1992考研数四真题及解析
1992年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)
(1) 设()lim x
x x t f t t x t →∞
+??
= ?-??
,则()f t '= __ . (2) 设商品的需求函数为1005Q P =-,其中,Q P 分别表示需求量和价格,如果商品需求
弹性的绝对值大于1,则商品价格的取值范围是__ .
(3) 已知()sin f x x =,()2
1f x x ,?=-????
则()x ?= __ 的定义域为__ . (4) 矩阵1
1111
11111111
11
1A ?????
?=??????
的非零特征值是__ . (5) 设对于事件A 、B 、C ,有()()()1
4
P A P B P C ===
,()()0P AB P BC ,== ()1
8
P AC ,=则A 、B 、C 三个事件中至少出现一个的概率为__ .
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 设2()()x
a
x F x f t dt x a =
-?,其中()f x 为连续函数,则lim ()x a F x →等于 ( ) (A) 2a (B) 2
()a f a
(C) 0 (D) 不存在
(2) 当0x →时,下面四个无穷小量中,哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量? ( )
(A) 2
x (B) 1cos x -
1 (D) sin x x -
(3) 设A ,B ,,A B +1
1
A B --+均为n 阶可逆矩阵,则()
1
11
A B
---+等于 ( )
(A) 11
A B --+ (B) A B + (C) ()1
A A
B B -+ (D) ()1
A B -+ (4) 设12m ,,
,ααα均为n 维列向量,那么,下列结论正确的是 ( )
(A) 若11220m m k k k ααα++
+=,则12m ,,,ααα线性相关
(B) 若对任意一组不全为零的数12m k ,k ,,k ,都有11220m m k k k ααα++
+≠,则
12m ,,,ααα线性无关
(C) 若12m ,,
,ααα线性相关,则对任意一组不全为零的数12m k ,k ,
,k 都有
11220m m k k k ααα++
+=
(D) 若120000m ααα++
+=,则12m ,,
,ααα线性无关
(5) 设当事件A 与B 同时发生时,事件C 必发生,则 ( )
(A) ()()P C P AB = (B) ()()P C P A
B =
(C) ()()()1P C P A P B ≤+- (D) ()()()1P C P A P B ≥+-
三、(本题满分5分)
求极限()
1ln cos 1lim
1sin
2
x x x
π→--.
四、(本题满分5分)
计算arctan .x
x
e I dx e =?
五、(本题满分5分)
求连续函数()f x ,使它满足()()1
sin f tx dt f x x x =+?.
六、(本题满分6分)
设sin()(,)x z xy x y ?=+,求2z
x y
???(其中函数(,)u v ?具有二阶偏导数).
七、(本题满分6分)
设生产某产品的固定成本为10,而当产量为x 时的边际成本函数为
240203MC x x =--+,边际收入函数为3210MR x =+.
试求：(1) 总利润函数；
(2) 使总利润最大的产量．
八、(本题满分6分)
求证：方程cos 0x p q x ++=恰有一个实根,其中p ,q 为常数,且01q <<．
九、(本题满分8分)
给定曲线21y x
=
. (1) 求曲线在横坐标为0x 的点处的切线方程； (2) 求曲线的切线被两坐标轴所截线段的最短长度.
十、(本题满分5分)
设矩阵101020101A ????=??????
,矩阵X 满足2
AX E A X +=+.其中E 为三阶单位矩阵,试求
出矩阵X .
十一、(本题满分5分)
设线性方程组
123123123
220,20,30x x x x x x x x x λ+-=??
-+=??+-=? 的系数矩阵为A ,三阶矩阵0B ≠,且0AB =.试求λ的值.
十二、(本题满分6分)
已知实矩阵33()ij A a ?=满足条件：
(1) (,1,2,3)ij ij a A i j ==,其中ij A 是ij a 的代数余子式； (2) 110a ≠. 计算行列式A .
