最新高考数学压轴题专题训练(共20题)[1]
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1．已知点)1,0(F ，一动圆过点F 且与圆8)1(2
2
=++y x 内切．
（1）求动圆圆心的轨迹C 的方程；
（2）设点)0,(a A ，点P 为曲线C 上任一点，求点A 到点P 距离的最大值)(a d ； （3）在10< 2．在直角坐标平面上有一点列),(111y x P ，),(222y x P ，…，),(n n n y x P ，…，对每个正整数n ，点n P 位于一次函数45+=x y 的图像上，且n P 的横坐标构成以2 3 -为首项，1-为公差的等差数列{}n x ． （1）求点n P 的坐标； （2）设二次函数)(x f n 的图像n C 以n P 为顶点，且过点)1,0(2 +n D n ，若过n D 且斜 率为n k 的直线n l 与n C 只有一个公共点，求??? ? ??+ ++-∞→n n n k k k k k k 132211 11lim Λ的值． （3）设n x x x S 2{==，n 为正整数}，n y y y T 12{==， n 为正整数}，等差数列{}n a 中的任一项T S a n I ∈，且1a 是T S I 中的最大数，11522510-<<-a ，求{}n a 的通项公式． 3．已知点A （－1，0)，B （1,0)，C （－ 5712,0)，D （5712 ,0)，动点P （x , y )满足AP →·BP → ＝0，动点Q （x , y )满足|QC →|+|QD →|＝10 3 ⑴求动点P 的轨迹方程C 0和动点Q 的轨迹方程C 1； ⑵是否存在与曲线C 0外切且与曲线C 1内接的平行四边形，若存在，请求出一个这样的平行四边形，若不存在，请说明理由； ⑶固定曲线C 0，在⑵的基础上提出一个一般性问题，使⑵成为⑶的特例，探究能得出相应结论（或加强结论）需满足的条件，并说明理由。 4．已知函数f (x )＝m x 2＋(m －3）x ＋1的图像与x 轴的交点至少有一个在原点右侧， ⑴求实数m 的取值范围； ⑵令t ＝－m ＋2，求[1 t ]；(其中[t ]表示不超过t 的最大整数，例如：[1]＝1， [2．5]＝2， [－2．5]＝－3) ⑶对⑵中的t ，求函数g (t )＝t ＋1t [t ][1t ]+[t ]+[1t ]+1的值域。 5．已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A 为圆心，1为半径为圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线y=x 对称． （1）求双曲线C 的方程； （2）若Q 是双曲线C 上的任一点，F 1、F 2为双曲线C 的左、右两个焦点，从F 1引∠F 1QF 2 的平分线的垂线，垂足为N ，试求点N 的轨迹方程． （3）设直线y=m x +1与双曲线C 的左支交于A 、B 两点，另一直线L 经过M （－2，0） 及AB 的中点，求直线L 在y 轴上的截距b 的取值范围． 6．已知)(x f 是定义在R 上的恒不为零的函数，且对于任意的x 、R y ∈都满足： )()()(y x f y f x f +=? （1）求)0(f 的值，并证明对任意的R x ∈，都有0)(>x f ； （2）设当0 )lim (,),(,),(),(21n n n S f S f S f S f ∞ →ΛΛ中的最大元素 和最小元素。 7．直线)(*N n n y x ∈=+与x 轴、y 轴所围成区域内部（不包括边界）的整点个数为n a ，所 围成区域内部（包括边界）的整点个数为n b ．（整点就是横坐标，纵坐标都为整数的点） （1）求3a 和3b 的值； （2）求n a 及n b 的表达式； （3）对n a 个整点中的每一个点用红、黄、蓝、白四色之一着色，其方法总 数为A n ，对n b 个整点中的每一个点用红、黄两色之一着色，其方法总数为B n ，试比较A n 与B n 的大小． 8．已知动点M 到定点（1，0）的距离比M 到定直线2-=x 的距离小1。 （1）求证：M 点轨迹为抛物线，并求出其轨迹方程； （2）大家知道，过圆上任意一点P ，任意作相互垂直的弦PB PA ,，则弦AB 必过圆心（定点），受此启发，研究下面的问题：①过（1）中的抛物线的顶点O 任作相互垂直的弦OB OA ,，则弦AB 是否经过一个定点？若经过定点（设为Q ），请求出Q 点的坐标，否则说明理由；②研究：对于抛物线px y 22 =上顶点以外的定点是否也有这样的性质？请提出一个一般的结论，并证明。 9．若函数)(x f A 的定义域为12)1()(),,[2+--+==a b x b a x x f b a A A 且，其中a 、b 为任意正 实数，且a （1）当A=)7,4[时，研究)(x f A 的单调性（不必证明）； （2）写出)(x f A 的单调区间（不必证明），并求函数)(x f A 的最小值、最大值； （3）若),)2(,)1[(),)1(,[2 212221++=∈+=∈+k k I x k k I x k k 其中k 是正整数，对一切正 整数k 不等式m x f x f k k I I <++)()(211都有解，求m 的取值范围。 10．我们把数列}{k n a 叫做数列}{n a 的k 方数列（其中a n >0，k ，n 是正整数），S （k ，n ）表示 k 方数列的前n 项的和。 （1）比较S （1，2）·S （3，2）与[S （2，2）]2的大小； （2）若}{n a 的1方数列、2方数列都是等差数列，a 1=a ，求}{n a 的k 方数列通项公式。 （3）对于常数数列a n =1，具有关于S （k ，n ）的恒等式如：S （1，n ）=S （2，n ）， S （2，n ）=S （3，n ）等等，请你对数列}{n a 的k 方数列进行研究，写出一个不是常数数列 }{n a 的k 方数列关于S （k ，n ）的恒等式，并给出证明过程。 11．记函数)()(1x f x f =，)())((2x f x f f =,它们定义域的交集为D ,若对任意的 D x ∈,x x f =)(2，则称)(x f 是集合M 的元素． （1）判断函数12)(,1)(-=+-=x x g x x f 是否是M 的元素； （2）设函数)1(log )(x a a x f -=，求)(x f 的反函数)(1 x f -，并判断)(x f 是否是M 的元素； （3）若x x f ≠)(，写出M x f ∈)(的条件，并写出两个不同于（1）、（2）中的函数．（将．根据写出的函数类型酌情给分．．．．．．．．．．．．．） 12．已知抛物线)0(2:2>=p px y C 上横坐标为4的点到焦点的距离为5． （1）求抛物线C 的方程． （2）设直线)0(≠+=k b kx y 与抛物线C 交于两点),(,),(2211y x B y x A ，且 )0(||21>=-a a y y ，M 是弦AB 的中点，过M 作平行于x 轴的直线交抛物线C 于点D ， 得到ABD ?；再分别过弦AD 、BD 的中点作平行于x 轴的直线依次交抛物线C 于点F E ,， 得到ADE ?