第二章命题逻辑
§2.2 主要解题方法
2.2.1 证明命题公式恒真或恒假
主要有如下方法:
方法一.真值表方法。即列出公式的真值表,若表中对应公式所在列的每一取值全为1,这说明该公式在它的所有解释下都是真,因此是恒真的;若表中对应公式所在列的每
一取值全为0,这说明该公式在它的所有解释下都为假,因此是恒假的。
真值表法比较烦琐,但只要认真仔细,不会出错。
例2.2.1 说明G= (P∧Q→R)∧(P→Q)→(P→R)是恒真、恒假还是可满足。
解:该公式的真值表如下:
表2.2.1
由于表2.2.1中对应公式G所在列的每一取值全为1,故
G恒真。
方法二.以基本等价式为基础,通过反复对一个公式的等价代换,使之最后转化为一个恒真式或恒假式,从而实现公式恒真或恒假的证明。
例2.2.2 说明G= ((P→R) ∨? R)→ (? (Q→P) ∧ P)是恒真、恒假还是可满足。
解:由(P→R) ∨? R=?P∨ R∨? R=1,以及
? (Q→P) ∧ P= ?(?Q∨ P)∧ P = Q∧? P∧ P=0
知,((P→R) ∨? R)→ (? (Q→P) ∧ P)=0,故G恒假。
方法三.设命题公式G含n个原子,若求得G的主析取范式包含所有2n个极小项,则G是恒真的;若求得G的主合取范式包含所有2n个极大项,则G是恒假的。
方法四. 对任给要判定的命题公式G,设其中有原子P1,P2,…,P n,令P1取1值,求G的真值,或为1,或为0,或成为新公式G1且其中只有原子P2,…,P n,再令P1取0值,求G真值,如此继续,到最终只含0或1为止,若最终结果全为1,则公式G恒真,若最终结果全为0,则公式G
恒假,若最终结果有1,有0,则是可满足的。例子参见书中例2.4.3。
方法五. 注意到公式G蕴涵公式H的充要条件是:公式G→H是恒真的;公式G,H等价的充要条件是:公式G?H 是恒真的,因此,如果待考查公式是G→H型的,可将证明G→H是恒真的转化为证明G蕴涵H;如果待考查公式是G?H型的,可将证明G?H是恒真的转化为证明G和H彼此相蕴涵。
例2.2.3 证明G= (P→R) → ( (Q→ R) →(( P∨Q) → R))恒真。
证明:要证明(P→R) → ( (Q→ R) →(( P∨Q) → R))恒真,只需证明(P→R) ?( (Q→ R) →(( P∨Q) → R))。我们使用形式演绎法。
(1)P→R 规则1
(2)Q→ R 附加前提
(3)?P∨ R 规则2,根据(1)(4)?Q∨ R 规则2,根据(2)(5)(?P∨ R)∧(?Q∨ R)规则2,根据(3)、(4)
(6)(?P∧?Q)∨ R 规则2,根据(5)(7)?(P∨ Q)∨ R 规则2,根据(6)
(8)(P∨Q)→ R 规则2,根据(7)(9)(Q→ R) →(( P∨Q) → R) 规则3,根据(2)、(8)
2.2.2 公式蕴涵的证明方法
主要有如下方法:给出两个公式A,B,证明A蕴涵B,我们有如下几种方法:
方法一.真值表法。将公式A和公式B同列在一张真值表中,扫描公式A所对应的列,验证该列真值为1的每一项,它所在行上相应公式B所对应列上的每一项必为1(真),则公式A蕴涵B。
例2.2.4 设A= (P∧Q→R)∧(P→Q),B=(P→R),证明:A?B。
证明:
表2.2.2
由表2.2.2可以看出,使A为真的解释均使B亦为真,因此,A?B。
方法二.证明A→B是恒真公式。
由例2.2.1知,(P∧Q→R)∧(P→Q)→(P→R)恒真,因此,立即可得到例2.2.4中的结论:(P∧Q→R)∧(P→Q)? (P→R),即A?B。
例2.2.5 设A、B和C为命题公式,且A?B。请分别阐述(肯定或否定)下列关系式的正确性。
(1)(A∧C) ? (B∧C);
(2)(A→C) ?( B→C)。
解:由A?B知,A→B是恒真公式,故A=1时,B不可能为0。
真值表如下:
表2.2.3
从真值表可以看出,(A∧C) → (B∧C)是恒真公式,所以,(A→C) ?( B→C) (A∧C) ? (B∧C)正确;(A→C) → ( B→C)不是恒真公式,所以,(A→C) ?( B→C)不正确。
例2.2.6 设A=(R→ P) → Q,B= P→ Q,证明A蕴涵B。
证明:我们来证明A→B恒真。
((R→ P) → Q) →( P→ Q)= ? (? ( ?R∨P) ∨Q)
∨(?P∨Q)
=((?R∨P) ∧? Q) ∨(?P∨Q)
=(?R∧? Q) ∨( P ∧? Q)
∨?( P ∧? Q)
=1
方法三.利用一些基本等价式及蕴涵式进行推导。
对于例2.2.6,由基本等价式可得:
A=(R→ P) → Q
=? ( ?R∨P) ∨Q
= (R∧? P) ∨Q
=( R∨Q) ∧(? P∨Q)
=( R∨Q) ∧( P→ Q)
