1. 已知a >0,m 、n ∈Z,则下列各式不成立的是( )
A a 0
=1 B a -n
=-a n
C a m
·a n
=a m+n
D (a m
)n
=a mn
2. 3814
16-?? ???
=( ) A 827
B -827
C 32
D -3
2
3. 函数f(x)=(a-1)x 在R 上是减函数,则a 的取值范围是( ) A a >2 B 1<a <2 C a <0 D R
4. 下列函数图象中,一定过点(0,1)的是( ) A y=x 2 B
C y=2x
D y=log 2 x
5. 将34=81写成对数式为( )
A log 3 4 = 81
B log 3 81 = 4
C log 4 81 = 3
D log 81 3 = 4
6. 若()x log 3log 3=0,则x= ( )
A 1
B 3
C 9
D 27 7. 如果x >0,y >0,则下列各式正确的是( )
A log a x + log a y = log a (x+y )
B log a x
·log a y = log a (xy )
C log a x
·log a y = log a (x+y ) D
x
log a 2
log =8. 函数()
2
x 1y=log +(x >-1)的反函数是 ( )
A y=2x -1
B y=2x +1
C y=2x+1
D y= log 2 x 9. 函数y= lg x (x ≥1)的值域是 ( )
A [0,+∞)
B (0,+∞)
C [1,+∞)
D R 10. 下列不等式中不正确的是 ( ) A 31.1
>3
0.9
B 0.1
12??
?
??
>30 C 12
log 5<12
log 3 D lg 5>lg 3
11.
2= .
12. 已知10x =3,10y =2,则10x-2y = . 13. 若2m-2>22m-3,则m 的取值范围是 . 14. lne 2+lg0.1+ log 2 3log 3 2= .
15. 函数的定义域是 . 1.sin480?等于( )
A .12-
B .12
C .2.已知2
π
θπ<<,3
sin(
)25
π
θ+=-,则tan(π-θ)的值为( ) A .34 B .43 C .34- D .4
3
-
3.函数y = sin(2x+
2
5π
)的图象的一条对称轴方程是 ( ) A .x = -
2π B .x =-4π C .x =
8
π
D .x =
4
5π
4.下列四个函数中,同时具有性质( )
①最小正周期为π; ②图象关于直线3
x π
=对称的是
A .sin()26x y π=+
B .sin(2)6
y x π
=+ C .|sin |y x = D .sin(2)6
y x π
=-
5.设f(x)=asin(x πα+)+bcos(x πβ+),其中a 、b 、α、β都是非零实数,
若f(2008)=-1,则f(2009)等于 ( )
A .-1
B .1
C .0
D .2
6.要得到函数y =sin(2x -3
π)的图象,只须将函数y =sin2x 的图象 ( )
A.向左平移3
π
B.向右平移3
π
C.向左平移6
π
D.向右平移6
π
7.设x ∈z ,则f(x)=cos 3
x π
的值域是
A .{-1,
12} B .{-1, 12-,12,1} C .{-1, 12-,0,12,1} D .{12
,1}
8、.若将某函数的图象向右平移
2π以后所得到的图象的函数式是y =sin(x +4
π),则原来的函数表达式为( )
A.y =sin(x +43π)
B.y =sin(x +2
π) C.y =sin(x -4π) D.y =sin(x +4π)-4
π
9.图中的曲线对应的函数解析式是 ( )
A .|sin |x y =
B .||sin x y =
C .||sin x y -=
D .|sin |x y -=
10.函数)3
2cos(
π
--=x y 的单调递增区间是( ) A .)(322,3
42Z k k k ∈?????
?+-ππππ B. )(324,344Z k k k ∈?????
?
+-ππππ
C .)(382,322Z k k k ∈??????
++ππππ D. )(384,324Z k k k ∈?????
?
