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3-4 生活中的优化问题举例

3-4 生活中的优化问题举例
3-4 生活中的优化问题举例

能力拓展提升

一、选择题

11.某公司生产一种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位的产品,成本增加100元,若总收入R 与年产量x (0≤x ≤390)的关系是R (x )=-x 3

9 000+400x,0≤x ≤390,则当总利润最大时,每年生产的产品单位数是( )

A .150

B .200

C .250

D .300

[答案] D

[解析] 由题意可得总利润P (x )=-x 3

900+300x -20 000,0≤x ≤390.由P ′(x )=0,得x =300.

当0≤x ≤300时,p ′(x )>0;当300

12.三棱锥O -ABC 中,OA 、OB 、OC 两两垂直,OC =2x ,OA =x ,OB =y ,且x +y =3,则三棱锥O -ABC 体积的最大值为( )

A .4

B .8 C.43 D.8

3

[答案] C

[解析] V =13×2x 22·y =x 2y 3=x 2(3-x )3=3x 2-x

3

3(0

V ′=6x -3x 2

3=2x -x 2=x (2-x ). 令V ′=0,得x =2或x =0(舍去). ∴x =2时,V 最大为4

3.

13.要制作一个圆锥形的漏斗,其母线长为20cm ,要使其体积最大,则高为( )

A.3

3cm B.103

3cm C.163

3cm D.2033cm

[答案] D

[解析] 设圆锥的高为x ,则底面半径为202-x 2, 其体积为V =1

3πx (400-x 2) (0<x <20), V ′=13π(400-3x 2),令V ′=0,解得x =2033. 当0<x <2033时,V ′>0;当203

3<x <20时,V ′<0 所以当x =203

3时,V 取最大值.

14.若一球的半径为r ,作内接于球的圆柱,则其圆柱侧面积最大值为( )

A .2πr 2

B .πr 2

C .4πr 2

D.12πr 2

[答案] A

[解析] 设内接圆柱的底面半径为r 1,高为t ,

则S =2πr 1t =2πr 12r 2-r 21=4πr 1r 2-r 2

1. ∴S =4πr 2r 21-r 41. 令(r 2r 21-r 41)′=0

得r 1=2

2r .

此时S =4π·22r ·r 2

-? ??

??22r 2

=4π·22r ·2

2r =2πr 2. 二、填空题

15.做一个容积为256的方底无盖水箱,它的高为________时最省料.

[答案] 4

[解析] 设底面边长为x ,则高为h =256

x 2,其表面积为S =x 2+4×256x 2×x =x 2

+256×4x ,S ′=2x -256×4x 2,令S ′=0,则x =8,则当高h =256

64=4时S 取得最小值.

16.某厂生产某种产品x 件的总成本:C (x )=1 200+275x 3

,又产品单价的平方与产品件数x 成反比,生产100件这样的产品的单价为50元,总利润最大时,产量应定为________件.

[答案] 25

[解析] 设产品单价为a 元,又产品单价的平方与产品件数x 成反比,即a 2x =k ,

由题知a =500x .总利润y =500x -275x 3-1 200(x >0),y ′=250

x -

225x 2

由y ′=0,得x =25,x ∈(0,25)时,y ′>0,x ∈(25,+∞)时,y ′<0,所以x =25时,y 取最大值.

三、解答题

17.已知某厂生产x 件产品的成本为c =25 000+200x +140x 2(元). (1)要使平均成本最低,应生产多少件产品?

(2)若产品以每件500元售出,要使利润最大,应生产多少件产品?

[解析] (1)设平均成本为y 元,则

y =25 000+200x +1

40x 2

x =25 000x +200+x

40(x >0), y ′=? ????25 000x +200+x 40′=-25 000x 2+1

40. 令y ′=0,得x 1=1 000,x 2=-1 000(舍去). 当在x =1 000附近左侧时,y ′<0; 在x =1 000附近右侧时,y ′>0; 故当x =1 000时,y 取得极小值.

由于函数只有一个极小值点,那么函数在该点取得最小值,因此要使平均成本最低,应生产1 000件产品.

(2)利润函数为L =500x -(25 000+200x +x 2

40) =300x -25 000-x 2

40. ∴L ′=300-x

20.

令L ′=0,得x =6 000,当x 在6 000附近左侧时,L ′>0;当x 在6 000附近右侧时,L ′<0,故当x =6 000时,L 取得极大值.

由于函数只有一个使L ′=0的点,且函数在该点有极大值,那么函数在该点取得最大值.因此,要使利润最大,应生产6 000件产品.

18.已知圆柱的表面积为定值S ,求当圆柱的容积V 最大时圆柱的高h 的值.

[分析]将容积V表达为高h或底半径r的函数,运用导数求最值.由于表面积S=2πr2+2πrh,此式较易解出h,故将V的表达式中h消去可得V是r的函数.

[解析]设圆柱的底面半径为r,高为h,则S圆柱底=2πr2,

S圆柱侧=2πrh,∴圆柱的表面积S=2πr2+2πrh.

∴h=S-2πr2 2πr,

又圆柱的体积V=πr2h=r

2(S-2πr 2)=

rS-2πr3

2,V′=

S-6πr2

2,

令V′=0得S=6πr2,∴h=2r,

又r=S

6π,∴h=2

S

6π=

6πS

3π.

即当圆柱的容积V最大时,圆柱的高h为6πS 3π.

