必修二数学空间图形的基本关系与公理

空间图形的基本关系与公理

2005-09-29 09:57:05

一、教学目标

1．使学生学会观察长方体模型中点、线、面之间的关系，并能结合长方体模型，掌握五类位置关系的分类及其有关概念.

2．掌握平面的基本性质，即公理1，2，3.

3. 掌握公理4和等角定理，并会应用它们解决问题.

4. 培养和发展学生的空间想像能力、运用图形语言进行交流的能力、以及几何直观能力.

5．通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念和结论，体会蕴涵在其中的思想方法.

二、设计思路

1．本节先给出两幅实物图片，旨在激发学生学习空间图形的兴趣，然后引入最简单的几何体――长方体模型，有关点、线、面用彩色来突出，让学生仔细的观察，具有很强的可读性.

2．本节设计了一些实例，并给出了两幅实物图片，旨在激发学生学习的兴趣，让学生觉得四个公理确实是显而易见的.

3．设计一幅实物图片和直观图形进行对比，使学生从平面到空间理解等角定理，显得更直观、更可信.

三、教学建议

本节第一小节的主要内容：空间点与直线的位置关系的分类，空间点与平面的位置关系的分类，空间两条直线的位置关系的分类，空间直线与平面的位置关系的分类，空间平面与平面的位置关系的分类.

本节第二小节的主要内容：四个公理，等角定理.

1．本节第一小节的重点是五类位置关系的分类及其有关概念，难点是“异面直线”的理解.本节第二小节的重点是四个公理和等角定理的理解与应用，难点是四个公理和等角定理的与应用.

2．在教学空间图形基本关系的认识时，应先引导学生对“实例分析”中的长方体进行详细地观察，然后讨论8个顶点、12条棱、6个表面之间的关系.在此基础上，再进入“抽象概括”这一栏目.

3．空间点与直线、空间点与平面的位置关系，结合长方体模型和生活中的实物，学生容易理解.

4.本书中的空间两条直线指的是不重合直线.

若从两条直线是否共面的角度看，可以分为两类：

（1）同一平面内：平行直线、相交直线；

（2）不在同一平面内：异面直线.

若从有无公共点的角度看，也可以分为两类：

（1）有只有一个公共点：相交直线；

（2）没有公共点：平行直线、异面直线.

5．异面直线的理解是本节的难点，教学中应该结合正反两方面的例子，深刻理解“两条直线不同在任何一个平面内”的含义.这两条直线构成一个空间图形，绝不是平面图形.在学习了下一小节的公理2后，教师可以结合“思考交流”栏目的三个问题，向学生指出：能够同在一个平面内的两条直线有且只有平行和相交这两种情况，所以，两条直线是异面直线等价于这两条直线既不平行也不相交.

6．在画异面直线时，一般要以平面为衬托，这样显示得更直观和清楚（如图1）.不然，就容易画成

两条直线相交的情况（如图2）.

北师大数学必修二新素养应用案巩固提升：第一章441 空间图形基本关系的认识42 空间图形的公理一 含

§4空间图形的基本关系与公理 4．1空间图形基本关系的认识 4．2空间图形的公理(一) 1．空间图形的基本位置关系的认识 (1)空间图形的基本关系主要指的是：空间中点与直线，点与平面、直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系． (2)空间点与直线的位置关系 点与直线的位置关系图形表示符号表示点在直线上B∈l 点在直线外B?l (3)空间点与平面的位置关系 点与平面的位置关系图形表示符号表示点在平面内B∈α 点在平面外A?α 2.空间图形的公理 (1)公理1 ①文字语言：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)． ②图形语言： ③推论： 推论1：一条直线和直线外一点确定一个平面． 推论2：两条相交直线确定一个平面． 推论3：两条平行直线确定一个平面． ④结论：公理1及其推论给出了确定平面的依据． (2)公理2 ①文字语言：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(即直线在平面内)． ②图形语言： ③符号语言：若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则lα.

④直线与平面的位置关系： 直线AB在平面α内，即AB平面α； 直线AB与平面α相交于点B，即直线AB∩平面α＝B； 直线AB与平面不相交，即平行，表示为AB∥平面α. (3)公理3 ①文字语言：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． ②图形语言： ③符号语言：若点P∈α，且P∈β，则存在直线l，使得α∩β＝l，且P∈l. ④平面与平面的位置关系：两个平面重合，两个平面相交于一条直线(相交平面)，两个平面不相交(称这两个平面平行)． 1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)四边形一定是平面图形．() (2)两条相交直线确定一个平面．() (3)若直线l上有无数个点在平面α外，则直线l∥α.() (4)若两个平面平行，则在两个平面内的直线一定没有公共点．() 答案：(1)×(2)√(3)×(4)√ 2．点P在直线l上，直线l在平面α内，用符号表示为() A．P l，lαB．P∈l，l∈α C．P l，l∈αD．P∈l，lα 答案：D 3．如图所示是表示两个相交平面，其中画法正确的是() 答案：D 4．根据图填入相应的符号：A__________平面ABC，A__________平面BCD，BD__________平面ABC，平面ABC__________平面ACD＝AC.