++ππππ
经典例题透析 类型一、求函数的反函数 例1.已知f(x)=225x - (0≤x ≤4), 求f(x)的反函数. 思路点拨:这里要先求f(x)的范围(值域). 解:∵0≤x ≤4,∴0≤x 2≤16, 9≤25-x 2≤25,∴ 3≤y ≤5, ∵ y=225x -, y 2=25-x 2,∴ x 2=25-y 2 .∵ 0≤x ≤4,∴x=225y - (3≤y ≤5) 将x , y 互换,∴ f(x)的反函数f -1(x)=225x - (3≤x ≤5). 例2.已知f(x)=21(0)1(0) x x x x +≥??-,求f -1(x). 思路点拨:求分段函数的反函数问题,应逐段求其反函数,再合并. 解:当x ≥0时,y=x+1≥1,∴y ∈[1,+∞),∴ f -1(x)=x-1 (x ≥1); 当x<0时,y=1-x 2<1,∴ y ∈(-∞,1),反解 x 2=1-y , (y<1),∴ f -1 (x<1); ∴ 综上f -1 (x)=1(1)(1) x x x -≥????. 类型二、利用反函数概念解题 例3.已知f(x)=1 12-+x x (x ≥3), 求f -1(5). 思路点拨:这里应充分理解和运用反函数的自变量就是原函数的函数值,所求的反函数的函数值就是原函数的自变量这一事实,转化成方程问题. 解:设f -1 (5)=x 0, 则 f(x 0)=5,即 20011x x +-=5 (x 0≥3)∴ x 02+1=5x 0-5, x 02-5x 0+6=0. 解得x 0=3或x 0=2(舍),∴ f -1 (5)=3. 举一反三: 【变式1】记函数y=1+3-x 的反函数为()y g x =,则g(10)=( ) A .2 B .-2 C .3 D .-1 (法一)依题意,函数13x y -=+的反函数y=-log 3(x-1),因此g(10)=-2. (法二)依题意,由互为反函数的两个函数的关系,得方程1+3-x =10,解得x=-2,即g(10)=-2.答案B. 例4.设点(4,1)既在f(x)=ax 2+b (a<0,x>0)的图象上,又在它的反函数图象上,求f(x)解析式. 思路点拨:由前面总结的性质我们知道,点(4,1)在反函数的图象上,则点(1,4)必在原函数的图象上.这样就有了两个用来确定a ,b 的点,也就有了两个求解a ,b 的方程. 解: ? ?+?=+?=)2......(14)1......(4122b a b a 解得.a=-51, b=521,∴ f(x)=-51x+521. 另:这个题告诉我们,函数的图象若与其反函数的图象相交,交点不一定都在直线y=x 上. 例5.已知f(x)= ax b x c ++的反函数为f -1(x)=253 x x +-,求a ,b ,c 的值. 思路点拨:注意二者互为反函数,也就是说已知函数f -1(x)=253 x x +-的反函数就是函数f(x). 解:求f -1(x)=253 x x +-的反函数,令f -1(x)=y 有yx-3y=2x+5. ∴(y-2)x=3y+5 ∴ x=352y y +-(y ≠2),f -1(x)的反函数为 y=352x x +-.即ax b x c ++=352x x +-,∴ a=3, b=5, c=-2.
●高考明方向 1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用. 2.理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点. 3.知道对数函数是一类重要的函数模型. 4.了解指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数(a>0,且a≠1). ★备考知考情 通过对近几年高考试题的统计分析可以看出,本节内容在高考中属于必考内容,且占有重要的分量,主要以选择题的形式命题,也有填空题和解答题.主要考查对数运算、换底公式等.及对数函数的图象和性质.对数函数与幂、指数函数结合考查,利用单调性比较大小、解不等式是高考的热点. 一、知识梳理《名师一号》P27
注意: 知识点一对数及对数的运算性质 1.对数的概念 一般地,对于指数式a b=N,我们把“以a为底N的对数b”记作log a N,即b=log a N(a>0,且a≠1).其中,数a叫做对数的底数,N叫做真数,读作“b等于以a为底N的对数”. 注意:(补充)关注定义---指对互化的依据 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么 ①log a(MN)=log a M+log a N; ②log a M N=log a M-log a N; ③log a M n=nlog a M(n∈R); ④log a m M n=n m log a M. (2)对数的性质
①a logaN =N ;②log a a N =N (a>0,且a≠1). (3)对数的重要公式 ①换底公式:log b N =log a N log a b (a ,b 均大于零且不等于1); ②log a b =1 log b a ,推广log a b·log b c·log c d =log a d. 注意:(补充)特殊结论:log 10, log 1a a a == 知识点二 对数函数的图象与性质 1.对数函数的图象与性质(注意定义域!) 指数函数y =a x 与对数函数y =log a x 互为反函数, 它们的图象关于直线y =x 对称. (补充) 设y =f(x)存在反函数,并记作y =f -1(x), 1) 函数y =f(x)与其反函数y =f -1(x)的图象 关于直线y x =对称.