十三、(本题满分7分)
假设测量的随机误差2(0,10)X
N ,试求100次独立重复测量中,至少有三次测量误差
的绝对值大于19.6的概率α,并利用泊松分布求出α的近似值(要求小数点后取两位有效数字). [附表
一台设备由三大部分构成,在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10,0.20,和0.30.假设各部件的状态相互独立,以X 表示同时需要调整的部件数,试求X 的概率分布、数学期望()E X 和方差()D X .
1992年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】()221t e t +
【解析】此题考查重要极限：1lim(1).x
x e x
→∞
+=
将函数式变形,有()2222lim lim 1x t tx
x
t x t
t x x x t t f t t t te x t x t -?-→∞
→∞
+???
?==+=
? ?--????
,
故()()221t f t e t '=+.
【相关知识点】两函数乘积的求导公式
[]()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=?+?.
(2)【答案】(10,20]
【解析】根据()10050Q P P =-≥,得价格20P ≤,又由1005Q P =-得()5Q P '=-, 按照经济学需求弹性的定义,有
()5()1005Q P P
P Q P P
ε'=?
=--, 令
55110051005P P
P P
ε=
=>--,解得10P >.
所以商品价格的取值范围是(10,20].
(3)【答案】()()
2
arcsin 1x x ?=-
,0??
【解析】本题主要是要弄清楚反函数和原函数的定义域、值域之间的关系.
由于()sin f x x =的反函数arcsin x 的定义域为[]11,-,而()()
2arcsin 1x x ?=-,故
x 应满足2111x -≤-≤,
解此不等式即得0x ?∈?.因此,()x ?
的定义域为0??.
(4)【答案】4
【解析】对矩阵A 的特征多项式进行行列式的等价变换,注意到各列和相等,所以将第二、三、四行都加到第一行上,有
1
1114444
1111
1111
1111111111111111
E A λλλλλλλλλλλλ-----------------=
=
----------------
将第一行的公因式()4λ-提出到行列式外面,有
()
11111111
411111111
E A λλλλλ-----=--------- 再将第一行分别加到第二、三、四行上,有
()
()311
110
44000
00E A λ
λλλλλλ
-=-=-. 令
0E A λ-=,得矩阵A 的特征值：123440,λλλλ====.故矩阵A 的非零特征值为4.
【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量. (5)【答案】
58
【解析】因ABC AB ?,而()0P AB =,故()0P ABC =． 由概率的广义加法公式：
()()()()()()()()
1111500044488
P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC .=++---+=++---+=
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(B)
【解析】方法1:lim ()x a
F x →为“
”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,所以可应用洛必达法则.
2
2()lim ()lim ()lim x
x a
a x a x a x a f t dt x F x f t dt a x a x a →→→==--??22()lim ()1
x a a f x a f a →==. 故应选(B).
方法2: 特殊值法.
取()2f x =,则22lim ()lim 22x
a
x a x a x F x dt a x a →→==-?. 显然(A),(C),(D)均不正确,故选(B).
【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：
若()
()
()()t t F t f x dx βα
=
?,()t α,()t β均一阶可导,则
[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=?-?.
(2)【答案】(D)
【解析】由于0x →时,2
22
111cos ,1
122
x x x x ---,故2,1cos 1x x -是同阶无穷小. 故应选(D).
事实上,由洛必达法则,30
sin lim
x x x x →-为“0
”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法则,有
320
0sin 1cos 1
lim
lim 36
x x x x x x x →→--==, 可知,当0x →时,sin x x -是x 的三阶无穷小量.
【相关知识点】无穷小的比较：
设在同一个极限过程中,(),()x x αβ为无穷小且存在极限0
()
lim
.()
x x x l x αβ→= (1) 若0,l ≠称(),()x x αβ在该极限过程中为同阶无穷小； (2) 若1,l =称(),()x x αβ在该极限过程中为等价无穷小,记为()
()x x αβ；
(3) 若0,l =称在该极限过程中()x α是()x β的高阶无穷小,记为()()()x o x αβ=. 若0
()
lim
()
x x x x αβ→不存在(不为∞),称(),()x x αβ不可比较. (3)【答案】(C)
【解析】因为A ,B ,A B +都可逆,由可逆矩阵的定义,有1
B B E -=,1
AA E -=,
()()()()1
1
1
1
1
111111111
A
B EA B E B BA B AA B A B A --------------??+=+=+=+??.