空间图形的基本关系的认识

空间图形的基本关系的认识 【学习目标】 1.通过长方体这一常见的空间图形，了解空间中点、线、面的基本位置关系，并会用符号语言进行表述。 2.掌握空间图形的公理1、2。 【学习重点】 以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面之间的位置关系，加强符号语言的运用能力和推理论证能力。 【学习难点】 异面直线的理解，公理1、2的应用。 【课前预习案】

一、空间图形的基本关系，注关于异面直线 （1）若直线α,b是异面直线，则在空间中找不到一个平面，使其同时经过这两条直线. （2）不可以误解为分别在不同平面的两条直线. （3）异面直线既不平行又不相交. （4）直线a交平面α于点A，直线b在平面α内且不过点A,则直线α,b异面.

l ,A ∈α, B α∈,则__________. 公 理 2 经过__________上的三点，有且_____一个平面 （即可以确定一个平面）. 若A 、B 、C 三点不共线，则____________一个平面α使A α∈，B α∈，C α∈. 【课堂探究案】 学法指导：根据题意画出直观图，利用直观图分析点、线、面之间的位置关系。 1.用符号语言表示下列语句，并画出图形 （1）直线 经过平面α内两点A 、B （2）直线 在平面α外，且经过平面α内一点P （3）直线 是平面α与平面β的交线，平面α内有一条直线m 与 平行 2.如图，在三棱锥S —ABC 的六条棱所在的直线中，异面直线共有（ ） A.2对 B.3对 C.4对 D.6对 3.若直线m α平面?=P ，则下列结论中正确的是（ ） A.平面α内的所有直线与直线m 异面 B.平面α内不存在与直线m 平行的直线 C.平面α内存在唯一的直线与m 平行 D.平面α 内的所有直线与直线m 相交 4.如图在长方体1111ABCD A B C D -所有棱中 （1）与11B A 异面的直线有_________________ （2）与1BD 异面的直线有_________________ A B C S A B C D

空间图形的基本关系与公理

空间图形的基本关系与公理 1.四个公理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内). 公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面). 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行. 2.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类 ?? ? 共面直线??? ?? 平行直线 相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 (2)异面直线所成的角 ①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a 与b 所成的角. ②范围：??? ?0，π2. 3.直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况. 4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.

5.等角定理 空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 概念方法微思考 1.分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗？ 提示不一定.因为异面直线不同在任何一个平面内.分别在两个不同平面内的两条直线可能平行或相交. 2.空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角一定相等吗？ 提示不一定.如果这两个角开口方向一致，则它们相等，若反向则互补. 题组一思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.(√) (2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线.(×) (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.(×) (4)经过两条相交直线，有且只有一个平面.(√) (5)没有公共点的两条直线是异面直线.(×) (6)若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且aα，bβ，则a，b是异面直线.(×) 题组二教材改编 2.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C 与EF所成角的大小为() A.30° B.45° C.60° D.90° 答案 C 解析连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求的角.又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C为等边三角形，∴∠D1B1C＝60°. 3.如图，在三棱锥A—BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则

简单图形的认识知识梳理

第四章 简单图形的认识 [知识梳理] 1．知识结构及要点归纳 （1）怎样认识立体图形？ ①理解并识别柱体、锥体、球体这三种空间图形．柱体包括圆柱、棱柱，锥体包括圆锥、和棱锥．根据底面的多边形的边数多少，棱柱可分为三棱柱、四棱柱……同样，棱锥又可分为三棱锥、四棱锥……．多面体是由平面图形围成的立体图形． ②经历从实物中抽象出几何体的过程，(对事物形状进行抽象概括与类似的立方体图形对号入座)来发展空间观念． （2）怎样理解立体图形和三视图之间的相互关系？ 由立体图形到视图是由人的思维从三维向二维空间转变的过程，由视图到立体图形是从二维向三维空间转变的过程． 画同一个立体的三视图时，如果立体图形摆放的位置不同就可能不同，或者说选取得旋转 视图与投影 切截 灯光与影子 视点、视线、盲区 视图 投影 平行投影 中心投影 直三（四）棱柱、圆柱、圆锥、 球及它们简单组合体的三种视图 立方体及其简单组合体的三种视图 圆柱、圆锥和球 展开与折叠 长方体、正方体 棱柱 空 间 图形 线