和BDF ?；按此方法继续下去．解决下列问题： 1)．求证：2 2) 1(16k kb a -= ； 2)．计算ABD ?的面积ABD S ?； 3)．根据ABD ?的面积ABD S ?的计算结果，写出BDF ADE ??,的面积；请设计一种求抛物线C 与线段AB 所围成封闭图形面积的方法，并求出此封闭图形的面积． 13．设椭圆:C 12 22=+y a x （0>a ）的两个焦点是)0,(1c F -和)0,(2c F （0>c ），且椭 圆C 与圆2 2 2 c y x =+有公共点． （1）求a 的取值范围； （2）若椭圆上的点到焦点的最短距离为23- ，求椭圆的方程； （3）对（2）中的椭圆C ，直线:l m kx y +=（0≠k ）与C 交于不同的 两点M 、N ，若线段MN 的垂直平分线恒过点)1,0(-A ，求实数m 的取值范围． 14．我们用},,,m in{21n s s s Λ和},,,m ax {21n s s s Λ分别表示实数n s s s ,,,21Λ中的最小者和最大者． （1）设}cos ,min{sin )(x x x f =，}cos ,max{sin )(x x x g =，]2,0[π∈x ，函数 )(x f 的值域为A ，函数)(x g 的值域为B ，求B A I ； （2）数学课上老师提出了下面的问题：设1a ，2a ，…，n a 为实数，R x ∈，求函数 ||||||)(2211n n x x a x x a x x a x f -++-+-=Λ（R x x x n ∈<<<Λ21）的最小值或 最大值．为了方便探究，遵循从特殊到一般的原则，老师让学生先解决两个特例：求函数 |1||1|3|2|)(--+++=x x x x f 和|2|2|1|4|1|)(-+--+=x x x x g 的最值． 学生甲 得出的结论是：)}1(),1(),2(m in{)]([min f f f x f --=，且)(x f 无最大值． 学生乙得出的结论是：)}2(),1(),1(m ax {)]([max g g g x g -=，且)(x g 无最小值． 请选择两个学生得出的结论中的一个，说明其成立的理由； （3）试对老师提出的问题进行研究，写出你所得到的结论并加以证明（如果结论是分类的，请选择一种情况加以证明）． 15．设向量)2(，x =，)12(-+=x n x b ， (n 为正整数)，函数y ?=在[0，1]上的最小值与最大值的和为n a ，又数列{}n b 满足： ()1 2 121999 121101010 n n n n nb n b b b ---????+-+???++=++???+ + ? ??? ?? ． (1) 求证：1+=n a n ． (2) (2)．求n b 的表达式． (3) 若n n n c a b =-?，试问数列{}n c 中，是否存在正整数k ，使得对于任意的正整数n ，都有n k c c ≤成立？证明你的结论．（注：)(21a a a ，=与{}21a a a ，=表示意义相同） 16、设斜率为1k 的直线L 交椭圆C ：12 22 =+y x 于B A 、两点，点M 为弦AB 的中点，直线OM 的斜率为2k （其中O 为坐标原点，假设1k 、2k 都存在）． （1）求1k ?2k 的值． （2）把上述椭圆C 一般化为22 221x y a b +=（a ＞b ＞０），其它条件不变，试猜想1k 与 2k 关系(不需要证明)．请你给出在双曲线22 221x y a b -=（a ＞０，b ＞０）中相类似的结论， 并证明你的结论． （3）分析（2）中的探究结果，并作出进一步概括，使上述结果都是你所概括命题的特 例．如果概括后的命题中的直线L 过原点，P 为概括后命题中曲线上一动点，借助直线L 及动点P ，请你提出一个有意义的数学问题，并予以解决． 17．已知向量(1,1)m =u r ,向量n r 与向量m u r 夹角为3 4 π，且1m n ?=-u r r ． （1）求向量n r ； （2）若向量n r 与向量(1,0)q =r 的夹角为2,(cos ,2cos )22 C p A π=u r 向量，其中A ，C 为ABC ?的 内角，且A ，B ，C 依次成等差数列，试求求|n p +r u r |的取值范围． 18．如图，过椭圆)0(12222 >>=+b a b y a x 的左焦点F 任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB ， 若点M 在x 轴上，且使得MF 为△AMB 的一条内角平分线，则称点M 为该椭圆的“左特征点”． (1)求椭圆15 22 =+y x 的“左特征点”M 的坐标； (2)试根据(1)提出一个问题并给出解答。 19．如图，已知圆C ：222(1)(1)x y r r -+=>，设M 为圆C 与x 轴左半轴的交点，过M 作 圆C 的弦MN ，并使它的中点P 恰好落在y 轴上。 （1）当r=2时， 求满足条件的P 点的坐标； （2）当(1,)r ∈+∞时，求N 的轨迹G 方程； （3）过点P （0，2）的直线l 与（2）中轨迹G 相交于两个不同 的点M,N ，若0CM CN ?>u u u u r u u u r ，求直线l 的斜率的取值范围。 20．函数f(x)是定义在［0，1］上的增函数，满足()2()2 x f x f =且(1)1f =，在每个区间 111 ( ,]22 i i -（i =1，2……）上，y=f(x)的图象都是斜率为同一常数k 的直线的一部分。 （1）求f(0)及1()2f ，1()4f 的值，并归纳出1 ()(1,2,)2i f i =L L 的表达式（不必证明）； （2）设直线12i x =，11 2 i x -=，x 轴及()y f x =的图象围成的梯形的面积为i a （i =1， 2……），记12()lim()n n S k a a a →∞ =+++L ，求()S k 的表达式，并写出其定义域和最小值。 1．本题满分16分，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题6分． 解（1）设动圆圆心为),(y x M ，半径为r ，已知圆圆心为)1,0(-E ， 由题意知r MF =||，r ME -=22||，于是22||||=+MF ME ， 所以点M 的轨迹C 是以E 、F 为焦点，长轴长为22的椭圆，其方程为12 2 2 =+y x ． （2）设),(y x P ，则2222)()(||2 222222++--=-+-=+-=a ax x x a x y a x PA 22)(22+++-=a a x ，令22)()(22+++-=a a x x f ，]1,1[-∈x ，所以， 当1-<-a ，即1>a 时)(x f 在]1,1[-上是减函数，[]2 max )1()1()(+=-=a f x f ； 当11≤-≤-a ，即11≤≤-a 时，)(x f 在],1[a --上是增函数，在]1,[a -上是减函数， 则[]22)()(2 max +==a a f x f ； 当1>-a ，即1- max )1()1()(-==a f x f ． 所以，??? ????