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2019-2020年高考数学二轮复习第2部分八大难点突破专项限时集训4解析几何中的范围定值和探索性问题

2019-2020年高考数学二轮复习第2部分八大难点突破专项限时集训

4解析几何中的范围定值和探索性问题

1.(本小题满分14分)(2017·盐城市滨海县八滩中学二模)如图4,点A (1,3)为椭圆x 2

2

y 2

n

=1上一定点,过点A 引两直线与椭圆分别交于B ,C 两点.

2019-2020年高考数学二轮复习第2部分八大难点突破专项限时集训4解析几何中的范围定值和探索性问题

图4

(1)求椭圆方程;

(2)若直线AB ,AC 与x 轴围成以点A 为顶点的等腰三角形,求△ABC 面积的最大值,并求出此时直线BC 的方程.

[解] (1)把点A (1,3)代入x 22+y 2

n

=1得n =6,

故椭圆方程为y 26+x 2

2

=1.

4分

(2)显然题中等腰三角形腰所在的直线不可能与x 轴垂直, 因此其斜率必存在,设AB ,AC 的斜率分别为k 1、k 2,

由?????

y -3=k 1x -x 22+y 2

2019-2020年高考数学二轮复习第2部分八大难点突破专项限时集训4解析几何中的范围定值和探索性问题

6

=1得点B 的横坐标为x =1-

6+23k 1

k 21+3

∴点B 的纵坐标为y =3-23k 2

1+6k 1

k 21+3

即B ? ??

??1-6+23k 1

k 21+3,3-23k 2

1+6k 1k 21+3.

同理可得点C 的坐标为C ? ??

??1-6+23k 2

k 22+3,3-23k 2

2+6k 2k 22+3,

∵k 1+k 2=0,∴直线BC 的斜率为k BC = 3.

设直线BC 的方程为y =3x +m ,代入方程x 22+y 2

6=1得6x 2+23mx +m 2

-6=0,

x B +x C =-33m ,x B x C =m 2

-6

6

,|BC |=1+3|x B -x C |=2

13

m 2

-m 2-

3

10分

∴|BC |=233

12-m 2

又点A 到直线BC 的距离为d =|m |

2,

∴S =12|BC |·d =36

m

2

-m

2

3

6

-m 2-

2

+36,

∴当m 2

=6,即m =±6时,△ABC 面积取得最大值为 3. 此时,直线BC 的方程为y =3x ± 6.

14分

2.(本小题满分14分)(2017·江苏省宿迁市三模)如图5,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :x 24+y 2

3=1的左、右顶点分别为A ,B ,过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于P ,Q 两

点(点P 在x 轴上方).

2019-2020年高考数学二轮复习第2部分八大难点突破专项限时集训4解析几何中的范围定值和探索性问题

图5

(1)若QF =2FP ,求直线l 的方程;

(2)设直线AP ,BQ 的斜率分别为k 1,k 2,是否存在常数λ,使得k 1=λk 2?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.

【导学号:56394100】

[解] (1)因为a 2

=4,b 2

=3,所以c =a 2

-b 2

=1, 所以F 的坐标为(1,0),

设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),直线l 的方程为x =my +1, 代入椭圆方程x 24+y 2

3=1,得(4+3m 2)y 2

+6my -9=0,

则y 1=-3m +61+m 2

4+3m 2,y 2=-3m -61+m 2

4+3m 2

. 若QF =2FP ,即QF →=2FP →

则-3m -61+m 24+3m 2+2·-3m +61+m 2

4+3m 2

=0, 解得m =255

故直线l 的方程为5x -2y -5=0. 6分

(2)由(1)知,y 1+y 2=-6m 4+3m 2,y 1y 2=-9

4+3m

2, 所以my 1y 2=-

9m 4+3m 2=3

2

(y 1+y 2), 由A (-2,0),B (2,0),P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),x 1=my 1+1,x 2=my 2+1,

所以k 1k 2=

y 12+x 1·x 2-2y 2=

y 1my 2-

y 2my 1+

=3

2y 1+y 2-y 132

y 1+y 2+3y 2=13, 故存在常数λ=13,使得k 1=1

3

k 2.