图⑵ 物AB ∥EF ，连接AC ，过E 作ED ∥AC ，过F 作FD ∥BC ED 、FD 相交于点D ，则DF 即是EF 的影子。 BC 、FD 分别是AB 、EF 在同 一时刻的影子，则连接CA 、CE 并分别延长总交于O 点，O 点就是光源的位置。 正视方向不同，画出的三视图就可能不同，一般选取适当的位置作为正视方向．画图时要注意 以下几个问题： ①主视图与俯视图要长对正； ②主视图与左视图要高平齐（但宽不一定相等）； ③俯视图与主视图要宽相等； ④不要漏画看不见的棱（用虚线画）．如图⑴ 由视图到立体图形，要注意对观察到的视图进行分析和综合，首先要抓住俯视图的形状，在此基础上再“嫁接”几何体的空间形状．即——从俯视图入手确定上下底面形状，从主视图、左视图入手“嫁接”前后、左右形状，并结合实线、虚线表示的意义，确定看得见部分或看不见部分的轮廓．在得出相应的立体图形后再去检验它的三视图是否与已给的三视图吻合． （3）怎样把握立体图形与其展开图之间的相互转换？ 首先要了解：①圆柱展开图由侧面展开的矩形和上下底两个圆组成；圆锥的展开图由侧面展开的扇形和底面的圆组成． ②棱柱、棱锥的展开图是沿着多面体的一些棱将它剪开，再展开、平铺成一个平面图形． 其次要注意在学习过程中边思考、边动手操作进行展开与折叠的实验，这样不但可以验证我们想象的结果，还能进一步发展我们的 空间想象能力． (4)怎样确定平行投影、中心投影中的物体或影子的位置？ ①平行投影中的物体或影子的位置可用平行法确定． 在平行投影现象中，同一地点、同一时刻，地面的物体与物体平行，则它们的影子也是相互平行或在一条直线上，且过不同物体顶端和该物体影子顶端的光线 也是相互平行的，因此；可根据它们的这种平行关系，运用平行线 的作法在平面图形中确定物体或影子（如图⑵）． ②中心投影中物体或影子的位置可用相交法确定． 同一光源下的物体的影子所在的直线相交于一点，过不同物体顶端 和该物体影子顶端的光线相交于一点，因此可根据这个特征， 用直线相交的作法确定物体或她的影子或光线（如图⑶） （5）怎样把握线段和角？ 关于线段、注意把握以下几点： ①线段、射线、直线的联系与区别； ②有关点和线的两个公理： 两点之间，线段最短． 经过两点有且只有一条直线． ③两点之间地距离是指连接两点的线段的长度． ④比较线段的大小有两种方法，一是度量法，而是叠合法． ⑤点和线的位置关系有两种，一种是点在线上，另一种是点在线外． ⑥把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点． 关于角： 图⑴ 图(3)

北师大版数学高一-课堂新坐标必修2试题 1.4.1空间图形基本关系

一、选择题 1．(2013·日照高一检测)下列叙述中错误的是() A．若P∈α∩β且α∩β＝l，则P∈l B．三点A，B，C只能确定一个平面 C．若直线a∩b＝A，则直线a与b能够确定一个平面 D．若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则lα 【解析】不共线的三点才能确定平面，所以B错． 【答案】 B 2．(2013·桂林高一检测)下列说法正确的是() A．平面α和平面β只有一个公共点 B．两两相交的三条直线必共面 C．不共面的四点中，任何三点不共线 D．有三个公共点的两平面必重合 【解析】四点中，若三点共线，则四点便成了一条直线和直线外一点，则共面，所以与四点不共面矛盾，所以C正确． 【答案】 C 3．已知a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b() A．一定是异面直线B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线 【解析】若a，b异面，c∥a，则c与b相交或异面，则C正确． 【答案】 C 图1－4－6 4．(2013·烟台高一检测)如图1－4－6，平面α∩平面β＝l，点A∈α，点B ∈α，且点C∈β，点C?l.又AB∩l＝R，设A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ

是 () A．直线AC B．直线BC C．直线CR D．直线AR 【解析】∵C∈平面ABC，AB平面ABC，而R∈AB，∴R∈平面ABC.而C∈β，lβ，R∈l，∴R∈β， ∴点C，点R为两平面ABC与β的公共点，∴β∩γ＝CR. 【答案】 C 5．在四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF与HG交于点M，则() A．M一定在直线AC上 B．M一定在直线BD上 C．M可能在AC上，也可能在BD上 D．M不在AC上，也不在BD上 【解析】因为E，F，G，H分别是四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA 上的点，EF与HG交于点M，所以点M为平面ABC与平面ACD的公共点，而两个平面的交线为AC，所以M一定在直线AC上． 【答案】 A 二、填空题 图1－4－7 6．如图1－4－7所示，用符号语言可表示为________． 【解析】根据图形语言与符号语言之间的转化可得α∩β＝m，nα，m∩n ＝A. 【答案】α∩β＝m，nα，m∩n＝A

