高三理科数学一轮总复习第九章_圆锥曲线与方程(教师用书)
第九章圆锥曲线与方程
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9.1 椭 圆
典例精析
题型一 求椭圆的标准方程
【例1】已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为45
3和
25
3
，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程. 【解析】由椭圆的定义知，2a ＝453＋25
3＝25，故a ＝5，
由勾股定理得，(453)2－(253)2＝4c 2，所以c 2＝53，b 2＝a 2－c 2＝10
3，
故所求方程为x 25＋3y 210＝1或3x 210＋y 2
5
＝1.
【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时，常用待定系数法，但是当焦点所在坐标轴不确定时，需要考虑两种情形，有时也可设椭圆的统一方程形式：mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )； (2)在求椭圆中的a 、b 、c 时，经常用到椭圆的定义及解三角形的知识.
【变式训练1】已知椭圆C 1的中心在原点、焦点在x 轴上，抛物线C 2的顶点在原点、焦点在x 轴上.小明从曲线C 1，C 2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点)，并记录其坐标(x ，y ).由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆C 1上，也不在抛物线C 2上.小明的记录如下：
据此，可推断椭圆C 1的方程为 .
【解析】方法一：先将题目中的点描出来，如图，A (－2,2)，B (－2，0)，C (0，6)，D (2，－22)，E (22，2)，F (3，－23).
通过观察可知道点F ，O ，D 可能是抛物线上的点.而A ，C ，E 是椭圆上的点，这
时正好点B 既不在椭圆上，也不在抛物线上.
显然半焦距b ＝6，则不妨设椭圆的方程是x 2m ＋y 2
6＝1，则将点
A (－2,2)代入可得m ＝12，故该椭圆的方程是x 212＋y 2
6
＝1.
方法二：欲求椭圆的解析式，我们应先求出抛物线的解析式，因为抛物线的解析式形式比椭圆简单一些.
不妨设有两点
y 21＝2px 1，①y 2
2＝2px 2，②y 21y 22＝x 1x 2
，
则可知B (－2，0)，C (0，6)不是抛物线上的点. 而D (2，－22)，F (3，－23)正好符合.
又因为椭圆的交点在x 轴上，故B (－2，0)，C (0，6)不可能同时出现.故选用A (－2,2)，E (22，2)
这两个点代入，可得椭圆的方程是x 212＋y
2
6
＝1.
题型二 椭圆的几何性质的运用
【例2】已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围；
(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关.
【解析】(1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，在△F 1PF 2中，
由余弦定理可知4c 2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°，
因为m ＋n ＝2a ，所以m 2＋n 2＝(m ＋n )2－2mn ＝4a 2－2mn ， 所以4c 2＝4a 2－3mn ，即3mn ＝4a 2－4c 2. 又mn ≤(m ＋n 2)2＝a 2(当且仅当m ＝n 时取等号)，
所以4a 2
－4c 2
≤3a 2
，所以c 2a 2≥1
4
，
即e ≥12，所以e 的取值范围是[1
2，1).
(2)由(1)知mn ＝4
3
b 2，所以2
1F PF
S ＝12mn sin 60°＝33
b 2， 即△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关.
【点拨】椭圆中△F 1PF 2往往称为焦点三角形，求解有关问题时，要注意正、余弦定理，面积公式的使用；求范围时，要特别注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用，如|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2
，|PF 1|≥a
－c .
【变式训练2】已知P 是椭圆x 225＋y 29＝1上的一点，Q ，R 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝1
4和圆
(x －4)2＋y 2＝1
4
上的点，则|PQ |＋|PR |的最小值是 .
【解析】设F 1，F 2为椭圆左、右焦点，则F 1，F 2分别为两已知圆的圆心， 则|PQ |＋|PR |≥(|PF 1|－12)＋(|PF 2|－1
2)＝|PF 1|＋|PF 2|－1＝9.
所以|PQ |＋|PR |的最小值为9. 题型三 有关椭圆的综合问题
【例3】(2010全国360题库网)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 1斜
率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列.
(1)求E 的离心率；
(2)设点P (0，－1)满足|P A |＝|PB |，求E 的方程. 【解析】(1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ，
又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝4
3a .
l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组???
??=++=.
1,2222b y a x c x y
化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0， 则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(c 2－b 2)
a 2＋b
2.
因为直线AB 斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]， 即43a ＝4ab 2a 2＋b
2，故a 2＝2b 2
， 所以E 的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22
.
(2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b 2＝－23c ，y 0＝x 0＋c ＝c
3. 由|P A |＝|PB |?k PN ＝－1，即
y 0＋1
x 0
＝－1?c ＝3. 从而a ＝32，b ＝3，故E 的方程为x 218＋y 2
9
＝1.
【变式训练3】已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ，两焦点为F 1，F 2，抛物线以F 1为顶点，F 2
为焦点，P 为两曲线的一个交点，若|PF 1|
|PF 2|
＝e ，则e 的值是( )
A.32
B.33
C.22
D.63
【解析】设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P (x 0，y 0)，则椭圆左准线x ＝－a 2
c ，抛物线准线为x ＝
－3c ，x 0－(－a 2c )＝x 0－(－3c )?c 2a 2＝13?e ＝3
3
.故选B.
总结提高
1.椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏.确定椭圆需要三个条件，要确定焦点在哪条坐标轴上(即定位)，还要确定a 、 b 的值(即定量)，若定位条件不足应分类讨论，或设方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )求解.
2.充分利用定义解题，一方面，会根据定义判定动点的轨迹是椭圆，另一方面，会利用椭圆上的点到两焦点的距离和为常数进行计算推理.
3.焦点三角形包含着很多关系，解题时要多从椭圆定义和三角形的几何条件入手，且不可顾此失彼，另外一定要注意椭圆离心率的范围.
9.2 双曲线
典例精析
题型一 双曲线的定义与标准方程
【例1】已知动圆E 与圆A ：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆B ：(x －4)2＋y 2＝2内切，求动圆圆心E 的轨迹方程.
【解析】设动圆E 的半径为r ，则由已知|AE |＝r ＋2，|BE |＝r －2， 所以|AE |－|BE |＝22，又A (－4,0)，B (4,0)，所以|AB |＝8,22＜|AB |. 根据双曲线定义知，点E 的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线的右支. 因为a ＝2，c ＝4，所以b 2＝c 2－a 2＝14， 故点E 的轨迹方程是x 22－y 2
14
＝1(x ≥2).
【点拨】利用两圆内、外切圆心距与两圆半径的关系找出E 点满足的几何条件，结合双曲线定义求解，要特别注意轨迹是否为双曲线的两支.
【变式训练1】P 为双曲线x 29－y 2
16＝1的右支上一点，M ，N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和
(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为( )
A.6
B.7
C.8
D.9
【解析】选D.
题型二 双曲线几何性质的运用
【例2】双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点为A ，x 轴上有一点Q (2a,0)，若C 上存在一点P ，
使PQ AP ?＝0，求此双曲线离心率的取值范围.
【解析】设P (x ，y )，则由PQ AP ?＝0，得AP ⊥PQ ，则P 在以AQ 为直径的圆上， 即 (x －3a 2)2＋y 2＝(a
2
)2，①
又P 在双曲线上，得x 2a 2－y 2
b
2＝1，②
由①②消去y ，得(a 2＋b 2)x 2－3a 3x ＋2a 4－a 2b 2＝0， 即[(a 2＋b 2)x －(2a 3－ab 2)](x －a )＝0，
当x ＝a 时，P 与A 重合，不符合题意，舍去；
当x ＝2a 3－ab 2a 2＋b 2时，满足题意的点P 存在，需x ＝2a 3－ab 2
a 2＋
b 2＞a ，
化简得a 2＞2b 2，即3a 2＞2c 2，c a ＜6
2，
所以离心率的取值范围是(1，
62
). 【点拨】根据双曲线上的点的范围或者焦半径的最小值建立不等式，是求离心率的取值范围的常用方
法.
