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高考理科数学专题七不等式第二十讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

专题七不等式

第二十讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

一、选择题

1．(2018天津)设变量x ，y 满足约束条件5,24,1,0,

x y x y x y y +??-?

?-+???≤≤≤≥ 则目标函数35z x y =+的最大值为

A ． 6

B ．19

C ．21

D ．45

2．（2017新课标Ⅱ）设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-??

-+??+?

≤≥≥，则2z x y =+的最小值是

A ．

B ．

C ．

D ．

3．（2017天津）设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,

x y x y x y +??+-?

????≥≥≤≤则目标函数z x y =+的最大值为

A ．

23 B ．1 C ．3

D ．3 4．（2017山东）已知x ，y 满足30

35030x y x y x -+??

++??+?

≤≤≥，则2z x y =+的最大值是

A ．0

B ．2

C ．5

D ．6

5．（2017北京）若x ，y 满足32x x y y x ??

+???

≤≥≤ 则2x y +的最大值为

A ．1

B ．3

C ．5

D ．9

6．（2017浙江）若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ??

+-??-?

≥≥≤，则2z x y =+的取值范围是

A ．[0，6]

B ． [0，4]

C ．[6,)+∞

D ．[4,)+∞ 7．(2016年山东)若变量x ，y 满足2,239,0,

x y x y x ì+????

?-?í??锍??则22x y +的最大值是

A ．4

B ．9

C ．10

D ．12

8．(2016浙江)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域200340x x y x y -≤??

+≥??-+≥?

，

中的点在直线20x y +-=上的投影构成的线段记为AB ，则||AB = A ．2 B ．4 C ．2 D ．6

9．(2016天津)设变量x ，y 满足约束条件20,2360,3290.x y x y x y -+≥??

+-≥??+-≤?

，则目标函数25z x y =+的最小值为

A ．4-

B ．6

C ．10

D ．17

10．（2015陕西）某企业生产甲、乙两种产品均需用,A B 两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原

料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为

甲乙原料限额 A （吨） 3 2 12 B （吨）

A ．12万元

B ．16万元

C ．17万元

D ．18万元

11．（2015天津）设变量,x y 满足约束条件20

30230x x y x y +≥??

-+≥??+-≤?

，则目标函数6z x y =+的最大值为

A ．3

B ．4

C ．18

D ．40

12．（2015福建）若变量,x y 满足约束条件20,0,220,x y x y x y +??

-??-+?

≥≤≥ 则2z x y =-的最小值等于

A ．52-

B ．2-

C ．3

- D ．2 13．（2015山东）已知,x y 满足约束条件0

20x y x y y -??

+???

≥≤≥，若z ax y =+的最大值为4，则a =

A ．3

B ．2

C ．－2

D ．－3 14．（2014新课标Ⅰ）不等式组1

x y x y +≥??

-≤?的解集记为D ．有下面四个命题：

1p ：(,),22x y D x y ?∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ?∈+≥,

3p ：(,),23x y D x y ?∈+≤， 4p ：(,),21x y D x y ?∈+≤-．

其中真命题是

A ．2p ，3p

B ．1p ，4p

C ．1p ，2p

D ．1p ，3p

15．（2014安徽）y x ,满足约束条件??

??≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若ax y z -=取得最大值的最优解不唯一．．．

，则实数a 的值为（） A ．

21-或

B ．21

2或 C ．2或1 D ．12-或 16．（2014福建）已知圆()()

:1C x a y b -+-=，设平面区域70,

70,0x y x y y +-≤??

Ω=-+≥??≥?

，若圆心C ∈Ω，且圆

C 与x 轴相切，则22

a b +的最大值为 A ．5 B ．29 C ．37 D ．49

17．（2014北京）若,x y 满足20200x y kx y y +-≥??

-+≥??≥?

且z y x =-的最小值为－4，则k 的值为

A ．2

B ．-2

C ．

12 D ．1

- 18．（2013新课标Ⅱ）设,x y 满足约束条件10,

10,3,x y x y x -+≥??

+-≥??≤?