“图形的认识”核心知识

“图形的认识”核心知识的深层理解 在小学阶段，“图形与几何”的学习内容主要是欧几里得几何，欧几里得几何学是现实世界最简单、最粗略、最直观的近似刻画，它把空间分解为最基本的元素——点、线、面，用公理来规定点、线、面、体之间的关系，再用形式逻辑规则来推证一系列的性质。欧氏几何学所使用的工具很简单，所以只研究涉及直线、平面、直方体等“平直性”的变化。研究对象是抽象出来的那些平直的概念，比如：点、线、面、体、角。在教学过程中应当注意的是，这些概念涉及的线都是直的，涉及的面都是平的。 一、“图形的认识”内容结构 关于图形的认识，小学阶段主要是欧式几何空间中的点、线、面、体、角，描述平面图形与立体图形的特征与性质。 小学数学中“图形的认识”只要涉及平面图形和立体图形，具体包括： 点； 线：直线、射线、线段； 角：直角、锐角、钝角、平角； 平面图形：三角形、四边形（长方形、正方形、平行四边形、梯形）、圆； 立体图形：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球。 二、“图形的认识”深层理解 2011年版《数学课程标准》在数学课程的总体目标中明确提出四基的观念，具体包括基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。那么，在学习“图形的认识”的过程中，除了要把握图形的特征与性质以外，在基本思想与基本活动经验方面，有怎样的教育功能和价值？是需要教师深层次认识和理解的。从数学的视角来看，教学图形的认识，其核心要把握5个方面：图形的抽象、图形的分类、图形的定义、图形的性质、图形的转化。 （一）图形的抽象 图形是人类通过对客观物体的长期观察逐渐抽象出来的。抽象的核心是把物体的外部形象用线条描绘在二维平面上。这种抽象不仅舍去了物体的颜色、构成材料等物体的本质要素，还忽略了所占空间。例如：点是位置的抽象，在几何中用“点”来标记一个物体的位置（生活中的楼房、公园；地图上的城市；天空中的天体，不管多大的物体都可以根据实际描述的需要用点来表示）；线是路径的抽象，我们把“从一个地方到另一个地方”抽象为线段、折线段或曲线段。 生活中长短、宽窄和高矮不同的物体，都占据一定的空间，这些反映到我们的脑子里就有了形状的概念，就抽象成了几何图形。“长方形”不是某个具体的物体，而是抽象了的图形，是一种理念上的存在。在欧氏几何里，点只有位置，不分大小；线段只有长度，不分宽窄；面只有长度和宽度，不分薄厚。 （二）图形的分类 分类是一种十分重要的科学思想方法。在分类的过程中，既要关注图形的共性也要关注图形的差异，而共性和差异都是抽象的结果，是抽象的具体体现。所以图形分类能够培养学生的抽象能力。 在认识图形的过程中，不仅仅要让学生学会区别图形，知道哪一种图形叫什么名字，更重要的是让学生通过认识图形学会分类。只有让学生感悟到了图形的分类，教学才具有一般意义。通过分类的过程要让学生感悟到：如何合理地制订分类标准；如何遵循标准进行合理的分类。因为在日常生活和生产实践中，

1.4.1空间图形的基本关系与公理

1.4.1空间图形的基本关系与公理 一、教学目标： 1、知识与技能：（1）利用生活中的实物对平面进行描述；（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图；（3）掌握平面的基本性质及作用；（4）培养学生的空间想象能力。 2、过程与方法：（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；（2）让学生归纳整理本节所学知识。 3、情感与价值：使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣。 二、教学重点：1、平面的概念及表示；2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。 三、教学难点：平面基本性质的掌握与运用。 四学情分析： 五、学法指导：学生通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的教学目标。 六、教学方法：思考交流讨论法 七、教学过程： （一）实物引入、揭示课题 师：生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多例子吗？引导学生观察、思考、举例和互相交流。与此同时，教师对学生的活动给予评价。 师：那么，平面的含义是什么呢？这就是我们这节课所要学习的内容。 （二）研探新知 1、平面含义 师：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的。 2、平面的画法及表示 师：在平面几何中，怎样画直线？（一学生上黑板画） 之后教师加以肯定，解说、类比，将知识迁移，得出平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）

平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画（打出投影片） 课本P41 图 2.1-4 说明 平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。 点A 在平面α内，记作：A ∈α 点B 在平面α外，记作：B α 2.1-4 3、平面的基本性质 教师引导学生思考教材P41的思考题，让学生充分发表自己的见解。 师：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上，用事实引导学生归纳出以下公理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 （教师引导学生阅读教材P42前几行相关内容，并加以解析） 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α D C B A α α β α β ·B ·A α L A · α ·B

论如何提高幼儿对图形与空间的认识

龙源期刊网 https://www.wendangku.net/doc/0316288571.html, 论如何提高幼儿对图形与空间的认识 作者：陈家欢 来源：《家长·中》2019年第06期 摘要：在对幼儿的教学中，教学材料可以说是幼儿开展活动的有效工具，它能够让幼儿通过对材料的解构与重组，完成智力的发育。由于低结构材料的可塑性更好，教师可以巧妙运用低结构材料对幼儿展开教学，从而开发幼儿的无限智慧，逐渐提高幼儿对图形与空间的认识。 关键词：低结构材料;无限智慧;图形与空间 在幼儿最初的成长和发展阶段，幼儿教师对幼儿的智力开发以及幼儿教学启蒙起着至关重要的作用。现如今在幼儿园的教学活动中，教师不再仅仅对幼儿进行文化知识的教育，更多的是利用有效的活动材料设计，培养幼儿智力开发及动手能力和对图形空间的认识，促进幼儿今后的全面发展。所以文本以低结构材料，即具有色彩鲜艳，没有固定形状简单易变性的材料，在幼儿教学中提高幼儿图形与空间的认识为研究主题，提出相应对策，从而开发幼儿的无限智慧，推进幼儿发展。 一、融合生活元素，让材料大变身 “生活即教育”是陶行知教育理念中的重要组成内容。从教育理念中我们可以看出，教育与我们的实际生活之间有着紧密的联系。而学前教育作为基础教育的起始，更应当将生活化的元素融入其中，从而更好地构建学前教育与实际生活之间的联系。在我们的生活中，低結构材料的运用可以说是非常广泛的。由于低结构材料的可塑性、安全性非常强，并且获取方法很方便又兼顾环保，所以教师可以根据生活中常见的低结构材料进行教学，从而让幼儿在解构重组中，实现图形与空间认知能力的培养。 例如，在带领幼儿以“我的小小笔筒”为主题进行教学时，教师就可以让幼儿在课下搜集生活中常见的废旧材料，像牛奶纸箱、易拉罐、报纸、纸工刀、塑料管等低结构材料。活动开始，教师可以利用投影仪为幼儿展示不同形状样式的笔筒图片，让小朋友对笔筒的形状有一个基本的了解。紧接着教师可以向小朋友进行笔筒制作方法的演示，随后在教师的帮助下幼儿将自己准备的低结构材料进行大变样，剪裁出各种不同的形状笔筒样式，有圆柱体的、长方体的、正方体等，并对自己制作出的笔筒进行装饰，最后教师引导幼儿对不同形状的笔筒进行指认，看看哪些小朋友认识的图形最多，进而强化幼儿对图形与空间的认知能力。 二、开展游戏活动，玩转图形空间 随着课程游戏化教育理念的不断推进，越来越多的幼儿教师认识到了课程游戏化的发展趋势。教师在课堂的教学环节中，将游戏与教学材料结合，引导幼儿玩转图形空间，不仅能让幼

