高二数学上学期期末考试试题及答案

高二数学(理)试题

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1、命题“若0,00ab a b ===则或”的逆否命题是（ ）

A ．若0,00ab a b ≠≠≠则或

B ．00,0a b ab ≠≠≠若或则

C ．若0,00ab a b ≠≠≠则且

D ．00,0a b ab ≠≠≠若且则 2、命题01,:2>++∈?ax ax R x p ，若p ?是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．(]0,4

B ．[]0,4

C ． ),4[)0,(+∞?-∞

D ．()(),04,-∞?+∞

3、下列各数中最大的数为（ ）

A ．101111（2）

B ．1210（3）

C ．112（8）

D ．69（12）

4、如图所示的程序框图，若输出的S=31，则判断框内填入的条件是（ ）

A ．4?i >

B ．5?i >

C ．4?i ≤

D ．5?i ≤

5、从某小学随机抽取200名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图).若要从身高在

[120，130)，[130，140)，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取36人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为( )．

A ．3

B ．6

C ．9

D ．12

（第4题图） （第5题图）

6、袋中装有3个黑球、2个白球、1个红球，从中任取两个，互斥而不对立的事件是（ ）

A ．“至少有一个黑球”和“没有黑球”

B ．“至少有一个白球”和“至少有一个红球”

C ．“至少有一个白球”和“红球黑球各有一个”

D ．“恰有一个白球”和“恰有一个黑球”

7、利用随机数表法对一个容量为500编号为000，001，002，…，499的产品进行抽样检验，抽取一个容量为10的样本，若选定从第12行第4列的数开始向右读数，（下面摘取了随机数表中的第11行至第15行），根据下图，读出的第3个数是（ ）

A ．584

B ．114

C ．311

D ．160

8、{},,a b c r r r 是空间的一个单位正交基底，p u r 在基底{},,a b c r r r 下的坐标为(2,1,5)，则p u r 在基底{}

,,a b b c a c +++r r r r r r 下的坐标为（ ）

A ．(1,2,3)-

B ．(1,2,3)-

C ．(1,2,3)-

D ．(3,2,1)-

9、假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进入同一部手机，若这两条短信进入手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为（ ）

A ．425

B ．259

C ．1625

D ．2425 10、已知12,F F 是双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于点A 、B ．若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）

A ．4

B ．

C ．

D ．

11、已知定义域为R 的奇函数)(x f y =的导函数为)(x f y '=，当0≠x 时，0)()(>+'x

x f x f ，若)1(f a =，)2(2--=f b ， )21(ln )21(ln f c =，则c b a ,,的大小关系正确的是（ ） A ．b c a << B ．a c b << C ．c b a << D ．b a c << 12、已知F 是抛物线24x y =的焦点，直线1y kx =-与该抛物线交于第一象限内的两点A ，B ，若FB AF 4=，则k 的值是（ ）

A ．45

B ．243

C ．417

D ．233

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.

13、由曲线y x =

，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为 ．

1

4

、

椭

圆

EMBED Equation.DSMT4 221(0,0,)ax by a b a b +=>>≠与直线12y x =-交于,A B 两点，过原点与线段

E

M

15、下列命题：①命题“21,1x x ==若则”的否命题为“21,1x x =≠若则”；②命题“2

0,10x x x ?≥++<”的否定是“20,10x x x ?<++≥” ③对于常数,m n ，“0mn <”是“方程221mx ny +=表示的曲线是双曲线”的充要条件；④“1x >”是“0x >”的必要不充分条件；⑤已知向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r 不共面，则向量OA u u u r 可以

与向量OB OA +和向量OC OA +构成空间向量的一个基底．其中说法正确的有 （写出所有真命题的编号）．

16、设定义域为()+∞,0的单调函数)(x f ，对任意的()+∞∈,0x ，都有4]log )([3=-x x f f ，若0x 是方程3)(2)(='-x f x f 的一个解，且*0),1,(N a a a x ∈+∈，则实数=a ．

三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17、(本小题满分10分) 设关于x 的一元二次方程22