>+≤≤-+-<-=1,111,221, 1)(2 a a a a a a a d ． （3）当10< 1 21a a S -= ,2222+=a S ,（12分） 若正数m 满足条件，则)22()1(2212 2+≤-a m a a ，即) 1(4)1(222+-≥a a a m ， 22222 )1(8)1(+-≥a a a m ，令2 222) 1(8)1()(+-=a a a a f ，设12+=a t ，则)2,1(∈t ，12 -=t a ， 于是641 431411328123818)2)(1()(2 2222+??? ??--=??? ??-+-=??? ? ??-+-=--=t t t t t t t t t a f ， 所以，当431=t ，即)2,1(34∈=t 时，641 )]([max =a f ， 即6412 ≥m ，81≥m ．所以，m 存在最小值8 1． 2．解（1）由已知21)1(23--=--- =n n x n ，4 3 4521+-=+--=n n y n ， 所以?? ? ??+-- -43,21n n P n ． （2）设二次函数4321)(2 +-??? ??++=n n x a x f n ，因为)(x f n 的图像过点)1,0(2 +n D n ， 所以1432122 +=+-??? ? ? +n n n a ，解得1=a n l 的方程为12++=n x k y n ，代入)(x f n 得11)12(222++=++++n x k n x n x n ， 即0)12(2 =-++x k n x n ① 由已知，方程①仅有一解0=x ，所以12+=n k n ，（N n ∈） 所以???? ??+-++?+?=??? ? ??+ ++∞→-∞→)12)(12(1 751531lim 1 11lim 13221n n k k k k k k n n n n ΛΛ 6 1 1213121lim 1211217151513121lim =??? ??+-=??? ??+--++-+-=∞→∞→n n n n n Λ． （3）由题意n n x x S ,12|{--==为正整数},n n y y T ,912|{+-==为正整数} 所以T S I 中的元素组成以3-为首项，12-为公差的等差数列， 所以31-=a ，{}n a 的公差为k 12-（N k ∈） 若1=k ，则912+-=n a n ，)115,225(11110--?-=a ； 若2=k ，则2124+-=n a n ，)115,225(21910--∈-=a ； 若3≥k ，则32710-≤a ，即)115,225(10--?a ． 综上所述，{}n a 的通项公式为2124+-=n a n （n 为正整数）． 3、⑴C 0 ：x 2＋y 2＝1， C 1：x 2259＋y 2 2516 ＝1，⑵连椭圆四端点可得□，⑶问题：已知C 0：x 2＋ y 2＝1 和C 1：x 2a 2＋y 2 b 2＝1（a ＞b ＞0），试问，当a 、 b 满足什么条件时，对C 1上任意一点Q 均存在以Q 为顶点，与C 0外切，与C 1内接的平行四边形。解得a 2＋b 2＝a 2b 2； 4、⑴m≤1，⑵t ＝1时[1t ]＝1，t ＞1时[1t ]＝0，⑶｛12｝∪[56,5 4) 5．解：（1）设双曲线C 的渐近线方程为y=k x ，即k x －y=0 ∵该直线与圆 1)2(22 =- +y x 相切， ∴双曲线C 的两条渐近线方程为x y ±= …………2分 故设双曲线C 的方程为122 22=-a y a x ，又∵双曲线C 的一个焦点为)0,2( ∴1,2222==a a ，∴双曲线C 的方程为12 2=-y x ………4分 （2）若Q 在双曲线的右支上，则延长QF 2到T ，使|QT|=|OF 1| 若Q 在双曲线的左支上，则在QF 2上取一点T ，使|QT|=|QF 1| 根据双曲线的定义|TF 2|=2，所以点T 在以F 2)0,2(为圆心，2为半径的圆上，即点T 的轨迹方程是)0(4)2(2 2≠=+-x y x ① …………8分 由于点N 是线段F 1T 的中点，设N （x ，y ），T （T T y x ,） 则?? ?=+=??? ??? ?=-=y y x x y y x x T T T T 22 2,222 即 代入①并整理得点N 的轨迹方程为 )2 2 (1 2 2≠ =+x y x ……10分 （3）由022)1(1 1 222 2 =---???=-+=mx x m y x mx y 得 令22)1()(2 2 ---=mx x m x f 直线与双曲线左支交于两点，等价于方程 )0,(0)(-∞=在x f 上有两个不等实根． 因此21012 01202 2 < >--<->?m m m m 解得 又AB 中点为)11 ,1(2 2m m m -- ∴直线L 的方程为)2(2 21 2+++-= x m m y …………14分 令x =0，得8 17 )41(22 2 22 22+ --= ++-= m m m b ∵)2,1(∈m ∴)1,22(8 17 )41(22 +-∈+ --m ∴故b 的取值范围是),2()22,(+∞?---∞ …………16分 6．解：（1）1)0(,0)0(),0()0()0(=∴≠=?f f f f f 0)]2 ([)2()2()(,0)2(2 >=?=∴≠x f x f x f x f x f Θ…………4分 （2）∵当0 ∴当21x x <，即021<-x x 时，有)0()(21f x x f >-1=，…………8分 即)() (1 )(,1)()(22121x f x f x f x f x f =-> ∴>-? ()1)0()()(22==-?f x f x f Θ ∴)(x f 在()+∞∞-,上是减函数。…………10分 （3）∵)(x f 在()+∞∞-,上是减函数，{n S }是递增数列∴数列{})(n S f 是递减数列。 ………14分 ∴集合{} )lim (,),(,),(),(21n n n S f S f S f S f ∞ →ΛΛ中的最大元素为 22)1()2 1()(1= = =f f S f ，最小元素为2 1 )1()lim (==∞→f S f n n 。………18分 7．（1）3=n 时，直线0=x 上有)3,0(),2,0(),1,0(),0,0(个点， 直线1=x 上有 )2,1(),1,1(),0,1(，直线2=x 上有()()1,2,0,2， 直线3=x 上有)0,3( 13=∴a 2分 1012343=+++=b 2分 （2）1=n 时，0,311==a b 2=n 时，0,622==a b 当3≥n 时，2 ) 2)(1(12...)1()1(++= +++-+++=n n n n n b n 3分 2 ) 2)(1(3)1(3--= ++-=n n n b a n n 2分 当2,1=n 时也满足，2232+-=∴n n a n ，2 232++=n n b n )(* N n ∈1分 （3）22 324 +-=n n n A ， 1分 2 2 322 ++=n n n B ； 1分 2 465)29(2 2 92 2 3)23(22 2 22 2 2- -+-++-+-===n n n n n n n n n B A 2分 当8,7,6,5,4,3,2,1=n 时，n n B A < 1分 当9≥n 且* N n ∈时，n n B A > 1分 8、（18分）（1）M 到定点)0,1(的距离等于到定直线1-=x 的距离 ∴轨迹为抛物线； 2分 轨迹方程为x y 42 =。 