《概率论与数理统计》复习题1答案
《概率论与数理统计》复习题一答案
一、是非题
1、对事件A 与B , 一定成立等式()A
B B A -=. (错)
2、对事件A 和B , 若()()1P A P B +>, 则这两个事件一定不是互不相容的. (对)
3、设1,
,n X X 是来自总体2
~(,)X N μσ的简单样本, 则统计量1
1n
i i X X n ==∑和
21
()n
i
i X
X =-∑不独立. (错)
4、若事件A 的概率()0P A =, 则该事件一定不发生. (错)
5、设总体X 的期望()E X μ=存在, 但未知, 那么1
1n
i i X n =∑为参数μ的相合估计量.
(对)
二、填空题
6、已知随机事件A 和B 的概率分别为()0.7P A =和()0.5P B =, 且()0.15P B A -=,那么, (|)P B A =
()()()0.50.15
0.5()()0.7
P AB P B P B A P A P A ---===.
7、设随机变量X 服从区间[1,1]-上的均匀分布, 随机变量2
Y X =, 则它们的协方差系数cov(,)X Y =
()()()0
E X E Y E XY -=; 事件12Y ?
?
≤
????
的概率12P Y ?
?≤=
???
?12dx =?.
8、甲乙两人独立抛掷一枚均匀硬币各两次, 则甲抛出的正面次数不少于乙的概率为
11
16
.
9、如果1,,n X X 是来自总体~(1,)X b p (服从01-分布)的简单样本, 而1,,n x x 是
其样本观测值. 那么最大似然函数为1
1
(1)
n
n
i
i
i i x n x p
p ==-
∑
∑-.
三、选择题
10、随机变量X 以概率1取值为零, Y 服从(1,)b p (01-分布), 则正确的是
A .
(A) X 与Y 一定独立 (B) X 与Y 一定不独立 (C) X 与Y 不相关但不独立 (D) 不能确定X 与Y 的独立性
11、设随机变量X 和Y 的联合密度函数,0,
(,)0,y e x y f x y -?<<=??其它. 则一定有 D .
(A) X 和Y 独立 (B) ,0,
()0,0.
y Y e y f y y -?>=?
(C) ()1X f x = (D) X 和Y 不独立
12、设总体2~(,)X N μσ, 1,
,n X X 是简单样本,
11n i i X X n ==∑,22111()n i i S X X n ==-∑, 22211()1n i i S X X n ==--∑, 2
2311()n i i S X n μ==-∑, 224
1
1()1n
i i S X n μ==--∑. 那么服从(1)t n -分布的是 B .
X
X
X
X 13、设某人罚篮命中率为70%, 独立罚篮100次, 那么罚篮命中总次数用中心极限定理估计的近似分布为 C . (这里, ()x Φ是标准正态分布的分布函数) (A) ()x Φ (B) (70)x Φ-
(C) Φ (D) 7021x -??
Φ ??? 14、设连续型随机变量X 的密度函数满足()()f x f x =-, 则对0x >, 分布函数
()F x 一定有 B .
(A) 0
()1()x F x f u du -=-
?
(B) 0
1
()()2x F x f u du -=-?
(C) ()()F x F x =- (D) ()2()1F x F x -=-
四、计算题
15、已知某地区某种疾病男性的发病率是5%, 而女性的发病率是0.25%. 如果该地区男女的人数相同. 计算: (1)该地区这种疾病的发病率;
(2)如果某人未患这种疾病, 那么患者是男性的概率是多大?
解 (1)以A 记事件“抽到的人是男性”; 则A 为事件“抽到的人是女性”. 以B 记事件“此人患病”. 那么已知条件为: ()()0.5P A P A ==,
(|)5%P B A =,(|)0.25%P B A =. ()(|)()(|)() 2.63%P B P B A P A P B A P A =+≈.
(2)(|)()
(|)48.8%1()
P B A P A P A B P B =
=-.
注: 本题题(2)由于会产生二意性, 因此按照下列方法计算, 得分:
(|)()1
(|)()6
P B A P A P A B P B =
=.
16、设随机变量X 与Y 的联合概率密度为
(1),01,1,
(,)0,.Ax y x x y f x y -<<<
?
其他 (1)求系数A 的值;
(2)求(,)X Y 落在区域11(,)
1,122D x y x y ??
