5-4数列应用
第5模块 第4节
[知能演练]
一、选择题
1．一个三角形的三内角成等差数列，对应的三边成等比数列，则三内角所成等差数列的公差等于
( )
A ．0 B.π12 C.π6
D.π4
解析：因A 、B 、C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，则B ＝π3，b 2
＝ac ，∴cos B ＝
a 2＋c 2－
b 22a
c ＝1
2
，可推出a ＝c ＝b . 答案：A
2．在如下图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋c 的值为
( )
A.1
C ．3
D ．4
解析：a ＝2·(12)2＝12，b ＝52·(12)3＝5
16，
c ＝3·(12)4＝3
16，
a ＋
b ＋
c ＝12＋516＋3
16＝1.
答案：A 3．已知a n ＝
3
2n －11
(n ∈N *)，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则使S n >0的n 的最小值为 ( )
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13
解析：构造函数f (x )＝32x －11，此函数关于点P (11
2，0)对称，故f (1)＋f (2)＋…＋f (10)＝
0，即S 10＝0.当n ≥11时，f (n )>0，∴a 11＝f (11)>0，∴S 11>0.此题应该选择B.
答案：B
4．设M (cos π3x ＋cos π4x ，sin π3x ＋sin π4x )(x ∈R )为坐标平面上一点，记f (x )＝|OM →
|2－2，且
f (x )的图象与射线y ＝0(x ≥0)交点的横坐标由小到大依次组成数列{a n }，则|a n ＋3－a n |＝
( )
A ．24π
B ．36π
C ．24
D ．36
解析：f (x )＝|OM →
|2－2
＝[(cos π3x ＋cos π4x )2＋(sin π3x ＋sin π
4x )2]－2
＝2cos π12x ，令f (x )＝2cos π
12x ＝0，
∴π12x ＝kπ＋π
2，x ＝12k ＋6(k ∈N *)． ∴a n ＝12n ＋6(n ∈N *)．
∴|a n ＋3－a n |＝|12(n ＋3)＋6－(12n ＋6)|＝36. 答案：D 二、填空题
5．设x ，y 为正数，且x ，a 1，a 2，y 成等差数列，x ，b 1，b 2，y 成等比数列，则
(a 1＋a 2)2b 1b 2
的最小值是________．
解析：由等差数列的性质知a 1＋a 2＝x ＋y ； 由等比数列的性质知b 1b 2＝xy ，
所以(a 1＋a 2)2b 1b 2＝(x ＋y )2xy ＝x 2＋y 2＋2xy xy ＝2＋x 2＋y 2xy ≥2＋2xy xy ＝4，当且仅当x ＝y 时取等号．
答案：4
6．家用电器一件2000元，实行分期付款，每期付相同款数，每期一个月，购买后一个月付款一次，再过一个月又付款一次，共付12次即购买一年后付清．若按月利率1%，每月复利一次计算，则每期应付款________．(精确到0.1元)
解析：把2000元存入银行12个月，月利1%，按复利计算，则本利和为2000×(1＋1%)12.每月存入银行a 元，月利1%，按复利计算，则本利和为a ＋a (1＋1%)＋…＋a (1＋1%)11＝a ·1－(1＋1%)12
1－(1＋1%)
＝100a ·[(1＋1%)12－1]．由题意知2000(1＋1%)12＝100a ·[(1＋1%)12－1]?a ＝
2000(1＋1%)12
100[(1＋1%)12－1]
≈177.7(元)．
答案：177.7元 三、解答题
7．某公司按现有能力，每月收入为70万元，公司分析部门预算，若不进行改革，入世后因竞争加剧收入将逐月减少．分析测算得入世第一个月收入将减少3万元，以后逐月多减少2万元，如果进行改革，即投入技术改造300万元，且入世后每月再投入1万元进行员工培训，则测算得自入世后第一个月起累计收入T n 与时间n (以月为单位)的关系为T n ＝an ＋b ，且入世第一个月时收入为90万元，第二个月时累计收入为170万元，问入世后经过几个月，该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入．
解：该公司入世后经过n 个月，改革后的累计纯收入为T n －300－n ，不改革时的累计纯收入为70n －[3n ＋n (n －1)2
·2]，
又????? 90＝a ＋b 170＝2a ＋b ，∴?
????
a ＝80
b ＝10. 由题意建立不等式80n ＋10－300－n >70n －3n －n (n －1)， 即n 2＋11n －290>0，得n >12.4. ∵n ∈N *，∴取n ＝13.