由教材中基本蕴涵式2. P∧Q?Q可知,( R∨Q) ∧( P→ Q) ?(P→ Q),即A蕴涵B。
方法四.任取解释I,若I满足A,往证I满足B。
例2.2.7 设A= P→ Q,B=(R→Q) →((P∨R)→ Q),证明A蕴涵B。
证明:任取解释I,若I满足A,则有如下两种情况:(1)在解释I下,P为假,这时,B等价于(R→Q) →(R→ Q),因此,I亦满足B。
(2)在解释I下,P为真,Q为真,所以,P∨R→ Q 为真,故B为真,即,I满足B。
综上,I满足B,因此,A蕴涵B。
方法五.反证法,设结论假,往证前提假。
对于例2.2.6,证明(R→ P) → Q蕴涵P→ Q,若使用方法三,是很烦琐的,而使用方法四,就很简单。假设存在解释I使P→ Q为假,则只有一种情形,P在I下为真,且Q 在I下为假,这时R→ P在I下为真,故I弄假(R→ P) → Q。因此,(R→ P) → Q蕴涵P→ Q。
方法六.分别将公式A和公式B转化为它们各自的主析取范式或主合取范式。若公式A的主析取范式所包含的所有极小项也包含在公式B的主析取范式中;或者,公式B的主合取范式中所包含的极大项均包含在公式A的主合取范式中,则公式A蕴涵公式B。
使用这种方法需要注意,当公式A和公式B中包含的原子不完全相同时,在求两公式的极小项或极大项时,要考虑该两公式包含命题原子的并集中的所有原子。
在例2.2.6中,A和B的主析取范式分别为:
A= (? P∧? Q∧R) ∨(? P∧Q∧?R) ∨
(? P∧Q∧R) ∨ (P∧Q∧?R) ∨ ( P∧Q∧R),B= (? P∧? Q∧?R) ∨ (? P∧? Q∧R) ∨ (? P∧Q∧?R) ∨(? P∧Q∧R) ∨ (P∧Q∧?R) ∨ ( P∧Q∧R),可见,A?B。
A和B的主合取范式分别为:
A=(P∨Q∨R) ∧(? P∨Q∨R) ∧(? P∨Q∨?R) ,
B=(? P∨Q∨R) ∧(? P∨Q∨?R)
可见,A?B。
另外若给出前提集合S={G1,…,G k },公式G,证明S?G有如下两种方法:
1. G1∧…∧ G k?G
2. 形式演绎法:根据一些基本等价式和基本蕴涵式,从S出发,演绎出G。
教材中已经给出了这方面的例子,在此不再赘述。
2.2.3 求主合取范式和主析取范式
1. 极小项与极大项的性质
以3个原子为例,则对应极小项和极大项的表为:
表2.2.4
由表2.2.4可知,对n 个命题原子P 1,…,P n ,极小项有如下性质:
(1)n 个命题原子P 1,…,P n 有n 2个不同的解释,每个解释对应P 1,…,P n 的一个极小项。
(2)对P 1,…,P n 的任意一个极小项m ,有且只有一个解释使m 取1值,若使极小项取1的解释对应的二进制数为i ,则m 记为m i ,于是关于P 1,…,P n 的全部极小项为m 0,m 1,…,12-n
m 。
(3)任意两个不同的极小项的合取式恒假:m i ∧ m j =0,i≠j。 (4)所有极小项的析取式恒真:i i m n ∨-=1
20=1。
极大项有如下性质:
(1)n 个命题原子P 1,…,P n 有n 2个不同的解释,每个解释对应P 1,…,P n 的一个极大项。
(2)对P 1,…,P n 的任意一个极大项M ,有且只有一个解释使M 取0值,若使极大项取0的解释对应的二进制数
为i ,则M 记为M i ,于是关于P 1,…,P n 的全部极大项为M 0,M 1,…,12-n
M 。
(3)任意两个不同的极大项的析取式恒真:M i ∨ M j =1,i≠j。
(4)所有极大项的合取式恒假:i i M n ∧-=1
20=0。
2. 主合取范式与主析取范式之间的关系
由极小项和极大项的定义可知,二者有如下关系:
m i =? M i ,M i =?m i
由此可知,若P ∨Q ∨R 为一公式G 的主合取范式,则
G =??G
=?? M 0
= ? (M 1∧ M 2∧…∧ M 6) = ?M 1∨?M 2∨…∨?M 6 = m 1∨ m 2∨…∨ m 6 为G 的主析取范式。
若(?P ∧ Q )∨(? P ∧? Q )∨( P ∧ Q )为一公式H 的主析取范式,则
H=??H
=??((?P ∧ Q )∨(? P ∧? Q )
∨( P ∧ Q ))
=?(?(m 0∨ m 1∨ m 3))
= ? (m 2) =M 2
= ?P ∨Q 为H 的主合取范式。
一般地,若公式A 中含n 个命题原子,且A 的主析取范式中含有k 个极小项:k
i i m m ,...,1
,则?A 的主析取范式中必含
有其余的n 2-k 个极小项,不妨设为:k
n j j m m -21
,...,,即
?A=k
n
j j
m m -∨∨21
...。
因此,
A=??A = ?(k
n
j j
m m -∨∨21
...)
=k
n
j j m m -?∧∧?21
...
