评注：本题考查含绝对值不等式的解法。
例5：解不等式|3x+2|+|x-2|>4
探路：
含多个绝对值符号的不等式，利用零点、分区间、讨论法。
解：由3x+2=0，得x=；由x-2=0，得x=2，∴
原式或或
或或
x<－1或02
x<－1或x>0 故原不等式的解集为{x|<－1或x>0}
评注：
①解含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，一般采用零点、分区间、讨论法；即先求出使每个含绝对值符号的解析式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把序轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内解析式在每一个区间上的符号，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值的不等式去解。
②分类讨论思想、解关于x的不等式，若对x讨论，所求不等式的解集是各种情况所得解集的并集。
第二阶梯
例1：解下列不等式
（1）|-2|≤3；（2）|x2-3x|>4
探路：当a>0时，有|f(x)| ≤a－a≤f(x)≤a；|f(x)|>a f(x)>a或f(x)<－a 解：
（1）原不等式－3≤－2≤3－1≤≤5，∵≥0，∴0≤≤50≤3x-2≤252≤3x≤27≤x≤9
∴原不等式的解集为{x|≤x≤9}；
（2）原不等式x2-3x>4或x2-3x <-4x2-3x-4>0或x2-3x+4<0
解x2-3x-4>0，得x<-1或x>4；解x2-3x+4<0，得x∈
∴原不等式的解集是{x|x<-1或x>4}。
评注：
依据a>0，x∈R时，有|x|a x>a或x<－a
可知，去掉绝对值符号的主要方法，为 |f(x)|0）；
|f(x)|>a f(x)>a或f(x)<－a，（a>0）
例2.解下列不等式
（i）|x2－9|≤x+3；
探路：根据实数绝对值的意义，即|a|=去掉绝对值符号，再行解之。
解：原不等式（I）或（II）
不等式组（I）x=－3或3≤x≤4；
不等式组（II）2≤x＜3；
∴原不等式的解集是{x|x=－3或2≤x≤4}。
探路（2）：根据不等式的性质|f(x)|≤g(x)－g(x)≤f(x)≤g(x)去掉绝对值符号，再行解之。
解：原不等式－(x+3)≤x2－9≤x+3≤
x=－3或2≤x≤4。
∴原不等式的解集为{x|x=－3或2≤x≤4}。
评注：
解含绝对值符号不等式的基本方法是去掉绝对值符号，然后再解；去绝对值符号的常用手段有三种，即根据实数绝对值的意义，去绝对值符号；根据不等式性质：去绝对值符号，在这
里不必考虑g(x)的符号问题；也可以根据|a|2=a2，（a∈R），将不等式两边平方，此时要注意不等式两边平方的条件。
（ii）>2x；
探路：
|f(x)|>g(x)f(x)>g(x)或f(x)<－g(x)（请同学们直接使用，证明略）
解：原不等式>2x或 <－2x；
由>2x，得x<或x>；
由<－2x，得∴原不等式的解集为{x|x<或x>}
评注：熟练应用“|f(x)|>g(x)f(x)>g(x)或f(x)例3：解下列各不等式
(i)
探路：
利用，将原不等式化为关于|x|的含绝对值二次不等式，先求出|x|的取值范围，再求x的取值范围。
解：∵x2=|x|2
∴原不等式的解集为
评注：对上面介绍的五种去掉绝对值符号的方法，不要盲目套用，要分析题目的结果特征，选择解题的最佳途径是我们要培养的基础功。
(ii)
探路：∵不等式两边均为非负数，∴可以利用“平方法”
解：∵不等式两边都是非负数，∴不等式两边分别平方，得
，整理得
又∵此不等式两边都是非负数，∴两边分别平方，得
整理，得
∴原不等式的解集为；
评注：在利用“平方法”去绝对值符号时，必须注意不等式两边都非负的条件。
探路：可以利用零点、分段、讨论法（即零点区间法）
解4：求零点：令x+3=0，得x=-3；令x-3=0，得x=3 。分段：两个零点将R分为三段；
（i）当x≥3时，原不等式化为|x+3-x+3|>3，∵此不等式恒成立；∴x≥3
（ii）当x≤-3时，原不等式化为|-x-3+x-3|>3，∵此不等式恒成立，∴x≤-3
（iii）当-33，
求(i)、(ii)、(iii)的并集，得原不等式的解集为
第三阶梯
例1：设集合，若A B，求实数a的取值范围。
探路：分别解绝对值不等式，分式不等式，化简集合A，B，再将集合的包含关系转化为与之等价的不等式组，求a的取值范围。注意此时应包括端点。
解：|x-a|<2-2∴A={x|a-2<0(x+2)(x-3)<0-2∴B={x|-2∵A B,于是0≤a≤1。
评注：
本题考查的方向是求满足条件实数a的取值范围；考查的知识点为：绝对值不等式，分式不等式的解法以及集合的知识；考查数形结合的数学思想，必须指出的是集合的包含关系，可直观地解释为数轴上区间的覆盖关系，从而将集合的包含关系转化为与之等价的不等式组，求得a的取值范围。
例2：求证：
探路：
用综合法不易得手时，可从结论分析入手，逐步寻找使前一个不等式成立的充分条件或充要条件。
成立，∴原不等式成立。
评注：
本题考查用分析法证明不等式，是对课本P27。例4，证明方法的挖潜，∵每一个不等式都是前一个不等式成立的充分条件或充要条件，因而相邻两个不等式之间要用反向单箭头
“”（表示后一个不等式是前一个不等式成立的充分条件），或用双向箭头“”（表示后一个不等式是前一个不等式成立的充要条件）连结。也可以用“需证”、“即证”等语句连结。通过练习，落实数学思想和方法。
