08高考物理几种速度的特殊求法测试

§2．5几种速度的特殊求法

2．5．1、相关的速度

当绳端在做既不沿绳方向，又不垂直于绳方向的运动时，一般要将绳端的运动分解为沿绳方向和垂直于绳方向二个分运动。

如图2-5-1所示的情况，绳AB 拉着物体m 在水平面上运动，A 端以速度v 做匀速运动，问m 做什么运动？有的同学会将绳的速度v 分解成竖直

分速度vsina 和水平分速度vcosa ，以为木块的速度

a v u cos =(u

有一个向上的分速度。应该将绳端B 实际上的水平速

度B v 分解成沿绳方向的分速v ∥=a v B cos 和垂直于绳的分速v ⊥=a v B sin ，v ∥使绳子缩短，所以v ∥=v ，v ⊥使绳子围绕滑轮转动。因此)(cos /v v a v v B B >=，而且B v 随着a 的增大而越来越大。

如图2-5-2所示，杆AB 沿滑下，A 、B 二端的速度A

v 和B v 也是二个相关的速度。将A v 分解成沿杆方向的分速

1A v 和垂直于杆的分速2B v 。由于杆的长度不会发生变化，所以11B A v v =，即a v a v B A sin cos =，即

B A v tga v ?=

2．5．2、两杆交点的运动

两杆的交点同时

参与了二杆的运动，而且相对每一根杆还有自己的运动，因而是一种比较复杂的运动。

A

v

2A

图2-5-3（a ）

A

B

M

M '

O

α

β l

图2-5-3（b ）

图2-5-3（a ）中的AC 、BD 两杆均以角速度ω绕A 、B 两固定轴在同一竖直面内转动，转动方向如图示。当

t=0时，==βa 60o，试求t 时刻两棒交点M 点的速度和加速度。t=0时，△ABM

为等边三角形，因此AM=BM=l ，它的外接圆半径R=OM=l

33

，图2-5-3（b ）。

二杆旋转过程中，a 角增大的角度一直等于β角减小的角度，所以M 角的大小始终不变（等于60o），因此M 点既不能偏向圆内也不能偏向圆外，只能沿着圆周移动，因为∠M MO '和∠M MA '是对着同一段圆弧（M M '）的圆心角和圆周角，所以∠M MO '=2∠M MA '，即M 以2ω的角速度绕O 点做匀速圆周运动，任意时刻t 的速度大小恒为

l R v ωω33

2)2(=

=

向心加速度的大小恒为

l R a 2

2334)2(ωω=

=

再看图2-5-4（a ），一平面内有二根细杆1l 和2l ，

各自以垂直于自己的速度1v 和2v

在该平面内运动，试求交点相对于纸平面的速率及交点相对于每根杆的速率。

参考图2-5-4（b ），经过时间t ?之后，1l 移动到了1l '的位置，2l 移动到了2l '的位置，1l '和2l 的原位置交于O '点，1l '和2l '交于O ''点。

O O '=θsin /1t v ?

θsin /2t v O O ?='''

1l

2l

1v

2

在O O O '''?中：

?

cos 22

22O O O O O O O O O O '''?'-'''+'=''

因为?角和θ角互补，所以

θ?cos cos -=

θθ

sin cos 2212

221t

v v v v O O ?++=''

因此两杆交点相对于纸平面的速度

t O O v ?''=

θθ

sin 1cos 2212

221v v v v ++=

不难看出，经过t ?时间后，原交点在1l 上的位置移动到了A 位置，因此交点相对1l 的位移就是O A ，交点相对1l 的速度就是：

t O O O A v ?'''+'='/)(1

=t

t v ctg t v ???? ??

?+??/sin 21θθ

θθsin /)cos (21v v +=

用同样的方法可以求出交点相对2l 的速度

θθsin /)cos (212

v v v +=' 因为t ?可以取得无限小，因此上述讨论与21,v v 是否为常量无关。如果21,v v 是变量，上述表达式仍然可以表达二杆交点某一时刻的瞬时速度。

如果1v 和2v 的方向不是与杆垂直，这个问题应该如何解决？读者可以进行进一步的讨论。

1l

2l

O

A

B

O '

O ''

?

1l '

2

l ' 图2-5-4（b ）