生活中的优化问题举例

高二数学◆选修2-2◆导学案编写:刘方贵张晓丽审核:仇国宗陈兆平袁全升2011-03-21 1 建立数学模型§1.4生活中的优化问题举例 教学目标: 1.使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作 用 2.提高将实际问题转化为数学问题的能力 教学重点:利用导数解决生活中的一些优化问题. 教学难点:利用导数解决生活中的一些优化问题. 一.创设情景 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为 优化问题.通过前面的学习,我们知道,导数是求函数最大(小)值的有力工具.这一节, 我们利用导数,解决一些生活中的优化问题. 二.新课讲授 导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题,主要有 以下几个方面: 1、与几何有关的最值问题; 2、与物理学有关的最值问题; 3、与利润及其成本有关的最值问题; 4、效率最值问题。 解决优化问题的方法:首先是需要分析问题中各个变量之间的关系,建立适当的函 数关系,并确定函数的定义域,通过创造在闭区间内求函数取值的情境,即核心问题是 建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质,提出优化方案,使问题得以解决, 在这个过程中,导数是一个有力的工具. 利用导数解决优化问题的基本思路: 三.典例分析 例1.海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图 1.4-1所示的竖向张贴的海报,要求版心面积为128dm 2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm 。 如何设计海报的尺寸,才能使四周空心面积最小? 本节课精华记录预习心得:解决数学模型 作答用函数表示的数学问题 优化问题用导数解决数学问题 优化问题的答案

3.4生活中的优化问题举例

二、预习内容 :生活中的优化问题,如何用导数来求函数的最小

二、学习过程 1.汽油使用效率最高的问题 阅读例1,回答以下问题: (1)是不是汽车速度越快,汽油消耗量越大? (2)“汽车的汽油使用效率最高”含义是什么? (3)如何根据图3.4-1中的数据信息,解决汽油的使用效率最高的问题? 2.磁盘最大存储量问题 阅读背景知识,思考下面的问题: 问题:现有一张半径为的磁盘,它的存储区是半径介于r与R的环形区域。(1)是不是r越小,磁盘的存储量越大? (2)r为多少时,磁盘具有最大存储量(最外面的磁道不存储任何信息)? 3饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 阅读背景知识,思考下面的问题: (1)请建立利润y与瓶子半径r的函数关系。 (2)分别求出瓶子半径多大时利润最小、最大。 (3)饮料瓶大小对饮料公司利润是如何影响的? 三、反思总结 通过上述例子,我们不难发现,解决优化问题的基本思路是:

收集一下各种型号打印纸的数据资料,并说明其中所蕴含的设计原理。【资料】打印纸型号数据(单位:厘米)

§3.4 生活中的优化问题举例教学目标: 1.要细致分析实际问题中各个量之间的关系,正确设定所求最大值或最小值的变量y 与自变量x ,把实际问题转化为数学问题,即列出函数解析式()y f x =,根据实际问题确定函数()y f x =的定义域; 2.要熟练掌握应用导数法求函数最值的步骤,细心运算,正确合理地做答. 重点:求实际问题的最值时,一定要从问题的实际意义去考察,不符合实际意义的理论 值应予舍去。 难点:在实际问题中,有()0f x '=常常仅解到一个根,若能判断函数的最大(小)值 在x 的变化区间内部得到,则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值。 教学方法:尝试性教学 教学过程: 前置测评: (1)求曲线y=x 2+2在点P(1,3)处的切线方程. (2)若曲线y=x 3上某点切线的斜率为3,求此点的坐标。 【情景引入】 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.通过前面的学习,我们知道,导数是求函数最大(小)值的有力工具.这一节,我们利用导数,解决一些生活中的优化问题 例1.汽油的使用效率何时最高 材料:随着我国经济高速发展,能源短缺的矛盾突现,建设节约性社会是众望所归。现实生活中,汽车作为代步工具,与我们的生活密切相关。众所周知,汽车的每小时耗油量与汽车的速度有一定的关系。如何使汽车的汽油使用效率最高(汽油使有效率最高是指每千米路程的汽油耗油量最少)呢? 通过大量统计分析,得到汽油每小时的消耗量 g(L/h)与汽车行驶的平均速度v (km/h )之间的函数关系g=f(v) 如图3.4-1,根据图象中的信息,试说出汽车的速度v 为多少时,汽油的使用效率最高? 解:因为G=w/s=(w/t)/(s/t)=g/v 这样,问题就转化为求g/v 的最小值,从图象上看,g/v

生活中的优化问题举例

生活中的优化问题举例 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、选择题 1.内接于半径为的圆的矩形的面积的最大值是( ) A .32 B .16 C .16π D .64 2.设底面为等边三角形的直棱柱的体积为 V ,那么其表面积最小时,底面边长为( ) D .3.若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式为y =-x 3 +27x +123(x>0),则获得最大利润时的年产量为( ) A .1百万件 B .2百万件 C .3百万件 D .4百万件 4.把一个周长为12 cm 的长方形围成一个圆柱,当圆柱的体积最大时,该圆柱底面周长与高的比为( ) A .1∶ 2 B .1∶π C .2∶1 D .2∶π 5.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20cm ,要使其体积最大,则其高为( ) A cm B .100cm C .20cm D .20 cm 3 6.某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到大家更多的关注,据有关数据统计显示,从上午6时到9时,车辆通过该市某一路段的用时y (分钟)与车辆进入该路段的时刻t 之间的关系可近似地用如下函数表示:3 213368 4y t t t =-- +-6294 ,则在这段时间内,通过该路段用时最多的时刻是( ) A .6时 B .7时 C .8时 D .9时 7.三棱锥O -ABC 中,OA 、OB 、OC 两两垂直,OC =2x ,OA =x ,OB =y ,且x +y =3,则三棱锥O -ABC 体积的最大值为( ) A .4 B .8 C . 43 D .83 8.某公司生产一种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位的产品,成本增加100 元,若总收入R (x )元与年产量x 的关系是()R x =3 400,0390,90090090,390,x x x x ?- +≤≤???>? 则当