=k
n
j j
M M -∧∧21
...。
由此可知,从一公式A 的主析取范式求其主合取范式的步骤如下:
(1)求出A 的主析取范式中没有包含的所有极小项。 (2)求出与(1)中极小项下标相同的极大项。
(3)将(2)求出的所有极大项合取起来,即得A 的主合取范式。
类似地,从一公式A 的主合取范式求其主析取范式的步骤为:
(1)求出A的主合取范式中没有包含的所有极大项。(2)求出与(1)中极大项下标相同的极小项。
(3)将(2)求出的所有极小项析取起来,即得A的主析取范式。
3. 求主合取范式和主析取范式的方法
方法一.真值表法。主析取范式恰好是使得公式为真的解释所对应的极小项的析取组成,主合取范式恰好是使得公式为假的解释所对应的极大项的合取组成。
方法二. 公式推导法。设命题公式G中所有不同原子为P1,…,P n,则G的主析取范式的求法如下:
(a) 将公式G化为析取范式。
(b) 删去析取范式中所有恒假的短语。
(c) 用等幂律将短语中重复出现的同一文字化简为一次出现,如,P∧P=P。
(d) 对于所有不是关于P1,…,P n的极小项的短语使用同一律,补进短语中未出现的所有命题原子,并使用分配律展开,即,如果短语G i’不是关于P1,…,P n的极小项,则G i’中必然缺少原子,不妨设为P j1,…,P jk,于是
G i’= G i’∧(P j1∨? P j1)∧…∧( P jk∨? P jk)
=k i i
m m 2
1
...∨∨
这样,就将非极小项G i ’化成了一些极小项之析取。将相同的短语的多次出现化为一次出现,就得到了给定公式的主析取范式。
主合取范式的求法类似,留给读者作为练习。
由上面讨论可知,只要求出一种范式,可立即得到另外一种范式。
例2.2.8 求公式G= P→(Q→R)的主析取范式与主合取范式。
解:(1)使用真值表法。见表2.2.5。
表2.2.5
根据真值表中使得公式为真的解释,所对应的极小项的析取即为其主析取范式:
G= (? P∧? Q∧?R) ∨ (? P∧? Q∧R) ∨ (? P∧Q∧?R) ∨
(? P∧Q∧R) ∨ (P∧? Q∧?R) ∨ (P∧? Q∧R)∨ (P∧Q∧R)
= m0∨ m1∨ m2∨ m3∨ m4∨ m5∨ m7根据真值表中使得公式为假的解释,所对应的极大项的合取即为其主合取范式:
G= ? P∨? Q ∨ R= M6
(2)公式推导法
G= P→(Q→R)
=? P∨? Q ∨ R
=(? P∧(Q∨? Q)∧(R∨? R))∨
(? Q∧(P∨? P)∧(R∨? R))∨
(R∧(P∨?P)∧(Q∨?Q))
= (? P∧? Q∧?R) ∨ (? P∧? Q∧R) ∨ (? P∧Q∧?R) ∨
(? P∧Q∧R) ∨ (P∧? Q∧?R) ∨ (P∧Q∧R)
= m0∨ m1∨ m2∨ m3∨ m4∨ m5∨ m7
G= P→(Q→R)
=? P∨? Q ∨ R
= M6
4. 主合取范式与主析取范式的应用
(1)由2.2.1可知,利用主合取范式与主析取范式可求解判定问题。
(2)证明等价式成立。由于任意公式的主范式是唯一的,所以可以分别求出两个给定的公式的主范式,若二者主范式相同,则给定的两公式是等价的,否则,给定的两公式不等价。
例2.2.9 判断P→(Q→R)与(P∨ Q)→ R是否等价。
证明:我们利用求主合取范式的方法来判断。
由例2.2.8知,P→(Q→R)的主合取范式为:M6。下面求(P∨ Q)→ R的主合取范式。
(P∨ Q)→ R = ?(P∨ Q)∨ R
=(? P∧?Q)∨R
=(? P∨R)∧(?Q∨R)
=(? P∨(Q∧?Q)∨R)∧((P∧?P)∨?Q∨R)
=(? P∨Q∨R)∧(? P∨?Q∨R)∧(P∨?Q∨R)
= M2 ∧ M4 ∧ M6
二者的主合取范式不相同,因此,这两个公式不等价。
2.2.4 联结词的转化和全功能集
关于联结词的转化和全功能集方面一般有如下题型:
(1)要求只用几个联结词表示某个命题公式,见例2.2.10。
(2)给出一个新的联结词的定义,要求证明其是全功能集,并用其表示某个命题公式。这种题目的做法如下:由于不难证明出{?,∧},{?,∨},{?,→},{↑},{↓}都是全功能联结词集合,因此,若要证明新定义的联结词是全功能集,只需证明上面某个全功能集合(比如{?,∧})中的每个联结词(如,?和∧)都可以用新联结词表示。若想用其表示某个命题公式,可以先将基本联结词(?,∧,∨)用给定的新联结词表示,然后按要求把原命题公式转化成用新联结词表示的形式。见例2.2.11。
(3)证明一个联结词集合不是全功能集。一般用归纳法,证明在有限步内,用这个联结词结合不可能表示所有的命题。见例2.2.12。
应该说明的是,寻求最少联结词的全功能联结词集合,主要不是个理论问题,而是为了满足工程实践的需要。但是,一般情况下,为了不至于因为联结词的减少而使得公式的形
式变得复杂,我们仍常采用“?,∧,∨,→,?”这5个联结词。
例2.2.10将公式(P→(Q∨?R))∧(?P∧Q)用仅含联结词?和∨的公式等价表示。
解:(P→(Q∨?R))∧(?P∧Q)=(?P∨(Q∨?R))∧(?P∧Q)
=(?P∧(?P∧Q))∨((Q∨?R)∧(?P∧Q))
=(?P∧Q)∨(Q∧(?P∧Q))∨(?R∧(?P∧Q))
=(?P∧Q)∨(?P∧Q)∨((?P∧Q)∧?R)
=?P∧Q
=?(P∨?Q)例2.2.11定义三元联结词如表2.2.6。
表2.2.6 三元联结词f(e1,e2,e3)的真值表
(1)试证明{ f}是完备的,即,联结词集合{?,∧}或{?,∨}可由该联结词表示。
(2)用该联结词表示公式:(P→R)∧Q。
(1)证明:因为
?P=f(P,P,P),P∨Q=f(?P, ?P, ?Q),
所以联结词集合{?,∨}可由该三元联结词f表示。
而联结词集合{?,∨}是完备的,因此,{ f}是完备的。
(2)解:因为
P∨Q=f(?P, ?P, ?Q),
所以
P→ Q=?P∨Q=f(P, P, ?Q).
又由
P∧Q=?(?P∨?Q)= ?(?Q∨?P)
=? f(P, P, Q)= ? f(Q, Q, P).