函数 一、函数:1.函数的概念 (1)函数的定义: 设B A 、是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中的每一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数和它对应,那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数,通常记为A x x f y ∈=),( (2)函数的定义域、值域 在函数A x x f y ∈=),(中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域;与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合{} A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。 (2)函数的三要素:定义域、值域和对应法则 2.映射的概念 设B A 、是两个集合,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中的任意元素,在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应,那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射,通常记为 B A f →: 重、难点突破 重点:掌握映射的概念、函数的概念,会求函数的定义域、值域 难点:求函数的值域和求抽象函数的定义域 重难点:1.关于抽象函数的定义域 求抽象函数的定义域,如果没有弄清所给函数之间的关系,求解容易出错误 问题1:已知函数)(x f y =的定义域为][b a ,,求)2(+=x f y 的定义域 问题2:已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ,,求函数)(x f y =的定义 1. 求值域的几种常用方法 (1)配方法:对于(可化为)“二次函数型”的函数常用配方法,如求函数 4cos 2sin 2+--=x x y ,可变为2)1(cos 4cos 2sin 22+-=+--=x x x y 解决 (2)基本函数法:一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求,如函数 )32(log 22 1++-=x x y 就是利用函数u y 2 1log =和322++-=x x u 的值域来求。 (3)判别式法:通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数2 21 22 +-+= x x x y 的值域 由2 2122+-+=x x x y 得012)1(22 =-++-y x y yx ,若0=y ,则得21-=x ,所以0 =y 是函数值域中的一个值;若0≠y ,则由0)12(4)]1(2[2 ≥--+-=?y y y 得
对数函数及反函数的概念 教学目标:掌握对数函数的定义,了解指数函数与对数函数互为反函数。了解反函数的定义及求反函数的方法。 教学重点:对数函数与指数函数的关系。 教学过程: 一、 引例 某种细胞分裂,由1个分裂成2个,2个分裂成4个……一直分裂下去,所得到的细胞个数y 与分裂次数x 的函数关系为x y 2=(指数函数). 分析:由此关系,已知分裂次数可求出所得细胞个数,反之,若已知所得细胞个数,能求出细胞的分裂次数吗? 如32=y ,则5=x . 由指数和对数的关系可知x y 2=?y x 2log =. 利用此关系式可求出细胞的次数. 当我们把y 看成自变量时,得x 是y 的函数. 二、 对数函数的定义 u x y lg =为常用函数.以无理数e 为底的对数函数x y ln =为自然对数函数. 1、 同底的指数函数与对数函数的关系 对同底的指数函数x a y =和对数函数y x a log =. 它们刻画的是同一对变量x ,y 之间的关系,不同的是:在x a y =中,x 是自变量,y 是x 的函数,它的定义域是R ,值域是),0(+∞;在y x a log =中,y 是自变量,x 是y 的函数,它的定义域是),0(+∞,值域是R . 2、 反函数定义 从某个函数)(x f y =中解出x (用y 表示),定义域和值域互换得到的函数称为它的反函数,显然它们是互为反函数. 上面表明:同底的指数函数与对数函数是互为反函数. 例1:写出下列函数的反函数: (1)x y 3 1log =;(2))2lg(x y =;(3)125+=x y ;(4)3)32(-=-x y . 例2:求出下列函数的反函数: (1)222++-=x x y )1(≤x .(2)112++=x y )0( 反函数、指数函数、对数函数练习题 一、选择题: 1.函数)()(1x f y x f y --==-和的图象的位置关系是(B ) A 、关于0=-x y 对称 B 、关于0=+x y 对称 C 、关于原点对称 D 、重合 2.(1994年高考题)设函数)01(11)(2≤≤---=x x x f ,则函数)(1x f y -=的图象是(C ) 3.函数)11(12≤≤--=x x y 的反函数是(D ) A 、)10(12≤≤-±=x x y B 、)10(12≤≤-=x x y C 、)01(12≤≤---=x x y D 、不存在 4.如果x y a )1(2log -=在(0,∞+)上是减函数,且)1(>=a a y x 是增函数, 则a 的取值范围是(D ) (复合函数的单调性) A 、1||>a B 、2||>> B 、3421a a a a >>> C 、4312a a a a >>> D 、3412a a a a >>> 6.