小值为 . 【命题意图】本小题主要考查等差数列,属容易题,意在考查等差数列通项公式与基本运算能力,培养学生的运算能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养. 【解析】a 2=a 1+d =-3,S 5=5a 1+ d =-10,即a 1+2d =-2,解得a 1=-4,d =1,所以a 5=a 1+4d =0,S n =na 1+ ( - ) d = - ,当n =4 或5时,S n 最小,为-10. 答案:0 -10 【方法技巧】求等差数列前n 项和的最值方法 1.求前n 项和S n = n 2+ - n =An 2+Bn ,其结构是以n 为自变量的二次函数,从而数列的最值问题可转化为二次函数的最值问题. 2.利用通项公式,令a n =0,解得n 0,当n 取最接近n 0的整数时,前n 项和有最值. 4.(2019·江苏高考·T8)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列,S n 是其前n 项和.若a 2a 5+a 8=0,S 9=27,则S 8的值是 . 【命题意图】主要考查数列的基本量,运用基本量法求解. 【解析】设等差数列的首项为a 1,公差为d ,由a 2a 5+a 8=0,S 9=27, 得 ( )( ) , , 解得a 1=-5,d =2,所以S 8= ( ) =4(2a 1+7d )=16. 答案:16 【题后反思】等差数列、等比数列的基本计算问题,是高考必考内容,解题过程中要注意应用函数方程思想,灵活应用通项公式、求和公式等,构建方程(组),如本题,从已知出发,构建a 1,d 的方程组.

数列单元测试卷 含答案

数列单元测试卷 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填涂在答卷相应位置. 第Ⅰ卷(选择题) 一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1．数列3,5,9,17,33，…的通项公式a n等于( ) A．2n B．2n＋1 C．2n－1 D．2n＋1 2．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( ) A．1，1 2 ， 1 3 ， 1 4 ，… B．－1,2，－3,4，… C．－1，－1 2 ，－ 1 4 ，－ 1 8 ，… D．1，2，3，…，n 3．．记等差数列的前n项和为S n，若a1=1/2，S4＝20，则该数列的公差d＝________.( ) A．2 B.3 C．6 D．7 4．在数列{a n}中，a1＝2,2a n＋1－2a n＝1，则a101的值为( ) A．49 B.50 C．51 D．52 5．等差数列{a n}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是( ) A．90 B.100 C．145 D．190 6．公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝( ) A．1 B.2 C．4 D．8

7．等差数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＝9，那么关于x 的方程：x 2 ＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0( ) A ．无实根 B.有两个相等实根 C ．有两个不等实根 D ．不能确定有无实根 8．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，又数列?? ?? ?? 11＋a n 是等差数列，则a 11等于( ) A ．0 B.12 C.2 3 D ．－1 9．等比数列{a n }的通项为a n ＝2·3 n －1 ，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的 数列{b n }，那么162是新数列{b n }的( ) A ．第5项 B.第12项 C ．第13项 D ．第6项 10．设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比 数列，则 A ．1 033 B.1 034 C ．2 057 D ．2 058 11.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且28,171==S a ．记[]n n a b lg =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]09.0=，[]199lg =.则b 11的值为（ ） A.11 B.1 C. 约等于1 D.2 12．我们把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如下图所示： 则第七个三角形数是( ) A ．27 B.28 C ．29 D ．30

