高中数学必修一函数的性质奇偶性精选习题测试(打印版)
奇偶性
1．已知函数f （x ）＝ax 2
＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）＝ax 3＋bx 2
＋cx （ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数 D ．非奇非偶函数
2．已知函数f （x ）＝ax 2
＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（ ）
A ．3
1
=
a ，
b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝0 3．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2
－2x ，则f （x ）在R 上的表达式是（ ） A ．y ＝x （x －2） B ．y ＝x （｜x ｜－1） C ．y ＝｜x ｜（x －2） D ．y ＝x （｜x ｜－2）
4．已知f （x ）＝x 5＋ax 3
＋bx －8，且f （－2）＝10，那么f （2）等于（ ） A ．－26 B ．－18 C ．－10 D ．10 5．函数1
11
1)(22+++-++=
x x
x x x f 是（
）
A ．偶函数
B ．奇函数
C ．非奇非偶函数
D ．既是奇函数又是偶函数
6．若)(x ?，g （x ）都是奇函数，2)()(++=x bg a x f ?在（0，＋∞）上有最大值5，则f （x ）在（－∞，0）上有（ ）
A ．最小值－5
B ．最大值－5
C ．最小值－1
D ．最大值－3 7．函数2
122)(x
x x f ---=
的奇偶性为________（填奇函数或偶函数） ．
8．若y ＝（m －1）x 2
＋2mx ＋3是偶函数，则m ＝_________． 9．已知f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，若1
1)()(-=
+x x g x f ，则f （x ）的解析式为_______．
10．已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0的所有实根之和为________． 11．设定义在［－2，2］上的偶函数f （x ）在区间［0，2］上单调递减，若f （1－m ）＜f （m ），求实数m 的取值范围．
12．已知函数f （x ）满足f （x ＋y ）＋f （x －y ）＝2f （x ）·f （y ）（x ∈R ，y ∈R ），且f （0）≠0，试证f （x ）是偶函数．
13.已知函数f （x ）是奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝x 3＋2x 2
—1，求f （x ）在R 上的表达式．
14.f （x ）是定义在（－∞，－5］Y ［5，＋∞）上的奇函数，且f （x ）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f （x ）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明． 15.设函数y ＝f （x ）（x ∈R 且x ≠0）对任意非零实数x 1、x 2满足f （x 1·x 2）＝f （x 1）＋f （x 2）， 求证f （x ）是偶函数．
函数的奇偶性练习参考答案
1． 解析：f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 为偶函数，x x =)(?为奇函数，∴g （x ）＝ax 3＋bx 2
＋cx ＝f （x ）·)(x ?满足
奇函数的条件． 答案：A 2．解析：由f （x ）＝ax 2
＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，得b ＝0．又定义域为［a －1，2a ］，∴a －1＝2a ，∴3
1
=
a ．故选A ． 3．解析：由x ≥0时，f （x ）＝x 2
－2x ，f （x ）为奇函数，∴当x ＜0时，f （x ）＝－f （－x ）＝－（x 2
＋2x ）＝－x 2
－2x ＝x （－x －2）．∴,
,)0()0()
2()
2()(<≥---=??
?x x x x x x x f 即f （x ）＝x （|x |－2）答案：D 4．解析：f （x ）
＋8＝x 5
＋ax 3
＋bx 为奇函数，f （－2）＋8＝18，∴f （2）＋8＝－18，∴f （2）＝－26．答案：A 5．解析：此题直接证明较烦，可用等价形式f （－x ）＋f （x ）＝0． 答案：B 6．解析：)(x ?、g （x ）为奇函数，∴)()(2)(x bg x a x f +=-?为奇函数．又f （x ）在（0，＋∞）上有最大值5， ∴f （x ）－2有最大值3．∴f （x ）－2在（－∞，0）上有最小值－3， ∴f （x ）在（－∞，0）上有最小值－1．答案：C7．答案：奇函数 8．答
案：0解析：因为函数y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3为偶函数，∴f （－x ）＝f （x ），即（m －1）（－x ）2
＋2m （－x ）＋3＝（m —1）x 2
＋2mx ＋3，整理，得m ＝0．9．解析：由f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，可得1
1
)()(--=
-x x g x f ，
联立1
1)()(-=+x x g x f ，∴1
1)1111(21)(2
-=----=
x x x x f ．答案：11
)(2-=x x f 10．答案：0 11．答案：21
<
m 。
12．证明：令x ＝y ＝0，有f （0）＋f （0）＝2f （0）·f （0），又f （0）≠0，∴可证f （0）＝1．令x ＝0，∴f （y ）＋f （－y ）＝2f （0）·f （y ）?f （－y ）＝f （y ），故f （x ）为偶函数．13．解析：本
题主要是培养学生理解概念的能力．f （x ）＝x 3＋2x 2
－1．因f （x ）为奇函数，∴f （0）＝0．当x ＜0时，－x
＞0，f （－x ）＝（－x ）3＋2（－x ）2－1＝－x 3＋2x 2－1，∴f （x ）＝x 3－2x 2
＋1．因此，
.