答：入世后经过13个月，该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入． 8．在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N *)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3
与a 5的等比中项为2.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，求数列{S n }的通项公式．
(3)是否存在k ∈N *，使得S 11＋S 22＋…＋S n
n 值，若不存在，请说明理由． 解：(1)∵a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25，∴(a 3＋a 5)2 ＝25， 又a n >0，∴a 3＋a 5＝5，又a 3与a 5的等比中项为2， ∴a 3a 5＝4. 而q ∈(0,1)，∴a 3>a 5，∴a 3＝4，a 5＝1， ∴q ＝12，a 1＝16，∴a n ＝16×(12)n －1＝25－n . (2)∵b n ＝log 2a n ＝5－n ，∴b n ＋1－b n ＝－1， b 1＝log 2a 1＝log 216＝log 224＝4， ∴{b n }是以b 1＝4为首项，－1为公差的等差数列， ∴S n ＝n (9－n )2 . (3)由(2)知S n ＝n (9－n )2，∴S n n ＝9－n 2 . 当n ≤8时，S n n >0；当n ＝9时，S n n ＝0；当n >9时，S n n <0. ∴当n ＝8或9时，S 11＋S 22＋S 33＋…＋S n n ＝18最大． 故存在k ∈N *，使得S 11＋S 22＋…＋S n n [高考·模拟·预测] 1．(2009·江西高考题)数列{a n }的通项a n ＝n 2(cos 2nπ3－sin 2n π 3)，其前n 项和为S n ，则S 30 为 ( ) A ．470 B ．490 C ．495 D ．510 解析：由于{cos 2nπ3－sin 2nπ 3}以3为周期，故 S 30＝(－12＋222＋32)＋(－42＋522＋62 )＋…＋ (－282＋292 2 ＋302) ＝∑k ＝110 ? ???－(3k －2)2 ＋(3k －1) 2 2＋(3k )2 ＝∑k ＝1 10 ????9k －52＝9×10×11 2－25＝470，故选A. 答案： A 2．(2009·潍坊一检)某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f (n )＝1 2n (n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果年 产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是 ( ) A ．5年 B ．6年 C ．7年 D ．8年 解析：由题知第一年产量为a 1＝1 2 ×1×2×3＝3；以后各年产量分别为a n ＝f (n )－f (n － 1)＝12n (n ＋1)(2n ＋1)－1 2n (n －1)(2n －1)＝3n 2(n ∈N *)，令3n 2≤150，得1≤n ≤52?1≤n ≤7， 故生产期限最长为7年． 答案：C 3．(2009·上海高考)已知函数f (x )＝sin x ＋tan x ，项数为27的等差数列{a n }满足a n ∈(－π2， π 2 )，且公差d ≠0，若f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 27)＝0，则当k 等于________时，f (a k )＝0. 解析：由于f (x )＝tan x ＋sin x ，显然该函数为奇函数． 若a n ∈(－π2，π 2)，且f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 27)＝0，可以得出等差数列{a n }的这27项在0 的两侧对称分布，所以处在中间位置的a 14＝0?f (a 14)＝0. 答案：14 4．(2009·苏锡常镇一调)已知数列{a n }(n ∈N * )满足a n ＋1＝? ???? a n －t ，a n ≥t t ＋2－a n ，a n 1，其中t >2，若a n ＋k ＝a n (k ∈N *)，则k 的最小值为________． 解析：∵t 2，∴a 2＝a 1－t ，∴a 2∈(0,1)，即a 2 ∴a 4＝a 3－t ＝(2t ＋2－a 1)－t ＝t ＋2－a 1 ∴a 5＝t ＋2－a 4＝t ＋2－(t ＋2－a 1)＝a 1；同理可得，a 6＝a 2，a 7＝a 3，故要使a n ＋k ＝a n (k ∈Z *)，则k 的最小值为4. 答案：4 5．(2009·江南十校测试)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝(1＋cos 2nπ2)a n ＋sin 2nπ 2，n ＝ 1,2,3，…. (1)求a 3，a 4的值，并求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a 2n －1 a 2n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求S n . 解：(1)当n ＝1时，a 3＝(1＋cos 2π2)a 1＋sin 2π 2＝a 1＋1＝2； 当n ＝2时，a 4＝(1＋cos 22π2)a 2＋sin 22π 2 ＝2a 2＝4. ∵当n 为奇数时，cos 2nπ2＝0，sin 2nπ2＝1，当n 为偶数时，cos 2nπ2＝1，sin 2nπ 2＝0. ∴当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝1， ∵a 1＝1，∴a 2n －1＝n .∴当n 为偶数时，a n ＋2＝2a n . ∵a 2＝2，∴a 2n ＝2n ， ∴a n ＝??? 12n ＋1 2 (n 为奇数)2n 2(n 为偶数) . (2)由(1)可知b n ＝n 2 n ， ∴S n ＝12＋222＋3 23＋…＋n －12n －1＋n 2n ，① 12S n ＝122＋223＋324＋…＋n －12n ＋n 2 n ＋1，② ①－②得：(1－12)S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1， ∴12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1＝1－12n －n 2n ＋1， ∴S n ＝2－n ＋22 n . [备选精题] 6．(2009·佛山一检)已知O 为A 、B 、C 三点所在直线外一点，且OA →＝λOB →＋μOC → .数列 {a n }，{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，且????? a n ＝λa n －1＋μ b n －1＋1b n ＝μa n －1＋λb n －1 ＋1(n ≥2)． (1)求λ＋μ的值； (2)令c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的通项公式； (3)当λ－μ＝1 2时，求数列{a n }的通项公式． 