【变式训练2】设离心率为e 的双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，直线l 过焦点F ，且
斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左、右两支都相交的充要条件是( )
A.k 2－e 2＞1
B.k 2－e 2＜1
C.e 2－k 2＞1
D.e 2－k 2＜1
【解析】由双曲线的图象和渐近线的几何意义，可知直线的斜率k 只需满足－b a ＜k ＜b a ，即k 2＜b 2
a
2＝c 2－a 2a 2
＝e 2
－1，故选C. 题型三 有关双曲线的综合问题
【例3】(2010广东)已知双曲线x 22－y 2
＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P (x 1，y 1)，Q (x 1，－y 1)是双
曲线上不同的两个动点.
(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点的轨迹E 的方程；
(2)若过点H (0，h )(h ＞1)的两条直线l 1和l 2与轨迹E 都只有一个交点，且l 1⊥l 2，求h 的值. 【解析】(1)由题意知|x 1|＞2，A 1(－2，0)，A 2(2，0)，则有 直线A 1P 的方程为y ＝y 1
x 1＋2(x ＋2)，①
直线A 2Q 的方程为y ＝
－y 1
x 1－2
(x －2).② 方法一：联立①②解得交点坐标为x ＝2x 1，y ＝2y 1x 1，即x 1＝2x ，y 1＝2y
x ，③
则x ≠0，|x |＜ 2.
而点P (x 1，y 1)在双曲线x 22－y 2＝1上，所以x 21
2
－y 21＝1. 将③代入上式，整理得所求轨迹E 的方程为x 22＋y 2
＝1，x ≠0且x ≠± 2.
方法二：设点M (x ，y )是A 1P 与A 2Q 的交点，①×②得y 2
＝－y 21
x 21－2
(x 2－2).③
又点P (x 1，y 1)在双曲线上，因此x 212－y 21＝1，即y 2
1＝x 212－1.
代入③式整理得x 22
＋y 2
＝1.
因为点P ，Q 是双曲线上的不同两点，所以它们与点A 1，A 2均不重合.故点A 1和A 2均不在轨迹E 上.过点(0,1)及A 2(2，0)的直线l 的方程为x ＋2y －2＝0.
解方程组???
??=-=-+12
,0222
2y x y x 得x ＝2，y ＝0.所以直线l 与双曲线只有唯一交点A 2.
故轨迹E 不过点(0,1).同理轨迹E 也不过点(0，－1).
综上分析，轨迹E 的方程为x
2
2＋y 2＝1，x ≠0且x ≠± 2.
(2)设过点H (0，h )的直线为y ＝kx ＋h (h ＞1)， 联立x 22
＋y 2
＝1得(1＋2k 2)x 2＋4khx ＋2h 2－2＝0.
令Δ＝16k 2h 2－4(1＋2k 2)(2h 2－2)＝0，得h 2－1－2k 2＝0， 解得k 1＝
h 2－1
2
，k 2＝－h 2－1
2
. 由于l 1⊥l 2，则k 1k 2＝－h 2－1
2
＝－1，故h ＝ 3.
过点A 1，A 2分别引直线l 1，l 2通过y 轴上的点H (0，h )，且使l 1⊥l 2，因此A 1H ⊥A 2H ，由h 2×(－h
2
)＝－1，得h ＝ 2.
此时，l 1，l 2的方程分别为y ＝x ＋2与y ＝－x ＋2， 它们与轨迹E 分别仅有一个交点(－
23，223)与(23，223
). 所以，符合条件的h 的值为3或 2.
【变式训练3】双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，过F 2的直线
与双曲线的右支交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则e 2等于( )
A.1＋2 2
B.3＋2 2
C.4－2 2
D.5－2 2
【解析】本题考查双曲线定义的应用及基本量的求解. 据题意设|AF 1|＝x ，则|AB |＝x ，|BF 1|＝2x . 由双曲线定义有|AF 1|－|AF 2|＝2a ，|BF 1|－|BF 2|＝2a
?(|AF 1|＋|BF 1|)－(|AF 2|＋|BF 2|)＝(2＋1)x －x ＝4a ，即x ＝22a ＝|AF 1|. 故在Rt △AF 1F 2中可求得|AF 2|＝|F 1F 2|2－|AF 1|2＝4c 2－8a 2.
又由定义可得|AF 2|＝|AF 1|－2a ＝22a －2a ，即4c 2－8a 2＝22－2a ， 两边平方整理得c 2
＝a 2
(5－22)?c 2a
2＝e 2
＝5－22，故选D.
总结提高
1.要与椭圆类比来理解、掌握双曲线的定义、标准方程和几何性质，但应特别注意不同点，如a ，b ，c 的关系、渐近线等.
2.要深刻理解双曲线的定义，注意其中的隐含条件.当||PF 1|－|PF 2||＝2a ＜|F 1F 2|时，P 的轨迹是双曲线；当||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝|F 1F 2|时，P 的轨迹是以F 1或F 2为端点的射线；当 ||PF 1|－|PF 2||＝2a ＞|F 1F 2|时，P 无轨迹.
3.双曲线是具有渐近线的曲线，画双曲线草图时，一般先画出渐近线，要掌握以下两个问题： (1)已知双曲线方程，求它的渐近线；
(2)求已知渐近线的双曲线的方程.如已知双曲线渐近线y ＝±b a x ，可将双曲线方程设为x 2a 2－y 2
b 2＝λ(λ≠0)，
再利用其他条件确定λ的值，求法的实质是待定系数法.
9.3 抛物线
典例精析
题型一 抛物线定义的运用
【例1】根据下列条件，求抛物线的标准方程. (1)抛物线过点P (2，－4)；
(2)抛物线焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，|AF |＝5. 【解析】(1)设方程为y 2＝mx 或x 2＝ny . 将点P 坐标代入得y 2＝8x 或x 2＝－y .
(2)设A (m ，－3)，所求焦点在x 轴上的抛物线为y 2＝2px (p ≠0)， 由定义得5＝|AF |＝|m ＋p
2|，又(－3)2＝2pm ，所以p ＝±1或±9，
所求方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x .
【变式训练1】已知P 是抛物线y 2＝2x 上的一点，另一点A (a,0) (a ＞0)满足|P A |＝d ，试求d 的最小值. 【解析】设P (x 0，y 0) (x 0≥0)，则y 20＝2x 0，
所以d ＝|P A |＝(x 0－a )2＋y 20＝(x 0－a )2＋2x 0＝[x 0＋(1－a )]2＋2a －1.
因为a ＞0，x 0≥0，
所以当0＜a ＜1时，此时有x 0＝0，d min ＝(1－a )2＋2a －1＝a ； 当a ≥1时，此时有x 0＝a －1，d min ＝2a －1. 题型二 直线与抛物线位置讨论
【例2】(2010湖北)已知一条曲线C 在y 轴右侧，C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1.
(1)求曲线C 的方程；
(2)是否存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有?＜0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.
【解析】(1)设P (x ，y )是曲线C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足： (x －1)2＋y 2－x ＝1(x ＞0). 化简得y 2＝4x (x ＞0).
(2)设过点M (m,0)(m ＞0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).
设l 的方程为x ＝ty ＋m ，由???=+=,
4,2x y m ty x 得y 2－4ty －4m ＝0，
Δ＝16(t 2＋m )＞0，于是???-==+.4,
42
121m y y t y y ①
又FA ＝(x 1－1，y 1)，FB ＝(x 2－1，y 2).
?＜0?(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2＜0.②
又x ＝y 24，于是不等式②等价于 y 214·y 224＋y 1y 2－(y 21
4＋y 2
24
)＋1＜0
?(y 1y 2)216＋y 1y 2－14[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋1＜0.③
由①式，不等式③等价于m 2－6m ＋1＜4t 2.④
对任意实数t,4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1＜0，即3－22＜m ＜3＋2 2.
由此可知，存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有·＜0，且m 的取值范围是(3－22，3＋22).
【变式训练2】已知抛物线y 2＝4x 的一条弦AB ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 所在直线与y 轴的交点坐标为(0,2)，则1y 1＋1
y 2
＝ .
【解析】???=-=x
y y m x 4),
2(2?y 2－4my ＋8m ＝0，
所以1y 1＋1y 2＝y 1＋y 2y 1y 2＝12.
