坐标系伸缩变换(张亚宾)

数学选修4-4---§1.1平面直角坐标系与伸缩变换

课型：高二班姓名：日期：编号：NO. 2 主编: 修订：审核：

一、【学习目标】1、知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法

2、能力与与方法：体会坐标系的作用

3、情感态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养

创新意识。

二、【学习考点】1、教学重点：体会直角坐标系的作用

2、教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题

3、高考考纲考点：

高考对该部分内容的考查多以填空题、解答题为主，考查简单的极坐标系

中直线与圆的方程，或者求解极坐标中曲线的某个特征值。

三、【自主学习我专注】（课前预时20分钟）Array问题1：如何刻画一个几何图形的位置？

问题2：如何研究曲线与方程间的关系？

【课堂探究】

探究一：平面直角坐标系的建立

某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北

两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比它们晚了4s。已

知各观测点到中心的距离是1020m，试确定巨响发生的位置（假定声音传播的速

度是340m/s，各观测点均在同一平面上）

问题1:用什么方法描述发生的位置？

思考：怎样建立直角坐标系才有利于我们解决问题？

问题2：还可以怎样描述点P的位置？

例1.已知△ABC的三边a,b,c满足b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,CF上的中线，

平面直角坐标系探究BE与CF的位置关系。

探究:你能建立不同的直角坐标系解决这个问题吗？比较不同的直角坐标系下解决问题的过程，建立直角坐标系应注意什么问题？

小结：选择适当坐标系的一些规则：

如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点 如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴 使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上 探究二.平面直角坐标系中的伸缩变换

思考1：怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=sin2x?

坐标压缩变换：

设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x 缩为原来 1/2，

得到点P’(x’,y’).坐标对应关系为： ??

???==y y x

x '

'21通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。

思考2：怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。

设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标x 不变，将纵坐标y 伸长为原来 3

倍，得到点P’(x’,y’).坐标对应关系为： ???==y y x

x 3'

'通常把上式叫做平面直角坐标系中

的一个伸长变换。

思考3：怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=3sin2x? 写出其坐标变换。

定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换???>=>=)

0(,)

0(,:''y y y x x μλλ?的作用下，点

P(x,y)对应P’(x’,y’).称?为平面直角坐标系中的伸缩变换。

四、【合作探究我深入】（限时6分钟）

1.两人小对子：相互检查自研成果，指点纠错，并用红笔给对子评定等级。

（y 求下列点经过伸缩变换?

??==y

y x

x 3'2'后的点的坐标：

（1） 1，2）；

（2） （-2，-1）

（ 为了得到函数R x x y ∈+

=),6

3sin(2π

的图像，只需将函数y ）

A.向左平移

6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31

倍（纵坐标不变） B.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31

倍（纵坐标不变）

C.向左平移6π

个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）

D.向右平移6

π

个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）

一、【基础题】

1.点),(y x 经过伸缩变换????

?

==y y x x 3'21

'后的点的坐标是（-2，6），则=x ，=y ；

2．将点（2，3）变成点（3，2）的伸缩变换是（ ）

A.???????==y y x x 23'3

2' B.???????

==y y x

x 3

2'2

3

' C.???==x y y x '' D.???-=+=1'1'y y x x 3．将直线22=-y x 变成直线4''2=-y x 的伸缩变换是 . 二、【发展题】

B8.教材P8 习题1.1 第4，5 三、【腾飞题】

4.在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换???==y

y x

x 3'2'后的图形：

（1）032=+y x ；

（2）122=+y x .

九、【课堂智慧我生成】

等级评定：干净度

高速度

准确度

坐标系转换问题

坐标系转换问题--WGS84坐标 BJ54 BJ80 2012-10-18 14:37 对于坐标系的转换，给很多GPS的使用者造成一些迷惑，尤其是对于刚刚接触的人，搞不明白到底是怎么一回事。我对坐标系的转换问题，也是一知半解，对于没学过测量专业的人来说，各种参数的搞来搞去实在让人迷糊。在我有限的理解范围内，我想在这里简单介绍一下，主要是抛砖引玉，希望能引出更多的高手来指点迷津。 我们常见的坐标转换问题，多数为WGS84转换成北京54或西安80坐标系。其中WGS84坐标系属于大地坐标，就是我们常说的经纬度坐标，而北京54或者西安80属于平面直角坐标。对于什么是大地坐标，什么是平面直角坐标，以及他们如何建立，我们可以另外讨论。这里不多啰嗦。 那么，为什么要做这样的坐标转换呢？ 因为GPS卫星星历是以WGS84坐标系为根据而建立的，我国目前应用的地形图却属于1954年北京坐标系或1980年国家大地坐标系；因为不同坐标系之间存在着平移和旋转关系（WGS84坐标系与我国应用的坐标系之间的误差约为80），所以在我国应用GPS进行绝对定位必须进行坐标转换，转换后的绝对定位精度可由80提高到5-10米。简单的来说，就一句话，减小误差，提高精度。 下面要说到的，才是我们要讨论的根本问题：如何在WGS84坐标系和北京54坐标系之间进行转换。 说到坐标系转换，还要罗嗦两句，就是上面提到过的椭球模型。我们都知道，地球是一个近似的椭球体。因此为了研究方便，科学家们根据各自的理论建立了不同的椭球模型来模拟地球的形状。而且我们刚才讨论了半天的各种坐标系也是建立在这些椭球基准之上的。比如北京54坐标系采用的就是克拉索夫斯基椭球模型。而对应于WGS84坐标系有一个WGS84椭球，其常数采用IUGG第17届大会大地测量常数的推荐值。WGS84椭球两个最常用的几何常数：长半轴：6378137±2(m)；扁率：1：298.257223563 之所以说到半长轴和扁率倒数是因为要在不同的坐标系之间转换，就需要转换不同的椭球基准。这就需要两个很重要的转换参数dA、dF。 dA的含义是两个椭球基准之间半长轴的差；dF的含义是两个椭球基准之间扁率倒数的差。在进行坐标转换时，这两个转换参数是固定的，这里，我们给出在进行84—〉54，84—〉80坐标转换时候的这两个参数如下： WGS84>北京54：DA:-108；DF:0.0000005 WGS84>西安80：DA: -3 ；DF: 0 椭球的基准转换过来了，那么由于建立椭球的原点还是不一致的，还需要在dXdYdZ这三个空间平移参量，来将两个不同的椭球原点重合，这样一来才能使两个坐标系的椭球完全转换过来。而由于各地的地理位置不同，所以在各个地方的这三个坐标轴平移参量也是不同的，因此需要用当地的已知点来计算这三个参数。具体的计算方法是： 第一步：搜集应用区域内GPS“B”级网三个以上网点WGS84坐标系B、L、H值及我国坐标系（BJ54或西安80）B、L、h、x值。（注：B、L、H分别为大地坐标系中的大地纬度、大地经度及大地高，h、x分别为大地坐标系中的高程及高程异常。各参数可以通过各省级测绘局或测绘院具有“A”级、“B”级网的单位获得。） 第二步：计算不同坐标系三维直角坐标值。计算公式如下： X=（N+H）cosBcosL Y=（N+H）cosBsinL Z=[N（1-e2）+H]sinB

