07年北京信息科技大学数学竞赛

北京信息科技大学（筹）第一届数学竞赛试题

（理科组）

2007年5月

一、（6分）设在处连续，且

，求。

二、（7分）设sin3cos5y x x =?，求。

三、（7分）已知

是上的非零函数，对任意有

，且

，求

。

四、（10分）设D 是由曲线3

x y =与直线x y =在第一象限内围成的封闭区域，求

dxdy

e x D

2

??

五、（8分）设函数)(x f 在区间[0, 1]上连续，并设

?

=1

)(A

dx x f ，求

??

10

1

)()(dy

y f x f dx x

。

六、（10分）已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界. 试证：

(1) dx ye dy xe dx ye dy xe x L

y x L

y sin sin sin sin -=-??--;

(2)

.22sin sin π≥--?dx ye dy xe x L

y

七（10分）求用平面)0(0≠=++C Cz By Ax 与椭圆柱面122

22=+b

y a x 相交所成的椭

圆的面积．

八、（12分）设)(x f 在],[b a 上二次可微，且0)(<''x f ，证明

?+≥

-b a b f a f dx x f a b 2)

()()(1。 九、（10分）设)(x f 在

]

2,

0[π

上连续，且满足

?+=20

2

)(cos )(π

dt

t f x x x f ，求)(x f 。

十、（10分）设 (4)n n >阶矩阵的4个不同特征值为1234, , , λλλλ, 其对应的特征向量

依次为1234, , , αααα，记1234=+++βαααα, 求证：23, , , A A A ββββ 线性无关. 十一、（10分）知)(x f 在6=x 的邻域内为可导函数,且,0)(lim 6

=→x f x

6

lim ()2007,x f x →'= 求极限.

)

6()(lim

3

6

66

x dt

du u f t x

t x -???????

?→

北京信息科技大学（筹）第一届数学竞赛试题

（文科组）

2007年5月

一、填空题（22分）

（1）设，则常数

。

(2) 设

在

处可导，0

00()()

lim

x x f x t f x t t

αβ->+--= .

（3）设，则 ， 。

（4）已知，则 。

（5）已知函数，则 。

（6）

。

（7）设函数

有连续的导函数，

，且，若

在

处连续，则常数A= 。 （8）已知当0x ->时

与

是等价无穷小，则常数

。

（9） 。

（10）已知对任意实数有，且当时，

，则函数值

。

二、（10分）设()sin (1sin )(2sin )(2007sin )f x x x x x =+++，求)0(f '

三、求

1、（6分）2

02lim x e e x x x -+-→ （2）（7分）?-2

23

2),,1max(dx x x （

四、（１０分）设ｆ（ｘ）的原函数为x

x

sin ，求不定积分?'dx x f x )( 五、证明题(8分)

设

)(x f 连续，积分区域D 是由直线x y =，1=y 及y 轴围成 ，试证明

2

10d )(21d d )()(??? ??=???x x f y x y f x f D

六、（10分）设在

上连续，且。证明在内至少存在一

点，使

。

七、（10分）设，求。

八、（10分）设),(y x f 连续，且

??+=D

dudv

v u f xy y x f ),(),(，其中D 是由

1,,02===x x y y 所围成的区域，求),(y x f 。

九、（7分）设)(x f 在],[b a 上有连续二阶导数，且0)()(==b f a f ，证明：

?

?''--=

b

a

b

a dx x f

b x a x dx x f )())((21)(。