)0()0()0(1
20
12)(,,2323<=>+--+=??
???x x x x x x x x f 。
14．解析：任取x 1＜x 2≤－5，则－x 1＞－x 2≥－5． 因f （x ）在［5，＋
∞］上单调递减，所以f （－x 1）＜f （－x 2）?f （x 1）＜－f （x 2）?f （x 1）＞f （x 2），即单调减函数．15．解析：由x 1，x 2∈R 且不为0的任意性，令x 1＝x 2＝1代入可证， f （1）＝2f （1），∴f （1）＝0． 又令x 1＝x 2＝－1，∴f ［－1×（－1）］＝2f （1）＝0，∴（－1）＝0．又令x 1＝－1，x 2＝x ，∴f （－x ）＝f （－1）＋f （x ）＝0＋f （x ）＝f （x ），即f （x ）为偶函数．
点评：抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特殊值，如，x 1＝x 2＝1，x 1＝x 2＝－1或x 1＝x 2＝0等，然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可．
函数值域的八大求法
方法一：观察法
例1. 求函数2x 4y -=的值域。 解析：由]2,0[x 4,0x 40x 2
22∈-≥-≥知及。故此函数值域为]2,0[。
方法二：不等式法
例2. 求函数)0x (x )1x (y 2
22≠+=的值域。 解析：4x 1x 2x 1x 2x x )1x (y 2
2
224222≥++=++=+=Θ，∴此函数值域为),4[+∞。
方法三：反函数法
例3. 求函数)
4x (2x 1x y -≥+-=的值域。
解析：由2x 1x y +-=得y 11y 2x -+=。由4x -≥，得4y 11y 2-≥-+，解得1y 25y <≥或。∴此函数值域为
)
,25
[)1,(+∞?-∞。
方法四：分离常数法
例4. 求函数
6x 13x 6)1x (6y 24
2
2+++=的值域。 解析：：6x 13x 66x 12x 66x 13x 6)1x (6y 2
4242422++++=+++=2524
2511x 613x 6116x 13x 6x 12
2242=-≥++-=++-=。从而易知此函数值域为]
1,2524[。
评注：此题先分离常数，再利用不等式法求解。注意形如
)ad bc ,0a (b ax d
cx y ≠≠++=
的值域为
)
,a c
()a c ,(+∞?-∞。
方法五：判别式法
例5. 求函数
1x x 1
x y 2
2--+=的值域。 解析：原式整理可得0)1y (yx x )1y (2
=+---。当01y =-即1y =时，2x -=原式成立。当01y ≠-即1y ≠时，0)]1y ()[1y (4y 2
≥+---=?，解得552y 552y -≤≥
或。综上可得原函数值域为)
,55
2[]552,(+∞?--∞。 评注：此方法适用于x 为二次的情形，但应注意01y =-时的情况。
方法六：图象法
例6. 求函数
1x 1
y -=
)0x (1≥-的值域。
解析：作出此函数的图象，如下图所示。可知此函数值域为),1(]2,(+∞-?--∞。
方法七：中间变量法
例7. 求函数
5x 3x y 2
2-+=的值域。 解析：由上式易得1y 3y 5x 2-+=。由1
y 53y ,01y 3y 5,0x 2>-≤≥-+≥或解得知。
故此函数值域为)
,1(]53
,(+∞?--∞。
方法八：配方法
例8. 求函数3x 2x y +-=的值域。
解析：因为22)1x (y 2
≥+-=，故此函数值域为),2[+∞。
高一函数单调性奇偶性经典练习题
函数单调性奇偶性经典练习 一、单调性题型 高考中函数单调性在高中函数知识模块里面主要作为工具或条件使用，也有很多题会以判断单调性单独出题或有的题会要求先判断函数单调性才能进行下一步骤解答，另有部分以函数单调性质的运用为主. （一）函数单调性的判断 函数单调性判断常用方法： 121212121212()()0()()()()0()()()()()()()()()()()()f x f x f x f x x x x x f x f x f x f x f x g x f x f x g x f x g x g x g x f x ->>??>Q 210x x ∴->，1(4)0x ->，2(4)0x -> 12()()f x f x ∴> 故函数()f x 在区间(4)+∞，上为减函数. 练习1 证明函数21 ()3 x f x x -=+在区间(3)-+∞，上为减函数（定义法） 练习2 证明函数2()f x x =2()3 -∞，上为增函数（定义法、快速判断法） 练习3 求函数3 ()2 x f x x -=+定义域，并求函数的单调增区间(定义法) 练习4 求函数()f x x =定义域，并求函数的单调减区间（定义法）
高一数学必修一函数的奇偶性
函数的单调性和奇偶性 教材复习 基本知识方法 1.奇偶函数的性质： ()1函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称； ()2()f x 是偶函数?()f x 的图象关于y 轴对称；()f x 是奇函数?()f x 的图象关于原点对称； ()3奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的 单调性. 2.()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ?=-=． 3.若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =． 4.判断函数的奇偶性的方法： ()1定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称. 若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断()()f x f x =-或()()f x f x =-是否定义域上的恒等式； ()2图象法； ()3性质法：设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域12D D D = 上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇?奇=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇； 5. 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1() f x f x =±-． 6.判断函数的单调性的方法： （1）定义法；（2）图象法；（3）性质法：在公共定义域内，利用函数的运算性质：若()f x 、)(x g 同为增函数，则①()()f x g x +为增函数；②()()f x g x 为增函数；③()1()0() f x f x >为减函数； ()()0f x ≥为增函数；⑤()f x -为减函数.