空间点线面之间位置关系知识点总结

高中空间点线面之间位置关系知识点总结 第一章空间几何体 （一）空间几何体的结构特征 （1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线称为旋转体的轴。 （2）柱，锥，台，球的结构特征 棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。 棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台. 圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.（二）空间几何体的三视图与直观图1.投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。 2.三视图——正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。 4.斜二测法：在坐标系''' x o y中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于x轴（或在x轴上）的线段保持长度不变，平行于y轴（或在y轴上）的线段长度减半。重点记忆：直观图面积=原图形面积 (三)空间几何体的表面积与体积 1、空间几何体的表面积 ①棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和 ②圆柱的表面积③圆锥的表面积2 S rl r ππ =+ ④圆台的表面积22 S rl r Rl R ππππ =+++⑤球的表面积2 4 S R π = ⑥扇形的面积公式 21 3602 n R S lr π == 扇形 （其中l表示弧长，r表示半径） 2、空间几何体的体积 ①柱体的体积V S h =? 底 ②锥体的体积1 3 V S h =? 底 ③台体的体积1) 3 V S S S S h =+? 下下 上上 （④球体的体积3 4 3 V R π = 2 π 2 π 2r rl S+ =

空间图形的初步认识教案

第7章空间图形的初步认识 7、1几种常见几何体 教学目标: 1. 会将常见的几何体（棱柱、棱锥）进行分类? 2. 知道多面体的概念. 3. 了解多面体的棱、顶点和面数之间的关系. 重点、难点： 多面体的棱、顶点和面数之间的关系? 【预习指导】 1、多面体的定义： _______________________________________________________________ 2、会将常见的几何体（棱柱、棱锥）进行分类：____________________________________ 3、预习疑难摘要：_______________________________________________________________ 【学习过程】 一、自主学习 自学课本130页---133页内容，回答下列问题 （1）试举出生活中多面体的例子。并思考：多面体的棱、顶点和面数之间的关系. 二、探究活动一（观察与思考）

棱柱还可分为：直棱柱和斜棱柱 O I ---------- 思考：仿照棱柱，说出棱锥的分类 棱锥的分类： 按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥、 ..... O 棱柱的分类 根据棱柱底面多边形的边数， 棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形、把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱、 棱柱四棱柱五棱柱 棱锥的分类

(8) 还有一类几何体也是我们常见的，我们 把这类几何体称为棱台 思考2:这些几何体各有多少个面 ？每 :棱锥 棱柱 ⑷ ⑺

思考3:下面这些几何体是多面体吗？他们有什么共同的特点? 边形，所以不是多面体'它 们都有一个面是曲面.

1.4《空间图形的基本关系与公理》教案

空间图形的基本关系与公理 一. 教学内容： 空间图形的基本关系与公理 二. 学习目标： 1、学会观察长方体模型中点、线、面之间的关系，并能结合长方体模型，掌握空间图形的有关概念和有关定理；掌握平面的基本性质、公理4和等角定理； 2、培养和发展自己的空间想象能力、运用图形语言进行交流的能力、几何直观能力、通过典型例子的学习和自主探索活动，理解数学概念和结论，体会蕴涵在其中的数学思想方法； 3、培养严谨的思维习惯与严肃的科学态度；体会推理论证中反映出的辩证思维的价值观。 三、知识要点 （一）空间位置关系： I、空间点与线的关系 空间点与直线的位置关系有两种：①点P在直线上：；②点P在直线外：； II、空间点与平面的关系 空间点与平面的位置关系有两种：①点P在平面上：②点P在平面外：；III、空间直线与直线的位置关系： IV、空间直线与平面的位置关系： V、空间平面与平面的位置关系：①平行；②相交