2分 （2）①设kx y OA =:， x k y OB 1 :- = 由? ? ?==x y kx y 42 得)4 ,4(2 k k A ， 2分 同理)4,4(2 k k B - 2分 因此AB 方程为)4(44 44 4222k x k k k k k y --+=+ 即)4(1142k x k k k y --= + 2分 令0=y 得24)1 ( 4k x k k k -=- 4=∴x ），（必过定点直线04Q AB ∴ 2分 ②设点），（00y x P 为px y 22 =上一定点，则02 02px y = 1分 过P 作互相垂直的弦PB PA ， 设），（11y x A ，），（22y x B ，则12 12px y =，22 22px y =， 102020101-=--?--∴ x x y y x x y y 122222 0220 2202101-=--?--∴p y p y y y p y p y y y 化简得202014p y y y y -=++））（（即0422 02 1021=++++p y y y y y y ）（（*） 2分 假设AB 过定点），（b a Q ，则有 a x b y a x b y --=--2211 即 a p y b y a p y b y --=--222 2 2211化简得02)(2121=++-pa y y b y y （**） 2分 比较（*）、（**）得02x p a +=， 0y b -= ∴过定点),2(00y p x Q -+ 1分 9．（1）当7)14 (,)4,1[2--+ ==x x f A A 时 …………2分 ∵]5,4[4 ∈+ x x ∴当)(]2,1[x f x A 时∈是减函数，当)()4,2[x f x A 时∈是增函数 ……4分 （2）A A f ab a x a b x b a x x f 上在],[12)1( )(2∈+--+=是减函数；在),[b ab x ∈上A f 是增函数。 ………………6分 ∴当)(x f ab x A 时= 有最小值为 22)1(224212)12 (-=+-=+--a b a b a b a b a b …………8分 当)(x f a x A 时=有最大值为2222)1(1412)(-=+-=+- a b a b a b a b a b ………10分 （3）当A=I k 时)(x f k I 最小值为22 ))1((k k k f k I = + 当A= I k+1时)(1x f k I +最小值为2 ) 1(2 ))2)(1((1+= +++k k k f k I …………12分 ∴22)1(22++> k k m *)(N k ∈ …………14分 设 *)(,)1(222 2N k k k t ∈++= 则 2 5max =t ∴2 5 > m ………………16分 10．解：（1）S （1，2）=2 22 13 23 121)2,2(,)2,3(,a a S a a S a a +=+=+ …………2分 ∴S （1，2）·S （3，2）－[S （2，2）]2 =2 222 13 23 121)())((a a a a a a +-++ …………4分 =2 22 13 123 212a a a a a a -+ =2 2121)(a a a a - ∵2)]2,2([)2,3()2,1(, 0S S S a n ≥?∴> …………5分 （2）设p a a d a a n n n n =-=---2 121, …………7分 则 p a a d n n =+-)(1 ……① p a a d n n =++)(1 ……② ∴②－①得 2d 2=0，∴d=p=0 …………9分 011 =-∴=--k n k n n n a a a a ∴k k n a a = ………………11分 （3）当a n =n 时，恒等式为[S （1，n ）]2=S （3，n ） …………15分 证明：),3()],1([2 n S n S = *),2() 1,3()]1,1([2N n n n S n S ∈≥-=- 相减得： 3 )]1,1(),1([n n a n S n S a =-+ ∴2 )]1,1(),1([n a n S n S =-+ 2 1)]2,1()1,1([-=-+-n a n S n S 相减得：0, 2 12 1>-=+--n n n n n a a a a a 1,111==--a a a n n ∴n a n = ………………18分 11．解：（1）∵对任意R x ∈，x x x f f =++--=1)1())((，∴M x x f ∈+-=1)(--2分 ∵341)12(2))((-=--=x x x g g 不恒等于x ，∴M x g ?)(--------------------------4分 （2）设)1(log x a a y -= ①1>a 时，由110<- a 解得：0,0< 由)1(log x a a y -= 解得其反函数为 )1(log x a a y -=，)0( ②10< a 解得：0,0>>y x 解得函数)1(log x a a y -=的反函数为)1(log x a a y -=，)0(>x --------------------8分 ∵x a a x f f x a a a x a =+-=-=-)11(log )1(log ))(() 1(log ∴M a x f x a ∈-=)1(log )(--------------------------------------------------------------------11分 （3）x x f ≠)(，M x f ∈)(的条件是： )(x f 存在反函数)(1 x f -，且)()(1 x f x f =------------------------------------------------13分 函数)(x f 可以是： ),0()(2b ac ab b ax c bx x f -≠≠++-= ； )0()(≠=k x k x f ； ]),0[,0()(2 a x a x a x f ∈>-=； )1,0(11log )(≠>+-=a a a a x f x x a ； ]1,0[(,)sin(arccos )(∈=x x x f 或)]0,1[-∈x ，)cos(arcsin )(x x f =； ]2,0[(,)arcsin(cos )(π∈=x x x f 或)],2 [ππ ∈x ，)arccos(sin )(x x f =． 以“；”划分为不同类型的函数，评分标准如下： 给出函数是以上函数中两个不同类型的函数得3分． 属于以上同一类型的两个函数得1分； 写出的是与（1）、（2）中函数同类型的不得分； 函数定义域或条件错误扣1分． 12．