=<<<
的概率; (3)计算边缘概率密度函数()X f x 和()Y f y , 并判断这两个随机变量是否独立. 解 (1)11
1(,)(1)24
x
A
f x y dxdy dx Ax y dy +∞+∞-∞
-∞
=
=-=
??
??, 因此24A =; (2)1
1
12
{(,)}24
(1)x
P X Y D dx x y dy ∈=-??1
2
12
512(1)16
x x dx =-=
?; (3)当0x <或1x >时, ()(,)0X f x f x y dy +∞-∞
==?
;
当01x ≤≤时, 1
2()(,)24(1)12(1)X x
f x f x y dy x y dy x x +∞-∞
=
=-=-?
?,
所以212(1),
01,()0,
.
X x x x f x ?-≤≤=?
?其他
当0y <或1y >时, ()(,)0Y f y f x y dx +∞-∞
==?
;
当01y ≤≤时, 20
()24
(1)12(1)y
Y f y x y dx y y =-=-?
,
所以212(1),
01,()0,
.
Y y y y f y ?-≤≤=?
?其他
因为(,)()()X Y f x y f x f y ≠, 所以不独立.
17、机器包装食盐, 包装的重量服从正态分布2
~(,)X N μσ. 要求每袋的标准重量为
1kg, 且方差220.02σ≤. 每天设备正式运行时, 要做抽样检验, 抽取9个样本, 得到的数据如下: 样本均值0.998x =kg, 样本标准差0.032s =. 问:
(1)在显著性水平0.05α=下, 就平均重量而言, 机器设备是否处于正常工作状态? (2)在显著性水平0.05α=下, 就方差而言, 机器设备是否处于正常工作状态? (3)你认为设备是否处于正常工作状态.
(附注: 0.025(8) 2.306t =, 0.025(9) 2.262t =, 0.025 1.960u =, 0.05 1.645u =,
20.025(8)17.535χ=, 20.025(9)19.023χ=, 20.975(8) 2.180χ=, 20.975(9) 2.700χ=, 20.05(8)15.057χ=, 2
0.05(9)16.919χ=, 20.95
(8) 2.733χ=, 20.95(9) 3.325χ=) 解 (1)原假设0H : 1μ=, 备选假设1H : 1μ≠.
利用T 检验,
拒绝域0.025(8) 2.306t t =
>=. 而观测值0.9981
0.18750.032/3
t -=
=, 不在拒绝域. 就净重而言, 机器工作正常.
(2)原假设0H : 220.02σ≤, 备选假设1H : 220.02σ>. 利用2
χ检验, 拒绝域2
2
20.0520
(1)(8)15.057n s χχσ-=
≥=.
而观测值2
2
2
80.03220.480.02
χ?==, 在拒绝域. 就方差而言, 机器工作不正常. (3)只要有一个检验没有通过, 就不能认为机器正常工作. 所以机器处于不正常工作状态.
18、设总体X 的分布律为(),0,1,2,!
x
k p e x x θθθ-==, 0θ>, 其中θ为未知参
数.
(1)求参数θ的矩估计1
?θ; (2)求参数θ的最大似然估计2
?θ. 解 (1)1
1
()!(1)!
x
x
x x E X x e
e x x θ
θθθθ∞
∞
--===
?==-∑∑
, 所以1
?X θ=. (2)对数最大似然函数
1
11
1(;,
,)!
!
n
i
i
i x x n
n n n
i i i
i L x x e
e
x x θ
θ
θ
θ
θ=--==∑==∏
∏,
111
ln (;,
,)ln ln(!)n
n
n i i i i L x x n x x θθθ===-+?-∑∑,
11
1
ln (;,,)0n
n i i L x x n x θθ
θ
=?
=-+
?=?∑, 即2x θ=.
五、证明题
19、 设口袋中有一个球, 可能是白球, 也可能是黑球, 没有任何信息. 现在放入一个白球, 然后等可能地任取一个球. 证明: 如果拿出的是白球时, 原来的球也是白球的概率是
23
. 证明 以A 记事件“原来的球是白球”, 以B 记事件“第二次拿出的球是白球”.
则要证明的结果是2(|)3
P A B =. 由题意1()()2P A P A ==, (|)1P B A =, 1
(|)2
P B A =, 因此(|)()12
(|)1(|)()(|)()3
12
P B A P A P A B P B A P A P B A P A =
==++.