解：(1)由A 、B 、C 三点共线，设AB →＝mBC → ，则 AB →＝OB →－OA →＝mBC →＝m (OC →－OB →)， 化简得：OA →＝(m ＋1)OB →－mOC → ， 所以λ＝m ＋1，μ＝－m ， 所以λ＋μ＝1. (2)由题设得a n ＋b n ＝(λ＋μ)(a n －1＋b n －1)＋2＝a n －1＋b n －1＋2(n ≥2)，即c n ＝c n －1＋2(n ≥2)，所以{c n }是首项为a 1＋b 1＝3，公差为2的等差数列，通项公式为c n ＝2n ＋1. (3)由题设得a n －b n ＝(λ－μ)(a n －1－b n －1)＝1 2 (a n －1－b n －1)(n ≥2)， 令d n ＝a n －b n ，则d n ＝12d n －1(n ≥2)．所以{d n }是首项为a 1－b 1＝1，公比为1 2的等比数列， 通项公式为d n ＝1 2 n －1. 由????? a n ＋ b n ＝2n ＋1a n －b n ＝1 2n －1， 解得a n ＝12n ＋n ＋12 . 第33讲 数列模型及应用 【考点解读】 1.认识数列的函数特性，能结合方程、不等式、解析几何、算法等知识解决一些数列问题. 2.掌握与等差数列、等比数列有关的实际应用问题的解法. 【知识扫描】 1．解答数列应用题的步骤 (1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意． (2) 建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么． (3)求解——求出该问题的数学解． (4) 还原——将所求结果还原到原实际问题中． 2、数列实际应用题常见的数学模型 (1)复利公式:按复利计算利息的一种储蓄，本金为a 元，每期利率为r ,存期为x 期，则本利和y = . (2)单利公式:利用按单利计算,本金为a 元,每期利率为r ,存期为x ,则本利和y = . (3)分期付款模型：设贷款总额为a ，年利率为r,等额还款数为b,分n 期还完，则b= 【考计点拨】 牛刀小试： 1．一套共7册的书计划每两年出一册，若出完全部各册书公元年代之和为14028，则出齐这套书的年份是( D ) A ．2007 B ．2008 C ．2009 D ．2010 2．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要( B ) A ．6秒钟 B ．7秒钟 C ．8秒钟 D ．9秒钟 5.在一个凸多边形中，最小内角为120°，各内角度数成等差数列，公差为5°，则这一凸多边形的边数为( A ) A.9 B.16 C.9或16 D.9或10 4．已知三个数a 、b 、c 成等比数列，则函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴公共点的个数为________． 答案：0 5．某种产品三次调价，单价由原来的每克512元降到216元，则这种产品平均每次降价的百分率(1).(1)1n n r r a r ++- (II )如果将该商品每月都投放市场 (II )要保持每个月都满足供应，则每月投放市场的商品数 P (万 件)应 f (n) 即 1 Pn n(n 1)(35 2n), P 150 1 150 (n 1)(35 2n) 丄(n 2 更n 更) 75 2 2 N ，当n 8时, 1)(35 2n)的最大值为1.14万件即P 至少为1.14万件 练习：听P82例2 例2 ?某外商到一开发区投资 72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费 12万美兀, 出售该厂；②纯利润总和最大时，以 16万元出售该厂，问哪种方案最合算? 解答：由题意知，每年的经费是以 12为首项，4为公差的等差数列，设纯利润与年数的关 系为 f (n)，则 f (n) 50n [12n (1 )纯利润就是要求 f(n) 0 , 血 U 4] 72 2n 2 40n 72 2 2n 2 40n 72 (2)①年平均利润 f(n) n 40 2(n 笑)16当且仅当n = 6时取等 口 号。 数列的实际应用问题 例1 .某地区预计从2005年初的前n 个月内，对某种商品的需求总量 f(n)(万件)与月 1 份 n 的近似关系为 f( n) n(n 1)(35 2n)(n N , n 12) 150 (I)求2005年第n 个月的需求量g(n)(万件)与月份 n 的函数关系式，并求出哪个月份 的需求量超过1.4万件。 P 万件，要保持每月都满足供应，则P 至少为多少万件? 以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入 50 万美兀。设f (n)表示前n 年的纯收入 (f (n)前n 年的总收入一前n 年的总支出一投资额) (1)从第几年开始获取纯利润？ (2 )若干年后，外商为开始新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以 48万美元 解得2 n 18。由n N 知从第三年开始获利 解答： (I ) 由题意知， g 1 f (1) g(n) f(n) f (n 1): 1 n(n 150 1 150 n[(n 1)(35 2n) (n 1)(37 1 11 又一 1 (12 1) 25 g(1), 25 由丄 n(12 n) 14 得：n 2 12n 25 即6月份的需求量超过 1.4 万件 1 、11 「 当 2时， 1 2 3- n 150 2n)— 150 25 1)(35 (n 1) n[35 2(n 1)] 2n)] 1 n(1 2 25 n) 1 g(n ) n (12 25 n)(n N , n 12) 35 0, 5 n 7,又n N , n 6 数列的综合应用 导学目标： 1.通过构造等差、等比数列模型，运用数列的公式、性质解决简单的实际问题.2.对数列与其他知识综合性的考查也高于考试说明的要求，另外还要注重数列在生产、生活中的应用． 自主梳理 1．数列的综合应用 数列的综合应用一是指综合运用数列的各种知识和方法求解问题，二是数列与其他数学内容相联系的综合问题．解决此类问题应注意数学思想及方法的运用与体会． (1)数列是一种特殊的函数，解数列题要注意运用方程与函数的思想与方法． (2)转化与化归思想是解数列有关问题的基本思想方法，复杂的数列问题经常转化为等差、等比数列或常见的特殊数列问题． (3)由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想．已知数列的前若干项求通项，由有限的特殊事例推测出一般性的结论，都是利用此法实现的． (4)分类讨论思想在数列问题中常会遇到，如等比数列中，经常要对公比进行讨论；由S n 求a n 时，要对______________进行分类讨论． 2．数列的实际应用 数列的应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容，解答应用问题的核心是建立数学模型． (1)建立数学模型时，应明确是等差数列模型、等比数列模型，还是递推数列模型，是求a n 还是求S n . (2)分期付款中的有关规定 ①在分期付款中，每月的利息均按复利计算； ②在分期付款中规定每期所付款额相同； ③在分期付款时，商品售价和每期所付款额在贷款全部付清前会随时间的推移而不断增值； ④各期付款连同在最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买时到最后一次付款的利息之和． 自我检测 1．(原创题)若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 8－S 3＝10，则S 11的值为 ( ) A ．12 B ．18 C ．22 D ．44 2．(2017·汕头模拟)在等比数列{a n }中，a n >a n ＋1，且a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 6 a 16 等于 ( ) A.23 B.32 C ．－16 D ．－56 3．