解：（1）由抛物线定义，抛物线)0(2:2>=p px y C 上点),4(0y P 到焦点的距离等于它 到准线2p x - =的距离，得2,2 45=∴+=p p ， 所以抛物线C 的方程为x y 42=． ----------------------------------------------------------4分 （只要得到抛物线方程，都得4分） （2）由???+==b kx y x y 42，得0442=+-b y ky ，（或0)42(222=+-+b x kb x k ） 当01616>-=?kb ，即1 k b y y k y y 4,42121= =+ （或2221221,24k b x x k kb x x =-=+） ①由a y y =-||21，即2212214)(a y y y y =-+，得22 1616a k b k =-， 所以2 2) 1(16k kb a -= ．----------------------------------------------------------------------8分 ②由①知，AB 中点M 的坐标为)2,2( 2k k kb -，点)2 ,1(2k k C ， ||||2 1 21y y MC S ABC -?=?32|1|2132a a k kb = ?-=．-------------------------------------12分 ③由问题②知，ABD ?的面积值仅与a y y =-||21有关，由于 2 ||,2||a y y a y y D B D A =-= -，所以ADE ?与BDF ?的面积 25683232)2(333 a a a S S BDF ADE =?===??，设1 31314 328322---?=??=n n n n a a a -------14分 由题设当中构造三角形的方法，可以将抛物线C 与线段AB 所围成的封闭图形的面积 看成无穷多个三角形的面积的和，即数列{}n a 的无穷项和，------------------------16分 所以ΛΛ+?++??+??+??+=n n a a a a a S 832283228322832232333323233 即244324324324323233332333a a a a a a S n =+?++?+?+?+=ΛΛ， 因此，所求封闭图形的面积为24 3 a ．--------------------------------------------------------18分 13．解：（1）由已知，1>a ， ∴ 方程组?? ???=+=+2 222 221c y x y a x 有实数解，从而01112 22 ≥-=?? ? ?? -c x a ，……（3分） 故12≥c ，所以22 ≥a ，即a 的取值范围是),2[+∞．…………（4分） （2）设椭圆上的点),(y x P 到一个焦点)0,(2c F 的距离为d ， 则1212)(2 222222 2 2 2 2 ++-=-++-=+-=c cx x a c a x c cx x y c x d 2 22 2 ??? ? ??-=c a x a c （a x a ≤≤-）．……………………（6分） ∵ a c a >2 ，∴ 当a x =时，c a d -=min ，……（7分） 于是，?????=--=-12322c a c a ，解得?????==2 3 c a ．…………（9分） ∴ 所求椭圆方程为13 22 =+y x ．…………（10分） （直接给出23-= -c a 的扣3分） （3）由???=++=3 32 2y x m kx y 得0)1(36)13(2 22=-+++m mkx x k （*） ∵ 直线l 与椭圆交于不同两点， ∴ △0>，即132 2 + =+k mk x x ，∴ 线段MN 的中点为?? ? ??++-13,1332 2k m k mk Q ， 又∵ 线段MN 的垂直平分线恒过点)1,0(-A ，∴ MN AQ ⊥， 即k mk k m 1 3132-=++- ，即1322+=k m ②………………（14分） 由①，②得m m 22 <，20< 1 > m ， ∴ 实数m 的取值范围是?? ? ??2,21．…………（16分） 空间图形的计算与证明 一、近几年高考试卷部分立几试题 1、（全国 8）正六棱柱 ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1， 侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是 （ ） A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。 2、（全国 18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且 平面 ABCD 、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF C 上移动，若 CM=NB=a(0 的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。 （1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°， 求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。 (3) (1)(2) （二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。 高考数学数列大题训练 1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比 （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前 解析： (1)设该等差数列为{}n c ，则25a c =，33a c =，42a c =Q 533222()c c d c c -==- ∴2334()2()a a a a -=-即：223111122a q a q a q a q -=- ∴12(1)q q q -=-，Q 1q ≠， ∴121, 2q q ==，∴1164()2n a -=g (2)121log [64()]6(1)72n n b n n -==--=-g ，{}n b 的前n 项和(13)2n n n S -= ∴当17n ≤≤时，0n b ≥，∴(13)2 n n n n T S -== （8分） 当8n ≥时，0n b <，12789n n T b b b b b b =+++----L L 789777()()2n n n S b b b S S S S S =-+++=--=-L (13)422 n n -=- ∴(13)(17,)2(13)42(8,)2 n n n n n T n n n n -?≤≤∈??=?-?-≥∈??