20x ax b ++=．

（1）若a 是从1，2，3，4四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有两个不等实根的概率；（2）若a 是从区间[]1,4任取的一个数，b 是从区间[]0,2任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

18、(本小题满分12分) 某厂采用新技术改造后生产甲产品的产量x (吨)与相应的生产成本y (万元)的几组对照数据.

x 3 4 5 6 y

3 5

(1)请画出上表数据的散点图； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；

(

3)已知该厂技改前生产50吨甲(

参考数据：

E M B E

D

E

q 19、(本小题满分12分) 如图：四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是平行四边形，且BD AC =，

ABCD PA 底面⊥，1==AB PA ，3=BC ，点F 是PB 的中点，点E 在边BC

上移动．（1）证明：当点E 在边BC 上移动时，总有AF EF ⊥；

（2）当CE 等于何值时，PA 与平面PDE 所成角的大小为45°．

20、(本小题满分12分) 已知函数2()ln ()f x x ax a x a R =--∈，622

5)(23-++-=x x x x g （1）若)(x f 的一个极值点为1，求a 的值；

（2）设)(x g 在]4,1[上的最大值为b ，当[)1,x ∈+∞时，b x f ≥)(恒成立，求a 的取值范围．

21、(本小题满分12分) 已知中心在原点，焦点在x 轴的椭圆过点)3

32,1(-

E ，且焦距为2，过点(1,1)P 分别

作斜率为12,k k 的椭圆的动弦,AB CD ，设,M N 分别为线段,AB CD 的中点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）当121k k +=，直线MN 是否恒过定点？如果是，求出定点坐标．如果不是，说明理由.

22、(本小题满分12分) 设函数x x x f ln )(=

（1）求函数)(x f 的最小值；（2）设x x f x a x x F 2)]([)(2

+'+-=，讨论函数)(x F 的单调性；

（3）在第二问的基础上，若方程m x F =)(，(R m ∈)有两个不相等的实数根21,x x ，求证：a x x >+21.

大庆实验中学2015—2016学年度上学期期末考试

高二数学(理)参考答案

DCDAB CCACB DA 13. 163 14. 3 15. ③⑤ 16. 2 17. 解：设事件A 为“方程有实根”． 当a ＞0，b ＞0时，方程有实根的充要条件为a>b

（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共12个：

（1，0）（1，1）（1，2）（2，0）（2，1）（2，2）（3，0）（3，1）（3，2）

（4，0）（4，1）（4，2） ………………2分

其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．

事件A 中包含9个基本事件， ………………4分

∴事件A 发生的概率为93124

P == ………………5分 （2）由题意知本题是一个几何概型，

试验的全部结束所构成的区域为{（a ，b ）|1≤a≤4，0≤b≤2}

满足条件的构成事件A 的区域为{（a ，b ）|1≤a≤4，0≤b≤2，a≥b}………………8分

∴所求的概率是12

113211211=???-=P ………………10分 18. 解(1)略 ………………2分

(2)由已知42186i i x

==∑ 42166.5i i y ==∑ 4

175.5i i i x y ==∑ 4.5x = 4y = 所以，由最小二乘法确定的回归方程的系数为：

e

q \

o (b ,\

s \u p 6(^))＝ E a ^＝y －b ^x ＝4－×＝ ………………7分

因此，所求的线性回归方程为y ^＝＋ ………………8分

(3)由(2)的回归方程及技改前生产50吨甲产品的生产成本，得降低的生产成本为： 40－×50＋＝(万元)． ………………12分

19. 解 解：（1）分别以AD 、AB 、AP 所在直线为x 、y 、z 轴，建立如图所示空间坐标

系

则可得P （0，0，1），B （0，1，0），F （0，，），D （，0，0）

设

B E

=x

，

则

E

（

得=x?0+1×+（﹣1）×=0 可得，即AF⊥PE 成立； ………………5分 （2）求出=（，0，﹣1），设平面PDE 的一个法向量为

则，得 ………………7分

∵PA 与平面PDE 所成角的大小为45°，

=（0，0，1） ∴sin45°==，得= ………………9分

解之得x=

或x= ∵BE=x ， ………………11分 ∴BE=，即当CE 等于2时，PA 与平面PDE 所成角的大小为45°． ……………12分

20. 解: (1)x

a a x x f -

-='2)(，令02)1(=--='a a f ，则a ＝1………………3分 经检验，当a ＝1时，1是)(x f 的一个极值点………………4分 (2) )13)(2(253)(2