直角坐标系伸缩变换(最终)

课前案 知识梳理： (一)、直角坐标系： 1、直线上点的坐标： 2、平面直角坐标系： 右手系： 左手系： 3、空间直角坐标系： （二）、平面上的伸缩变换： 1、定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换 的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称 ?为平面直角坐标系中的伸缩变换 2、注（1） （2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到； （3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。 课中案 例1、由已知伸缩变换、变换后图形的方程两个条件，求出原图形的方程： （1）、已知点（x,y ）经过伸缩变换? ??==y y x x 2'3'后的点的坐标是)4,3(-π，则x= ，y= . （2）、已知点(x,y)经过伸缩变换????? ==y y x x 3'21'后的点的坐标是（-2，6） ，则x= ，y= ； 例2、在同一平面直角坐标系中，曲线C 经过伸缩变换??? ???? ==y y x x 21'31'后的曲线方程是36'9'42 2=-y x ， 求曲线C 的方程。 例 3.（1）在同一平面直角坐标系中，曲线C 经过伸缩变换'3'x x y y =?? =?后的曲线方程是 2 2 99'' y x +=，求曲线C 的方程。 （2）、在同一平面直角坐标系中，求直线x-2y=2变成直线2''4x y -=的伸缩变换 例4.曲线C 经过伸缩变换??? ???? ==y y x x 21'31'后的曲线方程是36'9'42 2=-y x ，求曲线C 的方程。 '(0):'(0)x x y y λλ?μμ=>?? =>?0,0 λμ>>

坐标系向国家大地坐标系的转换完整版

坐标系向国家大地坐标 系的转换 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

北京54坐标系向国家2000大地坐标系的转换 摘要：2000国家坐标系统提高了测量的绝对精度，并且可以快速获取精确的三维地心坐标，能够提供高精度、地心、实用、统一的大地坐标系，自此以后的测量成果要求坐标系统采用2000国家大地坐标系，本文就北京54坐标系和2000国家大地坐标系原理和转换方法进行简单的分析。 1引言大地坐标系是地球空间框架的重要基础，是表征地球空间实体位置的三维参考基准，科学地定义和采用国家大地坐标系将会对航空航天、对地观测、导航定位、地震监测、地球物理勘探、地学研究等许多领域产生重大影响。建立大地坐标框架，是测量科技的精华，与空间导航乃至与经济、社会和军事活动均有密切关系，它是适应一定社会、经济和科技发展需要和发展水平的历史产物。过去受科技水平的限制，人们不得不使用经典大地测量技术建立局部大地坐标系，它的基本特点是非地心的、二维使用的。采用地心坐标系，即以地球质量中心为原点的坐标系统，是国际测量界的总趋势，世界上许多发达和中等发达国家和地区多年前就开始采用地心坐标系，如美国、加拿大、欧洲、墨西哥、澳大利亚、新西兰、日本、韩国等。我国也于2008年7月开始启用新的国家大地坐标系—2000国家大地坐标系。 2北京54系我国北京54坐标系是采用前苏联的克拉索夫斯基椭球参数（长轴6378245ra，短轴635686m，扁率1/298．3），并与前苏联1942年坐标系进行联测，通过计算建立了我国大地坐标系，定名为1954年北京坐标系。其坐标的原点不在北京，而是在前苏联的普尔科沃。

高中数学 教学设计 平面直角坐标系中的伸缩变换

平面直角坐标系中的伸缩变换 【三维目标】 知识与技能目标：引导学生探究得出平面直角坐标系中的伸缩变换，进一步理解坐标法； 过程与方法目标：让学生经历从具体到一般，从直观到抽象的思维过程, 培养学生严谨的 思维品质； 情感、态度与价值观目标：在合作交流中学习，培养学生的交流能力及自主探究的意识. 【教学重点】 通过实例探究得出并运用平面直角坐标系中的伸缩变换 【教学难点】 求伸缩变换时，系数对应成比例 【教学方法】 探究式教学 【教学手段】 多媒体教学 【教学过程】 一、复习回顾 （3分钟） 前面一节课我们学习了平面直角坐标系，通过直角坐标系，平面上的点与坐标（有序数对）、曲线与方程建立了联系，从而实现了数与形的结合；在必修4模块中，我们学习了三角函数图象的平移伸缩变换，你能说出怎样由正弦曲线y ＝sinx 得到曲线y=Asinwx (w>0)吗？ （活动：请学生回答） 提示： 1、 y=sinx y=sinwx y=Asinwx 2、y=sinx y=Asinwx y=Asinwx 今天，我们学习平面角坐标系中的伸缩变换． 二、新知探究 1、 问题情境： （4分钟） （1）怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=sin2x ？ （2y ＝3sinx ？ （活动：学生一起回答） 提示：（1）y=sinx y ＝sin2x ，如图： （多媒体展示）