**N N 2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中.154=a （Ⅰ）求321,,a a a ； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S 解：（1）由151241=+=-a a a n n 及知,1234+=a a 解得：,73=a 同理得.1,312==a a （2）由121+=-n n a a 知2211+=+-n n a a 高考理科数学压轴题 (21)(本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点 ,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点 的距离的最大值为 3,最小值为 1. (I) 求椭圆 C 的标准方程 ; (II) 若直线l : y kx m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点 ),且以 AB 为直径的圆 过椭 圆 C 的右顶点 .求证 :直线 l 过定点 ,并求出该定点的坐标 . (22)(本小题满分 14分)设函数 f(x) x 2 bln(x 1),其中 b 0. 1 (I) 当 b 时 ,判断函数 f (x) 在定义域上的单调性 ; 2 (II)求函数 f (x)的极值点 ; 1 1 1 (III) 证明对任意的正整数 n ,不等式 ln( 1) 2 3 都成立 . n n n 22 xy (21)解： (I) 由题意设椭圆的标准方程为 2 2 1(a b 0) ab 2 a c 3,a c 1，a 2,c 1, b 2 3 22 x 2 y 2 1. 43 Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0), k AD k BD 1， y kx m (II)设 A(x 1, y 1),B(x 2,y 2)， 由 2 x 2 y 得 1 4 3 2 2 2 (3 4k 2 )x 2 8mkx 4(m 2 3) 2 2 2 64m 2 k 2 16( 3 4k 2)( 2 m 3) 0， 22 3 4k 2 m 2 0 8mk 2 ,x 1 x 2 2 4(m 2 3) 3 4k 2 y 1 y 2 2 (kx 1 m) (kx 2 m) k x 1x 2 mk(x 1 x 2) m 2 3(m 2 4k 2) 3 4k 2 1、（本小题满分14分） 已知函数． （1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围； （2）当时，试比较与的大小； （3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数． （Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性； （Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点； （Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原 点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直 线于点. （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点； （ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出 此时 的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题 （每空？ 分，共？ 分） 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ，且函数为偶函数．若函数 满足下列条件：①；② 对一切实数 ，不等式恒成立． （Ⅰ）求函数的表达式； （Ⅱ）求证： ． 5 、已知函数： （1 ）讨论函数的单调性； （2） 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值 时，函数 在区间上总存在极值？ (3)求证：． 6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域； （Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的， 使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对 于函数图象上的点（其中总能使得 成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具 备性质“”，并说明理由. 7、已知函数 （Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值； （Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标 为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性； 高考数学大题 1．（12分）已知向量a =（sin θ，cos θ-2sin θ），b =（1，2） （1）若a ⊥b ，求tan θ的值； （2）若a ∥b ，且θ为第Ⅲ象限角，求sin θ和cos θ的值。 2．(12分)在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，且AC=BC=BD=2AE ，M 是AB 的中点. (I)求证：CM ⊥EM： (Ⅱ)求DE 与平面EMC 所成角的正切值. 3．（13分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高 下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加 两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的 有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响. (Ⅰ)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； (Ⅱ)任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培训的概率. 4．（12分） 在△ABC 中，∠A ．∠B ．∠C 所对的边分别为a ．b ．c 。 若B A cos cos =a b 且sinC=cosA （1）求角A ．B ．C 的大小； （2）设函数f(x)=sin （2x+A ）+cos （2x- 2C ）,求函数f(x)的单调递增区间，并指出它相邻两对称轴间的距离。 5．（13分）已知函数f(x)=x+x a 的定义域为（0，+∞）且f(2)=2+22，设点P 是函数图象上的任意一点，过点P 分别作直线y=x 和y 轴的垂线，垂足分别为M ，N. （1）求a 的值； （2）问：|PM|·|PN|是否为定值？