，则23z x y =-的最小值是

A ．7-

B ．6-

C ．5-

D ．3-

19．（2013陕西）若点(,)x y 位于曲线y = |x |与y = 2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为

A ．－6

B ．－2

C ．0

D ．2

20．（2013四川）若变量,x y 满足约束条件8,

24,0,0,

x y y x x y +≤??-≤?

?≥??≥?且5z y x =-的最大值为a ，最小值为b ，则a b -的

值是

A ．48

B ．30

C ．24

D ．16

21．（2012广东）已知变量,x y 满足约束条件211y x y x y ??

+??-?

………，则3z x y =+的最大值为

A ．12

B ．11

C ．3

D ．－1

22．（2012广东）已知变量,x y 满足约束条件1101x y x x y +≤??

+≥??-≤?

，则2z x y =+的最小值为

A ．3

B ．1

C ．5-

D ．6-

23．（2012山东）设变量y x ,满足约束条件222441x y x y x y +??

+??--?

………，则目标函数y x z -=3的取值范围是

A ．??????-

6,23 B ．??????--1,23 C ．[]6,1- D ．?????

-23,6

24．（2012福建）若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30,

230,,x y x y x m +-≤??

--≤??≥?

则实数m 的最大值为

A ．1-

B ．1

C ．

D ．2

25．（2012天津）设变量,x y 满足约束条件22024010x y x y x +-??

-+??-?

………，则目标函数32z x y =-的最小值为

A ．?5

B ．?4

C ．?2

D ．3

26．（2012辽宁）设变量,x y 满足-100+20015x y x y y ≤??

≤≤??≤≤?

，则2+3x y 的最大值为

A ．20

B ．35

C ．45

D ．55

27．(2011广东)已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式0222x y x ?≤≤?

≤??

≤?给定，若(,)M x y 为D 上的动点，

点A 的坐标为2,1)，则z =OM u u u u r ·

OA u u u r

的最大值为 A ．3 B ．4 C ．2 D ．2

28．（2011安徽）设变量y x y x y x 2,1||||,+≤+则满足的最大值和最小值分别为

A ．1，－1

B ．2，－2

C ．1，－2

D ．2，－1

29．（2011湖南）设m ＞1，在约束条件1y x y mx x y ≥??

≤??+≤?

下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范

围为

A ．（1，12+

B ．（12++∞）

C ．（1,3 ）

D ．（3，+∞）

30．（2010新课标）已知ABCD Y 的三个顶点为A (－1，2)，B (3，4)，C (4，－2)，点(x ，y )在ABCD Y 的内

部，则z =2x －5y 的取值范围是

A ．（－14，16）

B ．（－14，20）

C ．（－12，18）

D ．（－12，20）

31．（2010山东）设变量,x y 满足约束条件20

510080x y x y x y -+??

-+??+-?

≥≤≤，则目标函数34z x y =-的最大值和最小值分

别为

A ．3,11-

B ．3,11--

C ．11,3-

D ．11,3 二、填空题

32．(2018北京)若x ，y 满足12x y x +≤≤，则2y x -的最小值是__________． 33．(2018全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件220100--??

-+???

≤≥≤x y x y y ，则32z x y =+的最大值为__．

34．(2018全国卷Ⅱ)若,x y 满足约束条件25023050+-??

-+??-?≥，≥，≤，x y x y x 则=+z x y 的最大值为___．

35．(2018浙江)若x ，y 满足约束条件0262x y x y x y -??

+??+?≥≤≥，则3z x y =+的最小值是__，最大值是__．

36．（2017新课标Ⅰ）设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +??

+-??-?≤≥≤，则32z x y =-的最小值为．

37．（2017新课标Ⅲ）若x ，y 满足约束条件0200x y x y y -??

+-???

≥≤≥，则34z x y =-的最小值为__．

38．(2016年全国I)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料

1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产

一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为元.

39．(2016全国III)若x ，y 满足约束条件1020220x y x y x y -+??

-??+-?

≥≤≤，则z x y =+的最大值为．

40．(2016江苏)已知实数x ，y 满足240220330x y x y x y -+≥??+-≥??--≤?