题型三 有关抛物线的综合问题
【例3】已知抛物线C ：y ＝2x 2，直线y ＝kx ＋2交C 于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N .
(1)求证：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；
(2)是否存在实数k 使NA ·NB ＝0？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由.
【解析】(1)证明：如图，设A (x 1,2x 21)，B (x 2,2x 2
2)，
把y ＝kx ＋2代入y ＝2x 2，得2x 2－kx －2＝0，
由韦达定理得x 1＋x 2＝k
2
，x 1x 2＝－1，
所以x N ＝x M ＝x 1＋x 22＝k 4，所以点N 的坐标为(k 4，k 2
8).
设抛物线在点N 处的切线l 的方程为y －k 28＝m (x －k
4)，
将y ＝2x 2
代入上式，得2x 2
－mx ＋mk 4－k 2
8
＝0，
因为直线l 与抛物线C 相切，
所以Δ＝m 2
－8(mk 4－k 2
8
)＝m 2－2mk ＋k 2＝(m －k )2＝0，
所以m ＝k ，即l ∥AB .
(2)假设存在实数k ，使·＝0，则NA ⊥NB ， 又因为M 是AB 的中点，所以|MN |＝
2
1
|AB |. 由(1)知y M ＝12(y 1＋y 2)＝12(kx 1＋2＋kx 2＋2)＝12[k (x 1＋x 2)＋4]＝12(k 22＋4)＝k 2
4
＋2.
因为MN ⊥x 轴，所以|MN |＝|y M －y N |＝k 24＋2－k 28＝k 2
＋16
8
.
又|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·
(k 2)2－4×(－1)＝1
2
k 2＋1·k 2＋16. 所以k 2＋168＝14k 2
＋1·k 2＋16，解得k ＝±2.
即存在k ＝±2，使·＝0.
【点拨】直线与抛物线的位置关系，一般要用到根与系数的关系；有关抛物线的弦长问题，要注意弦是否过焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须使用一般弦长公式.
【变式训练3】已知P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，过点P 作圆(x －3)2＋y 2＝1的切线，切点分别为M 、N ，则|MN |的最小值是 .
【解析】45
5
.
总结提高
1.在抛物线定义中，焦点F 不在准线l 上，这是一个重要的隐含条件，若F 在l 上，则抛物线退化为一条直线.
2.掌握抛物线本身固有的一些性质：(1)顶点、焦点在对称轴上；(2)准线垂直于对称轴；(3)焦点到准线的距离为p ；(4)过焦点垂直于对称轴的弦(通径)长为2p .
3.抛物线的标准方程有四种形式，要掌握抛物线的方程与图形的对应关系.求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线的类型，可采用待定系数法.
4.抛物线的几何性质，只要与椭圆、双曲线加以对照，很容易把握.但由于抛物线的离心率为1，所以抛物线的焦点有很多重要性质，而且应用广泛，例如：已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有下列性质：|AB |＝x 1＋x 2＋p 或|AB |＝2p
sin 2α(α为AB 的倾斜角)，
y 1y 2＝－p 2
，x 1x 2＝p 2
4
等.
9.4 直线与圆锥曲线的位置关系
典例精析
题型一 直线与圆锥曲线交点问题
【例1】若曲线y 2＝ax 与直线y ＝(a ＋1)x －1恰有一个公共点，求实数a 的值.
【解析】联立方程组???=-+=,,
1)1(2ax y x a y
(1)当a ＝0时，方程组恰有一组解为?
??==;0,
1y x
(2)当a ≠0时，消去x 得a ＋1a
y 2
－y －1＝0，
①若a ＋1a
＝0，即a ＝－1，方程变为一元一次方程－y －1＝0，
方程组恰有一组解???-=-=;
1,
1y x
②若a ＋1a ≠0，即a ≠－1，令Δ＝0，即1＋4(a ＋1)a ＝0，解得a ＝－45，这时直线与曲线相切，只有一个
公共点.
综上所述，a ＝0或a ＝－1或a ＝－45
.
【点拨】本题设计了一个思维“陷阱”，即审题中误认为a ≠0，解答过程中的失误就是不讨论二次项系数
a
a 1
+＝0，即a ＝－1的可能性，从而漏掉两解.本题用代数方法解完后，应从几何上验证一下：①当a ＝0时，曲线y 2
＝ax ，即直线y ＝0，此时与已知直线y ＝x －1 恰有交点(1,0)；②当a ＝－1时，直线y ＝－1与抛物线的对称轴平行，恰有一个交点(代数特征是消元后得到的一元二次方程中二次项系数为零)；③当a ＝－4
5
时直线与抛物线相切.
【变式训练1】若直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝4有且只有一个公共点，则实数k 的取值范围为( ) A.{1，－1，
52，－5
2
} B.(－∞，－
52]∪[5
2
，＋∞) C.(－∞，－1]∪[1，＋∞)
D.(－∞，－1)∪[
5
2
，＋∞) 【解析】由??
?=--=4
,
12
2y x kx y ?(1－k 2)x 2－2kx －5＝0，
?
??=≠-0,112Δk ?k ＝±5
2，结合直线过定点(0，－1)，且渐近线斜率为±1，可知答案为A. 题型二 直线与圆锥曲线的相交弦问题
【例2】(2010辽宁)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，过F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B
两点，直线l 的倾斜角为60°，＝2.
(1)求椭圆C 的离心率；
(2)如果|AB |＝
15
4
，求椭圆C 的方程. 【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1＜0，y 2＞0. (1)直线l 的方程为y ＝3(x －c )，其中c ＝a 2－b 2.
联立???
??=+-=,
1),(32222b y a
x c x y
得(3a 2＋b 2)y 2＋23b 2cy －3b 4＝0.
解得y 1＝－3b 2(c ＋2a )3a 2＋b 2，y 2＝－3b 2(c －2a )
3a 2＋b 2
.
因为＝2，所以－y 1＝2y 2，即3b 2(c ＋2a )3a 2＋b 2＝2·－3b 2(c －2a )
3a 2＋b 2.
解得离心率e ＝c a ＝2
3.
(2)因为|AB |＝
1＋13|y 2－y 1|，所以23·43ab 23a 2＋b
2＝154.
由c a ＝23得b ＝53a ，所以54a ＝15
4，即a ＝3，b ＝ 5. 所以椭圆的方程为x 29＋y 2
5
＝1.
【点拨】本题考查直线与圆锥曲线相交及相交弦的弦长问题，以及用待定系数法求椭圆方程. 【变式训练2】椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为
32，则a
b
的值为 . 【解析】设直线与椭圆交于A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，弦中点坐标为(x 0，y 0)，代入椭圆方程两式相减得a (x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋b (y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0?
2ax 0＋2by 0
y 1－y 2
x 1－x 2
＝0?ax 0－by 0＝0. 故a b ＝y 0x 0＝32. 题型三 对称问题
【例3】在抛物线y 2＝4x 上存在两个不同的点关于直线l ：y ＝kx ＋3对称，求k 的取值范围. 【解析】设A (x 1，y 1)、B (x 2、y 2)是抛物线上关于直线l 对称的两点，由题意知k ≠0. 设直线AB 的方程为y ＝－1
k
x ＋b ，
联立??
???=+-=x y b x k y 4,12消去x ，得14k
y 2＋y －b ＝0， 由题意有Δ＝12＋4·14k ·b ＞0，即b
k
＋1＞0.(*)
且y 1＋y 2＝－4k .又y 1＋y 22＝－1k ·x 1＋x 2
2＋b .所以x 1＋x 22＝k (2k ＋b ).
故AB 的中点为E (k (2k ＋b )，－2k ).
因为l 过E ，所以－2k ＝k 2(2k ＋b )＋3，即b ＝－2k －3
k 2－2k .
代入(*)式，得－2k －3k 3－2＋1＞0?k 3＋2k ＋3
k 3
＜0
?k (k ＋1)(k 2－k ＋3)＜0?－1＜k ＜0，故k 的取值范围为(－1,0).