若是，则求出该定值， 若不是，则说明理由： （3）设O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值。 6．（13分）设函数f(x)=p(x-x 1)-2lnx,g(x)=x e 2(p 是实数，e 为自然对数的底数) （1）若f(x)在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围； （2）若直线l 与函数f(x),g(x)的图象都相切，且与函数f(x)的图象相切于点（1，0），求p 的值； （3）若在[1，e]上至少存在一点x 0，使得f(x 0)＞g(x 0)成立，求p 的取值范围. 1 A B C D S E F N B 高考数学试题（整理三大题） （一） 17.已知0αβπ<<4，为()cos 2f x x π? ?=+ ?8??的最小正周期，1tan 14αβ????=+- ? ????? ，， a (cos 2)α=， b ，且?a b m =．求 2 2cos sin 2() cos sin ααβαα ++-的值． 18. 在一次由三人参加的围棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜 甲的概率为0.6，比赛按以下规则进行；第一局：甲对乙；第二局：第一局胜者对丙； 第三局：第二局胜者对第一局败者；第四局：第三局胜者对第二局败者，求： （1）乙连胜四局的概率； （2）丙连胜三局的概率． 19.四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD 。已知∠ABC ＝45°，AB ＝2，BC=22，SA ＝SB ＝3。 (Ⅰ)证明：SA ⊥BC ； (Ⅱ)求直线SD 与平面SAB 所成角的大小； （二） 17.在ABC △中，1tan 4A =，3 tan 5 B =． （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若ABC △ 18. 每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6). （I ）连续抛掷2次，求向上的数不同的概率； （II ）连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率； （III ）连续抛掷5次，求向上的数为奇数恰好出现3次的概率。 19. 如图，在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD ，E 、F 分别是 AB 、SC 的中点。 求证：EF ∥平面SAD ； （三） 17.已知ABC △的面积为3，且满足06AB AC ≤≤，设AB 和AC 的夹角为θ． （I ）求θ的取值范围；（II ）求函数2()2sin 24f θθθ?? =+ ??? π的最大值与最小值． 18. 某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球获得二得奖；摸出两个红球获得一等奖．现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次．求 （1）甲、乙两人都没有中奖的概率； （2）甲、两人中至少有一人获二等奖的概率． 19. 在Rt AOB △中，π 6 OAB ∠= ，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --是直二面角．动点D 的斜边AB 上． （I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ； （II ）当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角 的大小； （III ）求CD 与平面 AOB 所成角的最大值 （四） 17.已知函数2 π()2sin 24f x x x ??=+ ???，ππ42x ??∈???? ，． （I ）求()f x 的最大值和最小值； （II ）若不等式()2f x m -<在ππ42 x ??∈???? ，上恒成立，求实数m 的取值范围． 18. 甲、乙两班各派2名同学参加年级数学竞赛，参赛同学成绩及格的概率都为0.6，且参赛同学的成绩相互之间没有影响，求： （1）甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率； （2）甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率． 19. 如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形， 4 ABC π ∠= , OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点。 （Ⅰ）证明：直线MN OCD 平面‖； （Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离。 O C A D B E 2017高考压轴题精选 黄冈中学高考数学压轴100题 目录 1.二次函数 ................................................................................................................................................................................ 2 2 复合函数 ............................................................................................................................................................................... 4 3.创新型函数............................................................................................................................................................................. 6 4.抽象函数 .............................................................................................................................................................................. 12 5.导函数——不等式 ............................................................................................................................................................... 