因此
(P→R)∧Q= f(P, P, ?R) ∧Q
离散数学作业7 离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次,内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习,基本上是按照考试的题型(除单项选择题外)安排练习题目,目的是通过综合性书面作业,使同学自己检验学习成果,找出掌握的薄弱知识点,重点复习,争取尽快掌握。本次形考书面作业是第三次作业,大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业。 要求:将此作业用A4纸打印出来,手工书写答题,字迹工整,解答题要有解答过程,要求2010年12月19日前完成并上交任课教师(不收电子稿)。并在07任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮,以便教师评分。 一、填空题 1.命题公式()P Q P →∨的真值是 1 . 2.设P :他生病了,Q :他出差了.R :我同意他不参加学习. 则命题“如果他生病或出差了,我就同意他不参加学习”符号化的结果为 (PQ)R . 3.含有三个命题变项P ,Q ,R 的命题公式PQ 的主析取范式是 (PQR) (PQR) . 4.设P(x):x 是人,Q(x):x 去上课,则命题“有人去上课.” 可符号化为 (x)(P(x) →Q(x)) . 5.设个体域D ={a, b},那么谓词公式)()(y yB x xA ?∨?消去量词后的等值式为 (A(a) A(b)) (B(a) B(b)) . 6.设个体域D ={1, 2, 3},A(x)为“x 大于3”,则谓词公式(x)A(x) 的真值为 . 7.谓词命题公式(x)((A(x)B(x)) C(y))中的自由变元为 . 8.谓词命题公式(x)(P(x) Q(x) R(x ,y))中的约束变元为 X . 三、公式翻译题 1.请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式. 1.解:设P :今天是天晴; 则 P . 2.请将语句“小王去旅游,小李也去旅游.”翻译成命题公式. 解:设P :小王去旅游,Q :小李去旅游, 则 PQ . 3.请将语句“如果明天天下雪,那么我就去滑雪”翻译成命题公式. 解:设P:明天天下雪 。 Q:我去滑雪 则 P Q . 4.请将语句“他去旅游,仅当他有时间.”翻译成命题公式. 7.解:设 P :他去旅游,Q :他有时间, 则 P Q . 5.请将语句 “有人不去工作”翻译成谓词公式. 11.解:设P(x):x 是人,Q(x):x 去工作,
《离散数学》题库答案 一、选择或填空 (数理逻辑部分) 1、下列哪些公式为永真蕴含式?( ) (1)?Q=>Q →P (2)?Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)?P ∧(P ∨Q)=>?P 答:(1),(4) 2、下列公式中哪些就是永真式?( ) (1)(┐P ∧Q)→(Q →?R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q) 答:(2),(3),(4) 3、设有下列公式,请问哪几个就是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q (4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ?(P →Q)=>P (6) ?P ∧(P ∨Q)=>?P 答:(2),(3),(4),(5),(6) 4、公式?x((A(x)→B(y,x))∧ ?z C(y,z))→D(x)中,自由变元就是( ),约束变元就是( )。 答:x,y, x,z 5、判断下列语句就是不就是命题。若就是,给出命题的真值。( ) (1) 北京就是中华人民共与国的首都。 (2) 陕西师大就是一座工厂。 (3) 您喜欢唱歌不? (4) 若7+8>18,则三角形有4条边。 (5) 前进! (6) 给我一杯水吧! 答:(1) 就是,T (2) 就是,F (3) 不就是 (4) 就是,T (5) 不就是 (6) 不就是 6、命题“存在一些人就是大学生”的否定就是( ),而命题“所有的人都就是要死的”的否定就是( )。 答:所有人都不就是大学生,有些人不会死 7、设P:我生病,Q:我去学校,则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时,我才不去学校 (2) 若我生病,则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时,我才不去学校(4) 若我不生病,则我一定去学校 答:(1) P Q →? (2) Q P ?→ (3) Q P ?? (4)Q P →? 8、设个体域为整数集,则下列公式的意义就是( )。 (1) ?x ?y(x+y=0) (2) ?y ?x(x+y=0) 答:(1)对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0(2)存在整数y 对任一整数x 满足x+y=0 9、设全体域D 就是正整数集合,确定下列命题的真值: (1) ?x ?y (xy=y) ( ) (2) ?x ?y(x+y=y) ( ) (3) ?x ?y(x+y=x) ( ) (4) ?x ?y(y=2x) ( ) 答:(1) F (2) F (3)F (4)T 10、设谓词P(x):x 就是奇数,Q(x):x 就是偶数,谓词公式 ?x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立 答:(1) 11、命题“2就是偶数或-3就是负数”的否定就是( )。 答:2不就是偶数且-3不就是负数。 12、永真式的否定就是( ) (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能
第四章部分课后习题参考答案 3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值: (1) 对于任意x,均有2=(x+)(x). (2) 存在x,使得x+5=9. 其中(a)个体域为自然数集合. (b)个体域为实数集合. 解: F(x): 2=(x+)(x). G(x): x+5=9. (1)在两个个体域中都解释为) ?,在(a)中为假命题,在(b)中为真命题。 (x xF (2)在两个个体域中都解释为) xG ?,在(a)(b)中均为真命题。 (x 4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化: (1) 没有不能表示成分数的有理数. (2) 在北京卖菜的人不全是外地人. 解: (1)F(x): x能表示成分数 H(x): x是有理数 命题符号化为: )) F x∧ ?? x ? ( ) ( (x H (2)F(x): x是北京卖菜的人 H(x): x是外地人 命题符号化为: )) F ?? x x→ (x ( H ) ( 5. 在一阶逻辑将下列命题符号化: (1) 火车都比轮船快. (3) 不存在比所有火车都快的汽车. 解: (1)F(x): x是火车; G(x): x是轮船; H(x,y): x比y快 命题符号化为: )) F y x G ? y ? ∧ x→ , ( )) ( H ) x ((y ( (2) (1)F(x): x是火车; G(x): x是汽车; H(x,y): x比y快