生活中数学最优化问题的研究

生活中数学最优化问题的研究

生活中数学最优化问题的研究 教学目标: 1)知识与技能:能够把理论与实践相结合,将现实生活中的实际问题抽象、归纳并转化成数学中的最优化问题来解决。 2)能力目标: 1、运用已掌握的数学知识及其他相关的知识,将实际问题转化为数学问题去解决; 2、培养学生发现问题、分析问题和解决题的能力; 3、培养学生探索数学问题的能力。 3)情感目标: 1、通过主动发现、自主探索的过程,让学生有发现、有收获,从而获得成功的经验,激发学生的求知欲; 2、培养学生的合作精神和创新精神。 参与者特征分析 高中生相对来说独立性较强,具有一定的独立处理事情的能力,但他们生活经验不够,看待问题欠准确,往往会以点概面,不过高中生很容易接受新生事物,只要进行适当的引导,相信能使活动顺利开展。教学过程: 1、深入生活,从生活中取得课题 生活中处处充满着数学,处处留心皆数学。我们早晨起床刷牙用的牙膏,细心的同学会发现,牙膏的包装有大有小,其价格也不相同,你想过大小包与其价格之间的关系吗?你吃东西时,想过营养成份的搭配吗?你在开灯关灯时,想过灯的位置与照明度问题吗?你在开、关窗户时,想过窗户的面积与采光量的问题吗?烈日下,你想过遮阳棚搭建方式与遮挡太阳光线有关吗?你在购买商品时,想过哪儿如何才能买到最便宜的吗? 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高、费用最少、路线最短、容积最大等

将款全部付清的前提下, 商店又提出了下表所示的几种付款方案,以供顾客选择,何种方案最实惠。 分几次付清付款方法首期所付款额付款总额与一次性付款差额 3次购买后四个月第 一次付款,每四 个月付一次款 1775.8元5327元327元 6次购买后2个月第 一次付款,后每 两个月付一次 款,购买后12个 月是第6次付款 880.8 5285 285 12次购买后一个月第 一次付款,每一 个月付一次款 438.6元5263元263元 注规定月利率为0.8%,每月利息按复利计算 方案一:设每期所付款额x元,那么到最后一次付款时付款合部本利和为x×(1+1.0084+1.0088)元x×(1+) 另外,5000元商品在购买后12个月后的本利和为5000×1.00812元。得x×(1+1.0084+1.0088)=5000×1.00812 解得x=1775.8元 方案2: =5000×1.00812 x=880.8元 方案3: =5000×1.00812 x=438.6元 不难得出第三种方案时间既宽松而且更实惠。 四、成本最低化问题

生活中的最优化问题

生活中的最优化问题 新乡市一中刘秀辉初中生的数学学习过程,事实上是一个体验生活、不断积累生活经验的过程。数学课程 中许多问题的解决,实际上就是为学生创设一个或若干个选择的情境,让学生在模拟的实际 背景下学会解决问题,在解决问题的过程中学会“选择”。教师应尽可能多地为学生设置“真 实情景”的活动平台,使学生在对数学实际问题的探究活动中学会选择最佳解决方案。下面 是我在《生活中的最优化问题》的教学过程中,利用生活中的几个实际问题,引导学生学会 如何做出最佳选择的。 一、创设问题情景,搭建“选择”平台 师:数学来源于生活。生活中许多实际问题可以转化为数学问题来解决,请同学们看大 屏幕,认真观察老师为大家收集的几个生活中的问题,看这些问题背景材料有什么共同特点? 背景材料1:(人教版七年级上册教材100页数学活动1)一种笔记本售价为2.3元/本,如 果买100本以上(不含100本),售价为2.2元/本。某班级要统一购买练习本,怎样购买才划算? 背景材料2:某地上网有两种收费方式 用户可以任选其一: (A)记时制:2.8元/时 (B)包月制:60元/月 此外,每一种上网方式都加收通信费1.2元/时。你能帮一位新上网客户策划一下选用哪种 收费方式? 背景材料3:为了使学生更多地了解牧野文化,新乡市一中七年级某班班主任带领学生准 备去牧野公园参观,参观门票是每张20元,售票员告诉老师说有两种优惠方式:一种是老师 免费,学生按7.25折优惠;一种是全体师生都按7折优惠。如果你是这个班的班主任,怎样购 买门票划算? 背景材料4:某市移动通讯公司开设了两种通讯业务:“全球通”使用者先缴50元月租费, 然后每通话1分钟,再付电话费0.4元;“神州行”不缴月租费,每通话1分钟,付话费0.6元。如果你的爸爸因为工作需要刚刚购买一部手机,你能帮他参考选用哪种收费方式吗? (同学们边看边小声议论,问题展示完毕,便有同学站起来回答老师的问题。) 生1:我认为这些生活的数学问题,都提供了多种方案,让我们做出选择。 生2:在选择这些实际问题的方案时要结合自己的实际情况,没有最好,只有更好! 师:同学们的见解很独到,很精彩!对问题的理解比较到位。让我们快行动起来,来探 究这些有趣的数学问题吧! 二、实际问题探究,引领学生学会“选择”