【点拨】(1)本题的关键是对称条件的转化.A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线l 对称，则满足直线l 与AB 垂直，且线段AB 的中点坐标满足l 的方程；
(2)对于圆锥曲线上存在两点关于某一直线对称，求有关参数的范围问题，利用对称条件求出过这两点的直线方程，利用判别式大于零建立不等式求解；或者用参数表示弦中点的坐标，利用中点在曲线内部的条件建立不等式求参数的取值范围.
【变式训练3】已知抛物线y ＝－x 2＋3上存在关于x ＋y ＝0对称的两点A ，B ，则|AB |等于( ) A.3
B.4
C.3 2
D.4 2
【解析】设AB 方程：y ＝x ＋b ，代入y ＝－x 2＋3，得x 2＋x ＋b －3＝0， 所以x A ＋x B ＝－1，故AB 中点为(－12，－1
2
＋b ).
它又在x ＋y ＝0上，所以b ＝1，所以|AB |＝32，故选C.
总结提高
1.本节内容的重点是研究直线与圆锥曲线位置关系的判别式方法及弦中点问题的处理方法.
2.直线与圆锥曲线的位置关系的研究可以转化为相应方程组的解的讨论，即联立方程组
??
?==++,
0),(,
0y x f C By Ax 通过消去y (也可以消去x )得到x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0进行讨论.这时要注意考虑a ＝0和a ≠0两种情况，对双曲线和抛物线而言，一个公共点的情况除a ≠0，Δ＝0外，直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行时，都只有一个交点(此时直线与双曲线、抛物线属相交情况).由此可见，直线与圆锥曲线只有一个公共点，并不是直线与圆锥曲线相切的充要条件.
3.弦中点问题的处理既可以用判别式法，也可以用点差法；使用点差法时，要特别注意验证“相交”的情形.
9.5 圆锥曲线综合问题
典例精析
题型一 求轨迹方程
【例1】已知抛物线的方程为x 2＝2y ，F 是抛物线的焦点，过点F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作抛物线的两条切线l 1和l 2，记l 1和l 2交于点M .
(1)求证：l 1⊥l 2；
(2)求点M 的轨迹方程.
【解析】(1)依题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1
2
.
联立???
????
=+=2
2121x y kx y 消去y 整理得x 2－2kx －1＝0.设A 的坐标为(x 1，y 1)，B 的坐标为(x 2，y 2)，则有x 1x 2
＝－1，将抛物线方程改写为y ＝1
2
x 2，求导得y ′＝x .
所以过点A 的切线l 1的斜率是k 1＝x 1，过点B 的切线l 2的斜率是k 2＝x 2. 因为k 1k 2＝x 1x 2＝－1，所以l 1⊥l 2.
(2)直线l 1的方程为y －y 1＝k 1(x －x 1)，即y －x 21
2
＝x 1(x －x 1).
同理直线l 2的方程为y －x 22
2
＝x 2(x －x 2).
联立这两个方程消去y 得x 212－x 22
2
＝x 2(x －x 2)－x 1(x －x 1)，
整理得(x 1－x 2)(x －x 1＋x 2
2)＝0，
注意到x 1≠x 2，所以x ＝x 1＋x 2
2
.
此时y ＝x 212＋x 1(x －x 1)＝x 21
2＋x 1(x 1＋x 22－x 1)＝x 1x 22＝－12.
由(1)知x 1＋x 2＝2k ，所以x ＝
x 1＋x 2
2
＝k ∈R . 所以点M 的轨迹方程是y ＝－1
2
.
【点拨】直接法是求轨迹方程最重要的方法之一，本题用的就是直接法.要注意“求轨迹方程”和“求轨迹”是两个不同概念，“求轨迹”除了首先要求我们求出方程，还要说明方程轨迹的形状，这就需要我们对各种基本曲线方程和它的形态的对应关系了如指掌.
【变式训练1】已知△ABC 的顶点为A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( )
A.x 29－y 2
16
＝1
B.x 216－y 2
9
＝1 C.x 29－y 2
16
＝1(x ＞3)
D.x 216－y 2
9
＝1(x ＞4) 【解析】如图，|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |， 所以|CA |－|CB |＝8－2＝6，
根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程
为x 29－y 2
16
＝1(x ＞3)，故选
C.
题型二 圆锥曲线的有关最值
【例2】已知菱形ABCD 的顶点A 、C 在椭圆x 2＋3y 2＝4上，对角线BD 所在直线的斜率为1.当∠ABC ＝60°时，求菱形ABCD 面积的最大值.
【解析】因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥B D. 于是可设直线AC 的方程为y ＝－x ＋n .
由???+-==+n
x y y x ,
4322得4x 2－6nx ＋3n 2－4＝0. 因为A ，C 在椭圆上，所以Δ＝－12n 2＋64＞0，解得－433＜n ＜43
3.
设A ，C 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3n
2，x 1x 2＝3n 2－44，
y 1＝－x 1＋n ，y 2＝－x 2＋n . 所以y 1＋y 2＝n
2
.
因为四边形ABCD 为菱形，且∠ABC ＝60°，所以|AB |＝|BC |＝|CA |. 所以菱形ABCD 的面积S ＝
3
2
|AC |2. 又|AC |2
＝(x 1－x 2)2
＋(y 1－y 2)2
＝－3n 2＋162，所以S ＝34(－3n 2＋16) (－433＜n ＜43
3).
所以当n ＝0时，菱形ABCD 的面积取得最大值4 3.
【点拨】建立“目标函数”，借助代数方法求最值，要特别注意自变量的取值范围.在考试中很多考生没有利用判别式求出n 的取值范围，虽然也能得出答案，但是得分损失不少.
【变式训练2】已知抛物线y ＝x 2－1上有一定点B (－1,0)和两个动点P 、Q ，若BP ⊥PQ ，则点Q 横坐标的取值范围是 .
【解析】如图，B (－1,0)，设P (x P ，x 2
P －1)，Q (x Q ，x 2Q －1)， 由k BP ·k PQ ＝－1，得x 2P －1x P ＋1·x 2Q －x 2
P
x Q －x P
＝－1.
所以x Q ＝－x P －1x P －1＝－(x P －1)－1
x P －1－1.
因为|x P －1＋
1
x P －1
|≥2，所以x Q ≥1或x Q ≤－3. 题型三 求参数的取值范围及最值的综合题
【例3】(2010浙江)已知m ＞1，直线l ：x －my －m 22＝0，椭圆C ：x 2
m 2＋y 2
＝1，F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点.
(1)当直线l 过右焦点F 2时，求直线l 的方程；
(2)设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，△AF 1F 2，△BF 1F 2的重心分别为G ，H .若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围.
【解析】(1)因为直线l ：x －my －m 2
2
＝0经过F 2(m 2－1，0)，
所以m 2－1＝
m
2
2
，解得m 2＝2， 又因为m ＞1，所以m ＝ 2. 故直线l 的方程为x －2y －1＝0. (2)A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由???????=++=1,222
22y m x m my x 消去x 得2y 2＋my ＋m 24
－1＝0，
则由Δ＝m 2
－8(m 2
4
－1)＝－m 2＋8＞0知m 2＜8，
且有y 1＋y 2＝－m 2，y 1y 2＝m 28－1
2
.
由于F 1(－c,0)，F 2(c,0)，故O 为F 1F 2的中点，
由＝2， BH ＝2，得G (x 13，y 13)，H (x 23，y 2
3)，
|GH |2
＝(x 1－x 2)29＋(y 1－y 2)2
9
.
设M 是GH 的中点，则M (x 1＋x 26，y 1＋y 2
6
)，
由题意可知，2|MO |＜|GH |，即4[(x 1＋x 26)2＋(y 1＋y 26)2]＜(x 1－x 2)29＋(y 1－y 2)2
9，
即x 1x 2＋y 1y 2＜0.
而x 1x 2＋y 1y 2＝(my 1＋m 22)(my 2＋m 22)＋y 1y 2＝(m 2
＋1)(m 28－12).
所以m 28－1
2
＜0，即m 2＜4.
又因为m ＞1且Δ＞0，所以1＜m ＜2. 所以m 的取值范围是(1,2).