命题符号化为: ))),()(()((y x H x F x y G y →?∧?? 9.给定解释I 如下: (a) 个体域D 为实数集合R. (b) D 中特定元素=0. (c) 特定函数(x,y)=xy,x,y D ∈. (d) 特定谓词(x,y):x=y,(x,y):x 数理逻辑部分 选择、填空及判断 ?下列语句不就是命题的( A )。 (A) 您打算考硕士研究生不? (B) 太阳系以外的星球上有生物。 (C) 离散数学就是计算机系的一门必修课。 (D) 雪就是黑色的。 ?命题公式P→(P∨?P)的类型就是( A ) (A) 永真式(B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式(D) 析取范式 ?A就是重言式,那么A的否定式就是( A ) A、矛盾式 B、重言式 C、可满足式 D、不能确定 ?以下命题公式中,为永假式的就是( C ) A、p→(p∨q∨r) B、(p→┐p)→┐p C、┐(q→q)∧p D、┐(q∨┐p)→(p∧┐p) ?命题公式P→Q的成假赋值就是( D ) A、 00,11 B、 00,01,11 C、10,11 D、 10 ?谓词公式) x xP∧ ?中,变元x就是 ( B ) R , ( x ) (y A、自由变元 B、既就是自由变元也就是约束变元 C、约束变元 D、既不就是自由变元也不就是约束变元 ?命题公式P→(Q∨?Q)的类型就是( A )。 (A) 永真式 (B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式 (D) 析取范式 ?设B不含变元x,) x x→ ?等值于( A ) A ) ( (B A、B (D、B x xA→ x ?) ( ( ?C、B x∧ A ?) (B、) ?) xA→ x ) ( A x (B x∨ ?下列语句中就是真命题的就是( D )。 A.您就是杰克不? B.凡石头都可练成金。 C.如果2+2=4,那么雪就是黑的。 D.如果1+2=4,那么雪就是黑的。 ?从集合分类的角度瞧,命题公式可分为( B ) A、永真式、矛盾式 B、永真式、可满足式、矛盾式 C、可满足式、矛盾式 D、永真式、可满足式 ?命题公式﹁p∨﹁q等价于( D )。 A、﹁p∨q B、﹁(p∨q) C、﹁p∧q D、 p→﹁q ?一个公式在等价意义下,下面写法唯一的就是( D )。 (A) 范式 (B) 析取范式 (C) 合取范式 (D) 主析取范式 ?下列含有命题p,q,r的公式中,就是主析取范式的就是( D )。 离散数学作业7 离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次,内容主要分别是集合论部分、图论部分、 数理逻辑部分的综合练习,基本上是按照考试的题型(除单项选择题外) 安排练习题目,目的是通过综合性书面作业,使同学自己检验学习成果,找出掌握的薄弱知识点,重点复习,争取尽快掌握。本次形考书面作业是第三次作业,大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业。 要求:将此作业用A4纸打印出来,手工书写答题,字迹工整,解答题要有解答过程,要求本学期第17周末前完成并上交任课教师(不收电子稿)。并在07任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮,以便教师评分。 一、填空题 1 .命题公式P (Q P)的真值是T或1 ______ . 2?设P:他生病了,Q:他出差了. R:我同意他不参加学习.则命题“如果他生病或出差了,我就同意他不参加学习”符号化的结果为(P V Q)-R 3. ____________________________________________________________ 含有三个命题变项P,Q,R的命题公式P Q的主析取范式是__________________ _(P Q R) (P Q R)_ 4. 设P(x): x是人,Q(x): x去上课,则命题“有人去上课.” 可符号化为— x(P(x) Q(x))_ 5. 设个体域D = {a, b},那么谓词公式xA(x) yB(y)消去量词后的等值式为 (A(a) A(b)) (B(a) B(b))_ 6 .设个体域D = {1,2, 3},A(x)为“x大于3”,则谓词公式(x)A(x)的真值为F 或0 ________________ . 7.谓词命题公式(x)((A(x) B(x)) C(y))中的自由变元为 ________ . 8 .谓词命题公式(x)(P(x) Q(x) R(x,y))中的约束变元为x _______ . 三、公式翻译题 1 .请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式 《离散数学》题库与答案 一、选择或填空 (数理逻辑部分) 1、下列哪些公式为永真蕴含式?( A ) (1)?Q=>Q→P (2)?Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)?P∧(P∨Q)=>?P 答:在第三章里面有公式(1)是附加律,(4)可以由第二章的蕴含等值式求出(注意与吸收律区别) 2、下列公式中哪些是永真式?( ) (1)(┐P∧Q)→(Q→?R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q) 答:(2),(3),(4)可用蕴含等值式证明 3、设有下列公式,请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q (4)P∧(P→Q)=>Q (5) ?(P→Q)=>P (6) ?P∧(P∨Q)=>?P 答:(2)是第三章的化简律,(3)类似附加律,(4)是假言推理,(3),(5),(6)都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式 4、公式x((A(x)B(y,x))z C(y,z))D(x)中,自由变元是( ),约束变元是( )。 答:x,y, x,z(考察定义在公式x A和x A中,称x为指导变元,A为量词的辖域。在x A和x A的辖域中,x的所有出现都称为约束出现,即称x为约束变元,A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。于是A(x)、B(y,x)和z C(y,z)中y为自由变元,x和z为约束变元,在D(x)中x为自由变元) 5、判断下列语句是不是命题。若是,给出命题的真值。( ) (1)北京是中华人民共和国的首都。(2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗?(4) 若7+8>18,则三角形有4条边。 (5) 前进!(6) 给我一杯水吧! 答:(1)是,T (2)是,F (3)不是(4)是,T (5)不是(6)不是(命题必须满足是陈述句,不能是疑问句或者祈使句。) 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( ),而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答:所有人都不是大学生,有些人不会死(命题的否定就是把命题前提中的量词“换成存在,换成”,然后将命题的结论否定,“且变或或变且”) 7、设P:我生病,Q:我去学校,则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时,我才不去学校(2) 若我生病,则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时,我才不去学校(4) 若我不生病,则我一定去学校答:(1)P ?(注意“只有……才……”和“除非……就……”两者都是一个 Q→ 形式的)(2)Q P→ ? P? ?(4)Q P? →(3)Q 8、设个体域为整数集,则下列公式的意义是( )。 (1) x y(x+y=0) (2) y x(x+y=0) 答:(1)对任一整数x存在整数y满足x+y=0 (2)存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合,确定下列命题的真值: (1) x y (xy=y) ( ) (2) x y(x+y=y) ( ) (3) x y(x+y=x) ( ) (4) x y(y=2x) ( ) 答:(1)F (反证法:假若存在,则(x- 1)*y=0 对所有的x都成立,显然这个与前提条件相矛盾) (2)F (同理)(3)F (同理)(4)T(对任一整数x存在整数y满足条件y=2x 很明显是正确的) 试卷二试题与参考答案 一、填空 1、 P:您努力,Q:您失败。 2、 “除非您努力,否则您将失败”符号化为 ; “虽然您努力了,但还就是失败了”符号化为 。 2、论域D={1,2},指定谓词P P (1,1) P (1,2) P (2,1) P (2,2) T T F F 则公式x ??真值为 。 3设A={2,3,4,5,6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=,则 R= (列举法)。 R 的关系矩阵M R = 。 4、设A={1,2,3},则A 上既不就是对称的又不就是反对称的关系 R= ;A 上既就是对称的又就是反对称的关系R= 。 5、设代数系统,其中A={a,b,c}, 则幺元就是 ;就是否有幂等 性 ;就是否有对称性 。 6、4阶群必就是 群或 群。 7、下面偏序格就是分配格的就是 。 8、n 个结点的无向完全图K n 的边数为 ,欧拉图的充要条件就是 。 * a b c a b c a b c b b c c c b 二、选择 1、在下述公式中就是重言式为( ) A.)()(Q P Q P ∨→∧; B.))()(()(P Q Q P Q P →∧→??; C.Q Q P ∧→?)(; D.)(Q P P ∨→。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为( ),成真赋值的个数为 ( )。 A.0; B.1; C.2; D.3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ,则 S 2 有( )个元素。 A.3; B.6; C.7; D.8 。 4、设} 3 ,2 ,1 {=S ,定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈>∈<><><<=则由 R 产 生的S S ?上一个划分共有( )个分块。 A.4; B.5; C.6; D.9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ,S 上关系R 的关系图为 则R 具有( )性质。 A.自反性、对称性、传递性; B.反自反性、反对称性; C.反自反性、反对称性、传递性; D.自反性 。 6、设 ο,+ 为普通加法与乘法,则( )>+<ο,,S 就是域。 A.},,3|{Q b a b a x x S ∈+== B.},,2|{Z b a n x x S ∈== C.},12|{Z n n x x S ∈+== D.}0|{≥∧∈=x Z x x S = N 。 7、下面偏序集( )能构成格。 第二章命题逻辑 §2.2 主要解题方法 2.2.1 证明命题公式恒真或恒假 主要有如下方法: 方法一.真值表方法。即列出公式的真值表,若表中对应公式所在列的每一取值全为1,这说明该公式在它的所有解释下都是真,因此是恒真的;若表中对应公式所在列的每 一取值全为0,这说明该公式在它的所有解释下都为假,因此是恒假的。 真值表法比较烦琐,但只要认真仔细,不会出错。 例2.2.1 说明G= (P∧Q→R)∧(P→Q)→(P→R)是恒真、恒假还是可满足。 解:该公式的真值表如下: 表2.2.1 由于表2.2.1中对应公式G所在列的每一取值全为1,故 G恒真。 方法二.以基本等价式为基础,通过反复对一个公式的等价代换,使之最后转化为一个恒真式或恒假式,从而实现公式恒真或恒假的证明。 例2.2.2 说明G= ((P→R) ∨? R)→ (? (Q→P) ∧ P)是恒真、恒假还是可满足。 解:由(P→R) ∨? R=?P∨ R∨? R=1,以及 ? (Q→P) ∧ P= ?(?Q∨ P)∧ P = Q∧? P∧ P=0 知,((P→R) ∨? R)→ (? (Q→P) ∧ P)=0,故G恒假。 方法三.设命题公式G含n个原子,若求得G的主析取范式包含所有2n个极小项,则G是恒真的;若求得G的主合取范式包含所有2n个极大项,则G是恒假的。 方法四. 对任给要判定的命题公式G,设其中有原子P1,P2,…,P n,令P1取1值,求G的真值,或为1,或为0,或成为新公式G1且其中只有原子P2,…,P n,再令P1取0值,求G真值,如此继续,到最终只含0或1为止,若最终结果全为1,则公式G恒真,若最终结果全为0,则公式G 本科高等数学离散数学试题及答案 一、填空题 1设集合A,B,其中A={1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B=____________________; ρ(A) - ρ(B)=__________________________ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________. 4. 已知命题公式G=?(P→Q)∧R,则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________. 5.设G是完全二叉树,G有7个点,其中4个叶点,则G的总度数为__________,分枝点数为________________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B=_________________________; A?B=_________________________;A-B=_____________________ . 7. 设R是集合A上的等价关系,则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________. 8. 设命题公式G=?(P→(Q∧R)),则使公式G为真的解释有__________________________,_____________________________, __________________________. 9. 设集合A={1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________, R12 =________________________. 10. 设有限集A, B,|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________. 11设A,B,R是三个集合,其中R是实数集,A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , . 13.设集合A={2, 3, 4, 5, 6},R是A上的整除,则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x),则G的前束范式是__________________________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树,则G中增加_________条边才能把G变成完全图。 作业参考答案——10-特殊图 1.(a)(c)(d)是欧拉图,(a)(b)(c)(d)(e)可以一笔画,(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)是 哈密顿图。 