1．设)(x f 是定义在R 上的一个函数，则函数)()()(x f x f x F --=在R 上一定是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数。 2．函数)11()(+--=x x x x f 是（ ） A ．是奇函数又是减函数 B ．是奇函数但不是减函数 C ．是减函数但不是奇函数 D ．不是奇函数也不是减函数 3．若)(x f 是偶函数，其定义域为()+∞∞-,，且在[)+∞,0上是减函数，则)2 52()23 (2++-a a f f 与的大小关系是（ ） A ．)23(-f >)252(2++a a f B ．)23(-f <)2 52(2 ++a a f C ．)23(-f ≥)252(2++a a f D ．)23(-f ≤)2 52(2++a a f 4．设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x ?<的解集是（ ） A ．{}|303x x x -<<>或B ．{}|303x x x <-<<或 C ．{}|33x x x <->或 D ．{}|3003x x x -<<<<或 5．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数， 则实数a 的取值范围是（ ） A ．3a ≤- B ．3a ≥- C ．5a ≤ D ．3a ≥ 6．设()f x 是R 上的奇函数，且当[)0,x ∈+∞时，()(1f x x =，则当(,0)x ∈-∞时()f x =_____________________。 7．若函数2()1 x a f x x bx +=++在[]1,1-上是奇函数,则()f x 的解析式为________. 8．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，1||)(2-+=x x x f ，那么0x <时，()f x =. 9．设函数()f x 与()g x 的定义域是x R ∈且1x ≠±,()f x 是偶函数,()g x 是奇函数,且1()()1 f x g x x +=-,求()f x 和()g x 的解析式. 10．利用函数的单调性求函数x x y 21++=的值域；
(完整版)函数奇偶性知识点和经典题型归纳
函数奇偶性 知识梳理 1. 奇函数、偶函数的定义 （1）奇函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-， 则这个函数叫奇函数. （2）偶函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有()()f x f x -=， 则这个函数叫做偶函数. （3）奇偶性：如果函数()f x 是奇函数或偶函数，那么我们就说函数()f x 具有奇偶性. （4）非奇非偶函数：无奇偶性的函数是非奇非偶函数. 注意：（1）奇函数若在0x =时有定义，则(0)0f =． （2）若()0f x =且()f x 的定义域关于原点对称，则()f x 既是奇函数又是偶函数． 2．奇(偶)函数的基本性质 (1)对称性：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称． (2)单调性：奇函数在其对称区间上的单调性相同，偶函数在其对称区间上的单调性相反． 3. 判断函数奇偶性的方法 （1）图像法 （2）定义法 ○ 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○ 2 确定f(－x)与f(x)的关系； ○ 3 作出相应结论： 若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数； 若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数． 例题精讲 【例1】若函数2()f x ax bx =+是偶函数，求b 的值. 解：∵函数 f (x )＝ax 2＋bx 是偶函数， ∴f (－x )＝f (x )．∴ax 2＋bx= ax 2-bx. ∴2bx=0. ∴b ＝0. 【例3】已知函数21()f x x =在y 轴左边的图象如下图所示，画出它右边的图象. 题型一 判断函数的奇偶性 【例4】判断下列函数的奇偶性. （1）2()||(1)f x x x =+； （2）1()f x x x =；
人教A版数学必修一函数的奇偶性
数学·必修1(人教A版) 1.3.3 函数的奇偶性 ?基础达标 1．已知f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)的值为( ) A．－1 B．0 C．1 D．无法确定
解析：∵f(x)为R上的奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)，∴f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0. 答案：B 2．(2013·山东卷)已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x) ＝x2＋1 x ，则f(－1)＝( ) A．－2B．0C．1D．2 答案：A 3．如果偶函数在区间[a，b]上有最大值，那么该函数在区间[－b，－a]上( ) A．有最大值B．有最小值 C．没有最大值D．没有最小值 解析：∵偶函数图象关于y轴对称，由偶函数在区间[a，b]上具有最大值，∴在区间[－b，－a]上有最大值． 答案：A 4．已知f(x)＝ax3＋bx＋5，其中a，b为常数，若f(－7)＝－7，则f(7)＝( ) A．7B．－7C．12D．17 解析：∵f(－7)＝－7， ∴a(－7)3＋b(－7)＋5＝－7， ∴73a＋7b＝12. ∴f(7)＝73a＋7b＋5＝12＋5＝17. 答案：D 5．若函数f(x)＝(k－2)x2＋(k－1)x＋3是偶函数，则f(x)的递减区间是________． 解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)， ∴k－1＝0，∴k＝1，
