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高考数学考点归纳之等差数列及其前n项和

高考数学考点归纳之等差数列及其前n 项和

一、基础知识

1．等差数列的有关概念

(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．

(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b

2，其中A 叫做a ，b 的等

差中项．

在一个等差数列中，从第2项起，每一项有穷等差数列的末项除外都是它的前一项与后一项的等差中项.

2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋

n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )

. 3．等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系

(1)a n ＝a 1＋(n －1)d 可化为a n ＝dn ＋a 1－d 的形式．当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；当d >0时，数列为递增数列；当d <0时，数列为递减数列．

(2)数列{a n }是等差数列，且公差不为0?S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．

二、常用结论

已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．

(2)在等差数列{a n }中，当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．特别地，若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)．

(3)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为md (k ，m ∈N *)． (4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为n 2d . (5)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．

(6)若{a n }是等差数列，则????

S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }公差

的12

. (7)若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶＝a n

a n ＋1.

(8)若项数为奇数2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n ；S 奇－S 偶＝a n ；S 奇S 偶＝n

n －1

(9)在等差数列{a n }中，若a 1>0，d <0，则满足?????

a m ≥0，

a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值S m ；

若a 1<0，d >0，则满足????

a m ≤0，a m ＋1

≥0的项数m 使得S n 取得最小值S m .

考点一等差数列的基本运算

[典例] (1)(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )

A ．－12

B ．－10

C ．10

D ．12

(2)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝4，S 4＝22，a n ＝28，则n ＝( ) A ．3 B ．7 C ．9

D ．10

[解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得3(3a 1＋3d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋6d ，即3a 1＋2d ＝0.将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10.

(2)因为S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝4a 2＋2d ＝22，d ＝(22－4a 2)

2＝3，a 1＝a 2－d ＝4－3＝1，a n

＝a 1＋(n －1)d ＝1＋3(n －1)＝3n －2，由3n －2＝28，解得n ＝10.

[答案] (1)B (2)D

[解题技法] 等差数列的基本运算的解题策略

(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．

(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．

[提醒] 在求解数列基本量运算中，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换思想的运用，使运算更加便捷．

[题组训练]

1．(2019·开封高三定位考试)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 5＝10，S 4＝16，则数列{a n }的公差为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意，得?????

a 1＋a 1

＋4d ＝10，4a 1＋4×3

2×d ＝16，

解得?

???

a 1＝1，d ＝2，故选B. 2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3·a 5＝12，a 2＝0.若a 1>0，则S 20＝( ) A ．420 B ．340 C ．－420

D ．－340

解析：选D 设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 2＋d ＝d ，a 5＝a 2＋3d ＝3d ，由a 3·a 5＝12得d ＝±2，由a 1>0，a 2＝0，可知d <0，所以d ＝－2，所以a 1＝2，故S 20＝20×2＋20×192×

(－2)＝－340，选D.

3．在等差数列{a n }中，已知a 5＋a 10＝12，则3a 7＋a 9＝( ) A ．12 B ．18 C ．24

D ．30

解析：选C 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，因为a 5＋a 10＝12，所以2a 1＋13d ＝12，

所以3a 7＋a 9＝3(a 1＋6d )＋a 1＋8d ＝4a 1＋26d ＝2(2a 1＋13d )＝2×12＝24. 考点二等差数列的判定与证明

[典例] 已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝1

(1)求证：????

1S n 是等差数列．

(2)求a n 的表达式．

[解] (1)证明：因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，

又a n ＝－2S n ·S n －1，所以S n －1－S n ＝2S n ·S n －1，S n ≠0. 因此1S n －1S n －1

＝2(n ≥2)．

故由等差数列的定义知????

??1S n 是以1S 1＝1

a 1＝2为首项，2为公差的等差数列．

(2)由(1)知1S n ＝1

S 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n ，

即S n ＝1

由于当n ≥2时，有a n ＝－2S n ·S n －1＝－1

2n (n －1)，

又因为a 1＝1

，不适合上式．

所以a n

＝???

2，n ＝1，

－

2n (n －1)，n ≥2.

[题组训练]

1．(2019·陕西质检)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )且a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )

A ．13

B ．49

C ．35

D ．63

解析：选B 由S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )可知数列{a n }是等差数列，所以S 7＝7(a 1＋a 7)

2＝

7(a 2＋a 6)

＝49. 2．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2－1a n －1

(n ≥2，n ∈N *)，设b n ＝

a n －1

(n ∈N *)．求证：数列{b n }是等差数列．

证明：∵a n ＝2－

a n －1

(n ≥2)，∴a n ＋1＝2－1

a n .

∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1

a n －1

＝

12－1a n

－1－1a n －1＝a n －1a n －1＝1， ∴{b n }是首项为b 1＝1

2－1

＝1，公差为1的等差数列．

考点三等差数列的性质及应用

考法(一) 等差数列项的性质

[典例] (1)已知在等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( )

A ．10

B ．20

C ．40

D ．2＋log 25

(2)(2019·福建模拟)设S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，若a 5＝2b 5，则S 9

T 9

＝

( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．6

[解析] (1)因为2a 1·2a 2·…·2a 10＝2a 1＋a 2＋…＋a 10＝25(a 5＋a 6)＝25×

4，所以log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝log 225×

4＝20.选B.