(1995年全国高考题)已知)2(log ax y a -=在[0,1]上是x 的减函数,则a 的取值范围是(B ) A 、(0,1) B 、(1,2) C 、(0,2) D 、(2,∞+) 7.(1993年全国高考题)设,,,+∈R c b a 且c b a 643==,那么( ) A 、b a c 111+= B 、b a c 122+= C 、b a c 221+= D 、b a c 212+= 8.若指数函数)(x f y =的反函数的图象经过点(2,-1),则此指数函数是(A ) A 、x y )21(= B 、x y 2= C 、x y 3= D 、x y 10= 9.已知函数x a y log =与其反函数的图象有交点,且交点的横坐标为0x ,则(B ) A 、110>>x a 且 B 、10100<<< 3.2.3 指数函数与对数函数的关系 【学习要求】 1.了解反函数的概念及互为反函数图象间的关系; 2.掌握对数函数与指数函数互为反函数. 【学法指导】 通过探究指数函数与对数函数的关系,归纳出互为反函数的概念,通过指数函数图象与对数函数图象的关系,总结出互为反函数的图象间的关系,体会从特殊到一般的思维过程. 填一填:知识要点、记下疑难点 1.当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的 自变量 ,而把这个函数的自变量 作为新的函数的 因变量. 我们称这两个函数 互为反函数. 即y =f(x)的反函数通常用 y =f - 1(x) 表示. 2.对数函数y =log a x 与指数函数y =a x 互为反函数 ,它们的图象关于 直线y =x 对称. 3.互为反函数的图象关于直线 y =x 对称;互为反函数的图象同增同减. 4.当a>1时,在区间[1,+∞)内,指数函数y =a x 随着x 的增加,函数值的增长速度 逐渐加快 ,而对数函数y =log a x 增长的速度 逐渐变得很缓慢. 研一研:问题探究、课堂更高效 [问题情境] 设a 为大于0且不为1的常数,对于等式a t =s,若以t 为自变量可得指数函数y =a x ,若以s 为自变量可得对数函数y =log a x.那么指数函数与对数函数有怎样的关系呢?这就是本节我们要探究的主要问题. 探究点一指数函数与对数函数的关系 导引为了探究这两个函数之间的关系,我们用列表法画出函数y =2x 及y =log 2x 的图象. 问题1函数y =2x 及y =log 2x 的定义域和值域分别是什么,它们的定义域和值域有怎样的关系? 答:函数y =2x 的定义域为R,值域为(0,+∞);函数y =log 2x 的定义域为(0,+∞),值域为R.函数y =2x 的定义域和值域分别是函数y =log 2x 的值域和定义域. 问题2在列表画函数y =2x 的图象时,当x 分别取-3,-2,-1,0,1,2,3这6个数值时,对应的y 值分别是什么? 答:y 值分别是: 18, 14, 1 2 , 1, 2, 4, 8. 问题3在列表画函数y =log 2x 的图象时,当x 分别取18,14,1 2 ,1,2,4,8时,对应的y 值分别是什么? 答:y 值分别是:-3,-2,-1,0,1,2,3. 问题4综合问题2、问题3的结果,你有什么感悟? 答:在列表画y =log 2x 的图象时,可以把y =2x 的对应值表里的x 和y 的数值对换,就得到y =log 2x 的对应值表. 问题5观察画出的函数y =2x 及y =log 2x 的图象,能发现它们的图象有怎样的对称关系? 答:函数y =2x 与y =log 2x 的图象关于直线y =x 对称. 问题6我们说函数y =2x 与y =log 2x 互为反函数,它们的图象关于直线y =x 对称,那么对于一般的指数函数y =a x 与对数函数y =log a x 又如何? 答:对数函数y =log a x 与指数函数y =a x 互为反函数.它们的图象关于直线y =x 对称. 探究点二 互为反函数的概念 问题1对数函数y =log a x 与指数函数y =a x 是一一映射吗?为什么? 答:是一一映射,因为对数函数y =log a x 与指数函数y =a x 都是单调函数,所以不同的x 值总有不同的y 值与之对应,不同的y 值也总有不同的x 值与之对应. 问题2对数函数y =log a x 与指数函数y =a x 互为反函数,更一般地,如何定义互为反函数的概念? 答:当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新 的函数的因变量,我们称这两个函数互为反函数.函数y =f(x)的反函数通常用y =f - 1(x)表示. 问题3 如何求函数y =5x (x ∈R)的反函数? 答:把y 作为自变量,x 作为y 的函数,则x =y 5,y ∈R.通常自变量用x 表示,函数用y 表示,则反函数为y =x 5 ,x ∈R. 例1 写出下列函数的反函数: (1)y =lg x; (2)y =log 1 3 x; (3)y =????23x . 解:(1)y =lg x(x>0)的底数为10,它的反函数为指数函数y =10x (x ∈R). (2)y =log 13x (x>0)的底数为1 3 ,它的反函数为指数函数y =????13x (x ∈R). (3)y =????23x (x ∈R)的底数为23,它的反函数为对数函数y =log 2 3x (x>0). 小结:求给定解析式的函数的反函数的步骤: (1)求出原函数的值域,这就是反函数的定义域; (2)从y =f(x)中解出x; (3)x 、y 互换并注明反函数的定义域. 跟踪训练1 求下列函数的反函数:(1)y =3x -1; (2)y =x 3+1 (x ∈R); (3)y =x +1 (x≥0); (4)y =2x +3 x -1 (x ∈R,x≠1).反函数、指数函数、对数函数练习题
指数函数与对数函数的关系教案