3.4生活中的优化问题举例(含答案)

§3.4 生活中的优化问题举例 课时目标 通过用料最省、利润最大、效率最高等优化问题,使学生体会导数在解决 实际问题中的作用,会利用导数解决简单的实际生活中的优化问题. 1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为____________,通过前面的学习,我们知道________是求函数最大(小)值的有力工具,运用________,可以解决一些生活中的______________. 2.解决实际应用问题时,要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系,这需通过分析、联想、抽象和转化完成.函数的最值要由极值和端点的函数值确定,当定义域是开区间,而且其上有惟一的极值,则它就是函数的最值. 3.解决优化问题的基本思路是: 用函数表示的数学问题→用函数表示的数学问题 ↓ 优化问题的答案←用导数解决数学问题 上述解决优化问题的过程是一个典型的_________ _过程. 一、选择题 1.某箱子的容积与底面边长x 的关系为V (x )=x 2?? ?? 60-x 2 (0400) ,则总利润最大时,年产 量是( )

生活中的优化问题举例(教学设计)含答案

3.4生活中的优化问题举例(教学设计)(1)(2)(2课时) 教学目标: 知识与技能目标: 会利用导数求利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用,提高将实际问题转化为数学问题的能力。 过程与方法目标: 在利用导数解决实际问题中的优化问题的过程中,进一步巩固导数的相关知识,学生通过自主探究,体验数学发现与创造的历程,提高学生的数学素养。 情感、态度与价值观目标: 在学习应用数学知识解决问题的过程中,培养学生善于发现问题、解决问题的自觉性,以及科学认真的生活态度,并以此激发他们学习知识的积极性。 教学重点:利用导数解决生活中的一些优化问题. 教学难点:将实际问题转化为数学问题,根据实际利用导数解决生活中的优化问题. 教学过程: 一.创设情景、新课引入 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.通过前面的学习,我们知道,导数是求函数最大(小)值的有力工具.这一节,我们利用导数,解决一些生活中的优化问题. 二.师生互动,新课讲解 导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题,主要有以下几个方面: 1、与几何有关的最值问题; 2、与物理学有关的最值问题; 3、与利润及其成本有关的最值问题; 4、效率最值问题。 例1(课本P101例1).海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动,通常需要贴海报进行宣传。现让你设计一如图1.4-1所示的竖向贴的海报,要求版心面积为128dm 2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm 。如何设计海报的尺寸,才能使四周空心面积最小? 解:设版心的高为xdm ,则版心的宽为128 x dm,此时四周空白面积为 128512 ()(4)(2)12828,0S x x x x x x =++-=++>。 求导数,得 '2 512()2S x x =- 。 令' 2512()20S x x =-=,解得16(16x x ==-舍去)。 于是宽为128128 816x ==。 当(0,16)x ∈时,' ()S x <0;当(16,)x ∈+∞时,' ()S x >0. 因此,16x =是函数()S x 的极小值,也是最小值点。所以,当版心高为16dm ,宽为8dm 时,能使四周空白面积最小。 答:当版心高为16dm ,宽为8dm 时,海报四周空白面积最小。 解决优化问题的方法:首先是需要分析问题中各个变量之间的关系,建立适当的函数关系,并确定函数的定义域,通过创造在闭区间求函数取值的情境,即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质,提出优化方案,使问题得以解决,在这个过程中,导数是一个有力的工具.

生活中的优化问题带答案

生活中的优化问题举例 1.要制做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20cm ,要使其体积最大,则高为( ) cm B .1033cm cm D .2033cm [答案] D 2.用总长为6m 的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为3:4,那么容器容积最大时,高为( ) A .0.5m B .1m C .0.8m D .1.5m [答案] A [解析] 设容器底面相邻两边长分别为3x m 、4x m ,则高为6-12x -16x 4=? ?? ??32-7x (m),容积V =3x ·4x ·? ????32-7x =18x 2-84x 3? ?? ??00,x ∈? ?? ??17,314时,V ′<0,所以在x =17处,V 有最大值,此时高为0.5m. 3.内接于半径为R 的球且体积最大的圆锥的高为( ) A .R B .2R R D .34R [答案] C [解析] 设圆锥高为h ,底面半径为r ,则R 2=(h -R )2+r 2,∴r 2=2Rh -h 2, ∴V =13πr 2h =π3h (2Rh -h 2)=23πRh 2-π3h 3,V ′=43πRh -πh 2.令V ′=0得h =43R . 当00;当4R 3