，则22

x y +的取值范围是．

41．（2015新课标Ⅰ）若,x y 满足约束条件10

040

x x y x y -??

-??+-?≥≤≤，则y x 的最大值为．

42．（2015新课标Ⅱ）若,x y 满足约束条件10,20,220,x y x y x y -+??

-??+-?≥≤≤，则z x y =+的最大值为__．

43．（2014安徽）不等式组20240320x y x y x y +-≥??

+-≤??+-≥?

表示的平面区域的面积为________．

44．（2014浙江）当实数x ，y 满足240,10,1,x y x y x +-≤??

--≤??≥?

时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是

________．

45．（2014湖南）若变量,x y 满足约束条件4y x x y y k ≤??

+≤??≥?

，且2z x y =+的最小值为－6，

则k = ．

46．(2013新课标Ⅰ)设,x y 满足约束条件13,

10x x y ≤≤??

-≤-≤?

，则2z x y =-的最大值为___．

47．（2013浙江）设z kx y =+，其中实数,x y 满足2

242240x x y x y ≥??

-+≥??--

48．（2013湖南）若变量x ,y 满足约束条件28,04,03,x y x y +≤??

≤≤??≤≤?

则x +y 的最大值为________．

49．（2012新课标）设x ，y 满足约束条件1300

x y x y x y --??+?

????…………，则y x z 2-=得取值范围

为

．

50．（2011湖南）设1,m >在约束条件1y x y mx x y ≥??

≤??+≤?

下，目标函数5z x y =+的最大值为4，则m 的值为．

51．（2011陕西）如图，点(,)x y 在四边形ABCD 内部和边界上运动，那么2x y -的最小值为________．

5,1()

3,2()

B C A(1,1)

D(1,0)

52．（2011新课标）若变量x ，y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤??≤-≤?

，则2z x y =+的最小值

是_________．

53．(2010安徽)设x ，y 满足约束条件220

8400,0x y x y x y -+≥??

--≤??≥≥?

,若目标函数(0,0)z abx y a b =+>>的最大值为8，

则a b +的最小值为 __ _．

54．（2010陕西）铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的的2CO 排放量b 及每万吨铁矿石的价格c

如下表：

b (万吨)

c （百万元）

A 50％ 1 3 B

70％

0.5

某冶炼厂至少要生产1.9（万吨）铁，若要求2CO 的排放量不超过2（万吨）则购买铁矿石的最少费用为（万元）．三、解答题

55．（2010广东）某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，

6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白

质和10个单位的维生素C．另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C．如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?

高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案

专题七不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥，在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取

不等式选讲-2019年高考理科数学解读考纲

16 不等式选讲选考内容（二）不等式选讲 1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：（1）. （2）. （3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： . 2．了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明. （1）柯西不等式的向量形式：（2）. （3）. （此不等式通常称为平面三角不等式.） 3．会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形： 4．会用向量递归方法讨论排序不等式. 5．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题. 6．会用数学归纳法证明伯努利不等式：了解当n为大于1的实数时伯努利不等式也成立. 7．会用上述不等式证明一些简单问题.能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值. 8．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.

1．从考查题型来看，涉及本知识点的题目主要以选考的方式，在解答题中出现，考查解绝对值不等式、证明不等式等. 2．从考查内容来看，主要考查绝对值不等式的解法、不等式的证明，求最值问题等. 3．从考查热点来看，重点在于考查学生解不等式及利用不等式求解最值问题等，绝对值不等式与函数问题的综合是高考的趋势，值得关注. 考向一绝对值不等式的求解样题1 （2018新课标全国Ⅱ理科）设函数．（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；（2）若()1f x ≤，求a 的取值范围．样题2 （2018新课标全国Ⅲ理科）设函数．（1）画出()y f x =的图象；

（2）当[)0x +∞∈，，，求a b +的最小值．【解析】（1）()y f x =的图象如图所示．

高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案

高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】

专题七不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥，在区间122?? ???? ，上单调递减，则mn 的最大值为（）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=- -.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤.226,182 m n m n mn +?≤ ≤∴≤.由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤.281 29,22 n m n m mn +?≤ ≤∴≤.由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（） A ．0 B ．1 C ．32 D ．2 【答案】D