2.根据给定条件建立一个无向图G= 数至少为2,而V2中的每个结点度数至多为2,从而它满足t条件t=1,因此存在从V1到V2的匹配,故可分配。 5.此平面图具有五个面,如下图所示。 a b c d e f g r1r2 r3 r4 r5 ?r1,边界为abca,D(r1)=3; ?r2,边界为acga,D(r2)=3; ?r3,边界为cegc,D(r3)=3; ?r4,边界为cdec,D(r4)=3; ?r5,边界为abcdefega,D(r5)=8;无限面 6.设该连通简单平面图的面数为r,由欧拉公式可得,6?12+r=2,所以 r=8,其8个面分别设为r1,r2,r3,r4,r5,r6,r7,r8。因是简单图,故每个面至少由3条边围成。只要有一个面是由多于3条边所围成的,那就有所有面的次数之和 8∑ i=1 D(r i)>3×8=24。但是,已知所有面的次数之和等于边数的两倍,即2×12=24。因此每个面只能由3条边围成。 2 《离散数学》期末复习题 一、填空题(每空2分,共20分) 1、集合A上的偏序关系的三个性质是、 和。 2、一个集合的幂集是指。 3、集合A={b,c},B={a,b,c,d,e},则A?B= 。 4、集合A={1,2,3,4},B={1,3,5,7,9},则A?B= 。 5、若A是2元集合, 则2A有个元素。 6、集合A={1,2,3},A上的二元运算定义为:a* b = a和b两者的最大值,则 2*3= 。 7、设A={a, b,c,d }, 则∣A∣= 。 8、对实数的普通加法和乘法,是加法的幂等元, 是乘法的幂等元。 9、设a,b,c是阿贝尔群 19、代数系统是指由及其上的或 组成的系统。 20、设 离散数学试题及答案 一、填空题 1设集合A,B,其中A={1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B=____________________; ρ(A) - ρ(B)=__________________________ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________. 4. 已知命题公式G=?(P→Q)∧R,则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________. 5.设G是完全二叉树,G有7个点,其中4个叶点,则G的总度数为__________,分枝点数为________________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B=_________________________; A?B =_________________________;A-B=_____________________ . 7. 设R是集合A上的等价关系,则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________. 8. 设命题公式G=?(P→(Q∧R)),则使公式G为真的解释有__________________________, _____________________________, __________________________. 9. 设集合A={1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________, R12 =________________________. 10. 设有限集A, B,|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________. 11设A,B,R是三个集合,其中R是实数集,A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , . 13.设集合A={2, 3, 4, 5, 6},R是A上的整除,则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x),则G的前束范式是__________________________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树,则G中增加_________条边才能把G变成完全图。 第一章 1.假定A是ECNU二年级的学生集合,B是ECNU必须学离散数学的学生的集合。请用A 和B表示ECNU不必学习离散数学的二年级的学生的集合。 2.试求: (1)P(φ) (2)P(P(φ)) (3)P(P(P(φ))) 3.在1~200的正整数中,能被3或5整除,但不能被15整除的正整数共有多少个? 能被5整除的有40个, 能被15整除的有13个, ∴能被3或5整除,但不能被15整除的正整数共有 66-13+40-13=80个。 第三章 1.下列语句是命题吗? (1)2是正数吗? (2)x2+x+1=0。 (3)我要上学。 (4)明年2月1日下雨。 (5)如果股票涨了,那么我就赚钱。 2.请用自然语言表达命题(p?→r)∨(q?→r),其中p、q、r为如下命题: p:你得流感了 q:你错过了最后的考试 3.通过真值表求p→(p∧(q→p))的主析取范式和主合取范式。 4.给出p→(q→s),q,p∨?r?r→s的形式证明。 第四章 1.将?x(C(x)∨?y(C(y)∧F(x,y)))翻译成汉语,其中C(x)表示x有电脑,F(x,y) 表示x和y是同 班同学,个体域是学校全体学生的集合。 解: 学校的全体学生要么自己有电脑,要么其同班同学有电脑。 2.构造?x(P(x)∨Q(x)),?x(Q(x)→?R(x)),?xR(x)??xP(x)的形式证明。 解: ①?xR(x) 前提引入 ②R(e) ①US规则 ③?x(Q(x)→?R(x)) 前提引入 ④Q(e) →?R(e) ③US规则 ⑤?Q (e) ②④析取三段论 ⑥?x(P(x)∨Q(x)) 前提引入 ⑦P(e) ∨Q(e) ⑥US规则 ⑧P(e) ⑤⑦析取三段论 ⑨?x (P(x)) ⑧EG规则 第五章 《离散数学》题库答案 一、选择或填空 (数理逻辑部分) 1、下列哪些公式为永真蕴含式?( ) (1)?Q=>Q →P (2)?Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)?P ∧(P ∨Q)=>?P 答:(1),(4) 2、下列公式中哪些是永真式?( ) (1)(┐P ∧Q)→(Q →?R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q) 答:(2),(3),(4) 3、设有下列公式,请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q (4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ?(P →Q)=>P (6) ?P ∧(P ∨Q)=>?P 答:(2),(3),(4),(5),(6) 4、公式 x((A(x) B(y ,x)) z C(y ,z))D(x)中,自由变元是( ),约束变元是( )。 答:x,y, x,z 5、判断下列语句是不是命题。若是,给出命题的真值。( ) (1) 北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗? (4) 若7+8>18,则三角形有4条边。 (5) 前进! (6) 给我一杯水吧! 