∴f(x)＝－x2＋3的递减区间为[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞) ?巩固提高 6．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是( ) A．f(x)f(－x)是奇函数 B．f(x)|f(－x)|是奇函数 C．f(x)－f(－x)是偶函数 D．f(x)＋f(－x)是偶函数 解析：取f(x)＝x，则f(x)f(－x)＝－x2是偶函数，A错，f(x)|f(－x)|＝x2是偶函数，B错；f(x)－f(－x)＝2x是奇函数，C 错．故选D. 答案：D 7．已知定义在R上的偶函数f(x)的单调递减区间为[0，＋∞)，则使f(x)＜f(2)成立的自变量取值范围是( ) A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(－2,2)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 解析：∵f(x)是偶函数且在[0，＋∞)为减区间，示意图如下：由图示可知：f(x)＜f(2)成立的自变量的取值范围是(－∞，－ 2)∪(2，＋∞)． 答案：D
(新)高中数学奇偶性练习题及答案
函数的奇偶性与周期性 一、填空题 1．已知函数f(x)＝1＋m ex －1是奇函数，则m 的值为________． 解析：∵f(－x)＝－f(x)，即f(－x)＋f(x)＝0，∴1＋m e －x －1＋1＋m ex －1＝0， ∴2－ mex ex －1＋m ex －1＝0，∴2＋m ex －1 (1－ex)＝0，∴2－m ＝0，∴m ＝2. 答案：2 2．设f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f(x)＝2x －3，则f(－2)＝________. 解析：设x ＜0，则－x ＞0，f(－x)＝2－x －3＝－f(x)，故f(x)＝3－2－x ，所以f(－2)＝3 －22＝－1. 答案：－1 3．已知函数f(x)＝a －12x ＋1，若f(x)为奇函数，则a ＝________. 解析：解法一：∵f(x)为奇函数，定义域为R ，∴f(0)＝0?a －120＋1＝0?a ＝1 2. 经检验，当a ＝1 2 时，f(x)为奇函数． 解法二：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即a －1 2－x ＋1＝－????a －12x ＋1. ∴2a ＝ 12x ＋1＋2x 1＋2x ＝1，∴a ＝1 2. 答案：1 2 4．若f(x)＝ax2＋bx ＋3a ＋b 是定义在[a －1,2a]上的偶函数，则a ＝________，b ＝ ________. 解析：由a －1＝－2a 及f(－x)＝f(x)，可得a ＝1 3，b ＝0. 答案：13 5．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]．若当x ∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式 f(x)＜0的解集是________． 解析：由奇函数的定义画出函数y=f(x)，x ∈[-5,5]的图象．由图象可知f(x)＜0的解集 为：{x|-2＜x ＜0或2＜x ＜5}． 答案：{x|-2＜x ＜0或2＜x ＜5}
《函数的单调性和奇偶性》经典例题
经典例题透析 类型一、函数的单调性的证明 1．证明函数上的单调性. 证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)，令△x=x2-x1>0 则 ∵x1>0，x2>0，∴∴上式<0，∴△y=f(x2)-f(x1)<0 ∴上递减. 总结升华： [1]证明函数单调性要求使用定义； [2]如何比较两个量的大小？(作差) [3]如何判断一个式子的符号？(对差适当变形) 举一反三： 【变式1】用定义证明函数上是减函数. 思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径. 证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x1
类型二、求函数的单调区间 2. 判断下列函数的单调区间； (1)y=x2-3|x|+2；(2) 解：(1)由图象对称性，画出草图 ∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增. (2) ∴图象为 ∴f(x)在上递增. 举一反三： 【变式1】求下列函数的单调区间： (1)y=|x+1|；(2)(3). 解：(1)画出函数图象， ∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)； (2)定义域为，其中u=2x-1为增函数，
在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数； (3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞). 总结升华： [1]数形结合利用图象判断函数单调区间； [2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关. [3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化→复合函数为增函数；内外层函数反向变化→复合函数为减函数. 类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值) 3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小. 解：又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则. 4. 求下列函数值域： (1)；1)x∈[5，10]；2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)； (2)y=x2-2x+3；1)x∈[-1，1]；2)x∈[-2，2]. 思路点拨：(1)可应用函数的单调性；(2)数形结合. 解：(1)2个单位，再上移2个单位得到，如图 1)f(x)在[5，10]上单增，；
高中必修一函数的奇偶性详细讲解及练习(详细答案)