由逆矩阵运算的性质 ()
1
11AB B A ---=,所以有 ()1
111ABC C B A ----=.
()()
()
()()1
1
1
1
11111A B A A B B A A B B ---------+=+=+.
故本题选(C)
注:一般情况下,()1
11A B A B ---+≠+,不要与转置的性质()T
T T A B A B +=+相混淆.
(4)【答案】(B)
【解析】选项(A)没有指明12m k ,k ,
,k 不全为０,故(A)不正确．
选项(C)要求任意一组不全为０的数,这只能()1i i ,
m α=全是零向量,不是线性相关
定义所要求的．
对任意一组向量12m ,,
,ααα,120000m ααα+++=恒成立．而12m ,,,ααα是否
线性相关？就是问除去上述情况外,是否还能找到不全为０的一组数12m k ,k ,,k ,仍能使 11220m m k k k ααα+++=成立．若能则线性相关,若不能即只要12m k ,k ,
,k 不全为０,
必有11220m m k k k ααα++
+≠.可见(B)是线性无关的定义.
而(D)没有指明仅当12000m k ,k ,,k ===时,11220m m k k k ααα++
+=成立．故
(D)不正确．所以应选(B).
【相关知识点】向量组线性相关的定义：对任意一组不全为零的数12m k ,k ,,k ,使
11220m m k k k ααα+++≠,则称12m ,,,ααα线性无关．
(5)【答案】(D)
【解析】依题意：由“当事件A 与B 同时发生时,事件C 必发生”得出AB C ?,故
()()P AB P C ≤；由概率的广义加法公式()()()()P A B P A P B P AB =+-推出 ()()()()P AB P A P B P A B =+-；又由概率的性质()1P A B ≤,我们得出
()()()()()()()1P C P AB P A P B P A B P A P B ≥=+-≥+-,
因此应选(D).
三、(本题满分5分)
【解析】方法1:利用洛必达法则求极限1
lim ()x f x →,因为1
lim ()x f x → 为“
”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法则,有
1111sin(1)
ln cos(1)2
tan(1)cos(1)lim ()lim lim lim
1sin cos cos
2222
x x x x x x x x f x πππππ→→→→--
---===--
2211
24cos (1)
lim
sin 22x x x ππππ→-==-??-? ?
?
?. 方法2:利用变量代换与等价无穷小代换,0x →时,21
cos 12
x x --；ln(1)x x +.
求极限1
lim ()x f x →,令1x t -=,则有
1100ln cos(1)ln cos ln[1(cos 1)]
lim ()lim
lim lim
1sin 1cos 1cos
222
x x t t x t t f x x t t
πππ→→→→-+-===---
2
2220022
1cos 142lim lim 1248t t t t t t πππ→→--===-?.
四、(本题满分5分)
【解析】方法1: 用分部积分法,有
2arctan arctan 1x
x x
x
x
x
x
e I e de
e e e dx e
---=-=-++?? 22arctan (1)1x
x
x
x
e e e dx e -=-+-+?
21
arctan ln(1).2x x x e e x e C -=-+-++ 其中C 为任意常数.
方法2：换元法,令x
e t =,则1ln ,x t dx dt t
==,再分部积分,有
2arctan 1arctan t I dt td t t
==-?? ()
22
1arctan arctan 11dt t dt t t dt t t t t t t =-+=-+-++??? ()2arctan 1
ln ln 12
t t t C t =-
+-++ 21
arctan ln(1).2
x x x e e x e C -=-+-++ 其中C 为任意常数.
注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验. 【相关知识点】假定()u u x =与()v v x =均具有连续的导函数,则
,uv dx uv u vdx ''=-?? 或者 .udv uv vdu =-??
五、(本题满分5分)
【解析】本题实质上是个积分方程,这类问题一般都是两边对x 求导化为微分方程求解,而
()1
f tx dt ?对x 求导时,应先通过变量代换tx u =将被积函数中的x 换到积分限上来.