(2)由a 5＝2b 5，得a 5b 5＝2，所以S 9T 9＝9(a 1＋a 9)

29(b 1＋b 9)2＝a 5

b 5

＝2，故选A.

[答案] (1)B (2)A

考法(二) 等差数列前n 项和的性质

[典例] 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36

D ．27

[解析] 由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，故选B. [答案] B

考法(三) 等差数列前n 项和的最值

[典例] 在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( ) A ．S 15 B ．S 16 C ．S 15或S 16

D ．S 17 [解析] ∵a 1＝29，S 10＝S 20，

∴10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，解得d ＝－2，

∴S n ＝29n ＋n (n －1)

2×(－2)＝－n 2＋30n ＝－(n －15)2＋225.

∴当n ＝15时，S n 取得最大值． [答案] A

[解题技法]

1．应用等差数列的性质解题的2个注意点

(1)如果{a n }为等差数列，m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．因此，若出现a m －n ，a m ，a m ＋n 等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与a m (或其他项)有关的条件；若求a m 项，可由a m ＝1

(a m －n ＋a m ＋n )转化为求a m －n ，a m ＋n 或a m ＋n ＋a m －n 的值．

(2)要注意等差数列通项公式及前n 项和公式的灵活应用，如a n ＝a m ＋(n －m )d ，d ＝a n －a m n －m

，S 2n －1＝(2n －1)a n ，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 2＋a n －1)

2(n ，m ∈N *)等．

2．求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法

(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．

(2)邻项变号法：

①当a 1>0，d <0时，满足????? a m ≥0，

a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；

②当a 1<0，d >0时，满足?

????

a m ≤0，

a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .

[题组训练]

1．在等差数列{a n }中，若a 3＝－5，a 5＝－9，则a 7＝( ) A ．－12 B ．－13 C ．12

D ．13

解析：选B 法一：设公差为d ，则2d ＝a 5－a 3＝－9＋5＝－4，则d ＝－2，故a 7＝a 3

＋4d ＝－5＋4×(－2)＝－13，选B.

法二：由等差数列的性质得a 7＝2a 5－a 3＝2×(－9)－(－5)＝－13，选B.

2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，a 3＋a 10>0，a 6a 7<0，则满足S n >0的最大自然数n 的值为( )

A ．6

B ．7

C ．12

D ．13

解析：选C 因为a 1>0，a 6a 7<0，所以a 6>0，a 7<0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10

＝a 1＋a 12>0，a 1＋a 13＝2a 7<0，所以S 12>0，S 13<0，所以满足S n >0的最大自然数n 的值为12.

3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，则数列{a n }的项数为________．

解析：由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，① a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②

①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216， ∴a 1＋a n ＝36，又S n ＝n (a 1＋a n )

2＝324，

∴18n ＝324，∴n ＝18. 答案：18

[课时跟踪检测]

A 级

1．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2，S n 为{a n }的前n 项和，则S 10等于( ) A ．90 B ．100 C ．110

D ．130

解析：选C 由递推公式可知该数列是公差为2的等差数列，S 10＝10×2＋10×9

2×2＝

110.故选C.

2．(2018·北京东城区二模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，a 5＝5，则S 7的值是( )

A ．30

B ．29

C ．28

D ．27

解析：选C 由题意，设等差数列的公差为d ，则d ＝a 5－a 3

5－3＝1，故a 4＝a 3＋d ＝4，所

以S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7×2a 4

＝7×4＝28.故选C.

3．(2019·山西五校联考)在数列{a n }中，a n ＝28－5n ，S n 为数列{a n }的前n 项和，当S n

最大时，n ＝( )

A ．2

B ．3

C ．5

D ．6

解析：选C ∵a n ＝28－5n ，∴数列{a n }为递减数列．令a n ＝28－5n ≥0，则n ≤28

，又n ∈N *，∴n ≤5.

∵S n 为数列{a n }的前n 项和，∴当n ＝5时，S n 最大．故选C.

4．(2019·广东中山一中统测)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝－2n ＋1，则数列????

S n n

的前11项和为( )

A ．－45

B ．－50

C ．－55

D ．－66

解析：选D ∵a n ＝－2n ＋1，∴数列{a n }是以－1为首项，－2为公差的等差数列， ∴S n ＝n [－1＋(－2n ＋1)]2＝－n 2

，∴S n n ＝－n 2n ＝－n ，∴数列??????S n n 是以－1为首项，－1为公差

的等差数列，∴数列????

S n n 的前11项和为11×(－1)＋11×102×(－1)＝－66，故选D.

5．(2018·南昌模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝50，S 10＝200，则a 10＋a 11的值为( )

A ．20

B ．40

C ．60

D ．80

解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得???