函数的单调性和奇偶性 例1（1）画出函数y＝-x2+2｜x｜+3的图像，并指出函数的单调区间． 解：函数图像如下图所示，当x≥0时，y＝-x2+2x+3＝-（x-1）2+4；当x＜0时，y＝-x2-2x+3＝-（x+1）2+4．在（-∞，-1］和［0，1］上，函数是增函数：在［-1，0］和［1，+∞）上，函数是减函数． 评析函数单调性是对某个区间而言的，对于单独一个点没有增减变化，所以对于区间端点只要函数有意义，都可以带上． （2）已知函数f（x）＝x2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4］上是减函数，求实数a的取值范围．分析要充分运用函数的单调性是以对称轴为界线这一特征． 解：f（x）＝x2+2（a-1）x+2＝［x+（a-1）］２-（a-1）2+2，此二次函数的对称轴是x＝1-a．因为在区间（-∞，1-a］上f（x）是单调递减的，若使f（x）在（-∞，4］上单调递减，对称轴x＝1-a必须在x=4的右侧或与其重合，即1-a≥4，a≤-3． 评析这是涉及逆向思维的问题，即已知函数的单调性，求字母参数范围，要注意利用数形结合．例2判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）＝- （2）f（x）＝（x-1）． 解：（1）f（x）的定义域为R．因为 f（-x）＝｜-x+1｜-｜-x-1｜ ＝｜x-1｜-｜x+1｜＝-f（x）． 所以f（x）为奇函数． （2）f（x）的定义域为｛x｜-1≤x＜1｝，不关于原点对称．所以f（x）既不是奇函数，也不是偶函数． 评析用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下： （1）求函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称． （2）计算f（-x），并与f（x）比较，判断f（-x）＝f（x）或f（-x）＝-f（x）之一是否成立．f
高一数学--奇偶性
高一数学第四讲 函数的奇偶性 一、知识要点： 1、函数奇偶性定义： 如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数； 如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。 如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )既不是奇函数也不是偶函数 如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。 2、函数奇偶性的判定方法：定义法、图像法 （1）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ①首先确定函数的定义域是否关于原点对称；②确定f (－x )与f (x )的关系；③作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。 ①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称。 (2) 利用图像判断函数奇偶性的方法： 图像关于原点对称的函数为奇函数，图像关于y 轴对称的函数为偶函数， （3）简单性质： 设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇 二、基础练习： 1. f (x ),g (x )是定义在R 上的函数，h (x )=f (x )+g (x )，则f (x )，g (x )均为偶函数,h (x )一定为偶函数吗？ 反之是否成立？ 2.已知函数y =f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是 ①y =f (|x |); ②y =f (-x ); ③y =x ·f (x ); ④y =f (x )+x . 3.设函数若函数2 ()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则)(x f 的递减区间是 4.已知y =f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )=x 2 -2x ，则在x<0上f (x )的表达式为 5. 设f (x )是R 上的偶函数，且在(0,+∞)上是减函数，若x 1＜0,且x 1+x 2＞0,则 f (x 1)与f (-x 2)的大小关系是 三、例题精讲： 题型1： 函数奇偶性的判定 例1. 判断下列函数的奇偶性： ① x x x x f -+-=11)1()(,②y =,③22 (0)()(0) x x x f x x x x ?+??④2 211)(x x x f --= 变式：设函数f （x ）在（－∞，+∞）内有定义，下列函数： ① y =－|f （x ）|； ②y =xf （x 2）； ③y =－f （－x ）； ④y =f （x ）－f （－x ）。 必为奇函数的有_ __（要求填写正确答案的序号）
奇偶性的典型例题
函数的奇偶性 一、关于函数的奇偶性的定义 定义说明：对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ： ⑴)()(x f x f =- ?)(x f 是偶函数； ⑵)()(x f x f -=-?)(x f 奇函数； 函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。 二、函数的奇偶性的几个性质 ①、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称； ②、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立； ③、可逆性： )()(x f x f =- ?)(x f 是偶函数； )()(x f x f -=-?)(x f 奇函数； ④、等价性：)()(x f x f =-?0)()(=--x f x f )()(x f x f -=-?0)()(=+-x f x f ⑤、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称； ⑥、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、 非奇非偶函数。 三、函数的奇偶性的判断 判断函数的奇偶性大致有下列两种方法： 第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等，判断步骤如下： ①、定义域是否关于原点对称； ②、数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立； 例1：判断下列各函数是否具有奇偶性 ⑴、x x x f 2)(3+= ⑵、2 432)(x x x f += ⑶、1 )(2 3--=x x x x f ⑷、2)(x x f = []2,1-∈x