（2）y ＝sinx y=3sinx ，如图： （多媒体展示） 2、思考： （6分钟） 从平面直角坐标系中的点的对应关系出发，你认为“保持纵坐标y 不变，横坐标x 变 为原来的 ” “横坐标不变，纵坐标y 变为原来的3倍”的实质是什么？(活动：让学生分组讨论探究，分组回答) 提示：y=sinx y=sin2x 点p(x,y) 点p ′(x ′,y ′) “保持纵坐标y 不变，横坐标x 变为原来的 ”,将其变成符号语言得： ———— ① 我们把①式叫做平面直角坐标系中的一个坐标压缩变换. 类比前面过程，你能写出问题②所对应的坐标变换公式吗？ 提示： y=sinx y=3sinx 点p(x ,y) 点p ′(x ′,y ′) “横坐标不变，纵坐标y 变为原来的3倍”，将其变成符号语言得： ———— ② 我们把②式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换. 3、提出问题: （3分钟） 怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=3sin2x ？ （活动：请学生回答） 实际上，这是上述问题（1）（2）的“合成”，如图： （多媒体展示） y=sinx y=sin2x y=3sin2x 点p(x,y) 点p ′(x ′，y ′) 横坐标不变 纵坐标变为3倍 纵坐标不变 横坐标变为1/2 横坐标不变 纵坐标变为3倍 ?? ???='='y y x x 21???='='y y x x 32121

三相坐标系和二相坐标系转换

交流电动机矢量控制变压变频调速系统（三）第三讲坐标 变换的原理和实现方法 收藏此信息打印该信息添加：李华德来源：未知 由第二讲的内容可知，在三相静止坐标系中，异步电动机数学模型是一个多输入、多输出、非线性、强耦合的控制对象，为了实现转矩和磁链之间的解耦控制，以提高调速系统的动静态性能，必须对异步电动机的数学模型进行坐标变换。 3.1 变换矩阵的确定原则 坐标变换的数学表达式可以用矩阵方程表示为 y=ax （3-1） 式（3-1）表示利用矩阵a将一组变量x变换为另一组变量y，其中系数矩阵a称为变换矩阵，例如，设x是交流电机三相轴系上的电流，经过矩阵a的变换得到y，可以认为y是另一轴系上的电流。这时，a称为电流变换矩阵，类似的还有电压变换矩阵、阻抗变换矩阵等，进行坐标变换的原则如下： （1）确定电流变换矩时，应遵守变换前后所产生的旋转磁场等效的原则； （2）为了矩阵运算的简单、方便，要求电流变换矩阵应为正交矩阵； （3）确定电压变换矩阵和阻抗变换矩阵时，应遵守变换前后电机功率不变的原则，即变换前后功率不变。 假设电流坐标变换方程为： i=ci′ （3-2） 式中,i′为新变量,i称为原变量,c为电流变换矩阵。 电压坐标变换方程为： u′=bu （3-3） 式中,u′为新变量,u为原变量,b为电压变换矩阵。 根据功率不变原则，可以证明： b=ct （3-4）

式中，ct为矩阵c的转置矩阵。 以上表明，当按照功率不变约束条件进行变换时，若已知电流变换矩阵就可以确定电压变换矩阵。 3.2 定子绕组轴系的变换（a-b-c＜＝＞α-β） 所谓相变换就是三相轴系到二相轴系或二相轴系到三相轴系的变换，简称3/2变换或2/3变换。 三相轴系和二相轴系之间的关系如图3-1所示，为了方便起见，令三相的a轴与两相的α轴重合。假设磁势波形是按正弦分布，或只计其基波分量，当二者的旋转磁场完全等效时，合成磁势沿相同轴向的分量必定相等，即三相绕组和二相组绕的瞬时磁势沿α、β轴的投影应该相等，即： （3-5） 式中，n3、n2分别为三相电机和两相电机每相定子绕组的有效匝数。 经计算并整理之后可得： （3-6） （3-7） 图3-1 三相定子绕组和二相定子绕组中磁势的空间矢量位置关系

直角坐标系中的平移变换与伸缩变换

1.1 直角坐标系中的平移变换与伸缩变换 目标：平移变换与伸缩变换的应用与理解 一.直角坐标系 1.直线上，取定一个点为原点，规定一个长度为单位长度，规定直线的一个方向为正方向。这样我们就建立了直线上的坐标系 (即数轴)。它使直线上任意一点P 都可以由惟一的实数x 来确定。 2.平面上，取定两条互相垂直的直线作为x 、y 轴，它们的交点作为坐标原点，并规定好长度单位和这两条直线的正方向。这样我们就建立了平面直角坐标系。它使平面上任意一点P 都可以由惟一的二元有序实数对),(y x 来确定。 3.在空间中，选择三条两两垂直且交于一点的直线，以这三条直线分别作为x 、y 、z 轴，它们的交点作为坐标原点，并规定好长度单位和这三条直线的正方向。这样我们就建立了空间直角坐标系。它使空间中任意一点P 都可以由惟一的三元有序实数对),,(z y x 来确定。 事实上，直线上所有点的集合与全体实数的集合一一对应；平面上所有点的集合与全体二元有序数对),(y x 的集合一一对应；空间中所有点的集合与全体三元有序数对),,(z y x 的集合一一对应. 二.平面直角坐标系中图形的平移变换 1.平移变换 在平面内，将图形F 上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为 图形F 的平移。若以向量a 表示移动的方向和长度，我们也称图形F 按向量a 平移． 在平面直角坐标系中，设图形F 上任意一点P 的坐标为),(y x ，向量),(k h a = ，平移后的对应点为),(y x P '''. 则有：),(),(),(y x k h y x ''=+ 即有：?? ?' =+'=+y k y x h x . 因此，我们也可以说，在平面直角坐标系中，由???' =+'=+y k y x h x 所确定的变换 是一个平移变换。