数列的综合问题

10 —数列的综合问题 突破点(一)数列求和 1 .公式法与分组转化法：(1)公式法；(2)分组转化法； 2 .倒序相加法与并项求和法: (2)并项求和法：在一个数列的前 n 项 和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如 型，可采用两项合并求解. 例如， (22- 12)= (100 + 99)+ (98+ 97)+…+ (2 + 1) = 5 050. 3 .裂项相消法：(1)把数列的通项拆成两项之差, 在求和时中间的一些项可以相互抵消, 从而求得其和. 1 11 1 ⑵常见的裂项技巧：①e=n -苗.②后 1 1 — 1 __________ 1 ____ 1 1 — 1 2 n n + 2 .③ 2n — 1 2n + 1 = 2 2n — 1 2n + 1 .④ ： 1 ______________ =p n + 1 -才.4.错位相减法 考点一 [例 1] 已知数列｛a n ｝, ｛b n ｝满足 a 1 = 5, a n = 2a n - 1 + 3n 1(n > 2, n € N ), b n = a n — 3n (n € N ). (1)求数列｛b n ｝的通项公式； ⑵求数列｛a n ｝的前n 项和S n . [解](1) Tan = 2a n -1 + 3n - 1(n € N *, n > 2) ,「.a n — 3n = 2(a n -1-3n -1), b n ?'?b n = 2b n -1 (n € N , n > 2). ^b 1 = a 1 — 3 = 2工 0,「.b n M 0(n > 2), ? = 2, b n - 1 ???｛b n ｝是以2为首项，2为公比的等比数列.??? b n = 2 2n —1= 2n . 3n +1 7 (2)由(1)知 a n = b n + 3n = 2n + 3n ,二3 = (2 + 22+ …+ 2n ) + (3 + 32+ …+ 3n ) = 2n +1 + 〒-二 ［方法技巧］ 分组转化法求和的常见类型 (1)若a n = b n icn ,且｛b n ｝ , ｛C n ｝为等差或等比数列，可采用分组转化法求 ｛a n ｝的前n 项和. b n , n 为奇数， ⑵通项公式为a n = 的数列，其中数列｛b n ｝ , ｛c n ｝是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求 和. C n , n 为偶数 考点二 ［例2］ (2016山东高考)已知数列｛a n ｝的前n 项和S n = 3n 2+ 8n , ｛b n ｝是等差数列，且 a n = b n + b n +1. n + 1 〒，求数列 b n + 2 (1)求数列｛b n ｝的通项公式； ⑵令C n = ｛C n ｝的前n 项和 T n . [解](1)由题意知，当 n > 2 时，a n = S n — S n -1 = 6n + 5, n = 1时，a 1 = S 1 = 11,满足上式， a 1 = b 1 + b 2, 所以a n = 6n + 5?设数列｛b n ｝的公差为d.由 a 2= b 2 + b 3, 11 = 2b 1 + d , 所以 b n = 3n + 1. 17= 2b 1 + 3d , 6n + 6 n + 1 一…一 (1)倒序相加法; a n = (- 1)n f( n)类 S n = 1002- 992+ 982- 972+-+ 22- 12= (1002- 992) + (982- 972) + ??? +

二阶等差数列及其通项公式

二阶等差数列及其通项公式 ⑷ 1，2，4，7，11，16，22，… ⑸ 1，3，6，10，15，21，28，… ⑹ 1，3，7，13，21，31，43，… 通过观察分析，也能发现上面三个数列有其内在规律与特点，但若想轻易写出通项公式却有难处。 本文旨在由等差数列推导出如⑷、⑸、⑹这样的一类数列的通项公式，并给出一个相关定义。 二、 预备知识： 1、 等差数列的定义：如果一个数列 a 1，a 2，a 3，…，a n ，…， 从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数d ，即a 2 - a 1 = a 3 - a 2=… = a n - a n-1 = d ，则称此数列为等差数列，常数d 叫等差数列的公差。 2、 等差数列的通项公式：a n =a 1 + ( n - 1 ) d ， 公 差： d = a 2 - a 1. 三、 二阶等差数列的定义及其通项公式： a) 定义：如果一个数列 a 1，a 2，a 3，…，a n ，…， （★） 从第二项起，每一项与它的前一项的差按照前后次序排成新的数列，即 a 2 - a 1，a 3 - a 2，a 4 - a 3，…， a n - a n-1，…成为一个等差数列，则称数列（★）为二阶等差数列。

相应地，d =（a 3 - a 2） - （a 2 - a 1）= a 3 + a 1 - 2a 2 称为二阶等差数列的二阶公差。 显然，依此定义可以判断，⑷、⑸、⑹均是二阶等差数列。其二阶公差分别为1、1、2. 说明：⑴、为区别于二阶等差数列，可把通常定义的等差数列称为一阶等差数列. ⑵、二阶与一阶等差数列的相互关系： 二阶等差数列不一定是一阶等差数列，但一阶等差数列肯定是二阶等差数列。 b) 二阶等差数列的通项公式： 设数列a 1，a 2，a 3，…，a n ，…是一个二阶等差数列，为了书写的方便，我们记数列 a 2 - a 1，a 3 - a 2，a 4 - a 3，…，a n - a n-1，… 为 b 1 , b 2 , b 3 , …，b n-1 , …， (☆) 即记b n = a n+1 - a n ， (n ≥1，n ∈Z) 则数列 (☆) 是一个一阶等差数列。 显然，对于数列(☆)，d = b 2 - b 1 = a 1 + a 3 - 2a 2， 根据等差数列的通项公式,则有 b n = a n+1 - a n = b 1 + (n-1) d ，（n ≥1,n ∈Z ） 由此得，a n +1= a n + b 1 + (n-1) d 依此规律，则有 a 2 = a 1 + b 1，