若{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，把{a n }的每一项都减去2后，得到一个新数列{b n }，设{b n }的前n 项和为S n ，对于任意的n ∈N *，下列结论正确的是 ( ) A ．b n ＋1＝3b n ，且S n ＝1 2(3n －1) B ．b n ＋1＝3b n －2，且S n ＝1 2(3n －1) C ．b n ＋1＝3b n ＋4，且S n ＝1 2(3n －1)－2n D ．b n ＋1＝3b n －4，且S n ＝1 2 (3n －1)－2n 数列的实际应用 一、要点·疑点·考点 1.复利公式 按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y=a(1+r)x 2.产值模型 原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x的总产值y=N(1+p) x 3.单利公式 利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y=a(1+xr) 二、课前热身 1.某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个，2小时后分裂成8个，3小时后分裂成16个…，按此规律，6小时后细胞的个数是( ) (A)63 (B)64 (C)127 (D)128 2.一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2KB，工作时3分钟自身复制一次（即复制后所占内存是原来的2倍），那么，开机后_______分钟，该病毒占据64MB （1MB=210KB） 3.某产品的成本每年降低q%，若三年后成本是a元，则现在的成本是( ) (A)a(1+q%)3元(B)a(1-q%)3元 (C)a(1-q%)-3元(D)a(1+q%)-3元 4.某人到银行存了10000元，利息按单利计算，年利率为5%，则他在10年后的为____元 三、例题分析 1. 等差数列模型 例1.一梯形的上、下底长分别是12cm，22cm，若将梯形的一腰10等分，过每一个分点作平行于底边的直线，求这些直线夹在两腰之间的线段的长度的和. 2. 等比数列模型 例2.某市2003年共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问： （1）该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？ （2）到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的 1/3？3. 等差、等比数列综合问题模型 例3. 在一次人才招聘上，有A，B两家公司分别开出他们的工资标准：A公司允诺第一年月工资数为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元； B公司允诺第一年月工资数为2000元，以后每年月工资在上一年月工资基础上递增5%，设某人年初被A，B两家公司同时录取，试问： （1）若该人分别在A公司或B公司连续工作n年，则他在第n年的月工资收入分别是多少？（2）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不记其他因素），该人应该选择哪家公司，为什么？ 4.递推数列模型 例4.某地区原有森林木材存量为a，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b设an为n 年后该地区森林木材存量。 （1）求an的表达式； （2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于7/9a, 如果b=19/72a,那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需经过几年？ 变式练习：某下岗职工准备开办一个商店，要向银行贷款若干，这笔贷款按复利计算(即本年利息计入下一年的本金生息)，利率为q(0＜q＜1).据他估算，贷款后每年可偿还A元，30年后还清. ①求贷款金额； ②若贷款后前7年暂不偿还，从第8年开始，每年偿还A元，仍然在贷款后30年还清，试问：这样一来，贷款金额比原贷款金额要少多少元? 第十六节 数列的综合应用 [自我反馈] 1．已知正项等差数列{a n }满足：a n ＋1＋a n －1＝a 2 n (n ≥2)，等比数列{b n }满足：b n ＋1b n －1＝2b n (n ≥2)，则log 2(a 2＋b 2)＝( ) A ．－1或2 B ．0或2 C ．2 D ．1 解析：选C 由题意可知，a n ＋1＋a n －1＝2a n ＝a 2n ， 解得a n ＝2(n ≥2)(由于数列{a n }每项都是正数)， 又b n ＋1b n －1＝b 2 n ＝2b n (n ≥2)， 所以b n ＝2(n ≥2)，log 2(a 2＋b 2)＝log 24＝2. 2．已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1＝????? a n 2 ，当a n 为偶数时， 3a n ＋1，当a n 为奇数时. 若a 6＝ 1，则m 所有可能的取值为( ) A ．{4,5} B ．{4,32} C ．{4,5,32} D ．{5,32} 解析：选C a n ＋1＝????? a n 2 ，当a n 为偶数时， 3a n ＋1，当a n 为奇数时， 注意递推的条件是a n (而不是n )为偶 数或奇数．由a 6＝1一直往前面推导可得a 1＝4或5或32. 3．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＝6，若将a 1，a 4，a 5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为________． 解析：由题意知等差数列{a n }的公差d ＝ a 3－a 1 2 ＝2，则a 4＝8，a 5＝10，设所加的数为x ， 依题意有(8＋x )2 ＝(2＋x )(10＋x )，解得x ＝－11. 答案：－11 4．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N * )等于________． 解析：设每天植树的棵数组成的数列为{a n }， 由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2， 所以由题意可得 2 1－2n 1－2 ≥100，即2n ≥51， 数列的综合应用教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 11 =+ 1、等差数列{}n a 中,若124a a +=, 91036a a +=,则10S =______. 2. 设公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若 11a =,21179 d -<<-, 则当n S 取最大值时,n 的值为_ __. 3.在等差数列{}n a 中，S n 是它的前n 项的和，且8776,S S S S ><，给出下列命题：①此数列公差0 《数列的应用举例》 一、知识与技能 1、使学生掌握等差数列与等比数列在购物付款方式中的应用； 2、培养学生搜集、选择、处理信息的能力，发展学生独立探究和解决问题的能力，提高学生的应用意识； 二、教学重点难点 重点：抓住分期付款问题的本质分析问题； 难点：建立数学模型，理解分期付款的合理性。 三、过程与方法 通过创设情境、讲授法、讨论法、直观演示法、练习法提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。 