3.4生活中的优化问题举例

第三章第4节 生活中的优化问题举例 课前预习学案 一、预习目标 了解解决优化问题的思路和步骤 二、预习内容 1.概念: 优化问题:_______________________________________________________ 2.回顾相关知识: (1)求曲线y=x 2+2在点P(1,3)处的切线方程. (2)若曲线y=x 3上某点切线的斜率为3, 求此点的坐标。 3:生活中的优化问题, 如何用导数来求函数的最小(大)值? 4.解决优化问题的基本思路是什么? 三、提出疑惑 同学们, 通过你的自主学习, 你还有哪些疑惑, 请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 课内探究学案 一、学习目标 1.要细致分析实际问题中各个量之间的关系, 正确设定所求最大值或最小值的变量y 与自变量x , 把实际问题转化为数学问题, 即列出函数解析式()y f x =, 根据实际问题确定函数()y f x =的定义域; 2.要熟练掌握应用导数法求函数最值的步骤, 细心运算, 正确合理地做答. 重点:求实际问题的最值时, 一定要从问题的实际意义去考察, 不符合实际意义的理论值应予舍去。 难点:在实际问题中, 有()0f x '=常常仅解到一个根, 若能判断函数的最大(小)值在x 的变化区间内部得到, 则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值。

二、学习过程 1.汽油使用效率最高的问题 阅读例1, 回答以下问题: (1)是不是汽车速度越快, 汽油消耗量越大? (2)“汽车的汽油使用效率最高”含义是什么? (3)如何根据图3.4-1中的数据信息, 解决汽油的使用效率最高的问题? 2.磁盘最大存储量问题 阅读背景知识, 思考下面的问题: 问题:现有一张半径为的磁盘, 它的存储区是半径介于r与R的环形区域。(1)是不是r越小, 磁盘的存储量越大? (2)r为多少时, 磁盘具有最大存储量(最外面的磁道不存储任何信息)? 3饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 阅读背景知识, 思考下面的问题: (1)请建立利润y与瓶子半径r的函数关系。 (2)分别求出瓶子半径多大时利润最小、最大。 (3)饮料瓶大小对饮料公司利润是如何影响的? 三、反思总结 通过上述例子, 我们不难发现, 解决优化问题的基本思路是:

生活中数学最优化问题的研究

生活中数学最优化问题的研究 教学目标: 1)知识与技能:能够把理论与实践相结合,将现实生活中的实际问题抽象、归纳并转化成数学中的最优化问题来解决。 2)能力目标: 1、运用已掌握的数学知识及其他相关的知识,将实际问题转化为数学问题去解决; 2、培养学生发现问题、分析问题和解决题的能力; 3、培养学生探索数学问题的能力。 3)情感目标: 1、通过主动发现、自主探索的过程,让学生有发现、有收获,从而获得成功的经验,激发学生的求知欲; 2、培养学生的合作精神和创新精神。 参与者特征分析 高中生相对来说独立性较强,具有一定的独立处理事情的能力,但他们生活经验不够,看待问题欠准确,往往会以点概面,不过高中生很容易接受新生事物,只要进行适当的引导,相信能使活动顺利开展。教学过程: 1、深入生活,从生活中取得课题 生活中处处充满着数学,处处留心皆数学。我们早晨起床刷牙用的牙膏,细心的同学会发现,牙膏的包装有大有小,其价格也不相同,你想过大小包与其价格之间的关系吗?你吃东西时,想过营养成份的搭配吗?你在开灯关灯时,想过灯的位置与照明度问题吗?你在开、关窗户时,想过窗户的面积与采光量的问题吗?烈日下,你想过遮阳棚搭建方式与遮挡太阳光线有关吗?你在购买商品时,想过哪儿如何才能买到最便宜的吗? 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高、费用最少、路线最短、容积最大等问题,这些问题通常称为优化问题。现如今最优化问题备受关注,已渗透到生产、管理、商业、

军事、决策等各领域。对于上述问题,有些你也许想过,有些你也许从未想过。这些问题都与数学最优化问题有关!这堂课让我们共同发现并研究这些数学最优化问题吧! 2、结合生活、联系社会实际选择课题 解决最优化问题是一个发现、探索的过程,也是我们亲身感受问题、寻找解题策略,实现再创造以及体验数学价值的过程。在这个过程中,肯定我们的见解不全相同,就让我们彼此关心、合作探讨、互相评价、取得共识、达到群体算法多样化,获得探索成功的快乐吧。使不同的人在数学活动中得到不同的收获,让我们每个人都能有所发展、有所创新,提高创造思维水平高,丰富实践经验,增强探索能力。下面我就列举几个生活中数学最优化问题的例子吧。 一、商品价格最优化问题 在生活中,有许多生活必需品需要我们购买,就如妈妈要购买一台电磁炉,但如何才能买到最实惠的呢?于是我们开始为妈妈出谋划策,前往各大超市调查这件商品的价格。我们将收集的信息列成下表: 各大超市电磁炉价目表: 从上表我们不难发现天天新最便宜,如果只从价格方面考虑我们不难得出结论,妈妈在天天新买最合算。 上述这个问题是一个很直接也很简单的数学最优化问题,我们收集信息——分析信息——得出结论,加以使用数学最为简单的加减运算,就为妈妈节省了一笔钱。 二、预算最优化问题 在研究过程中,我们不仅需要动脑,更需要调查行动。学习了长方体的表面积后,让我们来测算一下粉刷教室的费用。 我们首先动手测定教室的粉刷面积,了解市场上涂料价格如何,需要多少涂料,粉刷的工钱如何计付,明确了这些因素以后我们就能对粉刷教室的费用做个初步的结算。 三、分期付款最优化问题 现在让我们来完成一道较为复杂的数学最优化问题,它与时下流行的分期付款的计算有关,为了更加迎合消费者的需要,开发商往往会提出几种销售方案供顾客选择,如何选最优的销售方案,也是我们研究的关键所在。顾客购买一件售价为5000元的商品时,那在一年内将款全部付清的前提下, 商店又提出了下表所示的几种付款方案,以供顾客选择,何种方案最实惠。