坐标系间的转换

坐标系间的转换 针对西安80坐标系和北京54坐标系之间椭球参数的转换，采用七参数布尔莎模型，进行不同坐标系之间的坐标转换。 标签：七参数布尔莎模型参考椭球MAPGIS平台 0 引言 我们现在改用的西安80坐标系与以前的北京54坐标系的参考椭球体参数是不相同的。54坐标系转换成80坐标系由于椭球参数、定位和定向的变化，必然引起地形图的图廓线、方里线位置以及地形图内地形、地物相关位置的改变。为此，若同时使用根据两种坐标系测制的地形图的情况下，一定要涉及到54坐标系向80坐标系转换问题。转换的原理和方法：大地坐标系变更后，国家基本系列地形图的变更和处理，必须在高斯平面内进行。由于新旧椭球参数不同，参心所在位置也不同，反映在高斯平面上，在同一个投影带里，它们的纵横坐标轴不重合，因此，地面上某一点经过不同椭球面而投影到高斯平面上，它距两系统坐标轴之距离是不等的，在X轴和Y轴上必定都有一个差值。我们按照一定的数学法则将地球面上的经纬网转换到平面上，使地面的地理坐标与平面直角坐标建立起函数关系，实现由曲面向平面的转化。常用的投影大概有二三十种，投影的选取要考虑地图的用途，投影的形变大小等众多因素。 1 北京54坐标系与西安80坐标系 1.1 54国家坐标系：是我国建国初期，为了迅速开展我国的测绘事业，鉴于当时的实际情况，将我国一等锁与原苏联远东一等锁相连接，然后以连接处呼玛、吉拉宁、东宁基线网扩大边端点的原苏联1942年普尔科沃坐标系的坐标为起算数据，平差我国东北及东部区一等锁，这样传算过来的坐标系就定名为1954年北京坐标系。因此，P54可归结为：①属参心大地坐标系；②采用克拉索夫斯基椭球的两个几何参数；③大地原点在原苏联的普尔科沃；④采用多点定位法进行椭球定位；⑤高程基准为1956年青岛验潮站求出的黄海平均海水面；⑥高程异常以原苏联1955年大地水准面重新平差结果为起算数据。按我国天文水准路线推算而得。 自P54建立以来，在该坐标系内进行了许多地区的局部平差，其成果得到了广泛的应用。 1954北京坐标系参考椭球基本几何参数 长半轴a＝6378245m 短半轴b＝6356863.0188m

坐标系伸缩变换(张亚宾)

数学选修4-4---§1.1平面直角坐标系与伸缩变换 课型：高二班姓名：日期：编号：NO. 2 主编: 修订：审核： 一、【学习目标】1、知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2、能力与与方法：体会坐标系的作用 3、情感态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养 创新意识。 二、【学习考点】1、教学重点：体会直角坐标系的作用 2、教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 3、高考考纲考点： 高考对该部分内容的考查多以填空题、解答题为主，考查简单的极坐标系 中直线与圆的方程，或者求解极坐标中曲线的某个特征值。 三、【自主学习我专注】（课前预时20分钟）Array问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何研究曲线与方程间的关系？ 【课堂探究】 探究一：平面直角坐标系的建立 某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北 两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比它们晚了4s。已 知各观测点到中心的距离是1020m，试确定巨响发生的位置（假定声音传播的速 度是340m/s，各观测点均在同一平面上） 问题1:用什么方法描述发生的位置？ 思考：怎样建立直角坐标系才有利于我们解决问题？ 问题2：还可以怎样描述点P的位置？ 例1.已知△ABC的三边a,b,c满足b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,CF上的中线， 平面直角坐标系探究BE与CF的位置关系。

探究:你能建立不同的直角坐标系解决这个问题吗？比较不同的直角坐标系下解决问题的过程，建立直角坐标系应注意什么问题？ 小结：选择适当坐标系的一些规则： 如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点 如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴 使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上 探究二.平面直角坐标系中的伸缩变换 思考1：怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=sin2x? 坐标压缩变换： 设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x 缩为原来 1/2， 得到点P’(x’,y’).坐标对应关系为： ?? ???==y y x x ' '21通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。 思考2：怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。 设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标x 不变，将纵坐标y 伸长为原来 3 倍，得到点P’(x’,y’).坐标对应关系为： ???==y y x x 3' '通常把上式叫做平面直角坐标系中 的一个伸长变换。 思考3：怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=3sin2x? 写出其坐标变换。

参考系坐标系及转换

1天球坐标系、地球坐标系和卫星测量中常用的坐标系的建立方法。 L天球直角坐标系 厂天球坐标系 天球球面坐标系 地球直角坐标系地球大地坐标系 常用的天球坐标系：天球赤道坐标系、天球地平坐标系和天文坐标系。 在天球坐标系中，天体的空间位置可用天球空间直角坐标系或天球球面坐标系两种方式来描述。 1天球空间直角坐标系的定义 地球质心0为坐标原点，Z轴指向天球北极，X轴指向春分点，丫轴垂直于XOZ 平面，与X轴和Z轴构成右手坐标系。则在此坐标系下，空间点的位置由坐标（X，丫Z）来描述。 春分点：当太阳在地球的黄道上由天球南半球进入北半球，黄道与赤道的交点）