四、情感态度与价值观 通过学生之间，师生之间的交流与配合培养学生的合作意识和团队精神，通过独立运用数学知识解决实际问题，使学生体会学习数学知识的重要性，增强他们对数学学习的兴趣和对数学的情感。 五、实验与教具 多媒体 六、教学过程 创设情境 题型一、等差数列模型（单利问题） 例1、某家庭预购置一套40万元的商品房，要求购房当天首付40% （即16万元），欠款24万元需贷款，贷款期限10年（120个月），每月还欠款2000元，并每月加付欠款利息，月利率为0.4%，购买后下一月当天开始付款，以后每月付款一次，问购买这套商品房实际总价多少元？ 解：按等额本金还款方式，设每月还欠款加所欠款产生的利息为数列a n，贝U： 第一月还欠款以及所欠款产生的利息为：a12000 240000 0.4%， 第二月还欠款以及所欠款产生的利息为：a22000 (240000 2000) 0.4%， 第三月还欠款以及所欠款产生的利息为：a32000 (240000 2000 2) 0.4%， 以此类推： 第n月还欠款以及所欠款产生的利息为：a n2000 [240000 2000 (n 1)] 0.4% ???各月还欠款以及所欠款产生的利息成等差数列 ???10 年还清欠款总额为：S120 120（2960 2008） 298080 （元）2 购买这套商品房实际总价为：S 298080 160000 458080 （元） 答：该家庭购买这套商品房实际总价为458080元。 题后感悟：等额本金还款法，等差数列问题 题型二、等比数列模型（复利问题） 例2、某家庭预购置一套40万元的商品房，要求购房当天首付16万元，欠款24万元需贷款，贷款期限10年（120个月），按分期付款的方式偿还欠款，每月等额还款，月利率为 数列的实际应用举例 清远工贸职业技术学校 班级：13春工学计机3班 蔡健星 【学习目标】 1．掌握以数列知识为数学本质的实际应用问题，涉及增长率问题、复利计算问题等． 2．培养学生用数列知识解决实际问题的能力,提高学生对数学的学习兴趣． 一、复习 1、本单元我们学习了两种数列，分别是：等差数列和等比数列 例如：1,3,5,7,9… 2,5,8,11,14… 2,4,8,16，32… 1,3,9,27,81… 2、两种数列共有八条公式，分别是： 等差数列 等比数列 通项公式： 中项公式： 求和公式： 二、新课讲授 1．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数是（ ） A.9 B.10 C.19 D.20 【解析】设堆成n 层，由题意得1＋2＋3＋…＋n ≤200，即n(n ＋1)≤400成立的最大正整数n 代入检验知n ＝19 2．一套共7册的书计划每2年出一册，若各册书的出版年份数之和为13979，则出齐这套书的年份是（ ） A.1997 B.1999 C.2001 D.2003 d n a a n )1(1-+=11-=n n q a a 2b a A +=ab G ±=2)(1n n a a n S +=d n n na S n 2)1(1-+=q q a S n n --=1)1(1q q a a S n n --=11 【解析】设出第四册的年份为x 由题意得(x －6)＋(x －4)＋(x －2)＋x ＋(x ＋2)＋(x ＋4)＋(x ＋6)＝13979 即7x ＝13979，∴x ＝1997 ∴x ＋6＝2003 3．夏季高山的温度从山脚起每升高100 m ，降低0.7 ℃，已知山顶温度是14.8 ℃，山脚温度是26 ℃，则山的相对高度是 m ． 【解析】从山脚到山顶温度降低了26 ℃－14.8 ℃＝11.2 ℃ 而每降0.7 ℃，升高100米 11.2 / 0.7 =16 ∴共升高16×100=1600 m ． 4、某林厂年初有森林木材存量S 立方米，木材以每年25%的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量x 立方米，为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%，则x 的值是( ) A. B. C. D. 【解析】一次砍伐后木材的存量为：S(1＋25%)－x 二次砍伐后木材存量为［S(1＋25%)－x ］(1＋25%)－x 由题意知%)501(45)45(2+=--S x x S 解得x ＝36S 5、银行有一种储蓄业务叫做零存整取，即每月定时存入一笔相同数目的现金，到约定日期可以取出全部本利和。若某人每月初存入100元，月利率为0.3%，问到第12个月末整取时本利和时多少？ 【分析】本利=本金+利息。第1个月计利12个月，到期本利时100+100×0.3%×12， 第2个月计利11个月，到期本利时100+100×0.3%×11，… 第12个月计利1个月，到期本利时100+100×0.3%×1， 由此可知，每月存入的100元到期本利构成一个等差数列，其和就是所求的1232S 34S 36S 38S 《数列综合应用举例》教案学校名称：北京市电气工程学校 授课教师卜丽娜课题名称数列综合应用举例授课 专业 机电专业 授课年级、 班级 高二（9）授课地点北京市电气工程学校课时 1 课型新授课 教学目标知识与技能目标 初步掌握利用数列的基础知识来解决实际问题的方法。培养学生搜集资料、分析资料的良好习惯，提高分析问题、解决问题的 能力及人际交往与协作能力。 过程与方法目标 经历数列实际问题的解决过程，发展学生的思维，领悟解决数列实际问题的方法，获得教学活动的经验。 情感态度价值观 通过情境创设，活动参与，体会数列在社会生活中的广泛应用，提高学习数学的兴趣，并初步培养与他人合作交流的意识；培养 学生探索的精神，并使数学能够为实际生产生活服务，为学生的 专业学习打下良好的基础。 教学重点数列的综合应用举例 教学难点1．数列的实际应用举例。 2．用数学建模思想解决数列的实际问题。 教学方法启发法、讨论法、情境教学法 教学手段多媒体、黑板 板书设计课题：数列综合应用举例 应用题解题一般步骤问题1：问题2： 解：（详细）解：（略写）审题 转化 求解 检验 教师活动 学生活动 设计意图 一、创设情境，激发兴趣 多媒体演示：数学史小故事 棋盘上的麦粒 古印度舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人——宰相达依尔。宰相说：“请您在棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给我2粒，第3个小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍。请您把棋盘上64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！” 国王觉得这个要求太容易满足了，就命令给她这些麦粒。结果发现：就是把全国的麦粒全拿来，也满足不了宰相的要求。原来宰相要求的麦粒总数为： 人们推算发现当时全国所有的麦粒加在一起的总和也没有这么多！ 板书课题：数列综合应用举例 二、互动交流，问题探究 探究一：数列在生活中的应用 我校机电专业近期计划购进一批新型的制冷压缩机,总价值20万元，以分期付款的方式购买。由于机电专业向学校申请的是内部无息贷款，故还款时并不涉及利息问题，有如下两种付款方式： 第一种：首付款15500元，从第二年起每年比前一年多付1000元； 问题1：此种付款方式我们需要几年能够还清贷款？ 观看媒体演示，倾听老师完整的叙述故事 观察数列，找到该等比数列的首项、公比，并会利用公式计算 学生按小组活动，分小组进行思考、讨论并解答。 得出结论：问题一是等差数 从生活中以学生感兴趣的数学史故事入手引入，调动学生的学习热情，同时让学生体会到数学来源于生活，为整节课的教学创设良好的开端。 这则小故事说明：数列 在实际问题中有着广泛的应用，进而引出课题即本节课所要研究的主要内容为数列在实际问题中的综合应用。 