答:(1) 是,T (2) 是,F (3) 不是 (4) 是,T (5) 不是 (6) 不是 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( ),而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答:所有人都不是大学生,有些人不会死 7、设P :我生病,Q :我去学校,则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时,我才不去学校 (2) 若我生病,则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时,我才不去学校(4) 若我不生病,则我一定去学校 答:(1) P Q →? (2) Q P ?→ (3) Q P ?? (4)Q P →? 8、设个体域为整数集,则下列公式的意义是( )。 (1) x y(x+y=0) (2) y x(x+y=0) 答:(1)对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0(2)存在整数y 对任一整数x 满足x+y=0 9、设全体域D 是正整数集合,确定下列命题的真值: (1) x y (xy=y) ( ) (2) x y(x+y=y) ( ) (3) x y(x+y=x) ( ) (4) x y(y=2x) ( ) 答:(1) F (2) F (3)F (4)T 10、设谓词P(x):x 是奇数,Q(x):x 是偶数,谓词公式 x(P(x)Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立 答:(1) 11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是( )。 答:2不是偶数且-3不是负数。 12、永真式的否定是( ) (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能 答:(2) 13、公式(?P ∧Q)∨(?P ∧?Q)化简为( ),公式 Q →(P ∨(P ∧Q))可化简为( )。 答:?P ,Q →P 离散数学练习题 第一章 一.填空 1.公式) ∨ ? ∧的成真赋值为 01;10 ? p∧ ( (q ) p q 2.设p, r为真命题,q, s 为假命题,则复合命题) ? ? →的真值为 0 p→ ( q (s ) r 3.公式) ∨ ? p∧ q ?与共同的成真赋值为 01;10 ? ∧ p ( ) ) (q q p ( 4.设A为任意的公式,B为重言式,则B A∨的类型为重言式 5.设p, q均为命题,在不能同时为真条件下,p与q的排斥也可以写成p与q的相容或。 二.将下列命题符合化 1. 7不是无理数是不对的。 解:) ? ?,其中p: 7是无理数;或p,其中p: 7是无理数。 (p 2.小刘既不怕吃苦,又很爱钻研。 解:其中 ?p: 小刘怕吃苦,q:小刘很爱钻研 p∧ ,q 3.只有不怕困难,才能战胜困难。 解:p →,其中p: 怕困难,q: 战胜困难 q? 或q →,其中p: 怕困难, q: 战胜困难 p? 4.只要别人有困难,老王就帮助别人,除非困难解决了。 解:) → ?,其中p: 别人有困难,q:老王帮助别人,r: 困难解决了 p (q r→ 或:q ?) (,其中p:别人有困难,q: 老王帮助别人,r: 困难解决了r→ ∧ p 5.整数n是整数当且仅当n能被2整除。 解:q p?,其中p: 整数n是偶数,q: 整数n能被2整除 三、求复合命题的真值 P:2能整除5, q:旧金山是美国的首都, r:在中国一年分四季 1. )) p∧ → q ∨ r → ∧ ((q r ( ) ( ) p 2.r ?) → (( → (( ∨ ) ( )) p r p ∨ p q ? ∧ ? q∧ 解:p, q 为假命题,r为真命题 1.)) p∧ → q ∨的真值为0 r → ∧ ( ) ( ) ((q p r 国开放大学离散数学本离 散数学作业答案 The pony was revised in January 2021 离散数学集合论部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次,内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习,基本上是按照考试的题型(除单项选择题外)安排练习题目,目的是通过综合性书面作业,使同学自己检验学习成果,找出掌握的薄弱知识点,重点复习,争取尽快掌握.本次形考书面作业是第一次作业,大家要认真及时地完成集合论部分的综合练习作业. 要求:学生提交作业有以下三种方式可供选择: 1. 可将此次作业用A4纸打印出来,手工书写答题,字迹工整,解答题要有解答过程,完成作业后交给辅导教师批阅. 2. 在线提交word文档 3. 自备答题纸张,将答题过程手工书写,并拍照上传. 一、填空题 1.设集合{1,2,3},{1,2} ==,则P(A)-P(B )= {{1,2},{2,3},{1,3}, A B {1,2,3}} ,A B= {< 1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3, 2> } . 2.设集合A有10个元素,那么A的幂集合P(A)的元素个数为 1024 . 3.设集合A={0, 1, 2, 3},B={2, 3, 4, 5},R是A到B的二元关系, 则R的有序对集合为 {< 2,2>,<2,3>,<>,<> } .4.设集合A={1, 2, 3, 4 },B={6, 8, 12},A到B的二元关系 R=} y x y x∈ ∈ < > = A , , 2 , y {B x 那么R-1= {< 6,3>,<8,4> } . 5.设集合A={a, b, c, d},A上的二元关系R={, , , 离散数学课后习题答案(左孝凌版) 1-1,1-2解: a)是命题,真值为T。 b)不是命题。 c)是命题,真值要根据具体情况确定。 d)不是命题。 e)是命题,真值为T。 f)是命题,真值为T。 g)是命题,真值为F。 h)不是命题。 i)不是命题。 (2)解: 原子命题:我爱北京天安门。 复合命题:如果不是练健美操,我就出外旅游拉。 (3)解: a)(┓P ∧R)→Q b)Q→R c)┓P d)P→┓Q (4)解: a)设Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。 Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。 b)设R:我在看电视。Q:我在吃苹果。 R∧Q:我在看电视边吃苹果。 c) 设Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除。 (Q→R)∧(R→Q):一个数是奇数,则它不能被2整除并且一个数不能被2整除,则它是奇数。 (5) 解: a)设P:王强身体很好。Q:王强成绩很好。P∧Q b)设P:小李看书。Q:小李听音乐。P∧Q c)设P:气候很好。Q:气候很热。P∨Q d)设P: a和b是偶数。Q:a+b是偶数。P→Q e)设P:四边形ABCD是平行四边形。Q :四边形ABCD的对边平行。P Q f)设P:语法错误。Q:程序错误。R:停机。(P∨ Q)→ R (6) 解: a)P:天气炎热。Q:正在下雨。 P∧Q b)P:天气炎热。R:湿度较低。 P∧R c)R:天正在下雨。S:湿度很高。 R∨S d)A:刘英上山。B:李进上山。 A∧B e)M:老王是革新者。N:小李是革新者。 M∨N f)L:你看电影。M:我看电影。┓L→┓M g)P:我不看电视。Q:我不外出。 R:我在睡觉。 P∧Q∧R h)P:控制台打字机作输入设备。Q:控制台打字机作输出设备。P∧Q 1-3 (1)解:离散数学题库及答案
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