令tx u =,0t =时,有0u =；1t =时,有u x =,且xdt du =,则
()()1
01x
f tx dt f u du x
=
?
?,
从而有
()()01sin x f u du f x x x x
=+?,即()()2
0sin x f u du xf x x x =+?, 两边求导得 ()()()22sin cos f x f x xf x x x x x '=+++. 则 ()()2sin cos f x x x x '=-+. 积分得 ()()2sin cos f x x x x dx =-
+?2cos sin x xd x =-?
2cos sin sin x x x xdx =-+? (分部积分法) cos sin x x x C =-+. 其中C 为任意常数.
六、(本题满分6分)
【解析】这是带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数,重要的是要分清函数是如何复合的.
由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,所以本题可以先求
z x ??,再求
()z
y x
????. 由复合函数求导法,首先求x z ',由题设 121
cos()x z y xy y
??'''=++
, 再对y 求偏导数,即得
122211
cos()sin()()()xy y y z xy xy xy y y
???'''''''=-++
- 12
222211cos()sin()y y
x x xy xy xy y y y y ???''????'''''=-++- ? ????? 122222321cos()sin()x x xy xy xy y y y
???'''''=--
--. 【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数(,),(,)u x y v x y ?ψ==都在点(,)x y 具有对x 及对y 的偏导数,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数
((,),(,))z f x y x y ?ψ=在点(,)x y 的两个偏导数存在,且有
12z z u z v u v
f f x u x v x x x
???????''=+=+???????； 12z z u z v u v f f y u y v y y y
???????''=+=+???????.
七、(本题满分6分)
【解析】(1) 因为边际成本函数是可变成本的微分,而总成本=固定成本+可变成本. 则总成本函数
()2230
1040203104010x
C t t dt x x x =+--+=--+?,
边际收入函数是总收入函数的微分,所以总收入函数
()20
3210325x
R t dt x x =+=+?,
总利润=总收入-总成本,所以,总利润函数
()()22323325104010107215R C x x x x x x x x π=-=+---+=-++-.
(2) 由经济学含义MC MR =时,可使得总利润最大.
由MC MR =知2402033210x x x --+=+,2
330720x x --=,于是得到驻点
12122x ,x ==-(舍去).
由于2
72303x x π'=+-,1
123060x x,,ππ=''''=-<即π在()0,+∞内只有一个极大值
点,可见,当产量为12时,总利润最大.
注：本题的重点是利用变限定积分求出总成本函数与总收入函数,从而求得总利润函数．
八、(本题满分6分)
【解析】本题主要考查方程根的问题,方程根的问题一般可分为两个具体问题：一个是根的存在性问题,另一个是根的个数问题.
令()cos f x x p q x =++,由于
()()lim lim cos x x f x x p q x →+∞
→+∞
=++=+∞,
则存在0b >,使()0f b >.
又 ()()lim lim cos x x f x x p q x →-∞
→-∞
=++=-∞,
则存在0a <,使()0f a <.
由于()cos f x x p q x =++在[]a,b 上连续,由介值定理可知()0f x =在()a,b 内至少有实根.
而()1cos 0f x q x '=->,()f x 在实数域上单调递增,故()f x 在(),-∞+∞内最多有一个实根.
综上所述,cos 0x p q x ++=恰有一个实根.
【相关知识点】
① 关于根的存在性问题常用的是两种方法：一种是利用连续函数介值定理；另一种是利用
罗尔中值定理.
② 关于根的个数问题常用的也是两种方法：一种是利用函数的单调性；另一种是利用罗尔
中值定理的推论：“若在(,)a b 内()()0n f x ≠,则方程()0f x =在(,)a b 内最多有n 个实根.”
九、(本题满分8分)
【解析】(1)过曲线上已知点00(,)x y 的切线方程为00()y y k x x -=-,其中当0()y x '存在时,0()k y x '=.