【点拨】本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆、点与圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.
【变式训练3】若双曲线x 2－ay 2＝1的右支上存在三点A 、B 、C 使△ABC 为正三角形，其中一个顶点A 与双曲线右顶点重合，则a 的取值范围为 .
【解析】设B (m ，
m 2－1
a
)，则C (m ，－m 2－1
a )(m ＞1)， 又A (1,0)，由AB ＝BC 得(m －1)2
＋m 2－1
a
＝(2
m 2－1a
)2
， 所以a ＝3m ＋1m －1＝3(1＋2
m －1
)＞3，即a 的取值范围为(3，
＋∞).
总结提高
1.求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标法”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义、性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点.求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法、待定系数法.
2.最值问题的代数解法，是从动态角度去研究解析几何中的数学问题的主要内容，其解法是设变量、建立目标函数、转化为求函数的最值.其中，自变量的取值范围由直线和圆锥曲线的位置关系(即判别式与0的关系)确定.
3.范围问题，主要是根据条件，建立含有参变量的函数关系式或不等式，然后确定参数的取值范围.其解法主要有运用圆锥曲线上点的坐标的取值范围，运用求函数的值域、最值以及二次方程实根的分布等知识.
圆锥曲线与方程测试题及答案
2013-20１4学年度第二学期3月月考 高二数学试卷 满分：1５0分，时间:12０分钟 一、选择题：(本大题共1２小题，每小题５分,共６０分) 1、抛物线ｙ２=－２ｐx (p ＞0)的焦点为F ,准线为l ，则ｐ表示 （ ) A 、F 到准线l 的距离 Ｂ、Ｆ到y 轴的距离 C 、Ｆ点的横坐标 D 、Ｆ到准线l 的距离的一半 2.抛物线 2 2x y =的焦点坐标是 ( ） A ．)0,1( B.)0,4 1(?Ｃ.)8 1,0( D ．)4 1,0( 3.离心率为 3 2,长轴长为6的椭圆的标准方程是 ( ）Ａ.22195x y + = B ．22195x y +=或22 159 x y += Ｃ.2213620x y += Ｄ.2213620x y +=或22 12036 x y += 4、焦点在x 轴上，且6,8==b a 的双曲线的渐近线方程是 （ ） A.043=+y x B ．043=-y x C ．043=±y x D ． 034=±y x 5、以椭圆15 82 2=+y x 的焦点为顶点，椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程为 （ ） A.15322=-y x Ｂ．13522=-y x Ｃ．181322=-y x D ．15 132 2=-y x 6．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点（-2,3),则它的方程是 （ ） A ．y x 292-=或x y 342= B ．x y 2 9 2-=或y x 3 42= C ．y x 3 4 2 = Ｄ.x y 2 92 - = 7.抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y + =的右焦点重合,则p = ( ) A.4 Ｂ.4-?C ．2 Ｄ． 2-
2020年高考理科数学一轮总复习：基本不等式
2020年高考理科数学一轮总复习 基本不等式 [基础梳理] 1．重要不等式 a 2＋ b 2≥2ab (a ，b ∈R )(当且仅当a ＝b 时等号成立)． 2．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件是a >0，b >0. (2)等号成立的条件是：当且仅当a ＝b 时取等号． (3)其中a ＋b 2称为正数a ，b 的算术平均数， ab 称为正数a ，b 的几何平均数． 3．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则： (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2 p (简记：积定和最小)． (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 2 4(简记：和定积最大) 1．基本不等式的两种常用变形形式 (1)ab ≤? ????a ＋b 22 (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)． (2)a ＋b ≥2 ab (a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时取等号)．
2．几个重要的结论 (1)a 2＋b 22≥? ?? ??a ＋b 22 . (2)b a ＋a b ≥2(ab ＞0)． (3)21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 2 2(a ＞0，b ＞0)． [四基自测] 1．设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82 答案：C 2．若x ＜0，则x ＋1 x ( ) A ．有最小值，且最小值为2 B ．有最大值，且最大值为2 C ．有最小值，且最小值为－2 D ．有最大值，且最大值为－2 答案：D 3．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________． 答案：25 m 2 4．已知x >1，则x ＋4 x －1 的最小值为________． 答案：5 5．若1a ＋1 b ＝1(a >0，b >0)，则a ＋b 的最小值为________． 答案：4
2019届高三理科数学一轮复习计划清单
2019届高三理科数学一轮复习计划
目录 一、背景分析 (1) 三、目标要求 (1) 四、具体计划 (2) （一）总体要求 (2) （二）要解决的问题 (2) （三）总体思路设计 (3) 五、测试制度 (3) （一）周测 (3) （二）单元测试 (3) （三）月测 (3) （四）备注 (3) 六、课程分类 (4) （一）知识梳理课 (4) （二）能力提高课 (4) （三）章节复习课 (4) （四）试卷讲评课 (5) 七、一轮复习进度计划具体安排如下 (5)
2019届高三理科数学一轮复习计划 一、背景分析 近几年来的高考数学试题逐步做到科学化、规化，坚持了稳中求改、稳中创新的原则。考试题不但坚持了考查全面、比例适当，布局合理的特点，也突出体现了变知识立意为能力立意这一举措。更加注重考查学生进入高校学习所需的基本数学素养，这些变化应引起我们在教学中的关注和重视。 二、指导思想 在全面推行素质教育的背景下，努力提高课堂复习效率是高三数学复习的重要任务。通过复习，让学生更好地学会从事社会生产和进一步学习所必需的数学基础知识，从而培养学生思维能力，激发学生学习数学的兴趣，使学生树立学好数学的信心。老师要在教学过程中不断了解新的教学信息，更新教育观念，探求新的教学模式，准确把握课程标准和考试说明的各项基本要求，立足基本知识、基本技能、基本思想和基本方法教学，针对学生实际，指导学法，着力培养学生的创新能力和运用数学的意识和能力。 三、目标要求 第一轮复习要结合高考考点，紧扣教材，以加强双基教学为主线，以提高学生能力为目标，加强学生对知识的理解、联系、应用，同时结合高考题型强化训练，提高学生的解题能力。为此，确立一轮复习的总体目标：通过梳理考点，培养学生分析问题、解决问题的能力；使学生养成思考严谨、分析条理、解答正确、书写规的良好习惯，为二轮复习乃至高考奠定坚实的基础。具体要求如下： 1、第一轮复习必须面向全体学生，降低复习起点，在夯实双基的前提下，注重培养学生的能力，包括：空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。提高学生对实际问题的阅读理解、思考判断能力；以及数学地提出、分析和解决问题的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力。 2、在将基础问题学实学活的同时，重视数学思想方法的复习。一定要把复习容中反映出来的数学思想方法的教学体现在第一轮复习的全过程中，使学生真正领悟到如何灵活运用数学思想方法解题。必须让学生明白复习的最终目标是新题会解，而不是单单立足于题的熟练。 3、要强化运算能力、表达能力和阅读能力的训练，课堂教学时要有意识安排时间让学生进行完整的规的解题训练，对解题过程和书写表达提出明确具体的要求，培养学生良好的解题习惯，提高解题的成功率和得分率。同时要加强处理信息与数据和寻求设计合理、简捷的运算途径方面的训练，提高阅读理解的水平和运算技能。落实网上阅卷对解题规、书写轻重、表达完整等新的要求。
圆锥曲线与方程练习题
《圆锥曲线与方程》单元测试 姓名_____________ 学号__________ 成绩____________ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.直线过抛物线24y x =的焦点，与抛物线交于A(x 1, y 1)、B(x 2, y 2)两点，如果x 1 + x 2 = 6，那么AB 等于 ( ) A.10 B.8 C.7 D.6 2.已知双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线方程为x 43 y =，则双曲线的离心率为 ( ) A.35 B.34 C.45 D.23 3.以（-6，0），（6，0）为焦点，且经过点（-5，2）的双曲线的标准方程是（ ） A. 1201622=-y x B.1201622=-x y C.1162022=-y x D.116 2022=-x y 4.方程 22 125-16x y m m +=+表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 ( ) A.1625m -<< B.9162m -<< C.9252m << D.92 m > 5.过双曲线22149 x y -=的右焦点F 且斜率是32的直线与双曲线的交点个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 6.抛物线2y x =上的点到直线24x y -=的最短距离是（ ） A.35 B.553 C.552 D.105 3 7.抛物线x y 122=截直线12+=x y 所得弦长等于（ ） A. 15 B.152 C. 2 15 D.15 8.设12,F F 是椭圆164942 2=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且3:4:21=PF PF ，则 21F PF ?的面积为（ ） A.4 B.6 C.22 D.24 9.如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 外一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和直线OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是（ ） A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
高考理科数学第一轮复习辅导讲义
选修4经典回顾 主讲教师：丁益祥 北京陈经纶中学数学特级教师 开篇语 选修系列4在高考中主要考查4—1中的几何证明选讲、4—4中的坐标系与参数方程、4—5中的不等式选讲三个专题内容．围绕着三部分内容的试题，既有选择题和填空题，又有解答题．因此在第一轮复习中必须围绕上述核心考点，选择相关的问题进行求解训练，提高解决不等式问题能力 开心自测 题一：不等式|21|35x x -++≤的解集是_______________． 题二：如图，,AB CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，他们相交于AB 的中点P ，23a PD = ，30OAP ∠=?，则CP ＝_________． 考点梳理 选修4—1几何证明选讲部分： 1．垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． D
2．圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3．圆内接四边形的性质定理： 圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内角的对角． 4．圆内接四边形的判定定理： 如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．推论：如果一个四边形的外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆． 5．切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等． 6．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 7．相交弦定理： 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等． 8．切割线定理： 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 选修4—4中的坐标系与参数方程部分： 1. 极坐标与直角坐标的关系 设点M的直角坐标为(x，)y，极坐标为(ρ，)θ， 则 cos, sin. x y ρθ ρθ = ? ? = ? 或 222, tan(0). x y y x x ρ θ ?=+ ? ? =≠ ??