从学生的兴趣出发，与本专业结合，将知识应用到学生熟悉的并且感兴趣的问题中，有利于激发学生的学习数学的兴趣和学习数学的积极性。 ) (37095516151844674407122...2221646332粒=-=+++++ 中考数学模型的常见类型及其应用 史承灼 【摘要】“联系实际，加强应用”已经成为数学教育改革的一个重要方面，以应用数学的理论和方法解决实际问题的能 力为目标的“问题解决”亦已成为中考一大热点．而“数学模 型”或“数学建模”则是实现“数学问题解决”的基本手段和 主要内容．初中阶段常见的数学模型大致有：数与式、方程、 不等式、函数、三角、几何和统计模型等． 【关键词】初中数学问题解决构建数学模型随着数学教育改革的不断发展和深入，“联系实际，加强应用”已经成为数学 教育改革的一个重要方面，在基础教育中以培养应用数学的理论和方法解决实际问题的能力为目标的“问题解决”越来越引起人们的高度关注，亦已成为国际数学教育的一大热点．而“数学模型”或“数学建模”则是实现“数学问题解决”的基本手段和主要内容．掌握常见的“数学模型”和“数学建模”的方法，将会激发学生的创造能力，有助于应用数学知识解决实际问题能力的提高，从而达到加强“数学问题解决”教育的目的． 在数学的“问题解决”中，应用数学知识去解决实际问题，首先要把实际问题中的数学问题明确地表述出来，也就是说，要通过对实际问题的分析、归纳给出以描述这个问题的数学提法；然后才能使用数学的理论和方法进行分析，得出结论；最后再返回去解决现实的实际问题．由于实际问题的复杂性，往往很难把现成的数学理论直接套用到这些实际问题上，这就必须要在数学理论和所要解决的实际问题之间构建一个桥梁来加以沟通，以便把实际问题中的数学结构明确地表示出来，这个桥梁就是“数学模型”，这个桥梁的构建过程就是“数学建模”．一般说来，所谓数学模型是指通过抽象和简化，使用数学语言对实际现象的一个近似的刻画，以便于人们更深刻地认识所研究的对象．而“数学建模”的过程 考数学试题中，常见的应用问题按解决问题时建立数学模型所用数学知识和方法的 数列的实际应用 主讲教师：庄肃钦 【知识概述】 数列是反映自然规律的重要数学模型，日常生活中的大量实际问题都可以转化为数列问题解决，如增长率、减少率、银行信贷、工厂的生产量、浓度匹配、养老保险、存款利息、出租车收费、校园网问题、放射性物质的衰变等。通过这节课的学习，希望同学们能够掌握数列作为生活工具的应用方法，解决问题。 实际应用题常见的数列模型： 1．储蓄的复利公式：本金为a元，每期利率为r，存期为n期，则本利和y =a(1+r)n. 2．总产值模型：基数为N，平均增长率为p，期数为n，则总产值y = N (1 + p)n. 3．递推猜证型：递推型有a n+1 = f (a n)与S n+1 = f (S n)或S n = f (a n)类，猜证型主要是写出前若干项，猜测结论，并用数学归纳法加以证明. 【学前诊断】 1．[难度] 易 某种细菌在培养过程中每20分钟分裂一次（一次分裂两个），经过3小时，这种细菌由一个可以繁殖为（） A．511个B．512个C．1023 D．1024个 2．[难度] 易 某商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价_______. 3．[难度] 中 某工厂连续数年的产值月平均增长率为p%，则它的年平均增长率为_______. 【经典例题】 例1. 银行按规定每经过一定时间结算存（贷）款的利息一次，结息后即将利息并入本 金，这种计算利息的方法叫复利，现在有某企业进行技术改造，有两种方案： 甲方案——一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一 年增加30%的利润； 乙方案——每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年多获 利5千元. 两方案使用贷款期限均为10年，到期一次性归还本息.若银行贷款利息均按 年息10%的复利计算，试比较两种方案哪个获利更多？（计算结果精确到千元， 参考数据：10101.1 2.594,1.313.768==） 例2． 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产 业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15 ，本年度当地旅游业估计收入为400万元，由于该项目建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14 。 （1） 设n 年内（本年度为第一年）总投入为n a 万元，旅游业总收入为n b 万元，写 出,n n a b 的表达式； （2） 至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？ 例3. 某城市2009年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的 6%，并且每年新增汽车数量相同，为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？ 例4. 【本课总结】 对于数列应用题的考查，主要考查学生运用观察、归纳、猜想等手段，建立有关等差(比)数列、递推数列的数学模型，再综合其他相关知识来解决问题的能力.解答数列应用性问题，既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分析与解决问题的能力. 解题方法 1.主要模型： （1） 等差数列模型(增加的量或减少的量相同)； （2） 等比数列模型(增长率相同或减少率相同)； （3） 等差数列与等比数列综合模型； （4） 递推数列模型等等. 第5讲 数列的综合应用 【2013年高考会这样考】 1．考查数列的函数性及与方程、不等式、解析几何相结合的数列综合题． 2．考查运用数列知识解决数列综合题及实际应用题的能力． 【复习指导】 1．熟练把握等差数列与等比数列的基本运算． 2．掌握隐藏在数列概念和解题方法中的数学思想，如“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转化”等． 3 ．注意总结相关的数列模型以及建立模型的方法． 基础梳理 1．等比数列与等差数列比较表 不同点 相同点 等差数列 (1)强调从第二项起每 一项与前项的差； (2)a 1和d 可以为零； (3)等差中项唯一 (1)都强调从第二项起每一项与前项的关系； (2)结果都必须是同一个常数； (3)数列都可由a 1，d 或a 1，q 确定 等比数列 (1)强调从第二项起每 一项与前项的比； (2)a 1与q 均不为零； (3)等比中项有两个值 2.解答数列应用题的步骤 (1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意． (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么． (3)求解——求出该问题的数学解． (4)还原——将所求结果还原到原实际问题中． 3．数列应用题常见模型 (1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加 (或减少)的量就是公差． (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比． (3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化 而变化时，应考虑是a n与a n ＋1的递推关系，还是S n与S n ＋1 之间的递推关系． 一条主线 数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度．