由32y x '=-
可知,曲线2
1
y x =在横坐标为0x 的点处的切线方程为
()023
0012
y x x .x x -
=-- (2)由(1)中所求切线方程不难求得该切线在x 轴和y 轴上的截距分别为020
33
2X x ,Y x ==. 设该切线被两个坐标轴所截线段长度为L .
因为0L >,而2
0L >,所以函数L 和2L 应该在同一点取得极值,讨论函数2L 比较方便.
2
2
222020332L X Y x x ??
??=+=+ ? ?????
,
令20500
93602dL x dx x =-=,
得驻点0x = 又 222
600
91802d L dx x =+,
显然222
00x d L dx >,
由此可知2
L
在x =,即最小值
.2
274min min L ,L =
=．
十、(本题满分5分)
【解析】由2
AX E A X +=+,移项有2
AX X A E -=-,因式分解即
()()()A E X A E A E -=-+.
由001010100A E ????-=??????
,知0A E -≠,由矩阵可逆的判定定理,行列式不为0,则矩阵满秩,有A E -可逆.
故 201030102X A E ????=+=??????
.
十一、(本题满分5分)
【解析】对于条件0AB =应当有两个思路：一是B 的列向量是齐次方程组0Ax =的解；另一个是秩的信息即()()r A r B n +≤.要有这两种思考问题的意识.
方法1：令12221311A λ-?? ?
=- ? ?-??
,对3阶矩阵A ,由0AB =,0B ≠知必有0A =,否则A 可逆,
从而11()00B A AB A --===,这与0B ≠矛盾. 故
122
210311
A λ-=-=-,
用行列式的等价变换,将第三列加到第二列上,再按第二列展开,有
102
215(1)0301
A λλλ-=-=-=-.
解出1λ=.
方法2：因为0B ≠,故B 中至少有一个非零列向量.依题意,所给齐次方程组0Ax =有非零解,得系数矩阵的列向量组线性相关,于是
122
210311
A λ-=-=-,
以下同方法一.
【相关知识点】对齐次线性方程组0Ax =,有定理如下:
对矩阵A 按列分块,有()12n A ,,
,ααα=,则0Ax =的向量形式为
11220n n x x x .ααα++
+=
那么, 0Ax =有非零解 12n ,,,ααα?线性相关
()12n r ,,
,n ααα?<
()r A n.?<
对矩阵B 按列分块,记123(,,)B βββ=,那么
123123(,,)(,,)(0,0,0)AB A A A A ββββββ===.
因而0i A β=(1,2,3)i =,即i β是0Ax =的解.
十二、(本题满分6分)
【解析】 因为本题矩阵为抽象矩阵,条件中涉及代数余子式,所以考虑将行列式按某一行或者某一列展开.
因为()123ij ij a A i,j ,,==,即()11121311
12132122
2321
22
2331
32
3331
32
33T
*a a a A A A A a a a A A A A a a a A A A ????
????===????????????
, 亦即T
*
A A =.由逆矩阵的计算公式 *AA A E =,故T
AA A E =.两边取行列式,得
2
T A A A A E =?=.
因为A 为三阶行列式,所以2
3
A A E A ==,从而()2
10A
A -=,得1A =或0A =.
由于110a ≠,对A 按第1行展开,有
222
1111121213131112130A a A a A a A a a a =++=++>
故必有1A =.
【相关知识点】将行列式对任一行按下式展开,其值相等,即
11221
n
i i i i in in ij ij j D a A a A a A a A ==++
+=∑ ()1,2,
,i n =,
其中(1)
,i j
ij ij A M +=-ij M 是D 中去掉第i 行第j 列全部元素后按原顺序排列成的1n -阶
行列式,它称为ij a 的余子式,ij A 称为ij a 的代数余子式.
十三、(本题满分7分)
【解析】设事件A =“每次测量中测量误差的绝对值大于19.6”,因为 2(0,10)X
N ,即
220,10EX DX μσ====.根据正态分布的性质则有：
{}19.6()19.6X p P A P X P μμσ
σ?--?
==>=>????
|0|19.60|| 1.96101010X X P P --????=>=>???
?????