说明：本模块中所说的“两个平面”“两条直线”等均指不重合的情形。 （二）异面直线的判定 1、定义法：采取反证法的思路，否定平行与相交两种情形即可； 2、判定定理：已知P点在平面上，则平面上不经过该点的直线与平面外经过该点的直线是异面直线。 （三）平面的基本性质公理 1、公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内（即直线在平面内，或曰平面经过这条直线）。 2、公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（即确定一个平面）。 3、公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过该点的公共直线 4、平面的基本性质公理的三个推论 ①经过直线和直线外一点，有且只有一个平面； ②经过两条相交直线，有且只有一个平面； ③经过两条平行直线，有且只有一个平面 思考： ①公理是公认为正确而不需要证明的命题，那么推论呢？ ②平面的基本性质公理是如何刻画平面的性质的？ （四）平行公理（公理4）：平行于同一条直线的两条直线平行。 （五）等角定理：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 （六）空间四边形：顺次连接不共面的四点构成的图形称为空间四边形。 【典型例题】 考点一空间点线面位置关系的判断：主要判断依据是平面的基本性质公理及其推论，平行公理、等角定理等相关结论。 例1.下列命题： ①空间不同的三点可以确定一个平面； ②有三个公共点的两个平面必定重合； ③空间中两两相交的三条直线可以确定一个平面；

小学数学空间与图形复习

小学数学空间与图形复习资料（二） A、图形的认识 (一)线与角 一、线 1、直线：直线没有端点；长度无限，无法比较长短；过一点可以画无数条直线，过两点只能画一条直线。 2、射线：射线只有一个端点；长度无限，无法比较长短。 3、线段：线段有两个端点，它是直线的一部分；长度有限；两点的连线中线段最短。 4、平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。两条平行线间的垂线段长度都相等。 5、垂线：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，相交的点叫做垂足。 点到直线的距离：从直线外一点到这条直线所画的垂线段的长度叫做这点到直线的距离。 二、角 1、角的定义：从一点引出两条射线，所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。 2、角的特点：角的大小与角两边的长短无关，与角两边叉开的大小有关。 3、角的分类： 锐角：小于900的角叫做锐角；直角：等于900的角叫做直角；钝角：大于900而小于1800的角叫做钝角。平角：角的两边成一条直线，这时所组成的角叫做平角，平角1800。周角：角的一边旋转一周，与另一边重合，周角是3600。注意：平角不能理解为一条直线，周角不能理解为一条射线。 4、角的度量：量角器中心点与顶点重合，角的一边与量角器的零刻度线重合。即点与点重合，边与边重合的量角方法。看量角器的度数，就需要看刻度线在哪边了。 （二）平面图形 一、长方形特征：对边相等，4个角都是直角的四边形；有2条对称轴。 二、正方形特征：4条边都相等，4个角都是直角的四边形；有4条对称轴。 三、三角形 1、特征：由三条线段围成的图形；三角形两边之和大于第三条边；三角形内角和是180度；三角形具有稳定性；三角形有三条高。 2、分类： （1）按角分锐角三角形：三个角都是锐角。直角三角形：有一个角是直角；等腰直角三角形的两个锐角都为45度，它有1条对称轴。钝角三角形：有一个角是钝角。（2）按边分任意三角形：三条边长度不相等。等腰三角形：有两条边长度相等；两个底角相等；有1条对称轴。等边三角形：三条边长度都相等；三个内角都是60度；有3条对称轴。 四、平行四边形特征：两组对边分别平行，相对的边平行且相等； 五、梯形特征：只有一组对边平行的四边形；等腰梯形有1条对称轴。

浅谈我对小学数学中空间与图形的教学的认识

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 浅谈我对小学数学中空间与图形的教学的认识 浅谈我对小学数学中空间与图形的教学的认识正宁县山河小学文霞根据小学生的认识规律和思维特点，他们对于几何图形的认识与人类早期认识几何阶段有相似之处，主要依赖于经验、依赖于具体观察、反复实验而获得。 因此，小学阶段教学的是直观几何，而观察的实验是直观几何的基本教学方法。 下面是我对小学数学空间与图形教学的一点认识和建议一、教材分析（一）小学阶段空间与图形的内容《标准》对传统的几何内容进行了较大幅度的改革，设置了空间与图形的领域，主要分为四个部分： 图形的认识、测量、图形与变换、图形与位置。 小学阶段空间与图形的内容包括： 认识长方体、正方体，圆柱体、圆锥体、球体，长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆形等图形，平面图形和简单几何体的特征，测量线段的长度，测量和计算平面图形的周长和面积，计算简单几何体的表面积和体积，平移、旋转的运动特点，对称现象，东、南、西、北、东南、东北、西南、西北八个不同方向，用上、下、左、右、前、后描述物体的相对位置，认识用数对表示物体的位置，设计简单的图案，解决简单的生活问题。 1 / 4