解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解． 两个提醒 (1)对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解，有些数列题目条件已指明是等差(或等比)数列，但有的数列并没有指明，可以通过分析，转化为等差数列或等比数列，然后应用等差、等比数列的相关知识解决问题． (2)数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质．等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，它们与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步增加，这一部分内容也将受到越来越多的关注． 三种思想 (1)数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性)． (2)数列与不等式结合时需注意放缩． (3)数列与解析几何结合时要注意递推思想． 双基自测 1．(人教A版教材习题改编)已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2的值为()． A．－4 B．－6 C．－8 D．－10 解析由题意知：a23＝a1a4.则(a2＋2)2＝(a2－2)(a2＋4)，解得：a2＝－6. 答案 B 2．(2011·运城模拟)等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，且4a1,2a2，a3成等 第五节 数列的综合应用 题型一 数列在数学文化与实际问题中的应用 [典例] (1)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则此人第4天和第5天共走了( ) A ．60里 B ．48里 C ．36里 D ．24里 (2)(2019·北京东城区模拟)为了观看2022年的冬奥会，小明打算从2018年起，每年的1月1日到银行存入a 元 的一年期定期储蓄，若年利率为p ，且保持不变，并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期．到2022年的1月1日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出，则可取回________元． [解析] (1)由题意知，此人每天走的里数构成公比为1 2的等比数列{a n }， 设等比数列的首项为a 1，则a 1() 1－1 26 1－ 12＝378， 解得a 1＝192，所以a 4＝192×18＝24，a 5＝24×1 2＝12， 则a 4＋a 5＝24＋12＝36，即此人第4天和第5天共走了36里． (2)2022年1月1日可取出钱的总数为 a (1＋p )4＋a (1＋p )3＋a (1＋p )2＋a (1＋p ) ＝a ·(1＋p )[1－(1＋p )4] 1－(1＋p ) ＝a p [(1＋p )5－(1＋p )] ＝a p [(1＋p )5－1－p ]． [答案] (1)C (2)a p [(1＋p )5－1－p ] [方法技巧] 1．数列与数学文化解题3步骤 1．在我国古代著名的数学名著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？( ) A ．9日 B ．8日 C ．16日 D ．12日 解析：选A 由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{a n }，其中a 1＝103，d ＝13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{b n }，其中b 1＝97，d ＝－0.5.设第m 天相逢，则a 1＋a 2＋…＋a m ＋b 1＋b 2＋…＋b m ＝103m ＋ m (m －1)×13 2 数列综合应用 一、数列 已知：{a n }的前n 项和S n ＝32 (3n －1)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)243是这个数列中的第几项？ 二、等差数列 1．在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (均为正自然数)，则下式正确的是( ) A.a m a n ＝a p a q B ．a m ＋a n ＝a p ＋a q C ．a m a n ＝a p a q D ．a m －a n ＝a p －a q 2．(2011)等比数列{a n }的各项都是正数，a 1＝3，a 1＋a 2＋a 3＝21，则a 3＋a 4＋a 5的值为( ) A ．63 B ．42 C ．84 D ．21 3．(2012)在等比数列{a n }中，已知a 6＝6，a 9＝9，则a 3等于( ) A ．4 B ．3 C.32 D.169 4．(2013)在等比数列{a n }中，a n >0，a 3·a 7＝36，则a 5的值等于( ) A ．6 B ．－6 C ．6或－6 D ．36 (){}() 81245.20168,12,163 A. B.4 C. D.1832 n a a a a ===在等比数列中，则 6．三个数成等差数列，其比为3∶4∶5，如果最小数加1，则三数成等比数列，那么原三数为________． 7．已知－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则b 2(a 2－a 1)＝________． 8．(2010)有四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和为16，第二个数与第三个数的和为12.求此四个数． 9．数列{a n }是首项为27，公比为3的等比数列，令b n ＝log 3a n ，构成新数列{b n }． (1)求{b n }的通项公式；(2)证明{b n }是等差数列；(3)求{b n }的前10项之和． Mathematica软件常用功能 【实验目的】 1. 用Mathematica软件进行各种数学处理; 2. 用Mathematica软件进行作图; 3. 用Mathematica软件编写程序. 【注意事项】 Mathematica中大写小写是有区别的，如Name、name、NAME等是不同的变量名或函数名。 系统所提供的功能大部分以系统函数的形式给出，内部函数一般写全称，而且一定是以大写英文字母开头，如Sin[x],Conjugate[z]等。 乘法即可以用*，又可以用空格表示，如2 3＝2*3＝6 ,x y,2 Sin[x]等；乘幂可以用“^”表示，如x^0.5,Tan[x]^y。 自定义的变量可以取几乎任意的名称，长度不限，但不可以数字开头。当你赋予变量任何一个值，除非你明显地改变该值或使用Clear[变量名]或“变量名=.”取消该值为止，它将始终保持原值不变。 一定要注意四种括号的用法：()圆括号表示项的结合顺序，如 (x+(y^x+1/(2x)));[]方括号表示函数，如Log[x],BesselJ[x,1]；{}大括号表示一个“表”(一组数字、任意表达式、函数等的集合)，如 {2x,Sin[12 Pi],{1+A,y*x}}；[[]]双方括号表示“表”或“表达式”的下标，如a[[2,3]]、{1,2,3}[[1]]=1。 Mathematica的语句书写十分方便，一个语句可以分为多行写，同一行可以写多个语句（但要以分号间隔）。当语句以分号结束时，语句计算后不做输出（输出语句除外），否则将输出计算的结果。 命令行“Shift+Enter”才是执行这个命令。 精心整理 第四节数列求和与数列的综合应用 自|主|排I查 1?