13 6.函数在实际中的应用 ........................................................................................................................................................... 20 7. 函数与数列综合 ................................................................................................................................................................. 22 8.数列的概念与性质 ............................................................................................................................................................... 33 9. Sn 与an 的关系 ................................................................................................................................................................... 38 10.创新型数列......................................................................................................................................................................... 41 11.数列—不等式 ..................................................................................................................................................................... 43 12．数列与解析几何 .............................................................................................................................................................. 47 13．椭圆 ................................................................................................................................................................................. 49 14.双曲线 ................................................................................................................................................................................ 52 15.抛物线 ................................................................................................................................................................................ 56 16 解析几何中的参数范围问题 .......................................................................................................................................... 58 17 解析几何中的最值问题 .................................................................................................................................................. 64 18 解析几何中的定值问题 .................................................................................................................................................... 67 19 解析几何与向量 .......................................................................................................................................................... 70 20 探索问题............................................................................................................................................................................ 77 （1）2a b c π++...， ....................................................................................................................................................... 110 （2）2a b c π++< (110) 高考压轴题专题训练 1． 已知点)1,0(F ，一动圆过点F 且与圆8)1(2 2 =++y x 内切． （1）求动圆圆心的轨迹C 的方程； （2）设点)0,(a A ，点P 为曲线C 上任一点，求点A 到点P 距离的最大值)(a d ； （3）在10<2020高考数学专题复习----立体几何专题
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