（二）、空间与图形在小学数学中的意义学习和应用相应的空间与图形的有关知识和数学学习方法，对于学生更好地认识、理解生活空间，更好地生存和发展有着重要的现实意义。 1、培养学生初步的空间观念。 空间观念是指对物体和几何图形的形状、大小、位置关系及其变化的直觉，它们是人们更好地认识和描述生活空间并进行交流的重要工具。 发展学生的空间观念是《标准》中的一个重要目标，也是空间与图形学习的核心目标之一。 那如何培养学生的空间观念呢？ 2、提高学生运用知识解决简单实际问题的能力，增强应用数学的意识。 几何知识来源于生产劳动，在生活、生产中有广泛的应用。 3、有助于培养学生学习数学的兴趣，促进学生形成科学精神和科学态度。 在拼一拼、量一量等大量的实践活动中，可以使学生体验研究数学的乐趣，积累数学活动经验，逐渐形成科学精神和科学态度。 如《平行四边形面积的计算》 4、培养和提高学生的审美情趣，发展数学直觉。 《标准》把数学定义为理性的艺术。 数学不仅有利于发展学生的逻辑思维，而且有利于学生的创造才能的发展。 （三）、空间与图形教学的目标空间与图形主要涉及现实世

北师大版必修二数学4.2 空间图形的公理

安边中学 高一 年级 1学期 数学 学科导学稿 执笔人： 王广青 总第 课时 备课组长签字： 包级领导签字： 学生： 上课时间： 第 周 集体备课 个人空间 一、课题：4.2 空间图形的公理 二、学习目标 1、掌握空间图形的有关概念和有关定理； 2、掌握平面的基本性质、公理4和等角定理。 三、教学过程 【温故知新】 1、空间直线与直线的位置关系 （1） （2） （3） 2、空间直线与平面的位置关系 （1） （2） （3） 3、空间平面与平面的位置关系 （1） （2） 【导学释疑】 等角定理： ______________________________________________ 图形表示： 【巩固提升】 公理1： 图形表示 符号语言： 公理2： 图形表示 符号语言： 公理3： 图形表示 符号语言： 公理4： 图形表示 符号语言：

1、已知AB//PQ ，BC//QR ，∠ABC=30°，则∠PQR 等于（ ） A.30° B.30°或150° C.150° D.以上结论都不对 2、在空间，下列命题正确的个数为（ ） （1）有两组对边相等的四边形是平行四边形； （2）四边相等的四边形是菱形； （3）平行于同一条直线的两条直线平行； （4）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。 A.1 B.2 C.3 D.4 3、判断下列说法说否正确，并说明理由。 （1）一点和一条直线确定一个平面； （2）经过一点的两条直线确定一个平面； （3）交于一点的三条直线确定一个平面； （4）首尾依次相接的4条线段在同一平面内。 【检测反馈】 1、例2：如图所示，将无盖正方体纸盒展开，直线AB ，CD 在原正方体中的位置关系是（ ） A.平行 B.相交且垂直 C.异面直线 D.相交成60° 2、下列四个说法，错误命题的序号是 （ ） ①过三点确定一个平面； ②矩形是平面图形； ③三条直线两两相交则确定一个平面； ④两个相交平面把空间分成四个区域 3、在空间四边形ABCD 中，E,F,G ,H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点， 求证：四边形EFGH 是平行四边形 反思 栏 A B C D E F H B C A D G

高中数学空间图形平面

高中数学空间图形——平面 空间图形的基本关系 一、教学目标： 1、知识与技能： (1)利用生活中的实物对平面进行描述; (2)掌握平面的表示法及水平放置的直观图; (3)掌握平面的基本性质及作用; (4)培养学生的空间想象能力。 2、过程与方法： (1)通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识; (2)让学生归纳整理本节所学知识。 3、情感与价值：使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣。 二、教学重点、难点 重点： 1、平面的概念及表示; 2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。 难点：平面基本性质的掌握与运用。 三、学法与教法 1、学法：学生通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的教学目标。 2、

教法：思考交流讨论法 四、教学过程 (一)实物引入、揭示课题 生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多例子吗?引导学生观察、思考、举例和互相交流。与此同时，教师对学生的活动给予评价。 那么，平面的含义是什么呢?这就是我们这节课所要学习的内容。 (二)研探新知 1、平面含义 师：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的。 2、平面的画法及表示 师：在平面几何中，怎样画直线?(一学生上黑板画) 之后教师加以肯定，解说、类比，将知识迁移，得出平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长(如图) 平面通常用希腊字母、、等表示，如平面、平面等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点 的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。

1.4《空间图形的基本关系与公理》教案

1.4《空间图形的基本关系与公理》教案

空间图形的基本关系与公理 一. 教学内容： 空间图形的基本关系与公理 二. 学习目标： 1、学会观察长方体模型中点、线、面之间的关系，并能结合长方体模型，掌握空间图形的有关概念和有关定理；掌握平面的基本性质、公理4和等角定理； 2、培养和发展自己的空间想象能力、运用图形语言进行交流的能力、几何直观能力、通过典型例子的学习和自主探索活动，理解数学概念和结论，体会蕴涵在其中的数学思想方法； 3、培养严谨的思维习惯与严肃的科学态度；体会推理论证中反映出的辩证思维的价值观。 三、知识要点 （一）空间位置关系： I、空间点与线的关系 空间点与直线的位置关系有两种：①点P在直线上：；②点P在直线外：； II、空间点与平面的关系 空间点与平面的位置关系有两种：①点P在平面上：②点P在平面外：；