圆锥曲线与方程测试和答案
圆锥曲线与方程 测试(1) 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.) 1.椭圆12 2 =+my x 的焦点在y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m 的值为( ) A. 41 B.2 1 C.2 D.4 2．双曲线 22 1412 x y -=的焦点到渐近线的距离为（ ） A 3. 已知双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线方程为x y 34 =，则双曲线的离心率为（ ） A. 35 B. 34 C. 45 D. 2 3 4．已知椭圆 116 252 2=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3,则P 到另一焦点距离为( ) A.9 B.7 C.5 D.3 5．动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2,则点P 的轨迹是( ) A.双曲线 B.双曲线的一支 C.两条射线 D.一条射线 6．中心在原点,焦点在x 轴上,焦距等于6,离心率等于 5 3 ,则椭圆的方程是( ) A. 13610022=+y x B.16410022=+y x C.1162522=+y x D.19252 2=+y x 7．焦点为(06)， 且与双曲线2 212 x y -=有相同的渐近线的双曲线方程是( ) A. 22 11224 y x -= B. 2212412y x -= C.22 12412 x y -= D. 22 11224 x y -=
8．若椭圆的短轴为AB ,它的一个焦点为1F ,则满足1ABF △为等边三角形的椭圆的离心率是( ) A. 14 B. 2 C. 2 D. 12 9.以双曲线2 2 312x y -+=的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆的方程是( ) A. 22 11612 x y += B. 221164x y += C.22 11216x y += D. 22 1416 x y += 10.双曲线的虚轴长为4,离心率2 6 = e ,1F .2F 分别是它的左.右焦点,若过1F 的直线与双曲线的左支交于A .B 两点,且||AB 是||2AF 与||2BF 的等差中项,则||AB 等于( ) A.28 B.24 C.22 D.8. 11.已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ,直线1-=x y 与其相交于N M ,两点, MN 中点横坐标为3 2 - ,则此双曲线的方程是( ) A 14322=-y x B 13422=-y x C 12522=-y x D 15 22 2=-y x 12.若直线4=+ny mx 和⊙O ∶42 2 =+y x 没有交点,则过),(n m 的直线与椭圆 14 922=+y x 的交点个数( ) A.至多一个 B.2个 C.1个 D.0个
高考理科数学第一轮复习教案
第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理 两个原理 分类加法计数原理、分步乘法计数原理 (1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理． (2)会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题． 知识点两个原理
1．分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m ＋n种不同的方法． 2．分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． 易误提醒(1)分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的． (2)分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步与步之间是相关联的． [自测练习] 1．从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有() A．30 B．20 C．10 D．6 解析：从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类加法计数原理得共有N＝3＋3＝6种．答案：D 2．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为() A．243 B．252 C．261 D．279 解析：0,1,2…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)，
∴有重复数字的三位数有900－648＝252(个)．答案：B 考点一分类加法计数原理|
圆锥曲线与方程单元测试卷答案
圆锥曲线与方程单元测试 卷答案 Newly compiled on November 23, 2020
《圆锥曲线与方程》单元测试卷 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分.） 1.方程132-=y x 所表示的曲线是 （ ） （A ）双曲线 （B ）椭圆 （C ）双曲线的一部分 （D ）椭圆的一部分 2.平面内两定点A 、B 及动点P ，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P 的 轨迹是以A ．B 为焦点的椭圆”，那么 （ ） （A ）甲是乙成立的充分不必要条件 （B ）甲是乙成立的必要不充分条件 （C ）甲是乙成立的充要条件 （D ）甲是乙成立的非充分非必要条件 3.椭圆14222=+a y x 与双曲线12 2 2=-y a x 有相同的焦点，则a 的值是 （ ） （A ）12 （B ）1或–2 （C ）1或12 （D ）1 4.若抛物线的准线方程为x =–7, 则抛物线的标准方程为 （ ） （A ）x 2=–28y （B ）y 2=28x （C ）y 2=–28x （D ）x 2＝28y 5．已知椭圆19 252 2=+y x 上的一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，O 为原点，则|ON|等于 （A ）2 （B ） 4 （C ） 8 （D ） 23 （ ） 6.顶点在原点，以x 轴为对称轴的抛物线上一点的横坐标为6，此点到焦点的距离等于10，则抛物线焦点到准线的距离等于 （ ） （A ） 4 （B ）8 （C ）16 （D ）32 7.21F F 为双曲线2214 x y -=-的两个焦点，点P 在双曲线上，且1290F PF ∠=，则21PF F ?的面积是 （A ） 2 （B ）4 （C ）8 （D ）16 （ ）
2019年度高三理科数学一轮复习资料计划
2019 届高三理科数学一轮复习计划
目录 一、背景分析 (1) 三、目标要求 (1) 四、具体计划 (2) （一）总体要求 (2) （二）要解决的问题 (2) （三）总体思路设计 (3) 五、测试制度 (3) （一）周测 (3) （二）单元测试 (3) （三）月测 (3) （四）备注 (3) 六、课程分类 (4) （一）知识梳理课 (4) （二）能力提高课 (4) （三）章节复习课 (4) （四）试卷讲评课 (5) 七、一轮复习进度计划具体安排如下....................................................................... 5. .