⑸、x x x f -+-=22)( ⑹、2211)(x x x f -+-= 解：⑴为奇函数 ⑵为偶函数 ⑶为非奇非偶函数 ⑷为非奇非偶函数 ⑸为非奇非偶函数 ⑹既是奇函数也是偶函数 注：教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。 例2：判断函数???<≥-=)0()0()(22x x x x x f 的奇偶性。 .)(),()() ()()()(,0,0) ()()(,0,0) (0)0(:22222为奇函数故总有有时即当有时即当解x f x f x f x f x x x f x x x f x x x f x x x f f =-∴-=--=-=->-<-=-=--=-<->-== 第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。 四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。 命题 1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分 条件。 此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称，那么函数一定是非奇非偶函数，这一点可以由奇偶性定义直接得出。 命题2 两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。 此命题错误。一方面，如果这两个函数的定义域的交集是空集，那么它们的和或差没有定义；另一方面，两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数，如f(x)=x(x ∈〔-1,1〕),g(x)=x(x ∈〔-2,2〕)，可以看出函数f(x)与g(x)都是定义域上的函数，它们的差只在区间〔-1，1〕上有定义且f(x)-g(x)=0，而在此区间上函数f(x)-g(x)既是奇函数又是偶函数。 命题3 f(x)是任意函数，那么|f(x)|与f(|x|)都是偶函数。 此命题错误。一方面，对于函数|f(x)|=? ??<-≥),0)((),(0)((),(x f x f x f x f 不能保证f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)；另一方面，对于一个任意函数f(x)而言，不能保证它的定义域关于原点对称。如果所给函数的定义域关于原点对称，那么函数f(|x|)是偶函数。 命题4 如果函数f(x)满足：|f(x)|=|f(-x)|，那么函数f(x)是奇函数或偶 函数。
高中数学必修一函数的奇偶性练习
单元测试（2） 一、选择题：（每小题4，共40分） 1. 下列哪组中的两个函数是同一函数 ( ) A ．2y =与y x = B 。3y =与y x = C ．y = 2y = D 。y =与2 x y x = 2. 若()f x =(3)f -等于 （ ） (A)32- (B)34 - (C)34 (D)32± 3. 函数f(x)=2-x +(x-4)0的定义域为 （ ） A ． {x|x>2,x ≠4} B 。{x|x ≥2,或x ≠4} C 。[) ()2,44,+∞ D 。[)2,+∞ 4.函数y=x 2-1的值域是 （ ） A ． (-∞,-1) B 。 [)1,-+∞ C 。 [-1,0] D 。 R 5. 函数f(x)=x|x|+x 3是 （ ） A ． 偶函数 B 。奇函数 C 。非奇非偶函数 D 。既奇又偶函数 6．若函数)(x f 在区间（a ，b ）上为增函数，在区间（b ，c ）上也是增函数，则函数)(x f 在区间（a ，c ）上 （ ） A ．必是增函数 B 。必是减函数 C ．是增函数或是减函数 D 。无法确定增减性 7．函数x x x x f +=)(的图象是 ( ) 8. .函数f (x )=x 2+2(a －1)x +2在区间(-∞,4)上递减,则a 的取值范围是 ( ) A.[)3,-+∞ B.(],3-∞- C.(-∞,5) D.[)3,+∞ 9、设偶函数f(x)的定义域为R ，当x [0,)∈+∞时f(x)是增函数，则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是 A B C D
（ ） A 。f(π)>f(-3)>f(-2) B 。f(π)>f(-2)>f(-3) C ．f(π)
奇偶性与单调性及典型例题
奇偶性与单调性及典型例题 函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象. 难点磁场 (★★★★)设a>0,f(x)=是R上的偶函数，(1)求a的值；(2)证明：f(x)在(0，+∞)上是增函数. 案例探究 ［例1］已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0 1文档收集于互联网，已整理，word 版本可编辑. 函数单调性 证明格式： ① 取任意两个数12,x x 属于定义域D ，且令12x x <（反之亦可）； ② 作差12()()f x f x -并因式分解； ③ 判定 12()()f x f x -的正负性，并由此说明函数的增减性； 例 1 用定义法判定下列函数的增减性： ① y x =； ②2y x =； ③3y x =； ④y = ⑤1 y x = ； 练习：1. 判断函数()f x = 2.证明函数 3()f x x x =+在R 上是增函数； 例 2 已知函数 1 ()(0)f x x x x =+>，求证：函数的单调减区间为(0,1]，增区间为[1,)+∞，并画出图像； 练习：证明函数 x x x f 2 )(+ =在),2(+∞上是增函数。 3.复合函数的单调性 复合函数的单调性判断（同增异减）：构造中间过度函数，按定义比较函数大小并确定函数的单调性； 例 3 判断函数的单调性： （1 ） ()f x = （2 ）()f x =； （3） 2 1 ()2 f x x = +； 练习：① y = ②2 13y x = -； ③ 2 154y x x = +-； ④ y ； 4.函数的单调性的等价关系 设[]1212,,,x x a b x x ∈≠那么 []1212()()()0x x f x f x -->?