III、空间直线与直线的位置关系： IV、空间直线与平面的位置关系： V、空间平面与平面的位置关系：①平行；②相交 说明：本模块中所说的“两个平面”“两条直线”等均指不重合的情形。 （二）异面直线的判定 1、定义法：采取反证法的思路，否定平行与相交两种情形即可； 2、判定定理：已知P点在平面上，则平面上不经过该点的直线与平面外经过该点的直线是异面直线。

（三）平面的基本性质公理 1、公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内（即直线在平面内，或曰平面经过这条直线）。 2、公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（即确定一个平面）。 3、公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过该点的公共直线 4、平面的基本性质公理的三个推论 ①经过直线和直线外一点，有且只有一个平面； ②经过两条相交直线，有且只有一个平面； ③经过两条平行直线，有且只有一个平面 思考： ①公理是公认为正确而不需要证明的命题，那么推论呢？ ②平面的基本性质公理是如何刻画平面的性质的？

空间图形的基本关系与公理[习题与答案]

空间图形的基本关系与公理 课后作业 一、选择题 1．下列四个命题： ①分别在两个平面内的两条直线是异面直线 ②和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条 ③和两条异面直线都相交的两条直线必异面 ④若a 与b 是异面直线，b 与c 是异面直线，则a 与c 也是异面直线 其中是真命题的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2．以下命题中：①点A ，B ，C ∈直线a ，A ，B ∈平面α，则C ∈α；②点A ∈直线a ，a ?平面α，则A ∈α；③α，β是不同的平面，a ?α，b ?β，则a ，b 异面；④三条直线两两相交，则这三条直线共面；⑤空间有四点不共面，则这四点中无三点共线．真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．对于空间三条直线，有下列四个条件： ①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行； ③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交． 其中，使三条直线共面的充分条件有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱A 1B 1的中点，则A 1B 与D 1E 所成角的余弦值为( ) A. 510 B.1010 C.55 D.10 5 5．已知正四棱锥S －ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE ，SD 所成的角的余弦值为( ) A.13 B.23 C.33 D.23 二、填空题 6．空间内五个点中的任意三点都不共线，由这五个点为顶点只构造出四个三棱锥，则这五 个点最多可以确定________个平面． 7．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，经过其对角线BD 1的平面分别与棱AA 1、CC 1相交于E ，F 两点，则四边形EBFD 1的形状为________． 8．P 是直线a 外一定点，经过P 且与直线a 成30°角的直线有________条． 三、解答题 9.如右图所示，在三棱锥A －BCD 中，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点． (1)求证：四边形EFGH 是平行四边形； (2)若AC ＝BD ，求证：四边形EFGH 是菱形； (3)当AC 与BD 满足什么条件时，四边形EFGH 是正方形． 10.如右图所示，已知四边形ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，P A ⊥平面AC ，且P A ＝AD ＝AB ＝1，BC ＝2. (1)求PC 的长； (2)求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值的大小． 参考答案

空间图形的位置关系

空间图形的位置关系 一、选择题 1．若点P是两条异面直线l，m外的任意一点，则( ) A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行 B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直 C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交 D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面 答案：B 命题立意：本题考查异面直线的几何性质，难度较小． 解题思路：因为点P是两条异面直线l，m外的任意一点，则过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直，故选B. 2．如图，P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD 的位置关系是( ) A．平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直 B．它们两两垂直 C．平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直 D．平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直 答案：A 解题思路：∵DA⊥AB，DA⊥PA，AB∩PA＝A， ∴DA⊥平面PAB，又DA?平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.同理可证平面PAB⊥平面PBC.把四棱锥P－ABCD放在长方体中，并把平面PBC补全为平面PBCD1，把平面PAD补全为平面PADD1，易知∠CD1D即为两个平面所成二面角的平面角，∠CD1D＝∠APB， ∴∠CD1D＜90°，故平面PAD与平面PBC不垂直． 3．设α，β分别为两个不同的平面，直线l?α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 命题立意：本题主要考查空间线面、面面位置关系的判定与充分必要条件的判

断，意在考查考生的逻辑推理能力． 解题思路：依题意，由l⊥β，l?α可以推出α⊥β；反过来，由α⊥β，l?α不能推出l⊥β.因此“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件，故选A. 4．若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列结论正确的是( ) A．若m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线 B．若m，n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线 C．已知α，β互相垂直，m，n互相垂直，若m⊥α，则n⊥β D．m，n在平面α内的射影互相垂直，则m，n互相垂直 答案：B 解题思路：本题考查了空间中线面的平行及垂直关系．在A中：因为平行于同一平面的两直线可以平行，相交，异面，故A为假命题；在B中：因为垂直于同一平面的两直线平行，故B为真命题；在C中：n可以平行于β，也可以在β内，也可以与β相交，故C为假命题；在D中：m，n也可以不互相垂直，故D为假命题．故选B. 5．如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，另一端点N在正方形ABCD内运动，则MN的中点的轨迹的面积为( ) A．4π B．2π C．π D.π2 D 解题思路：本题考查了立体几何中的点、线、面之间的关系．如图可知，端点N在正方形ABCD内运动，连接ND，由ND，DM，MN构成一个直角三角形，设P为NM的中点，根据直角三角形斜边上的中线长度为斜边的一半可得，不论△MDN如何变化，点P到点D的距离始终