【高等数学基础】形考作业1参考答案

【高等数学基础】形考作业1参考答案

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

【高等数学基础】形考作业1参考答案

第1章 函数

第2章 极限与连续

（一）单项选择题

⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等． A. 2)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f =，x x g =)(

C. 3

ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，11)(2--=x x x g 分析：判断函数相等的两个条件（1）对应法则相同（2）定义域相同

A 、2()f x x ==，定义域{}|0x x ≥；x x g =)(，定义域为R 定义域不同，所以函数不相等；

B 、()f x x ==，x x g =)(对应法则不同，所以函数不相等；

C 、3()ln 3ln f x x x ==，定义域为{}|0x x >，x x g ln 3)(=，定义域为{}|0x x >

所以两个函数相等

D 、1)(+=x x f ，定义域为R ；21()11

x g x x x -==+-，定义域为{}|,1x x R x ∈≠ 定义域不同，所以两函数不等。

故选C

⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称．

A. 坐标原点

B. x 轴

C. y 轴

D. x y =

分析：奇函数，()()f x f x -=-，关于原点对称;

偶函数，()()f x f x -=，关于y 轴对称

()y f x =与它的反函数()1y f x -=关于y x =对称，

奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称

设()()()g x f x f x =+-，则()()()()g x f x f x g x -=-+=

所以()()()g x f x f x =+-为偶函数，即图形关于y 轴对称 故选C

⒊下列函数中为奇函数是（B ）．

A. )1ln(2x y +=

B. x x y cos =

C. 2

x

x a a y -+= D. )1ln(x y += 分析：A 、()()()()2

2ln(1)ln 1y x x x y x -=+-=+=，为偶函数 B 、()()()cos cos y x x x x x y x -=--=-=-，为奇函数

或者x 为奇函数，cosx 为偶函数，奇偶函数乘积仍为奇函数

C 、()()2

x x

a a y x y x -+-==，所以为偶函数 D 、()ln(1)y x x -=-，非奇非偶函数

故选B

⒋下列函数中为基本初等函数是（C ）．

A. 1+=x y

B. x y -=

C. 2x y =

D. ???≥<-=0,

10,1x x y 分析：六种基本初等函数

（1） y c =（常值）———常值函数

（2） ,y x αα=为常数——幂函数

（3） ()0,1x y a a a =>≠———指数函数

（4） ()log 0,1a y x a a =>≠———对数函数

（5） sin ,cos ,tan ,cot y x y x y x y x ====——三角函数

（6） [][]sin ,1,1,

cos ,1,1,

tan ,cot y arc x y arc x y arc x y arc x =-=-==——反三角函数

分段函数不是基本初等函数，故D 选项不对

对照比较选C

⒌下列极限存计算不正确的是（D ）． A. 12lim 22

=+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0

=+→x x C. 0sin lim =∞→x x x D. 01sin lim =∞→x

x x 分析：A 、已知()1lim 00n x n x →∞=>,222

22222

11lim lim lim 1222101x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞====++++ B 、0limln(1)ln(10)0x x →+=+=, 初等函数在期定义域内是连续的 C 、sin 1lim lim sin 0x x x x x x →∞→∞==, x →∞时，1x

是无穷小量，sin x 是有界函数，无穷小量×有界函数仍是无穷小量

D 、1

sin

1lim sin lim 1

x x x x x x →∞→∞=，令10,t x x =→→∞，则原式0sin lim 1t t t →== 故选D

⒍当0→x 时，变量（C ）是无穷小量． A.

x x sin B. x

1 C. x x 1sin D. 2)ln(+x 分析；()lim 0x a

f x →=，则称()f x 为x a →时的无穷小量

A 、0sin lim

1x x x

→=，重要极限 B 、01lim x x

→=∞，无穷大量 C 、01lim sin 0x x x →=，无穷小量x ×有界函数1sin x 仍为无穷小量 D 、()0

limln(2)=ln 0+2ln 2x x →+= 故选C

⒎若函数)(x f 在点0x 满足（A ），则)(x f 在点0x 连续。

A. )()(lim 00

x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义 C. )()(lim 00x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 0

0x f x f x x x x -+→→= 分析：连续的定义：极限存在且等于此点的函数值，则在此点连续即()()00lim x x f x f x →=

连续的充分必要条件()()()()()00000lim lim lim x x x x x x f x f x f x f x f x →→+→-

=?== 故选A

（二）填空题 ⒈函数)1ln(39)(2x x x x f ++--=的定义域是 {}|3x x > ． 分析：求定义域一般遵循的原则

（1） 偶次根号下的量0≥

（2） 分母的值不等于0

（3） 对数符号下量（真值）为正

（4） 反三角中反正弦、反余弦符号内的量，绝对值小于等于1

（5） 正切符号内的量不能取()0,1,22k k π

π±=

然后求满足上述条件的集合的交集，即为定义域

)1ln(3

9)(2x x x x f ++--=要求

2903010x x x ?-≥?-≠??+>?

得333

1x x x x ≥≤-??≠??>?或－

定义域为 {}|3x x >

⒉已知函数x x x f +=+2)1(，则=)(x f x 2-x ． 分析：法一，令1t x =+得1x t =-

则()()22()11f t t t t t =-+-=-则()2f x x x =-

法二，()()(1)(1)111f x x x x x +=+=+-+所以()()1f t t t =- ⒊=+∞→x x x

)211(lim ． 分析：重要极限1lim 1x x e x →∞??+= ???

，等价式()10lim 1x x x e →+= 推广()lim x a f x →=∞则()

()1lim(1)f x x a e f x →+= ()lim 0x a f x →=则()()1

lim(1)f x x a f x e →+=

1

122211lim(1)lim(1)22x x x x e x x

?→∞→∞+=+= ⒋若函数?????≥+<+=0,

0,)1()(1x k x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k e ．

分析：分段函数在分段点0x 处连续()()()000lim lim x x x x f x f x f x →+→-

?== ()()()()001

00lim lim 0lim lim 1x x x

x x f x x k k k f x x e →+→+

→-→-=+=+==+= 所以k e =

⒌函数?

??≤>+=0,sin 0,1x x x x y 的间断点是 0x = ． 分析：间断点即定义域不存在的点或不连续的点

初等函数在其定义域范围内都是连续的