A ＜空闵直笥坐瑟厂K V ： z 丿的楚辽” 2天球球面坐标系的定义 地球质心0为坐标原点，春分点轴与天轴（天轴：地球自转的轴）所在平面为天 球经度（赤经）测量基准一一基准子午面，赤道为天球纬度测量基准而建立球面 坐标。空间点的位置在天球坐标系下的表述为（r ,a,S ）。 天欢申诗与地球质?M 重合T 赤礙刊为舍天黏 和感分点的天球子牛面 与过天体$的天球子牛面 之间的夾角，未纬 S 为 原点Mi 天体￡的连規与 天球击道面之间的夹角, 旬題丫为展点Mi 天体S 球球】?坐抚1就，S 1 r ）的C 义： 天球空间直角坐标系与天球球面坐标系的关系可用图 2-1表示: 感鼻—地I 球质心M 一孑塾一指向天球北奴Pn 、 ￥菇'一垂直于XMZ 平面, 与X 抽和Z 抽枸成右 手坐 标系统。 Pn A Z y X 1 \y X 奋 My\5 Ps / /

对同一空间点，直角坐标糸与其著效的球面坐标糸参教间有如下转换关务: C X - /cos a cos S < Y= / sin cos -Z = ysin 5 Y V a = arctan —— L Xz d -arctail . 岁差和章动的影响 岁差：地球实际上不是一个理想的球体，地球自转轴方向不再保持不变，这使春分点在黄道上产生缓慢的西移，这种现象在天文学中称为岁差。 章动：在日月引力等因素的影响下，瞬时北天极将绕瞬时平北天极旋转，大致呈椭圆，这种现象称为章动。 极移：地球自转轴相对地球体的位置并不是固定的，因而，地极点在地球表面上的位置，是随时间而变化的，这种现象称为极移。地球的自转轴不仅受日、月引力作用而使其在空间变化，而且还受地球内部质量不均匀影响在地球内部运动。 前者导致岁差和章动，后者导致极移。 协议天球坐标系：为了建立一个与惯性坐标系统相接近的坐标系，人们通常选择某一时刻，作为标准历元，并将此刻地球的瞬时自转轴（指向北极）和地心至瞬 时春分点的方向，经过瞬时的岁差和章动改正后，分别作为 X轴和Z轴的指向, 由此建立的坐标系称为协议天球坐标系。天味奋 5 y X X Ps

不同坐标系之间的变换

§10.6不同坐标系之间的变换 10.6.1欧勒角与旋转矩阵 对于二维直角坐标，如图所示，有： ?? ? ?????????-=??????1122cos sin sin cos y x y x θθθθ(10-8) 在三维空间直角坐标系中，具有相同原点的两坐标系间的变换一般需要在三个坐标平面上，通过三次旋转才能完成。如图所示，设旋转次序为： ①绕1OZ 旋转Z ε角，11,OY OX 旋 转至0 0,OY OX ； ②绕0 OY 旋转Y ε角 10 ,OZ OX 旋转至0 2 ,OZ OX ； ③绕2OX 旋转X ε角， 0,OZ OY 旋转至22,OZ OY 。 Z Y X εεε,,为三维空间直角坐标变换的三个旋转角，也称欧勒角，与 它相对应的旋转矩阵分别为： ???? ? ?????-=X X X X X R εεεεεcos sin 0sin cos 00 01 )(1 (10-10) ???? ??????-=Y Y Y Y Y R εεεεεcos 0sin 010sin 0cos )(2 (10-11)

???? ??????-=10 0cos sin 0sin cos )(3Z Z Z Z Z R εεεεε (10-12) 令 )()()(3210Z Y X R R R R εεε= (10-13) 则有： ???? ? ?????=??????????=??????????1110111321222)()()(Z Y X R Z Y X R R R Z Y X Z Y X εεε (10-14) 代入： ???? ??? ??? +-+++--=Y X Z Y X Z X Z Y X Z X Y X Z Y X Z X Z Y X Z X Y Z Y Z Y R εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεcos cos sin sin cos cos sin cos sin cos sin sin cos sin sin sin sin cos cos cos sin sin sin cos sin sin cos cos cos 0一般Z Y X εεε,,为微小转角，可取： sin sin sin sin sin sin sin ,sin ,sin 1cos cos cos =========Z Y Z X Y X Z Z Y Y X X Z Y X εεεεεεεεεεεεεεε 于是可化简 ???? ? ?????---=111 0X Y X Z Y Z R εεεεεε (10-16) 上式称微分旋转矩阵。