14分

3.(本小题满分16分)如图6,在平面直角坐标系xOy 中,已知R (x 0,y 0)是椭圆C :x 224+

y 2

12=1上的一点,从原点O 向圆R :(x -x

0)2

+(y -y 0)2

=8作两条切线,分别交椭圆于点P ,

Q .

2019-2020年高考数学二轮复习第2部分八大难点突破专项限时集训4解析几何中的范围定值和探索性问题

图6

(1)若R 点在第一象限,且直线OP ,OQ 互相垂直,求圆R 的方程; (2)若直线OP ,OQ 的斜率存在,并记为k 1,k 2,求k 1k 2的值.

【导学号:56394101】

[解] (1)连接OR (图略).设圆R 的半径为r ,由圆R 的方程知r =22,因为直线OP ,

OQ 互相垂直,且和圆R 相切,所以|OR |=2r =4,即x 20+y 20=16.①

又点R 在椭圆C 上,所以x 2024+y 20

12

=1,②

联立①②,解得??

?

x 0=22,

y 0=22,

所以圆R 的方程为(x -22)2

+(y -22)2

=8. 6分

(2)因为直线OP :y =k 1x 和OQ :y =k 2x 都与圆R 相切,所以|k 1x 0-y 0|1+k 21=22,|k 2x 0-y 0|

1+k 2

2=22,

化简得(x 2

0-8)k 2

1-2x 0y 0k 1+y 2

0-8=0,(x 2

0-8)k 2

2-2x 0y 0k 2+y 2

0-8=0.

所以k 1,k 2是方程(x 2

0-8)k 2

-2x 0y 0k +y 2

0-8=0的两个不相等的实数根,由根与系数的

关系,得k 1k 2=y 20-8

x 20-8

因为点R (x 0,y 0)在椭圆C 上,所以x 2024+y 2012=1,即y 2

0=12-12x 20,所以k 1k 2=4-12x 20

x 20-8=

-1

2

. 16分

4.(本小题满分16分)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为3

2,A (a,0),B (0,b ),

O (0,0),△OAB 的面积为1.

(1)求椭圆C 的方程;

(2)设P 是椭圆C 上一点,直线PA 与y 轴交于点M ,直线PB 与x 轴交于点N .求证:|AN |·|BM |为定值.

【解】 (1)由题意得????

?

c a =3

2

,1

2ab =1,a 2

=b 2

+c 2

解得???

a

=2,b =1,

c = 3.

所以椭圆C 的方程为x 2

4+y 2

=1.

4分

(2)证明:由(1)知,A (2,0),B (0,1). 设P (x 0,y 0),则x 2

0+4y 2

0=4. 当x 0≠0时, 直线PA 的方程为y =y 0

x 0-2

(x -2).

令x =0,得y M =-

2y 0

x 0-2

, 从而|BM |=|1-y M |=?

???

??

1+2y 0x 0-2. 直线PB 的方程为y =

y 0-1

x 0

x +1.

令y =0,得x N =-

x 0

y 0-1

从而|AN |=|2-x N |=?

???

??

2+x 0y 0-1. 10分

所以|AN |·|BM |=?

?????2+

x 0y 0-1·????

??

1+2y 0x 0-2 =????

??x 2

0+4y 2

0+4x 0y 0-4x 0-8y 0+4x 0y 0-x 0-2y 0+2

=??

??

?

?4x 0y 0-4x 0-8y 0+8x 0y 0-x 0-2y 0+2

=4.

当x 0=0时,y 0=-1,|BM |=2,|AN |=2, 所以|AN |·|BM |=4. 综上,|AN |·|BM |为定值.

16分