高中数学“数列的综合问题”.doc

专题讲座 高中数学“数列的综合问题” 一、对本专题数学知识的深层次理解 （一）数列综合问题的几个重点内容 数列的综合问题课标中并没有明确的陈述，但往往是高考考查涉及到的问题，如：数 列求和问题；数列与不等式综合问题；关于递推数列的问题等。这些问题往往涉及数列知识 的综合和高考的考查重点，教学中教师要给予关注并较好的把握。 （二）教学内容的重点、难点 重点：在解决数列问题中要关注数列的属性、项数，用函数的观点研究数列；掌握数 列求和的基本方法及基本的递推数列问题。 难点：数列与不等式综合问题中的放缩问题；解决递推数列问题的策略。 二、“数列综合问题”的教与学的策略 （一）解决数列问题的基本思路 判断所要求研究的数列是否为特殊数列：等差数列或等比数列，如果是，用公式和性 质解决 . 如果不是等差、等比数列，要么转化为等差数列或等比数列，要么寻找其它方法 . 因此我们拿到一个数列的问题时，要注意关注数列的属性。 1．关注数列的属性

本题的关键是定性，即关注数列的属性。2．关注数列的项数

此题涉及等差、等比数列的综合问题，考查了等比中项，等差数列的通项公式等基本知识，考查了方程思想，关键是利用已知条件找到 K n与 n的关系。 3．用函数的观点认识数列

本题的关键是用函数的观点去看待数列问题，此题也涉及到不等式的知识 .

以上几个例题从不同角度反映了数列是特殊的函数这一问题，因此解决数列问题，往 往可以利用解决函数问题的思考方式。 （二）关注数列求和问题的教学 数列求和的问题需要根据数列特点选择解决方法，必须掌握常用的数列求和方法，但数列求和往往和其他知识综合在一起，综合性较强 . 若为等差（比）数列，则直接用公式求和；若非等差（比）数列，则需寻找间接求和的方法 . 常见的有：“倒序相加法”“错位相减法”“裂项相消法”等 . 1．用公式求和

第二章数列单元综合测试

第二章数列单元综合测试 一、选择题(每小题5分，共60分) 1．数列{2n ＋1}的第40项a 40等 于( ) A ．9 B ．10 C ．40 D ．41 2．等差数列{2－3n }中，公差d 等于( ) A ．2 B ．3 C ．－1 D ．－3 3．数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 10等 于( ) A ．10 B ．210 C ．210－2 D ．211－2 4．在等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a 7＝5，S 7＝21，那么S 10等 于( ) A ．55 B ．40 C ．35 D ．70 5．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4等于( ) A ．7 B ．8 C ．15 D ．16 6．等差数列{a n }的前n 项和为S n, 若a 3＋a 17＝ 10，则S 19的 值是( ) A ．55 B ．95 C ．100 D ．不确定 7．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13 ＝( ) A ．120 B ．105 C ．90 D ．75 8．一个只有有限项的等差数列，它前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第7项等于( ) A ．22 B ．21 C ．19 D ．18 9．三个不同的实数a ，b ，c 成等差数列，又a ，c ，b 成等比数列，则a b 等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－4 D ．4 10．已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝ 22n (n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1等 于( ) A ．n (2n －1) B ．(n ＋1)2 C ．n 2 D ．(n －1)2 11．在一直线上共插有13面小旗，相邻两面小旗之间距离为10 m ，在第一面小旗处有一个人，把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路程最短，应集中到哪一面小旗的位置上( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．4 12．若数列{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2007＋a 2008>0，a 2007·a 2008<0，则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是( ) A ．4013 B ．4014 C ．4015 D ．4016