公式法与分组求和法(1)公式法：直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和。 ①等差数列的前n项和公式：$== na i+ d。 ②等比数列的前n项和公式：$= (2)分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相 加减。 2.倒序相加法与并项求和法 (1)倒序相加法 如果一个数列的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的。 (2)并项求和法 J P -_.l ..-^i '、 / - 在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和。 形如a n= ( — 1) n f (n)类型，可采用两项合并求解。 2 2 2 2 2 2 2 2 22 22 例如，S= 100 — 99 + 98 —97 +…+ 2 — 1 = (100 — 99 ) + (98 —97 ) +…+ (2 — 1 ) = (100 + 99) + (98 + 97) + …+ (2 + 1) = 5050。 3?裂项相消法 (1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。 (2)常见的裂项技巧：心=—。笑=。 ③=。@= 一。 4.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可 用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的。 微点提醒1 ?使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏V L… I 写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点。 2.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解。 小|题|快|练 一、走进教材 数列求和、数列的综合应用练习题 1.数列20,,2,,2101+++a k a a k 共十项，且其和为240，则101a a a k ++++ 的值为 （ ） A.31 B.120 C.130 D.185 2. 已知正数等差数列}{n a 的前20项的和为100，那么147a a ?的最大值是 （ ） A.25 B.50 C.100 D.不存在 3. 设函数x x f m log )(=（0>m ，且1≠m ），数列}{n a 的公比是m 的等比数列， 若8)(200931=??a a a f ，则)()()(2 201022 21a f a f a f +++ 的值等于 （ ） A.-1974 B.-1990 C.2022 D.2042 4. 设等差数列}{n a 的公差0≠d ，又921,,a a a 成等比数列，则 =++++10 429 31a a a a a a . 5. 已知二次函数x x x f 23)(2-=，数列}{n a 的前n 项和为n s ，点（n s n ,）（*N ∈n ）在函数)(x f y =的图像上. （1）球数列}{n a 的通项公式； （2）设13+= n n n a a b ，n T 是数列}{n b 的前n 项和，求使20 m T n <对所有*N ∈n 都成立的最小正整数m . 6.（2014广东湛江模拟）已知数列}{n a 各项均为正，其前n 项和为n s ，且满足 2)1(4+=n n a S . （1）求}{n a 的通项公式； （2）设1 1 +?=n n n a a b ，求数列}{n b 的前n 项和n T 及n T 的最小值. 7. （2014安徽，18，12分）数列}{n a 满足)1()1(,111+++==+n n a n na a n n ，*N ∈n . （1）证明：数列? ?? ???n a n 是等差数列； （2）设n n n a b ?=3，求数列}{n b 的前n 项和为n s . 8. （2014湖北，19，12分）已知等差数列}{n a 满足：21=a ，且521,,a a a 成等比数列. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）记n S 为数列}{n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得80060+>n S n ？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由. 河北师范大学汇华学院 本科生毕业论文 （2012 届） 题目:数列在生活中的应用 系别：数学系 专业：数学与应用数学 班级：三班 作者姓名：王海静学号：2008511915 指导教师：张金莲职称：副教授学历：本科论文成绩： 2012 年 5 月 数列在生活中的应用 摘要： 数学是一门源于生活又用于生活的科学，数学研究是亘古以来人类社会生活中不可缺少的一部分。数列知识有着广泛的应用，如生物种群数量变化，银行中的利息计算，人口增长，粮食增长、住房建设等等问题，都会用到高中的数列知识。本文举例说明，有助于学生认识和理解数列知识。数列计算是数学学习中一个十分重要的分支，并且由于数列的研究与计算同社会经济、资源生活有着紧密的联系，使得对于数列研究的重视热情逐渐高涨，加之具有的灵活多变的计算，趣味横生的问题等，都使得对于数列的研究受到越来越多人的关注。 关键词：数列应用分期付款资源利用 Mathematics is a source from life and for life science, mathematics study is the ancient human society is an indispensable part of life. Sequence calculation is in mathematics learning is a very important branch, and as the series of the study and calculation of the social and economic life, resources are closely linked, which makes the series research attention enthusiasm to upsurge gradually, together with the flexible calculation, interesting problems, makes for the series of research by more and more attention. Key words: application of series installment resource utilization 1, 引言 数列在我们生活中有着广泛的应用，比如资源计算等领域，在解决投资分配、汇率计算、资源利用分配等方面问题中有着无可比拟的优势。本文将在简述数列广泛应用的基础上，具体分析数列在以上几个生活领域中的应用情况 2，主要内容 第一章：等差等比数列在生活中的应用 一、等差数列的应用题 涉及到等差数列的应用问题时，首先应弄清数列的首项和公差，然后用其通项公式和前n项和公式，并借助不等式的性质解决问题。第33讲 数列模型及应用
数列的实际应用问题
数列的综合应用
数列的实际应用
数列的综合应用
数列的综合应用教案
(完整版)案例三数列在购房问题中的应用
数列的实际应用举例 教学设计
数列综合应用举例教案
中考数学模型的常见类型及其应用
第10讲 数列的实际应用
第5讲 数列的综合应用
高中数学第六章数列第五节数列的综合应用
数列综合应用
数学建模模型与应用
数列综合应用
数列求和、数列综合应用练习题集
数列在生活中应用技术