S 5

＝5a 1

＋5×4

d ＝50，S 10

＝10a 1

＋10×9

d ＝200，

即?

????

a 1＋2d ＝10，a 1＋9

2d ＝20，解得?????

a 1＝2，

d ＝4. ∴a 10＋a 11＝2a 1＋19d ＝80.故选D.

6．(2019·广州高中综合测试)等差数列{a n }的各项均不为零，其前n 项和为S n .若a 2n ＋1

＝a n ＋2＋a n ，则S 2n ＋1＝( )

A ．4n ＋2

B ．4n

C ．2n ＋1

D ．2n

解析：选A 因为{a n }为等差数列，所以a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，又a 2n ＋1＝a n ＋2＋a n ，所以a 2n ＋1

＝2a n ＋1.因为数列{a n }的各项均不为零，所以a n ＋1＝2，所以S 2n ＋1＝(a 1＋a 2n ＋1)(2n ＋1)

＝

2×a n ＋1×(2n ＋1)

＝4n ＋2.故选A.

7．已知等差数列5,427，34

，…，则前n 项和S n ＝________.

解析：由题知公差d ＝－57，所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝5

14(15n －n 2)．

答案：5

(15n －n 2)

8．已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________. 解析：∵a 3＋a 5＝2a 4，∴a 4＝0.

∵a 1＝6，a 4＝a 1＋3d ，∴d ＝－2. ∴S 6＝6a 1＋6×(6－1)

2d ＝6×6－30＝6.

答案：6

9．等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为________．

解析：∵????? a 4＋a 7＝a 5＋a 6<0，a 5>0，∴?????

a 5>0，

a 6

<0，

∴S n 的最大值为S 5. 答案：S 5

10．在等差数列{a n }中，公差d ＝1

2，前100项的和S 100＝45，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝

________.

解析：因为S 100＝1002(a 1＋a 100)＝45，所以a 1＋a 100＝9

10，

a 1＋a 99＝a 1＋a 100－d ＝2

，

则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝502(a 1＋a 99)＝502×2

5＝10.

答案：10

11．(2018·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15. (1)求{a n }的通项公式； (2)求S n ，并求S n 的最小值．解：(1)设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15. 又a 1＝－7，所以d ＝2.

所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9.

(2)由(1)得S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2

－8n ＝(n －4)2－16，

所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.

12．(2019·山东五校联考)已知等差数列{a n }为递增数列，其前3项的和为－3，前3项的积为8.

(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .

解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，d >0，

∵等差数列{a n }的前3项的和为－3，前3项的积为8，

∴?????

3a 1＋3d ＝－3，a 1(a 1＋d )(a 1

＋2d )＝8，

∴????? a 1＝2，d ＝－3或?????

a 1＝－4，d ＝3.

∵d >0，∴a 1＝－4，d ＝3，∴a n ＝3n －7. (2)∵a n ＝3n －7，∴a 1＝3－7＝－4， ∴S n ＝n (－4＋3n －7)2＝n (3n －11)2.

B 级

1．设a n ＝(n ＋1)2，b n ＝n 2－n (n ∈N *)，则下列命题中不正确的是( ) A ．{a n ＋1－a n }是等差数列 B ．{b n ＋1－b n }是等差数列 C ．{a n －b n }是等差数列

D ．{a n ＋b n }是等差数列

解析：选D 对于A ，因为a n ＝(n ＋1)2，所以a n ＋1－a n ＝(n ＋2)2－(n ＋1)2＝2n ＋3，设c n ＝2n ＋3，所以c n ＋1－c n ＝2.

所以{a n ＋1－a n }是等差数列，故A 正确；

对于B ，因为b n ＝n 2－n (n ∈N *)，所以b n ＋1－b n ＝2n ，设c n ＝2n ，所以c n ＋1－c n ＝2，

所以{b n ＋1－b n }是等差数列，故B 正确；对于C ，因为a n ＝(n ＋1)2，b n ＝n 2－n (n ∈N *)，所以a n －b n ＝(n ＋1)2－(n 2－n )＝3n ＋1，设c n ＝3n ＋1，所以c n ＋1－c n ＝3，所以{a n －b n }是等差数列，故C 正确；

对于D ，a n ＋b n ＝2n 2＋n ＋1，设c n ＝a n ＋b n ，c n ＋1－c n 不是常数，故D 错误． 2．(2019·武汉调研)设等差数列{a n }满足a 3＋a 7＝36，a 4a 6＝275，且a n a n ＋1有最小值，则这个最小值为________．

解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3＋a 7＝36， ∴a 4＋a 6＝36，又a 4a 6＝275，

联立，解得?????

a 4＝11，a 6＝25或????

a 4＝25，a 6

＝11，

当?????

a 4＝11，a 6＝25时，可得?????

a 1＝－10，

d ＝7，

此时a n ＝7n －17，a 2＝－3，a 3＝4，易知当n ≤2时，a n <0，当n ≥3时，a n >0，

∴a 2a 3＝－12为a n a n ＋1的最小值；