常用坐标系之间的关系与转换

7.5 常用坐标系之间的关系与转换 一、大地坐标系和空间大地直角坐标系及其关系 大地坐标系用大地纬度企丈地经度L 和丈地髙H 来表示点的位置°这种坐标系是经 典大地测量甬:両用座标紊7屜据地图投影的理论,大地坐标系可以通过一定的投影转 化为投影平面上的直角坐标系，为地形测图和工程测量提供控制基础。同时，这种坐标系 还是研究地球形状和大小的 种有用坐标系°所以大地坐标系在大地测量中始终有着重要 的作用. 空间大地直角坐标系是-种以地球质心为原点购亘墮?坐标系，一般用X 、化Z 表 示点BSSTSTT 逐碇SS 範菇飞両H 绕禎扭转冻其轨道平面随时通过 地球质心。对它们的跟踪观测也以地球质心为坐标原点，所以空间大地直角坐标系是卫星 大地测量中一种常用的基本坐标系。现今，利用卫星大地测量的手段*可以迅速地测定点 的空间大地直角坐拯，广泛应用于导航定位等空间技术。同时经过数学变换，还可求岀点 的大地坐标I 用以加强和扩展地面大地网，进行岛屿和洲际联测，使传统的大地测量方法 发生了深刻的变化，所以空间大地宜角坐标系对现今大地测量的发展’具有重要的意义。 、大地坐标系和空间大地直角坐标系的转换 如图7- 23所示’尸点的位置用空间 大地 直角坐标〔X, Y, Z)表示，其相应 的大地坐 标为(E, L)a 将该图与图？一5 加以比较可见，图7-5中的子午椭圆平面 相 当于图7-23中的OJVP 平面.其中 PPz=Z.相 当于图7-5中的j7；OP 3相当 丫于图7-5中的 仏两平面的经度乙可视为 相同，等于"叽 于是可以直接写岀 X=jrcQsi f Y=jrsinL, Z=y 将式(7-21).式(7-20)分别代入上式, 井考虑 式(7-26)得 X=Ncos^cosZr ” Y =NcQsBsinL > (7—78) Z=N (1—护〉sin^ ； 上式表明了 2种基本坐标系之间的关系。 BB 7-23

2.平面直角坐标系中的伸缩变换(学生版)

2 平面直角坐标系中的伸缩变换 主备： 审核： 学习目标： 1.理解平面直角坐标系中的伸缩变换； 2．了解在平面直角坐标系中伸缩变换作用下平面图形的变化情况； 3.会用坐标变换和伸缩变换解决实际问题. 学习重点：在伸缩变换作用下，图形的变化情况. 学习难点：用坐标变换和伸缩变换解决实际问题. 学习过程： 一、课前准备 阅读教材14P P -的内容，体会平面直角坐标系中伸缩变换的情况.并回顾以下问题： 1.在直角坐标系中，已知点(,)M a b ，则 ①M 关于原点O 的对称点为 ； ②M 关于x 轴的对称点为 ； ③M 关于y 轴的对称点为 ； ④M 关于直线y x =的对称点为 ； ⑤M 关于直线y x =-的对称点为 ； ⑥M 关于直线y x t =+的对称点为 . 2．平移变换 ①平面上任一点P 的坐标(,)x y ，按向量(,)a h k = 平移后的坐标为(,)P x y '''，则有 ②曲线(,)0F x y =的图像，按(,)a h k = 平移后的曲线方程为 . 3.填空题： （1）已知点(4,3)P -按向量(1,5)a = 平移到Q 点，则Q 的坐标为 ． （2）函数2()23f x x =-向右平移3个单位，向下平移1个单位，得到的函数解析式是 ()f x = . (3) 抛物线2 2y x =按向量(3,2)n =- 平移，得到的曲线的方程是 . 二、新课导学 （一）新知： 伸缩变换 ①一般地，由(0)kx x k y y '=?>?' =?所确定的伸缩变换，是指曲线上的所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的k 倍；

②由(0)x x k ky y '=?>?' =?所确定的伸缩变换，是指曲线上的所有点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的k 倍； 上面的变换中，当1k >时表示伸长；当01k <<时，表示压缩； ③定义点(,)P x y 是平面直角坐标系中的任一点，在变换(0,0)x x y y λλμμ'=?>>?' =?作用下，点(,)P x y 对应到(,)P x y '''称为平面坐标系中坐标的伸缩变换． （二）典型例题 【例1】求曲线22 4x y +=按照32x x y y '=??'=?做伸缩变换后的曲线方程. 【解析】 【例2】．试述如何由1sin(2)33y x π= +的图象得到sin y x =的图象. 【解析】方法一：1sin(2)33y x π=+ ）（纵坐标不变倍横坐标扩大为原来的3πsin 312+=?????????→?x y x y sin 313π=????????→?纵坐标不变个单位图象向右平移 x y sin 3=?????????→?横坐标不变倍纵坐标扩大到原来的. 方法二： （1）先将1sin(2)33y x π= +的图象向右平移6π个单位，得1sin23y x =的图象； （2）再将1sin23y x =上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得1sin 3y x =的图象； （3）再将1sin 3y x = 图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到sin y x =的图象. *【例3】已知函数 22()3sin()cos()(0)33f x x x ππωωω+-+>图象的两相邻对称轴间的距离为2π. （1）求()8 πf 的值； （2）将函数()y f x =的图象向右平移6 π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的表达式. 【解析】（1）22())cos()33 f x x x ππωω+-+

1坐标系伸缩变换

高二数学导学案主备人：备课时间：组长签字： § 1.1平面直角坐标系与伸缩变换 一、三维目标 1、知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2、能力与与方法：体会坐标系的作用 3 、情感态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二、学习重点难点 1、教学重点：体会直角坐标系的作用 2、教学难点：能够建立适当的直角坐标系，解决数学问题 三、学法指导：自主、合作、探究 四、知识链接 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2:如何研究曲线与方程间的关系？ 五、学习过程 一.平面直角坐标系的建立 某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到 一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比它们晚了4s。已知各观测点到中心的距离是1020m,试确定巨响发生的位置（假定声音传播的速度是340m/s，各观测点均在同一平面上） 问题1: 思考1:问题1 :用什么方法描述发生的位置？ 思考2：怎样建立直角坐标系才有利于我们解决问题? 问题2：还可以怎样描述点P的位置? B例1?已知△ ABC的三边a,b,c满足b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE与CF的位置关系。