数列的综合问题

1０—数列的综合问题 突破点(一) 数列求和 1．公式法与分组转化法:（1）公式法;（2)分组转化法；2.倒序相加法与并项求和法:(1）倒序相加法；（２)并项求和法:在一个数列的前ｎ项和中，可两两结合求解,则称之为并项求和。形如a n＝(—1)n ｆ（n)类型，可采用两项合并求解.例如，Sｎ=1002－992+９8２-９7２+…+22－12＝(１0０2－9９２）+(9８2-972）+…+(22-12)=(1０0＋99）+（９8＋９7)＋…＋(2+１)＝5 05０。３．裂项相消法：(1)把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和。(2）常见的裂项技巧：①错误!＝错误! -错误!。②错误!=错误!错误!。③错误!＝错误!错误!。④错误!＝错误!—错误!。 4。错位相减法 分组转化法求和 ［例1］已知数列｛a n}，｛b n｝满足ａ1＝5，a n=２a n-1＋3n－1(n≥２，ｎ∈N＊），b n＝aｎ—3ｎ（n∈N*)． (1)求数列｛b n}的通项公式；(2）求数列{a n}的前ｎ项和S n. [解］ (1）∵ａn＝2aｎ-１＋３n-１(n∈Ｎ*，n≥2)，∴a n－3n=2（aｎ－１-3n－1）， ∴bｎ=２bｎ－1（n∈Ｎ＊，n≥2）。∵b1＝a1-3＝2≠0，∴ｂｎ≠0(n≥2），∴＼f（bｎ,ｂn－1)＝2， ∴{b n｝是以2为首项，２为公比的等比数列。∴b n=2·2n-１=2ｎ． （2)由（１)知a n=b n+3n=2ｎ＋3n,∴S n＝(2＋2２+…+2n）＋(３+32+…+３n）＝2n+1＋＼f（3n＋１,2)—＼ｆ(7，２）． ［方法技巧］ 分组转化法求和的常见类型 (1）若aｎ＝b n±cｎ，且{b n},｛ｃｎ}为等差或等比数列,可采用分组转化法求{a n}的前ｎ项和． (2)通项公式为a n=错误!的数列，其中数列｛b n}，｛c n｝是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和． 错位相减法求和 aｎn S n n2n b nａn b nｂ ｎ+1． （1)求数列｛b n}的通项公式；（2）令cｎ=错误!,求数列｛c n｝的前n项和T n。 ［解] （1）由题意知，当n≥2时，a n＝S n－Ｓn－1＝6n+５,当ｎ＝１时，ａ１=Ｓ1＝１1，满足上式, 所以a n＝6n+5．设数列｛b n}的公差为ｄ.由错误!即错误!所以b n=3n＋1。 (2)由（1）知c n＝错误!=３（n+１)·2n＋1,又Ｔｎ=c１+c２＋…＋ｃn, 得T n＝3×［2×2２＋3×23＋…＋（n+１)×2n+１］，2Ｔｎ=３×［2×23＋3×24+…＋（n＋1)×２n+２］， 两式作差，得－Ｔｎ=3×[2×22＋2３＋24＋…+2n＋1－（n＋1)×２n＋2]＝-3n·2ｎ＋2，所以T n＝3n·2n＋２. [方法技巧] 错位相减法求和的策略 （１)如果数列{aｎ}是等差数列,{b n｝是等比数列,求数列｛aｎ·b n｝的前ｎ项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列｛b n}的公比,然后作差求解.（2)在写“S n”与“qＳn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n-qS n”的表达式。（３)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解． 裂项相消法求和 n n ｎ+1 ｎ1 且b1，b3，ｂ９成等比数列．

高中数学 2.2等差数列

临清市第二中学 数学 编写人：李其智 审稿人：马英济 2.2.1等差数列导学案 一、课前预习： 1、预习目标： ①通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式； ②能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题； ③体会等差数列与一次函数的关系。 2、预习内容： （1）、等差数列的定义：一般地，如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的差等于同一个 ，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的 ， 通常用字母d 表示。 （2）、等差中项：若三个数b A a ,,组成等差数列，那么A 叫做a 与b 的 ， 即=A 2 或=A 。 （3）、等差数列的单调性：等差数列的公差 时，数列为递增数列； 时，数列为递减数列； 时，数列为常数列；等差数列不可能是 。 （4）、等差数列的通项公式： = n a 。 二、课内探究学案 例1、1、求等差数列8、5、2… …的第20项 解：由81=a 385-=-=d 20=n 得： 49 )3()120(820-=-?-+=a 2、401-是不是等差数列5-、9-、13-… …的项？如果是，是第几项？ 解：由51-=a 4)5(9-=---=d 得1 4)1(45--=---=n n a n 由题意知，本题是要回答是否存在正整数n ，使得： 14401-=-n 成立 解得：100=n 即401-是这个数列的第100项。 例2、某市出租车的计价标准为1.2元/km ，起步价为10元，即最初的4km （不含4km ）计费为10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？ 分析：可以抽象为等差数列的数学模型。4km 处的车费记为：2.111=a 公差2.1=d 当出租车行至目的地即14km 处时，n=11 求11a 所以：2.232.1)111(2.1111=?-+=a