例3：已知| a | < 1, | b |< 1，试比较| a+b | + | a-b | 与2的大小。
探路：
∵要比较大小的对象含有绝对值符号，∴可联想算术平方根，对其进行变形，再利用不等式的性质进行放缩处理。
评注：
对于含有绝对值符号的比较大小问题，可视为绝对值不等式的证明，要结合绝对值不等式的性质，利用放缩等方法解决问题。
探路：本题也可以按a+b与a-b的符号分类讨论，解答问题。
解：
(i) 当a+b与a-b同号时，有
(ii)当a+b与a-b异号时，有
(iii)当a+b与a-b至少一者为零时，结论显然综上所述：|a+b|+|a-b|<2
仅供参考，不必深究。
例4：设a>0，且a≠1，解关于x的不等式
探路：利用“同底法”。
解：
∴原不等式
(i)当0不等式组（Ⅲ），无解，∴原不等式的解集为；
(ii)当a>1时
不等式组（Ⅲ），无解，∴原不等式的解集为
评注：
本题是含字母系数a的对数不等式，参数a的作用有两个：一是由01来决定对数函数的单调性；在对数不等式变换为代数不等式时，决定不等号的方向是否改变；二是决定所得代数不等式的解集，还需指出的是，对数函数的定义域为R+的制约作用也不可忽视。
第四阶梯
例1．解不等式 |x2+4x-1|<4.............①
解:①-4-5即原不等式的解集是（-5，-3）∪（-1，1）。
例2．解不等式|x2-3|>2x...........①
解:①x2-3<-2x或x2-3>2x x2+2x-3<0或x2-2x-3>0
-33 x<1或x>3。
即原不等式的解集（-∞，1）∪（3，+∞）。
例3．解不等式| |≤1...........①
解:①
(2) |2x+3|2≤|x-1|2(2x+3)2-(x-1)2≤0 (2x+3-x+1)(2x+3+x-1)≤0
(x+4)(3x+2)≤0, -4≤x≤- 。
(3) x≠1。
∴原不等式的解集为[-4，- ]。
例4．解不等式|x+1|+|x-2|<5...........①
分析:为了去掉绝对值符号，首先找到两式的零点-1和2，它们把（-∞，+∞）分成了三个区间；（-∞，-1），[-1，2]，（2，+∞）。从而可将不等式①化为三个不等式组。求它们的解集的并集即可。
解:将不等式①化为三个不等式组
（I）-2（II）-1≤x≤2；
（III）2∴原不等式的解集为(-2,-1)∪[-1,2]∪(2,3)，即（-2，3）。
例5．解不等式|x+1|+|x-2|<1。
解:∵ |x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3，∴原不等式无解。
说明:本题没有采用例4的解法，而是利用三角形不等式直接判断出结果。它提示我们今后解这一类问题，应先判断。
例6．已知:|a|<1, |b|<1。求证:| |<1.........①
证法1：欲证①，只需证<1,
只需证|a+b|<|1+ab|, 只需证(a+b)2<(1+ab)2, 只需证(a+b)2-(1+ab)2<0,
只需证(a2+b2-a2b2-1)<0, 只需证-(a2-1)(b2-1)<0............②
∵ |a|<1, |b|<1。∴a2<1, b2<1，即a2-1<0, b2-1<0。∴②式成立，
证法2：欲证①，只需证-1< <1,
只需证（+1）（-1）<0,
只需证·<0,
只需证<0,
只需证<0............③
∵ |a|<1, |b|<1, ∴ a2<1, b2<1，即a2-1<0, b2-1<0,
又(1+ab)2>0, ∴③式成立，
∴原不等式成立。
例7．求证: ≤≤+ 。
证法1:
∵≤|a+b|(1+|a|+|b|)≤(|a|+|b|)(1+|a+b|) |a+b|≤|a|+|b|。
∵上式显然成立，∴≤成立。
又= + ≤+ 。
证法2：这里只证明≤
分析:观察两式结构均为的形式，又∵|a+b|≤|a|+|b|，而原不等式要成立，只需证明函数y= 在[0，+∞）上单调递增即可。
证明:设0≤x1≤x2, 则- = ，
∵ 0≤x1≤x2, ∴ x2-x1≥0, 1+x1>0, 1+x2>0, ∴≥0。
∴- ≥0, 即≥,
设x1=|a+b|, x2=|a|+|b|
∵ |a+b|≤|a|+|b|,
∴≤。
参考练习:
1．解不等式 |x2+3x-8|≤10。
2．解不等式 |x+7|-|x-2|<3。
3．解不等式 | -3|>1。
4．解不等式 |log3x|+|log3(3-x)|≥1。
5．求y= 的值域。
6．设f(x)=x2+ax+b是整系数二次三项式，求证:|f(1)|< , |f(2)|< , |f(3)|< ,不可能同时成立。
7．已知|x|< , |y|< , |z|< , (ξ>0)。求证:|x+2y-3z|<ξ。
参考答案:
1. [-6, -2]∪[-1, 3]；
2. (-∞, -1)；
3. [ , 2)∪(6, +∞)；
4. 提示:首先求定义域（0，3）。其次求出二零点1，2。分三个区间（0，1]，（1，2]，（2，3）解即可。解集（0，）∪[ ，3]。
5．提示:可用反解法解出sinx= ，则解不等式| |≤1得y∈[-4, - ]。
6．提示:用反证法
略证:假设|1+a+b|< , |4+2a+b|< , 及|9+3a+b|< 同时成立。
由题设a, b∈Z, ∴ 1+a+b∈Z,
∴ 1+a+b=0.........①
同理4+2a+b=0.......② 9+3a+b=0.........③