+--=++-='x x x x x g ，所以()g x 在[1,2]上是增函数，[2,4]上是减函数0)2()(max ==g x g ………………7分

0)(≥x f 在[)1,x ∈+∞上恒成立，

由x ∈[1，＋∞)知，x ＋ln x ＞0， ………………8分

所以f (x )≥0恒成立等价于a ≤

x 2x ＋ln x 在x ∈[e，＋∞)时恒成立，………………9分 令h (x )＝x 2

x ＋ln x ，x ∈[1，＋∞)，有h ′(x )＝x x －1＋2ln x x ＋ln x 2

＞0，………………10分 所以h (x )在[1，＋∞)上是增函数，有h (x )≥h (1)＝1，所以a ≤1 ………………12分

21. 解：（1）由题意知,1=c 设右焦点)0,1('

F 323

32)0332()11(222'=+-++=+=∴EF EF a ………………2分 2,3222=-==∴c a b a

∴椭圆方程为12

32

2=+y x ………………4分 （2）由题意21k k ≠，设),(M M y x M

直线)1(1:1-=-x k y AB ，即21k x k y += 代入椭圆方程并化简得

0636)32(2221221=-+++k x k k x k ………………5分

21

22121322,323k k y k k k x M M +=+-=∴ ………………7分

同理2212221322,323k k y k k k x N N +=+-=∴ ………………8分 当021≠k k 时， 直线MN 的斜率21219610k k k k x x y y k N M N M --=--=

………………9分 直线MN 的方程为)323(961032221

212121212k k k x k k k k k k y +----=+- ………………10分 又121=+k k 化简得3

296102121---=x k k k k y 此时直线过定点（0，32-） 当021=k k 时，直线MN 即为y 轴，也过点（0，32-

）………………12分 综上，直线过定点（0，3

2-） 22. （1

）解：f′（x ）=lnx+1（x ＞0），令f′（x ）=0，得

．……………2分 ∵当

时，f′（x ）＜0；当时，f′（x ）＞0 ∴当时，．………………3分

（2） F′（x ）=2x ﹣（a ﹣2）﹣（x ＞0）．

当a≤0时，F′（x ）＞0，函数F （x ）在（0，+∞）上单调递增，函数F （x ）的单调增区间为（0，+∞）． 当a ＞0时，由F′（x ）＞0，得x ＞；由F′（x ）＜0，得0＜x ＜．

所以函数F （x ）的单调增区间为，单调减区间为．………………7分

（3）证明：因为x 1、x 2是方程F （x ）=m 的两个不等实根，由（1）知a ＞0．

不妨设0＜x 1＜x 2，则

﹣（a ﹣2）x 1﹣alnx 1=c ，﹣（a ﹣2）x 2﹣alnx 2=c ． 两式相减得

﹣（a ﹣2）x 1﹣alnx 1﹣+（a ﹣2）?x 2+alnx 2=0， 即

+

2

x 1﹣﹣

2

x

2

所以a=

．因为F′=0， 即证明x 1+x 2＞

，

即证明﹣

+（x 1+x 2）（lnx 1﹣lnx 2）＜+2x 1﹣﹣2x 2，

即证明ln ＜．设t=（0＜t＜1）．

令g（t）=lnt﹣，则g′（t）=．

因为t＞0，所以g′（t）≥0，当且仅当t=1时，g′（t）=0，所以g（t）在（0，+∞）上是增函数．又g（1）=0，所以当t∈（0，1）时，g（t）＜0总成立．所以原题得证………………12分