2019 届高三理科数学一轮复习计划 一、背景分析近几年来的高考数学试题逐步做到科学化、规范化，坚持了稳中求改、稳中创新的原则。考试题不但坚持了考查全面、比例适当，布局合理的特点，也突出体现了变知识立意为能力立意这一举措。更加注重考查学生进入高校学习所需的基本数学素养，这些变化应引起我们在教学中的关注和重视。 二、指导思想在全面推行素质教育的背景下，努力提高课堂复习效率是高三数学复习的重要任务。通过复习，让学生更好地学会从事社会生产和进一步学习所必需的数学基础知识，从而培养学生思维能力，激发学生学习数学的兴趣，使学生树立学好数学的信心。老师要在教学过程中不断了解新的教学信息，更新教育观念，探求新的教学模式，准确把握课程标准和考试说明的各项基本要求，立足基本知识、基本技能、基本思想和基本方法教学，针对学生实际，指导学法，着力培养学生的创新能力和运用数学的意识和能力。 三、目标要求第一轮复习要结合高考考点，紧扣教材，以加强双基教学为主线，以提高学生能力为目标，加强学生对知识的理解、联系、应用，同时结合高考题型强化训练，提高学生的解题能力。为此，确立一轮复习的总体目标：通过梳理考点，培养学生分析问题、解决问题的能力；使学生养成思考严谨、分析条理、解答正确、书写规范的良好习惯，为二轮复习乃至高考奠定坚实的基础。具体要求如下： 1、第一轮复习必须面向全体学生，降低复习起点，在夯实双基的前提下，注重培养学生的能力，包括：空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。提高学生对实际问题的阅读理解、思考判断能力；以及数学地提出、分析和解决问题的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力。 2、在将基础问题学实学活的同时，重视数学思想方法的复习。一定要把复习内容中反映出来的数学思想方法的教学体现在第一轮复习的全过程中，使学生真正领悟到如何灵活运用数学思想方法解题。必须让学生明白复习的最终目标是新题会解，而不是单单立足于陈题的熟练。 3、要强化运算能力、表达能力和阅读能力的训练，课堂教学时要有意识安排时间让学生进行完整的规范的解题训练，对解题过程和书写表达提出明确具体的要求，培养学生良好的解题习惯，提高解题的成功率和得分率。同时要加强处理信息与数据和寻求设计合理、简捷的运算途径方面的训练，提高阅读理解的水平和运算技能。落实网上阅卷对解题规范、书写轻重、表达完整等新的要求。 四、具体计划
圆锥曲线与方程测试题4
圆锥曲线与方程测试题4 一、选择题 1、设定点()10,3F -，()20,3F ，动点(),P x y 满足条件a PF PF =+21(a ＞)0，则动点P 的轨迹是（ ）. A. 椭圆 B. 线段 C. 不存在 D.椭圆或线段或不存在 2、抛物线21y x m =的焦点坐标为（ ） . A ．?? ? ??0,41m B ． 10,4m ?? ??? C ． ,04m ?? ??? D ．0,4m ?? ??? 3、双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为（ ）. A ．14- B ．4- C ．4 D ．14 4、AB 为过椭圆22a x +22 b y =1中心的弦，F(c,0)为椭圆的右焦点，则△AFB 面积的最大值是（ ） A.b 2 B.ab C.ac D.bc 5、设11229(,),(4,),(,)5 A x y B C x y 是右焦点为F 的椭圆221259x y +=上三个不同的点，则“,,AF BF CF 成等差数列”是“128x x +=”的（ ）. A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既非充分也非必要 6、过原点的直线l 与双曲线42x －3 2 y =－1有两个交点，则直线l 的斜率的取值范围是 A.(－23，23) B.(－∞,－23)∪(2 3,+∞) C.［－23,23］ D.(－∞,－23］∪［2 3,+∞) 7、过双曲线2212 y x -=的右焦点作直线l ，交双曲线于A 、B 两点，若|AB|=4，则这样的直线的条数为（ ）. A. 1 B.2 C.3 D.4 8、设直线=1:2l y x ，直线2l 经过点(2,1)，抛物线C:=24y x ，已知1l 、2l 与C 共有三个交点，则满足条件的直线2l 的条数为（ ）. A. 1 B.2 C.3 D.4
(完整word)19圆锥曲线与方程(中职数学春季高考练习题)
学校______________班级______________专业______________考试号______________姓名______________ 数学试题 圆锥曲线与方程 ． 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分100分，考试时间90分钟， 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． ． 本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01． 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 30小题，每小题2分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项 ． 设12F F 、 为定点，126F F =，动点M 满足128MF MF +=，则动点M 的轨迹是 A ．椭圆 B ．直线 C ．圆 D ．线段 ． 若抛物线焦点在x 轴上，准线方程是3x =-，则抛物线的标准方程是 A ．2 12y x = B ．2 12y x =- C ．2 6y x = D ．2 6y x =- ． 已知椭圆方程为 22 1916 x y +=，那么它的焦距是 A ．10 B ．5 C ．7 D ．27 ． 抛物线2 6y x =-的焦点到准线的距离为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 ． 若椭圆满足4a =，焦点为()()0303-，，， ，则椭圆方程为 A ． 22 1167 x y += B ． 22 1169x y += C ． 22 1167y x += D ． 22 1169 y x += ． 抛物线2 40y x +=上一点到准线的距离为8，则该点的横坐标为 A ．7 B ．6 C ．7- D ．6- ． 一椭圆的长轴是短轴的2倍，则其离心率为 A ．34 B ． 32 C ． 22 D ．12 8． 椭圆的一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，则该椭圆的离心率是 A ． 12 B ． 32 C ． 2 D ． 14 9． 椭圆 22 1164 x y +=在y 轴上的顶点坐标是 A ．()20±， B ．()40±， C ．()04±， D ．()02±， 10． 若双曲线的焦点在x 轴上，且它的渐近线方程为3 4 y x =± ，则双曲线的离心率为 A ． 54 B ． 53 C ． 7 D ． 7 11． 椭圆 22 1169 x y +=与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，则AB 等于 A ．5 B ．7 C ． 5 D ．4 12． 如果椭圆22 221x y a b +=经过两点()()4003A B ，、，，则椭圆的标准方程是 A ． 221259 x y += B ． 22 1163x y += C ． 22 1169x y += D ． 22 1916 x y += 13． 双曲线2 2 44x y -=的顶点坐标是 A ．()()2020-，、， B ．()()0202-，、， C ．()()1010-，、， D ．()()0101-，、， 14． 若双曲线22 221x y a b -=的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是 A ．2 B ． 3 C ． 2 D ．32 15． 双曲线 22 1169 x y -=的焦点坐标为 A ．()40±， B ．()30±， C ．()50±， D ．()
届高考理科数学第一轮总复习教案
学案37合情推理与演绎推理 导学目标： 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异． 自主梳理
自我检测
1．(2010·山东)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x) 等于() A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x) 2．(2010·珠海质检)给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)： ①“若a，b∈R，则a－b＝0?a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0?a＝b”； ②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋b i＝c＋d i?a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b2＝c＋d2?a＝c，b＝d”； ③“若a，b∈R，则a－b>0?a>b”类比推出“若a，b∈C，则a －b>0?a>b”．其中类比结论正确的个数是() A．0 B．1 C．2 D．3 3．(2009·江苏)在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________． 4．(2010·陕西)观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________________________________． 5．(2011·苏州月考)一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除，其演绎推理的“三段论”的形式为___________________________________________．
高三第一轮复习理科数学试题(含答案)
高三第一轮复习理科数学试卷（含答案） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的，请把正确答案 的代号填在题后的括号内（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）。答案已用红色吧、标出 1．设全集U=R,集合M={x|y=32x -}，N={y|y=3－2x }，则图中阴影部分表示的集合是 A ．{3|2 x < x 3≤} B . {3|2 x
c a b >> 6．等比数列{a n }中，a 3=6，前三项和3 304S xdx =?，则公比q 的值为 A.1 B.12 - C .1或12 - D.1-或12 - 7. 设()f x 是一个三次函数，'()f x 为其导函数，如图所示是函数 '()y xf x =的图像的一部分，则()f x 的极大值与极小值分别为 A ．(1)(1)f f -与 B ．(1)(1)f f -与 C ．(2)(2)f f -与 D ．(2)(2)f f -与 8. 已知,,A B C 是平面上不共线的三点，O 为平面ABC 内任一点，动点P 满足等式1[(1)(1)3 OP OA OB λλ=-+-u u u r u u u r u u u r (12)](OC λλ++∈R u u u r 且0)λ≠，则 P 的轨迹一 定通过ABC ?的 A ．内心 B ．垂心 C ．重心 D ．AB 边的中点 9．设曲线*()n y x n N =∈与x 轴及直线x=1围成的封闭图形的面积为n a ，设1122012,n n n b a a b b +=+++L 则b = A ． 503 1007 B ． 2011 2012 C ． 2012 2013 D ． 2013 2014 10．已知函数()f x 满足：①定义域为R ；②x R ?∈，有(2)2()f x f x +=；③当[0,2]x ∈时， ()2|22|f x x =--．记()()||([8,8])?x f x x x =-∈-．根据以上信息，可以得到函数() ?x 的零点个数为 A ．15 B ．10 C ．9 D ．8 二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）。 11．已知函数()sin()(,0,0,||)2 f x A x x R A π ω?ω?=+∈>>< 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式是 f(x)=2sin (πx+6 π ) 。 12．已知命题“存在,x R ∈使得|||2|2x a x -++≤成立”是假命题， 则实数a 的取值范围是________．(,4)(0,)-∞-+∞U 13．一同学在电脑中打出如下图若干个圆（○表示空心圆，●表示实心圆）
