渐近均分性
Lyapunov稳定性理论概述
Lyapunov Lyapunov稳定性理论概述稳定性理论概述稳定性理论概述 稳定性理论是19 世纪80 年代由俄国数学家Lyapunov创建的，它在自动控制、航空技术、生态生物、生化反应等自然科学和工程技术等方面有着广泛的应用，其概念和理念也发展得十分迅速。通过本学期“力学中的数学方法”课程的学习，我对此理论的概况有了一些认识和体会，总结于本文中。 一， 稳定性的概念稳定性的概念 初始值的微分变化对不同系统的影响不同，例如初始值问题 ax dt dx = ， x(0)=x 0 , t≥0，x 0≥0 (1) 的解为e x at t x 0 )(= ，而x=0 是(1)式的一个解。当a f 0时，无论|x 0|多小，只要 |x 0| ≠ 0 ,在t→+∞时，总有x（t）→ ∞，即初始值的微小变化会导致解的误差任意大，而当a ?0时，e x at t x 0 )(= 。与零解的误差不会超过初始误差x 0，且随 着t 值的增加很快就会消失，所以，当|x 0|很小时，x(t)与零解的误差也很小。 这个例子表明a f 0时的零解是“稳定”的。下面，我们就给出微分方程零解稳定的严格定义。 设微分方程 ),(x t f dt dx =， x(t 0)=x 0 , x ∈R n (2) 满足解存在唯一定理的条件，其解x(t)=x(t，t 0，x 0)的存在区间是),(+∞?∞，f(t，x)还满足条件： f (t ，0)=0 (3) (3)式保证了x(t) = 0 是(2)式的解，我们称它为零解。 这里给出定义1：若对任意给定的ε > 0，都能找到δ=δ(ε,t 0),使得当||x 0||<δ时的解满足x ( t,x 0 , x 0 ) || x ( t, t 0 , x 0 ) || <ε, t ≥ t 0 , 则称(2)式的零解是稳定的，否则称(2)式的零解是不稳定的。
稳定性理论
引言 稳定一词的字面意思为坚持或保持。形容词“稳定的”的英语和法语stable、德语stabil均来源于拉丁语stbilis。最早见于罗马共和国末期的诗人和哲学家卢克莱修(Titus Lucretius Carus，约前99年-约前55年)所写的哲理长诗《物性论》([1] 140页)： 因为水就是这样动的， 一受到最微小的影响就波动， 由于它是由会滚动的小形粒子所构成； 但是相反地密的本性则是更稳定， 它的液汁更富于懒性，它流动更迟缓； 因为它的物质更牢结在一起， 因为，实在说，构成它的粒子， 不是这样地光滑，不是这样地小而圆。 在汉语中，“稳定”是舶来品，本土原先很少用，因此始编于1908年主要收录1840年以前的汉语词汇的《辞源》都没有收入“稳定”。罕见的一个古代使用例子见于《清史稿·列传一百七》，其中收有1814年河东河道总督栗毓美(1778-1840)上疏，论证用烧砖筑堤的必要性----能在水流冲击下不动，上年盛涨，较二年及十二年尤猛迅，砖坝均屹立不移。仪睢、中河两厅，河水下卸，塌滩汇坝，抢镶埽段，旋即走失，用砖抛护，均能稳定([2]11656页)。
传统汉语中，与稳定意思接近的词是“安稳”，意思是平安稳妥。除去天下局势太平、人心所向的引申含义外，主要用于说明行舟的平稳无惊。南朝宋临川王刘义庆(403-444)所撰《世说新语·排调》记载，东晋书法家、画家顾恺之(348-409)遇风浪后写信报平安，行人安稳，布帆无恙([3]438页)。这一故事也收入《晋书·列传第六十二》([4]2404页)。《宋史·志第一百四十八兵九》记载北宋抗金名臣李纲(1083-1140)的主张，水战之利，南方所宜。沿河、淮、海、江帅府、要郡，宜效古制造战船，以运转轻捷安稳为良。又习火攻，以焚敌舟([5]4869页)。。《清史稿·列传七十九》记载1723年江西巡抚裴幰度(?-1740)上疏设关榷税事宜，九江旧关，上有龙开河、官牌夹，下有老鹤塘、白水港，地势宽平，泊舟安稳([6]10311页)。 除行舟外，安稳还用于说明人的体态步态。《庄子·应帝王》中说，泰氏其卧徐徐，其觉于于，司马彪(?-306)注：徐徐，安稳貌([7]289页)。《潜夫论·相列》说人的相法，手足欲深细明直，行步欲安稳覆载([8]310页)。也用于说明车辆行走安定平稳。《晋书·志第十五》解释天子车的五牛旗的含义，牛之为义，盖取其负重致远而安稳也([9]754页)。 稳定性是个重要而基本的科学概念，在其发展过程中已经有含义丰富。我们先从最基本的平衡的稳定性谈起，随后说明运动稳定性。 1 稳定性的概念 物理学中有平衡的概念，物体受合力为零，就处于平衡状态。在惯性系(满足牛顿第一运动定律的参考系)中，若物体原先没有运动，平衡就意味着静止。一支铅笔，末端用一根细线吊起来，就处于平衡状态，因为细线对铅笔的拉力与铅笔自身的重力大小相等、方向相反、作用在同一条直线上，因此合力为零。如果