纯题目2012全国高中数学联赛广东预赛

2012年全国高中数学联赛广东省预赛试题

（考试时间：2012年9月8日上午10∶00—11∶20）

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上

1. 已知()02014201320112010201222>=???+k k ，则=k .

2. 函数()sin()sin()cos 366f x x x x ππ

=++--+的最小值等于 .

3. 已知 1()2bx f x x a +=

+，其中,a b 为常数，且2ab ≠. 若 1

()()f x f k x

?=为常数，则k 的值为 .

4. 已知方程2133x x p +-=有两个相异的正实数解，则实数p 的取值范围是 .

5. 将25个数排成五行五列：

11121314152122232425313233343541424344455152

53

54

55

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 已知第一行11a ,12a ,13a ,14a ,15a 成等差数列，而每一列1j a ，2j a ，3j a ，4j a ，5j a （15j ≤≤）

都成等比数列，且五个公比全相等. 若244a =,412a =-,4310a =,则1155a a ?的值为______.

6.设点P 在曲线12

x

y e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 的最小值为______.

7.将2个a 和2个b 共4个字母填在4×4方格表的16个小方格内，每个小方格内至多填一个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法种数共有 .

8.一个直角梯形的上底比下底短，该梯形绕它的上底旋转一周所得旋转体的体积为112π，该梯形绕它的下底旋转一周所得旋转体的体积为80π，该梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体的体积为156π，则该梯形的周长为 .

.

二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

1．（本小题满分16分）设椭圆

22

22

+=1

x y

a b

(>>0)

a b的左、右顶点分别为,A B，

点P在椭圆上且异于,A B两点，O为坐标原点. 若||=||

AP OA，证明：直线OP的

斜率k满足||k>

2．（本小题满分20分）设非负实数a，b，c满足3

=

+

+c

b

a. 求

222222

()()()

S a ab b b bc c c ca a

=-+-+-+

的最大值.

3．（本小题满分20分）求出所有的函数**

:f N N

→使得对于所有x，y*N

∈，

2

(())

f x y

+都能被2

()

f y x

+整除.