[]1212()() 0(),f x f x f x a b x x ->?-在上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --时，()1f x >且对任意的,a b 都有()()()f a b f a f b +=? (1)求证： (0)1f = ； (2)求证：对任意的x R ∈恒有 ()0f x > ； (3)求证：f(x)是R 上的增函数 ； (4)若2()(2)1f x f x x ?->,求x 的取值范围 相关练习 1、设 ()f x 的图像关于原点对称，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x ?<的解集是………………( ) A {}|303x x x -<<>或 B {}|303x x x <-<<或 C {}|33x x x <->或 D {}|3003x x x -<<<<或 2、若 )(x f 的图像关于y 轴对称，且在[)+∞,0上是减函数，则235()(2)2 2 f f a a -++与的大小关系…( ) A )2 3(-f >)25 2(2++a a f B )23 (-f <)25 2(2++a a f C ) 23 (-f ≥ )2 5 2(2++a a f D 3() 2f -≤25(2)2 f a a ++ 函数的奇偶性 【学习目标】 1.理解函数的奇偶性定义； 2.会利用图象和定义判断函数的奇偶性； 3.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用. 【要点梳理】 要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 1．函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数. 奇函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数. 要点诠释： （1）奇偶性是整体性质； （2）x 在定义域中，那么-x 在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； （3）f(-x)=f(x)的等价形式为：()()()0,1(()0)() f x f x f x f x f x ---==≠， f(-x)=-f(x)的等价形式为：()()()01(()0)()f x f x f x f x f x -+-==-≠， ； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0； （5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0. 2.奇偶函数的图象与性质 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y 轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y 轴对称，则这个函数是偶函数. 3.用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）求函数()f x 的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； （2）结合函数()f x 的定义域，化简函数()f x 的解析式； （3）求()f x -，可根据()f x -与()f x 之间的关系，判断函数()f x 的奇偶性. 若()f x -=-()f x ，则()f x 是奇函数； 若()f x -=()f x ，则()f x 是偶函数； 若()f x -()f x ≠±，则()f x 既不是奇函数，也不是偶函数； 若()f x -()f x =且()f x -=-()f x ，则()f x 既是奇函数，又是偶函数 函数的奇偶性的典型例题 函数的奇偶性的判断 判断函数的奇偶性大致有下列两种方法： 第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等，判断步骤如下： ①、定义域是否关于原点对称； ②、数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立； 例1：判断下列各函数是否具有奇偶性 ⑴、x x x f 2)(3+= ⑵、2 432)(x x x f += ⑶、1 )(2 3--=x x x x f ⑷、2)(x x f = []2,1-∈x ⑸、x x x f -+-=22)( ⑹、2211)(x x x f -+-= 解：⑴为奇函数 ⑵为偶函数 ⑶为非奇非偶函数 ⑷为非奇非偶函数 ⑸为非奇非偶函数 ⑹既是奇函数也是偶函数 注：教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。 例2：判断函数???<≥-=)0()0()(22x x x x x f 的奇偶性。 .)(),()() ()()()(,0,0) ()()(,0,0) (0)0(:22222为奇函数故总有有时即当有时即当解x f x f x f x f x x x f x x x f x x x f x x x f f =-∴-=--=-=->-<-=-=--=-<->-== 第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。 四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。 命题 1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分 高中数学函数的奇偶性知识点及例题解析 一、知识要点： 1、函数奇偶性的概念 一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。 一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数。 理解： (1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质； (2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。 2、按奇偶性分类，函数可分为四类： 奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数. 3、奇偶函数的图象： 奇函数?