生活中的优化问题举例教案张华

学校:临清一中学科:数学编写人:张华审稿人:张林 § 1.4.1生活中的优化问题举例 【教学目标】 1、会解决使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,深入体会导数在解决实际问 题中的作用; 2、提高将实际问题转化为数学问题的能力。 【教学重难点】 教学重点:利用导数解决生活中的一些优化问题. 教学难点:理解导数在解决实际问题时的作用,并利用其解决生活中的一些优化问题。 【教学过程】 ( 一 ) 预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑,使教学具有了针对性。 (二)情景导入、展示目标 教师:我们知道,汽油的消耗量 w (单位:L)与汽车的速度 v (单位:km/h)之间有一定的关系,汽油的消耗量 w 是汽车速度 v 的函数.根据你的生活经验,思考下面两个问题: ①是不是汽车的速度越快,汽车的消耗量越大? ②“汽油的使用率最高”的含义是什么? 通过实际问题引发学生思考,进而导入本节课,并给出本节目标。 (三)合作探究、精讲点拨 ( 1)提出概念 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为 题.通过前面的学习,我们知道,导数是求函数最大(小)值的有力工具.这一节,我们利 用导数,解决一些生活中的优化问题. ( 2)引导探究 例 1:海报版面尺寸的设计 优化问 学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图 1.4-1所示的竖向张贴的海报,要求版心面积为 128dm2, 上、下两边各空 2dm,左、右两边各空 1dm。如何设计海报的尺寸,才能使四周空心面积最小? 探究 1:在本问题中如何恰当的使用导数工具来解决最优需要?例 2.饮料瓶大小对饮料公司利润的影响①你是否注意过,市场上等量的 小包装的物品一般比大包装的要贵些?②是不是饮料瓶越大,饮料公司 的利润越大? 【背景知识】:某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是 0.8r 2分,其中r是瓶子的半径,单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料,制造商可获利 0.2分 , 且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm 问题:①瓶子的半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大? ②瓶子的半径多大时,每瓶的利润最小? 探究 2:换一个角度:如果我们不用导数工具,直接从函数的图像上观察,会有什么发 现? 例 3.磁盘的最大存储量问题 计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘,并有操作系统将其格式化成

生活中的优化问题举例导学案及练习题

生活中的优化问题举例导学案及练习题 【学习要求】1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导 数解决简单的实际生活中的优化问题. 【学法指导】1.在利用导数解决实际问题的过程中体会建模思 想.2.感受导数知识在解决实际问题中的作用,自觉形成将数学理论 与实际问题相结合的思想,提高分析问题、解决问题的能力. 1.在经济生活中,人们常常遇到最优化问题.例如,为使经营利 润最大、生产效率最高,或为使用力最省、用料最少、消耗最省等,需要寻求相应的最佳方案或最佳策略,这些都是 2.利用导数解决最优化问题的实质是 . 3.解决优化问题的基本思路是 上述解决优化问题的过程是一个典型的过程. 引言数学源于生活,寓于生活,用于生活.在我们的生活中处 处存在数学知识,只要你留意,就会发现经常遇到如何才能使“选址 最佳”“用料最省”“流量最大”“利润最大”等问题,这些问题通常称为 最优化问题,在数学上就是最大值、最小值问题.导数可以解决这些 问题吗?如何解决呢? 探究点一面积、体积的最值问题 问题如何利用导数解决生活中的最优化问题? 例1学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报,要求版心面积为128 dm 2,上、下两边各空2 dm,左、右两边各空 1 dm.如何设计海报的尺寸,才能使四周空白面积最小?

跟踪训练1如图,四边形ABCD是一块边长为4 km的正方形地域,地域内有一条河流MD,其经过的路线是以AB的中点M为顶点且开口向右的抛物线(河流宽度忽略不计).新长城公司准备投资建一个大型矩形游乐园PQCN,问如何施工才能使游乐园的面积最大?并求出最大面积. 探究点二利润最大问题 例2某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是0.8πr2分,其中r(单位:cm)是瓶子的半径,已知每出售1 mL的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm. (1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大?(2)瓶子半径多大时,每瓶饮料的利润最小? 跟踪训练2某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y =ax-3+10(x-6)2,其中3

生活中的优化问题

§第三章第4节生活中的优化问题举例 课前预习学案 一、预习目标 了解解决优化问题的思路和步骤 二、预习内容 1.概念: 优化问题:_______________________________________________________ 2.回顾相关知识: (1)求曲线y=x2+2在点P(1,3)处的切线方程. (2)求曲线y=x2在点P(1,-3)处的切线方程. (3)若曲线y=x3上某点切线的斜率为3,求此点的坐标。 3:生活中的优化问题,如何用导数来求函数的最小(大)值 4.解决优化问题的基本思路是什么