[]1 1.96 1.961(1.96)( 1.96)10X P ??
=--≤≤=-Φ-Φ-????
1[(1.96)(1(1.96))]22(1.96)=-Φ--Φ=-Φ 2[(1(1.96)]0.05=-Φ=.
设Y 为100次独立重复测量中事件A 出现的次数,则Y 服从参数为100,0.05n p ==的二项分布.根据二项分布的定义,{}(1)
(0,1,2)k
k
n k
n P Y k C p p k -==-=,则至少有三
次测量误差的绝对值大于19.6的概率α为：
{3}1{3}1{0}{1}{2}P Y P Y P Y P Y P Y α=≥=-<=-=-=-=
001001110012
2100210010010010.05(10.05)0.05(10.05)0.05(10.05)C C C --=------
1009998210099
10.951000.950.050.950.052
?=--??-
??. 根据泊松定理,对于成功率为p 的n 重伯努利试验,只要独立重复试验的次数n 充分大,而p 相当小(一般要求100,0.1n p ≥≤),则其成功次数可以认为近似服从参数为的泊松分布,具体应用模式为若(,)Y
B n p ,则当n 充分大,p 相当小时当Y 近似服从参数为np
λ=的泊松分布,即 {}()(1)
(0,1,2)!
k k k
n k
np n
np P Y k C p p e k k --==-≈=.
设Y 为100次独立重复测量中事件A 出现的次数,则Y 服从参数为100,0.05n p ==的二项分布.故
{3}1{3}1{0}{1}{2}P Y P Y P Y P Y P Y α=≥=-<=-=-=-=
0122()()()110!1!2!2e e e e e e λλλλλ
λλλλλλ------≈---=---
2
5
51(15)0.872
e -=-++≈.
十四、(本题满分7分) 【解析】令随机变量
1,0,i i X i ?=?
?第个部件需调整第个部件不需调整，
，
1,2,3i =. 依题意123,,X X X 相互独立,且123,,X X X 分别服从参数为0.1,0.2,0.3的01-分布,即
由题意知123X X X X =++,显然X 的所有可能取值为0,1,2,3,又123,,X X X 相互独立, 所以
(1) 123123{0}{0}{0,0,0}P X P X X X P X X X ==++===== 123{0}{0}{0}0.90.80.70.504P X P X P X =====??=,
12312312312312312312{1}{1} {1,0,0}
{0,1,0}{0,0,1} {1}{0}{0}
{0}{1}{0}{0}{0P X P X X X P X X X P X X X P X X X P X P X P X P X P X P X P X P X ==++=====+===+=======+===+==3}{1} 0.10.80.70.90.20.70.90.80.30.398,
P X ==??+??+??=
123123{3}{3}{1,1,1}P X P X X X P X X X ==++=====
123{1}{1}{1}0.10.20.30.006P X P X P X =====??=.
由{0}{1}{2}{3}1P X P X P X P X =+=+=+==得出
{2}1{0}{1}{3} 10.5040.3980.0060.092.
P X P X P X P X ==-=+=+==---=
X (2)令1122{1}0.1,{1}0.2,p P X p P X ======33{1}0.3,p P X ===因i X 均服从01-分布,故,(1)i i i i i EX p DX p p ==-所以123()0.1()0.2()0.3E X E X E X = ,= ,=,
123()0.10.90.09,()0.20.80.16,()0.30.70.21D X D X D X =?==?==?=
123X X X X =++.因i X 服从01-分布, 且123,,X X X 相互独立,故由数学期望与方差的
性质 123123()0.6EX E X X X EX EX EX =++=++=.
123123()0.46DX D X X X DX DX DX =++=++=.
注：X 的期望与方差也可以直接用期望与方差的公式来计算：
()0{0}1{1}2{2}3{3}
00.50410.39820.09230.0060.6,
E X P X P X P X P X =?=+?=+?=+?==?+?+?+?=
22222
2
2
2
()0{0}1{1}2{2}3{3}
00.50410.39820.09230.0060.46.
D X P X P X P X P X =?=+?=+?=+?==?+?+?+?=