探究：你能建立不同的直角坐标系解决这个问题吗？比较不同的直角坐标系下解决问题的过程，建立直角坐标系应注意什么问题？ 小结：选择适当坐标系的一些规则：如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上 二.平面直角坐标系中的伸缩变换 思考1:怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x? 坐标压缩变换： 设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来1/2，得到点 ''1 X = — X { 2 P' (x '坐标对应关系为：y' = y通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。 思考2:怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。 设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标x不变，将纵坐标y伸长为原来3倍，得到 「' x =x 点P'(X'，坐标对?应关系为：jy=3y通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个伸长变换。 思考3:怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x? 写出其坐标变换。 十x=九x (九＞0) 定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换? ：」，八的作用下，点P(x,y)对 畀=4y,(y = 0) 应P' (x ' ,y ').称「为平面直角坐标系中的伸缩变换。

1.1直角坐标系平面上的伸缩变换

1．1 直角坐标系，平面上的伸缩变换 1．1.1 直角坐标系 1．1.2 平面上的伸缩变换 基础达标 1．把函数y ＝sin 2x 的图象变成y ＝sin ? ? ???2x ＋π3的图象的变换是 ( ) A ．向左平移π 6 B ．向右平移π 6 C ．向左平移π 3 D ．向右平移π 3 答案：A 解析：由函数y ＝sin 2x 的图象得到y ＝sin ? ? ???2x ＋π3的图象所作的变换为 ??? ?? X ＝x －π6， Y ＝y ， 故是向左平移π 6个单位． 2．已知?ABCD 中三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是(－1,2)、(3,0)、(5,1)，则 点D 的坐标是 ( ) A ．(9，－1) B ．(－3,1) C ．(1,3) D ．(2,2) 答案：C 解析：由平行四边形对边互相平行，即斜率相等，可求出D 点坐标．设D (x ，y )， 则?? ? k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ， 即????? 2－0－1－3＝y －1x －5，2－y －1－x ＝0－13－5. ∴??? x ＝1， y ＝3. ，故D (1,3)． 3．在同一坐标系中，将曲线y ＝3sin 2x 变为曲线Y ＝sin X 的伸缩变换是( )

A.????? x ＝2X y ＝13 Y B.? ??? ? X ＝2x Y ＝13y C.??? x ＝2X y ＝3Y D.??? X ＝2x Y ＝3y 答案：B 解析：设??? X ＝ax Y ＝by 代入第二个方程Y ＝sin X 得by ＝sin ax ，即y ＝1 b sin ax ， 比较系数可得????? b ＝13 ， a ＝2. 4．在△ABC 中，已知B (－2,0)，C (2,0)，△ABC 的周长为10，则A 点的轨迹 方程为____________________________． 答案：x 29＋y 2 5＝1 (y ≠0) 解析：∵△ABC 的周长为10， ∴|AB |＋|AC |＋|BC |＝10. 其中|BC |＝4， 即有|AB |＋|AC |＝6>4. ∴A 点轨迹为椭圆除去长轴两顶两点， 且2a ＝6,2c ＝4. ∴a ＝3，c ＝2，b 2＝5. ∴A 点的轨迹方程为x 29＋y 2 5＝1 (y ≠0)． 5．在平面直角坐标系中，方程x 2＋y 2＝1所对应的图形经过伸缩变换 ??? X ＝2x ，Y ＝3y 后的图形所对应的方程是____________． 答案：X 24＋Y 2 9＝1 解析：代入公式可得X 24＋Y 2 9＝1. 6．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换

地理信息中各种坐标系区别和转换总结

地理信息中各种坐标系区别和转换总结 一、北京54坐标到西安80坐标转换小结 1、北京54和西安80是两种不同的大地基准面，不同的参考椭球体，因而两种地图下，同一个点的坐标是不同的，无论是三度带六度带坐标还是经纬度坐标都是不同的。 2、数字化后的得到的坐标其实不是WGS84的经纬度坐标，因为54和80的转换参数至今没有公布，一般的软件中都没有54或80投影系的选项，往往会选择WGS84投影。 3、WGS8 4、北京54、西安80之间，没有现成的公式来完成转换。 4、对于54或80坐标，从经纬度到平面坐标（三度带或六度带）的相互转换可以借助软件完成。 5、54和80间的转换，必须借助现有的点和两种坐标，推算出变换参数，再对待转换坐标进行转换。（均靠软件实现） 6、在选择参考点时，注意不能选取河流、等高线、地名、高程点，公路尽量不选。这些在两幅地图上变化很大，不能用作参考。而应该选择固定物，如电站，桥梁等。 二、西安80坐标系与北京54坐标系转换 西安80坐标系与北京54坐标系其实是一种椭球参数的转换作为这种转换在同一个椭球里的转换都是严密的，而在不同的椭球之间的转换是不严密，因此不存在一套转换参数可以全国通用的，在每个地方会不一样，因为它们是两个不同的椭球基准。那么，两个椭球间的坐标转换，一般而言比较严密的是用七参数布尔莎模型，即 X 平移， Y 平移， Z 平移， X 旋转（WX）， Y 旋转（WY）， Z 旋转（WZ），尺度变化（DM ）。要求得七参数就需要在一个地区需要 3 个以上的已知点。如果区域范围不大，最远点间的距离不大于 3 0Km（经验值），这可以用三参数，即 X 平移， Y 平移， Z 平移，而将 X 旋转， Y 旋转， Z 旋转，尺度变化面DM视为 0 。 在MAPGIS平台中实现步骤： 第一步：向地方测绘局（或其它地方）找本区域三个公共点坐标对（即54坐标x，y，z和80坐标x，y，z）； 第二步：将三个点的坐标对全部转换以弧度为单位。（菜单：投影转换/输入单点投影转换，计算出这三个点的弧度值并记录下来） 第三步：求公共点求操作系数（菜单：投影转换/坐标系转换）。如果求出转换系数后，记录下来。 第四步：编辑坐标转换系数。（菜单：投影转换/编辑坐标转换系数。）最后进行投影变换，“当前投影”输入80坐标系参数，“目的投影”输入54坐标系参数。进行转换时系统会自动调用曾编辑过的坐标转换系数。 三、地理坐标系与投影坐标系的区别 1、首先理解地理坐标系（Geographic coordinate system），Geographic coordinate system直译为地理坐标系统，是以经纬度为地图的存储单位的。很明显，Geographic coordinate system是球面坐标系统。我们要将地球上的数字化信息存放到球面坐标系统上，如何进行操作呢？地球是一个不规则的椭球，如何将数据信息以科学的方法存放到椭球上？这必然要求我们找到这样的一个椭球体。这样的椭球体具有特点：可以量化计算的。具有长半轴，短 半轴，偏心率。以下几行便是Krasovsky_1940椭球及其相应参数。