三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 课内探究学案 一、学习目标 复习:如何用导数来求函数的最值一般地,若函数y=f (x)在[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,则求f (x) 的最值的步骤是:(1)求y=f (x)在[a,b]内的极值(极大值与极小值);(2)将函数的各极值与端点处的函数值f (a)、f (b) 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.,特别地,如果函数在给定区间内只有一个极值点,则这个极值一定是最值。 1.要细致分析实际问题中各个量之间的关系,正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x,把实际问题转化为数学问题,即列出函数解析式() =,根据实际问题确定函数 y f x y f x =的定义域; () 2.要熟练掌握应用导数法求函数最值的步骤,细心运算,正确合理地做答. 重点:求实际问题的最值时,一定要从问题的实际意义去考察,不符合实际意义的理论值应予舍去。 '=常常仅解到一个根,若能判断函数的最大(小)值在x的难点:在实际问题中,有()0 f x 变化区间内部得到,则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值。 二、学习过程 生活中经常会遇到求什么条件下可使用料最省,利润最大,效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.,这往往可以归结为求函数的最大值或最小值问题.其中不少问题可以运用导数这一有力工具加以解决.

生活中的一些最优化问题研究

内容摘要 数学与我们日常生活密切相关,日常生活中的许多问题来源于数学思想的应用。在掌握一定的数学基础的前提下,结合日常当中可能出现的数学问题,通过适当的规划安排,运用数学原理求解出行之有效的最优化方案。 本文的主要研究方向是通过对日常生活中经常涉及到的若干最优化问题进行归纳总结,分析其所涉及的数学原理并将其推广应用到其他生活案例当中去。本文的主要贡献是通过对运输成本问题和效益分配问题的最优化分析,详细地介绍了表上作业法和Shapley值法的求解过程,指出了模型存在的缺陷和不足,并对模型进行修改以及推广应用。 关键词: 最优化;表上作业法;Shapley值;推广应用

Abstract Mathematics to our daily lives are closely related to many of the problems in our daily life from the application of mathematical thinking. Master the mathematical basis of the premise of the mathematical problems that may arise in day-to-day which, through appropriate planning arrangements, the use of mathematical principles for solving optimization program effective. The main research directions to daily life often related to certain optimization problem to summarize,analyze its mathematical principles involved and promote the application to which the case of other life to go.The main contribution of this paper is the optimization analysis on transportation costs and efficiency of the distribution of the mostdetailed description of the solution process of the tabular method and the Shapley Value,pointed out that the model defects and deficiencies,and to modify the model and application. Keywords:Optimization; Tabular method; Shapley method; Application

1.4.1生活中的优化问题举例(学、教案)-含答案

§1.4.1 生活中的优化问题举例 课前预习学案 【预习目标】 预习优化问题,初步体会导数在解决实际问题中的作用。 【预习内容】 1、简述如何利用导数求函数极值和最值? 2、通常称为优化问题。 3、利用导数解决优化问题的基本思路: 优化问题 【提出疑惑】 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点疑惑内容 课内探究学案 【学习目标】 1、掌握有关实际问题中的优化问题; 2、形成求解优化问题的思路和方法。 学习重难点:理解导数在解决实际问题时的作用,并利用其解决生活中的一些优化问题。 【学习过程】 (一)情景问题: 汽油的消耗量 w (单位:L)与汽车的速度 v (单位:km/h)之间有一定的关系,汽油的消耗量 w 是汽车速度 v 的函数.根据你的生活经验,思考下面两个问题: ①是不是汽车的速度越快,汽车的消耗量越大? ②“汽油的使用率最高”的含义是什么?

(二) 合作探究、精讲点拨 例 1:海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动, 通常需要张贴海报进行宣传。 现让你设计一张如图 1.4-1 所示的 竖向张贴的海报,要求版心面积为 128dm 2, 上、下两边各空 2dm,左、右两边各空 1dm 。如何设 计 海报的尺寸,才能使四周空心面积最小? 探究 1:在本问题中如何恰当的使用导数工具来解决最优需要? 例 2.饮料瓶大小对饮料公司利润的影响①你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?②是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大? 【背景知识】:某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是 0.8 r 2 分,其 中 r 是瓶子的半径,单位是厘米。已知每出售 1 mL 的饮料,制造商可获利 0.2 分, 且制 造商能制作的瓶子的最大半径为6cm. 问题:①瓶子的半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大? ② 瓶子的半径多大时,每瓶的利润最小? 探究 2:换一个角度:如果我们不用导数工具,直接从函数的图像上观察,会有什么发 现? 例 3.磁盘的最大存储量问题 计算机把数据存储在磁盘上。 磁盘是带有磁性介质的圆盘, 并有操作系统将其格式化成 磁道和扇区。 磁道是指不同半径所构成的同心轨道, 扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。 磁道上的定长弧段可作为基本存储单元,根据其磁化与否可分别记录数据 0 或 1,这个基本 单元通常被称为比特( bit )。 为了保障磁盘的分辨率,磁道之间的宽度必需大于 m ,每比特所占用的磁道长度不得 小于 n 。为了数据检索便利,磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。 问题: 现有一张半径为 R 的磁盘,它的存储区是半径介于 r 与 R 之间的环形区域. ① 是不是 r 越小,磁盘的存储量越大? ② r 为多少时,磁盘具有最大存储量(最外面的磁道不存储任何信息)?