圆锥曲线与方程测试题(带答案)
圆锥曲线与方程 单元测试 时间：90分钟 分数：120分 一、选择题（每小题5分，共60分） 1．椭圆12 2 =+my x 的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ） A ． 41 B ．2 1 C ．2 D ．4 2．过抛物线x y 42 =的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则||AB 等于（ ） A ．10 B ．8 C ．6 D ．4 3．若直线y ＝kx ＋2与双曲线62 2 =-y x 的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是（ ） A ．315(- ，)315 B ．0(，)315 C ．315(-，)0 D ．3 15 (-，)1- 4．（理）已知抛物线x y 42 =上两个动点B 、C 和点A （1，2）且∠BAC ＝90°，则动直线BC 必过定点（ ） A ．（2，5） B ．（-2，5） C ．（5，-2） D ．（5，2） （文）过抛物线)0(22 >=p px y 的焦点作直线交抛物线于1(x P ，)1y 、2(x Q ，)2y 两点，若 p x x 321=+，则||PQ 等于（ ） A ．4p B ．5p C ．6p D ．8p 5.已知两点)4 5,4(),45 ,1(--N M ,给出下列曲线方程：①0124=-+y x ;②32 2=+y x ;③ 122 2=+y x ;④12 22=-y x .在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（ ） （A ）①③ （B ）②④ （C ）①②③ （D ）②③④ 6．已知双曲线122 22=-b y a x （a ＞0，b ＞0）的两个焦点为1F 、2F ，点A 在双曲线第一象限的图 象上，若△21F AF 的面积为1，且2 1 tan 21= ∠F AF ，2tan 12-=∠F AF ，则双曲线方程为（ ） A ．1351222=-y x B ．1312522=-y x C ．1512322 =-y x D ．112 5322=-y x 7．圆心在抛物线)0(22 >=y x y 上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是（ ） A ．04 1 22 2 =- --+y x y x B ．01222=+-++y x y x C ．01222=+--+y x y x D ．04 122 2=+--+y x y x
高考理科数学一轮复习专题训练：数列(含详细答案解析)
第7单元 数列（基础篇） 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=12，S 5=90，则等差数列{a n }公差d =（ ） A ．2 B ． 32 C ．3 D ．4 【答案】C 【解析】∵a 1=12，S 5=90，∴54 512902 d ??+=，解得d =3，故选C ． 2．在正项等比数列{}n a 中，已知42a =，81 8 a =，则5a 的值为（ ） A ．14 B ．14 - C ．1- D ．1 【答案】D 【解析】由题意，正项等比数列{}n a 中，且42a =，818 a =，可得 4 84116a q a ==， 又因为0q >，所以12q = ，则541 212 a a q =?=?=，故选D ． 3．在等差数列{}n a 中，51340a a +=，则8910a a a ++=（ ） A ．72 B ．60 C ．48 D ．36 【答案】B 【解析】根据等差数列的性质可知：513994024020a a a a +=?=?=， 89109992360a a a a a a ==++=+，故本题选B ． 4．中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”． 其大意：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里程数是前一天的一半，连续走了7天，共走了700里，则这匹马第7天所走的路程等于（ ） A ． 700 127 里 B ． 350 63 里 C ． 280 51 里 D ． 350 127 里 【答案】A 【解析】设马每天所走的路程是127,,.....a a a ，是公比为 1 2 的等比数列，
2020年高考数学理科一轮复习1 集 合
高考5年命题点集训 1集合 1．已知全集U＝R，集合A＝{x| x2－4＞0}，则?U A＝() A．(－2,2)B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．[－2,2]D．(－∞，－2]∪[2，＋∞) C[集合A＝{x|x＜－2或x＞2}，所以?U A＝[－2,2]．] 2．若集合A＝{x|－2 2018学年高三年级第一次质量调研 数学试卷（理） 考生注意： 1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码． 2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分． 3．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟． 一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分． 1．=+-+∞→2 21 lim 22n n n n ____________． 2．设集合},02{2R ∈>-=x x x x A ，? ?? ???∈≤-+=R x x x x B ,011， 则=B A I __________． 3．若函数x a x f =)(（0>a 且1≠a ）的反函数的图像过点)1,3(-，则=a _________． 4．已知一组数据6，7，8，9，m 的平均数是8，则这组数据的方差是_________． 5．在正方体1111D C B A ABCD -中，M 为棱11B A 的中点，则异面直线AM 与C B 1所成的 角的大小为__________________（结果用反三角函数值表示）． 6．若圆锥的底面周长为π2，侧面积也为π2，则该圆锥的体积为______________． 7．已知 3 1 cos 75sin sin 75cos = ? -?α α，则=+?)230cos(α_________． 8．某程序框图如图所示，则该程序运行后 输出的S 值是_____________． 9．过点)2,1(P 的直线与圆42 2 =+y x 相切，且与直线01=+-y ax 垂直，则实数a 的值 为___________． 10．甲、乙、丙三人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传 给另外两人中的任何一人．经过3次传球后，球仍在甲手中的概率是__________． 11．已知直角梯形ABCD ，AD ∥BC ，?=∠90BAD ．2=AD ，1=BC ，P 是腰AB 上的动点，则||PD PC +的最小值为__________． 12．已知* N ∈n ，若4022221123221=+++++---n n n n n n n C C C C Λ，则=n ________． 13．对一切实数x ，令][x 为不大于x 的最大整数，则函数][)(x x f =称为取整函数．若 A 级 基础达标演练 (时间：40分钟 满分：60分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2010·山东)函数y ＝2x －x 2的图象大致是( )． 解析 在同一坐标系中作出y ＝2x 与y ＝x 2的图象可知，当x ∈(－∞，m )∪(2,4)，y <0，；当x ∈(m,2)∪(4，＋∞)时，y >0，(其中m <0)，故选A. 答案 A 2．(2012·合肥模拟)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于任意的x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 010)＋f (2 011)的值为( )． A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 解析 ∵f (x )是偶函数， ∴f (－2 010)＝f (2 010)． ∵当x ≥0时，f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x )是周期为2的周期函数， ∴f (－2 010)＋f (2 011)＝f (2 010)＋f (2 011) ＝f (0)＋f (1)＝log 21＋log 22＝0＋1＝1. 答案 C 3．(2012·人大附中月考) 设函数y ＝x 3与y ＝????12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )． A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 解析 (数形结合法)如图所示． 由1 4．(2011·四川)函数y ＝????12x ＋1的图象关于直线y ＝x 对称的图象大致是( )． 解析 函数y ＝????12x ＋1的图象如图；作其关于直线y ＝x 的对称图象，可知选A. 答案 A 5．(2010·辽宁)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( )． A.10 B ．10 C ．20 D ．100 解析 由已知条件a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，又1a ＋1 b ＝2，则log m 2＋log m 5＝2，即log m 10＝2， 解得m ＝10. 答案 A 二、填空题(每小题4分，共12分) 6．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a ＞0，且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________． 解析 (数形结合法) 由图象可知0＜2a ＜1，∴0＜a ＜1 2. 答案 ??? ?0，12 7．若3a ＝0.618，a ∈[k ，k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝________. 解析 ∵3－ 1＝13，30＝1，13＜0.618<1，∴k ＝－1. 答案 －1 8．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．2020-2021学年高三数学(理科)第一次质量调研测试及答案解析
高考理科数学第一轮复习测试题20