1. 坐标系与坐标变换

第七章解析几何与微分几何 解析几何是运用代数方法研究几何图形的性质，它的主要研究对象是直线、平面、二次曲线与二次曲面.微分几何是运用无穷小分析方法研究几何图形的性质，它的主要研究对象是曲线与曲面. 本章的所有内容都只在欧氏(没有包括仿射和射影)空间中讨论. 全章有十一节.前六节属于解析几何，叙述了平面及空间的坐标系、坐标变换与基本计算公式；平面上和空间中直线与平面方程的各种形式以及它们之间的相互关系，较详细地列出了各种类型的二次曲线和二次曲面的基本元素、标准方程、主要性质和各量的计算公式.最后还从一般的二次方程出发研究了二次曲线与二次曲面的一般性质，并利用不变量写出标准方程和形状的判定. 后五节的内容属于微分几何，关于曲线论这里给出了：平面曲线和空间曲线的雪列-弗莱纳公式和基本定理，以及它们的曲率、挠率的概念和计算公式；等距线、渐开线、渐屈线和包络线的定义和方程，较详细地收集了重要平面曲线和一些特殊空间曲线的方程、图形及其各种特征.关于曲面论这里只叙述了几个特殊曲面的方程、图形和性质，并且给出曲面的基本元素(弧长、面积、夹角、切面、法面等方程和公式)、基本形式、基本方程、基本定理、曲率线、渐近曲线、共轭曲线、测地线与法曲率、测地曲率、总曲率、平均曲率、波恩涅公式等. 本章中凡是有关矢量的概念、运算和公式，请查阅第八章. § 1 坐标系与坐标变换 一、平面坐标系及其变换表

[坐标轴的平移] [坐标轴的旋转] 二、空间坐标系及其变换表 坐标系与图

(c) 坐标系与图形[圆柱面坐标系] [圆柱面坐标与直角坐标的

[坐标轴的旋转] （i ） 章动角θ 为OZ 与Oz 两轴正向夹角(0≤θ<π). （ii ） 进动角ψ为OA 与Ox 的夹角(0≤ψ<2π)，OA 为OXY 与Oxy 两平面的交线，面对Oz 轴的正向，ψ按逆时针方向从Ox 轴开始计算. （iii ） 自转角?为OA 与OX 的夹角(0≤?<2π)，面对OZ 轴正向，?按逆时针方向从OX 轴开始计算 若设 c 1=c os θ， c 2=c os ψ， c 3=c os ? s 1=sin θ， s 2=sin ψ， s 3=sin ? 则 l 1 = c 2c 3 - c 1s 2s 3, m 1 = s 2c 3 + c 1c 2s 3， n 1 = s 1s 3 l 2 = - c 2s 3 – c 1s 2c 3, m 2 = -s 2s 3+c 1c 2c 3, n 2 = s 1c 3 l 3 = s 1s 2, m 3 = - s 1c 2, n 3 = c 1 变换行列式 Δ= 13 2 1321 3 21 ±=n n n m m m l l l 当右手系变为右手系(或左手系变为左手系)时，Δ=1.当右手系变为左手系(或左手系变 为右手系)时，Δ= -1 .

《4.3.2 平面直角坐标系中的伸缩变换》教案

《4.3.2 平面直角坐标系中的伸缩变换》教案 教学目标: 1.理解平面直角坐标系中的伸缩变换; 2.了解在平面直角坐标系中伸缩变换作用下平面图形的变化情况; 3.会用坐标变换和伸缩变换解决实际问题. 教学重点: 在伸缩变换作用下,图形的变化情况. 教学难点: 用坐标变换和伸缩变换解决实际问题. 教学过程: 一?课前准备 阅读教材14P P -的内容,体会平面直角坐标系中伸缩变换的情况.并回顾以下问题: 1.在直角坐标系中,已知点(,)M a b ,则 ①M 关于原点O 的对称点为(,)a b --; ②M 关于x 轴的对称点为(,)a b -; ③M 关于y 轴的对称点为,)a b (-; ④M 关于直线y x =的对称点为(,)b a ; ⑤M 关于直线y x =-的对称点为(,)b a --; ⑥M 关于直线y x t =+的对称点为(,)b t a t -+. 2.平移变换 ①平面上任一点P 的坐标(,)x y ,按向量(,)a h k =平移后的坐标为(,)P x y ''',则有x k x y k y '+=??'+=? ②曲线(,)0F x y =的图像,按(,)a h k =平移后的曲线方程为(,)0F x h y k --=. 3.填空题: (1)已知点(4,3)P -按向量(1,5)a =平移到Q 点,则Q 的坐标为(3,8)-. (2)函数2()23f x x =-向右平移3个单位,向下平移1个单位,得到的函数解析式是 ()f x =22(3)4x --. (3) 抛物线22y x =按向量(3,2)n =-平移,得到的曲线的方程是2(2)2(3)y x -=+. 二?新课导学 (一)新知: 伸缩变换