高中数学-生活中的优化问题举例练习

高中数学-生活中的优化问题举例练习 1.某产品的销售收入(万元)是产量 (千台)的函数:,生产成本(万元)是产量 (千台)的函数:,为使利润最大,应生产 A .6千台 B .7千台 C .8千台 D .9千台 2.要做一个圆锥形的漏斗,且其母线长为.要使其体积最大,则高为 A . B . C . D . 3.某厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边要砌新墙,当砌新墙所用的材料最省时,堆料场的长和宽分别为 A .32米,16米 B .30米,15米 C .40米,20米 D .36米,18米 4.某工厂生产某种产品,固定成本为元,已知总收益(元)与年产量 (件)的函数关 系是,则总利润最大时,每年应生产的产品件数为 A . B . C . D . 5.在半径为的半圆内有一内接梯形,其下底为直径,其他三边为圆的弦,则梯形面积最大时,该梯形的上底长为 1y 2 1()170y x x =>2y 32 2)2(0y x x x =-> 20 cm cm 3 cm 3 3 cm 3 C 20000P 2() 13000400()280000100(400) x x x P x x x ? -≤≤?=??->?100150200300

A . B . C D . 6.某银行准备设一种新的定期存款业务,经预测,存款额与存款利率的平方成正比,比例系数为,贷款的利率为,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为 ,则使银行获得最大收益的存款利率为 A . B . C . D . 7.已知某矩形广场面积为万平方米,则其周长至少为______米. 8.电动自行车的耗电量 与速度之间的关系为,为使耗电量最小,则其速度应定为______. 9.某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子,其容积为,高为,如果箱底每平方米的造价为元,箱壁每平方米的造价为元,则箱子的最低总造价为 A .元 B .元 C .元 D .元 10.已知球的半径为,圆柱内接于球,当内接圆柱的体积最大时,高等于 A . B . 2 r 2 r (0)k k > 4.8%((04.8%))x x ∈,3.2% 2.4%4% 3.6%y 32 13940(0)32 y x x x x =-->348 m 3 m 1512900840818816O R 3 R 3 R

生活中的优化问题举例(1)

1.4 生活中的优化问题(一) 教学目标:掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法.会求 一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.-------面积、容积最大(最小)问题 教学重点:利用导数求函数最值的方法.用导数方法求函数最值的方法步骤 教学难点:对最值的理解及与极值概念的区别与联系.求一些 实际问题的最大值与最小值 教学过程: 例 1 在边长为60cm 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的方底箱子,箱底边长为多少时,箱子容积最大?最大容积是多少? 解:设箱底边长为x cm ,则箱高,260x h -= 箱子容积h x x V 2)(=26032x x -=(0<x <60). 22360)('x x x V -=,02 360)('2=-=x x x V 令 解得 0=x (不合题意,舍去) ,40=x 并求得 .00016)40(=V 由题意知,当x 过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子容积很小,因此,16 000是最大值. 答:当x =40 cm 时,箱子容积最大,最大容积是16 000cm 3. 在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使

f '(x)=0 的情形,若函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值. 这里所说的也适用于开区间或者无穷区间. 求最大(最小)值应用题的一般方法: ⑴分析问题中各量之间的关系,把实际问题化为数学问题,建立函数关系式; ⑵确定函数的定义域,并求出极值点; ⑶比较各极值与定义域端点函数的大小,结合实际,确定最值或最值点. 练习 1.把长为60 cm的铁丝围成矩形,长、宽、高各为多少时,面积最大? 2.把长为100cm的铁丝分成两段,各围成正方形,怎样分法,能使两个正方形面积之和最小? 变为:围成一个正方形与一个圆,怎样分法,能使面积之和最小? 练习2.用总长为14.8 m的钢条制作一个长方形容器的框架,如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.

生活中的优化问题举例

生活中的优化问题举例 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题. 通过前面的学习,我们知道,导数是求函数最大(小)值的强有力工具.这一节,我们利用导数,解决一些生活中的优化问题. 问题1汽油的使用效率何时最高 我们知道,汽油的消耗量(单位:L)与汽车的速度(单位: km/h)之间有一定的关系,汽油的消耗量是汽车速度的函数.根据你的生活经验,思考下面两个问题: ⑴是不是汽车的速度越快,汽油的消耗量越大? ⑵“汽油的使用效率最高”的含义是什么? 分析:研究汽油的使用效率(单位:L/m)就是研究汽油消耗量与汽车行驶路程的比值.如果用表示每千米平均的汽油消耗量,那么,其中,表示汽油消耗量(单位:L), 表示汽油行驶的路程(单位:km).这样,求“每千米路程的汽油消耗量最少”,就是求的最小值的问题.

问题:通过大量的统计数据,并对数据进行分析、研究,人们发现,汽车在行驶过程中,汽油平均消耗率(即每小时的汽油消耗量,单位:L/h)与汽车行驶的平均速度(单位:km/h)之间有如图所示的函数关系. 试利用图像中的数据信息,解决汽油使用效率最高的问题. 分析:从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题.因此,我们首先需要将问题转化为汽油平均消耗率与汽车行驶的平均速度之间关系的问题. 解:因为,这样,问题就转化为求的最小值. 从图象上看,表示经过原点与曲线上点的直线的斜率.进一步发现,当直线与曲线相切时,其斜率最小.在此切点处速度约为90.从数值上看,每千米的耗油量就是图中切线的斜率,即,约为 L. 问题2 磁盘的最大存储量问题 计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是 带有磁性介质的圆盘,并有操作系统将其

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