高考数学《不等式选讲》专项复习

高考数学《不等式选讲》专项复习一、考纲解读 1.了解绝对值的几何意义，会利用绝对值的定义解不等式，利用绝对值不等式证明不等式和求最值. 2.了解柯西不等式及其几何意义，会用它来证明不等式和求最位. 3.了解基本不等式，会用它来证明不等式和求最值. 4.会用综合法、分析法、反证法及数学归纳法证明不等式. 二、命题趋势探究本节内容为新课标新增内容，是高考选考内容.题型以含绝对值的不等式的解法和证明为重要考点，不等式的应用为次重要考点，不等式证明放在一般位置，难度为中档. 三、知识点精讲 (一).不等式的性质 1.同向合成（1）, >>?>； a b b c a c （2）,c >>?+>+； a b d a c b d （3）0,c0 >>>>?>. a b d ac bd （合成后为必要条件） 2.同解变形 >?+>+；（1）a b a c b c （2）0,0, >?>>?<<； a b c ac bc c ac bc

（3）11 000a b b a >>? >>?>>. （变形后为充要条件） 3.作差比较法 0,0a b a b a b a b >?>->-<<；0,||,a x a x a x a >>?>><-或（2）22||||a b a b >?> （3）||||x a x b c +++<零点分段讨论 (三).基本不等式（1）222a b ab +>（当且仅当等号成立条件为a b =）（2）0,0, 2 a b a b +>>≥a b =）； 0,0,0, 3 a b c a b c ++>>>≥a b c ==时等号成立）（3）柯西不等式 22222()()()a b c d ac bd ++≥+（当且仅当ad bc =时取等号） ①几何意义：||ad bc ??+≤a b a b ||||||≤②推广：22222 2 212 121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b +++++ +≥++ +.当且仅当向量 12(,,,)n a a a a =与向量12(,,,)n b b b b =共线时等号成立.

高考数学不等式专题

基本不等式专题一、知识点总结 1、基本不等式原始形式（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形（1）若* ,R b a ∈，则ab b a ≥+2（2）若*,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 5、常用结论（1）若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）（2）若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）（3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”）（4）若R b a ∈,，则2 )2(222b a b a ab +≤ +≤ （5）若*,R b a ∈，则22111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ （6），、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；（7）)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时, “ =”号成立. （1）若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++

2020高考理科数学不等式问题的题型与方法

专题三：高考数学不等式问题的题型与方法（理科）一、考点回顾 1．高考中对不等式的要求是：理解不等式的性质及其证明；掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；掌握简单不等式的解法；理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。 2．不等式这部分内容在高考中通过两面考查，一是单方面考查不等式的性质，解法及证明；二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高学生数学素质及创新意识． 3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰． 4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．5．在近几年全国各省市的高考试卷中，不等式在各种题型中都有出现。在解答题中，不等式与函数、数列与导数相结合，难度比较大，使用导数解决逐渐成为一般方法6．知识网络

其中：指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式，不做过高要求. 二、经典例题剖析 1．有关不等式的性质此类题经常出现在选择题中，一般与函数的值域，最值与比较大小等常结合在一起例1．（xx 年江西卷）若a >0，b >0，则不等式－b <1 x 1b D.x <1b －或x >1a 解析：－b <1x 1 a 答案：D 点评：注意不等式b a b a 1 1>? <和适用条件是0>ab 例2.（xx 年北京卷）如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（）Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一解析：正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，∴ 4=a b +≥，即4ab ≤，当且仅当a =b =2时，“=”成立；又4=2 ( )2 c d cd +≤，∴ c+d ≥4，当且仅当c =d =2时，“=”成立；综上得ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值都为2 答案：A 点评：本题主要考查基本不等式，命题人从定值这一信息给考生提供了思维，重要不等式可以完成和与积的转化，使得基本不等式运用成为现实。例3．(xx 年安徽)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 (A)a ＜－1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1 解析：若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，当x ≥0时，x ≥ax ，a ≤1，当x ＜0时，