图象关于原点成中心对称的函数，偶函数?图象关于y 轴对称的函数。 4、函数奇偶性的性质： ①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。 ②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0。 ③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a 1.3.2 奇偶性 整体设计 教学分析 本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的.教材沿用了处理函数单调性的方法，即先给出几个特殊函数的图象，让学生通过图象直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立了奇（偶）函数的概念.因此教学时，充分利用信息技术创设教学情景，会使数与形的结合更加自然. 值得注意的问题：对于奇函数，教材在给出的表格中留出大部分空格，旨在让学生自己动手计算填写数据，仿照偶函数概念建立的过程，独立地去经历发现、猜想与证明的全过程，从而建立奇函数的概念.教学时，可以通过具体例子引导学生认识，并不是所有的函数都具有奇偶性，如函数y=x与y=2x1既不是奇函数也不是偶函数，可以通过图象看出也可以用定义去说明. 三维目标 1.理解函数的奇偶性及其几何意义，培养学生观察、抽象的能力，以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力. 2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质，掌握判断函数的奇偶性的方法，渗透数形结合的数学思想. 重点难点 教学重点:函数的奇偶性及其几何意义. 教学难点:判断函数的奇偶性的方法与格式. 安排 1 教学过程 导入新课 思路1.同学们，我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请大家想一下有哪些美呢？（学生回答可能有和谐美、自然美、对称美……）今天，我们就来讨论对称美，请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？（学生举例，再在屏幕上给出一组图片：喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志）生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？下面， 我们以麦当劳的标志为例，给它适当地建立直角坐标系，那么大家发现了什么特点呢？（学生发现：图象关于y 轴对称.）数学中对称的形式也很多，这节课我们就同学们谈到的与y 轴对称的函数展开研究. 思路2.结合轴对称与中心对称图形的定义，请同学们观察图形，说出函数y=x 2和y=x 3的图象各有怎样的对称性？引出课题：函数的奇偶性. 推进新课 新知探究 提出问题 ①如图1-3-21所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性. 图1-3-21 ②那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y 轴对称呢？填写表1和表2，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？ x 3 2 1 0 1 2 3 f(x)=x 2 表1 x 3 2 1 0 1 2 3 f(x)=|x| 表2 ③请给出偶函数的定义？ ④偶函数的图象有什么特征？ ⑤函数f(x)=x 2,x ∈［1,2］是偶函数吗？ ⑥偶函数的定义域有什么特征？ ⑦观察函数f(x)=x 和f(x)= x 1 的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？ 活动：教师从以下几点引导学生: ①观察图象的对称性. 高一数学必修一函数专题：奇偶性 第一部分：常见的奇函数和偶函数 常见奇函数： 第一种：n x x f =)(（n 为奇数）例：x x f =)(；x x x f 1)(1==-；3)(x x f =；331)(x x x f ==-。第二种：n x x f =)(（n 为奇数）例：331 )(x x x f ==；5 1 5)(x x x f ==。第三种：) sin()(x A x f ?=例：)2sin()(x x f =；)sin()(x x f --=；x x f sin 21)(= 。第四种：) tan()(x A x f ?=例：x x f tan )(=；)2 1tan(2)(x x f - -=；x x f tan 3)(=。常见偶函数： 第一种：n x x f =)(（n 为偶数）例：2)(x x f =；221)(x x x f ==-；4)(x x f =；4 41)(x x x f ==-。第二种：c x f =)(（c 为常数） 例：2)(=x f ；2 1)(-=x f 。第三种：)cos()(x A x f ?=例：)cos(3)(x x f -=；)2cos(2 1)(x x f =；)cos()(x x f -=。第四种：|)(|)(x g x f =（)(x g 为奇函数或者偶函数）例：|)sin(2|)(x x f -=；||)(4 x x f =；|tan |)(x x f =；|)21cos(|)(x x f -=。两种特殊的奇偶函数： 第一种：)()()()(x f x g x g x f ?-+=是偶函数 例：x x e e x f -+=)(，假设：)()()()()()(x f x g x g x f e x g e x g x x ?-+=?=-?=-是偶函数。 第二种：)()()()(x f x g x g x f ?--=是奇函数例：x x x f 313)(-=，假设：)()()()(313)(3)(x f x g x g x f x g x g x x x ?--=?==-?=-是奇函数。)2ln()2ln(22ln )(x x x x x f --+=-+=，假设：)2ln()(x x g +=)()()()2ln()(x g x g x f x x g --=?-=-?高中数学必修一函数的性质单调性与奇偶性典型精讲精练
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