循环群
§ 3 循环群（Cyclic Group）
定义若G=，则G被称为循环群.a称为G的一个生成元. Fg1 整数集Z对于普通加法是一个循环群,-1和1是生成元.
Fg2 对n≥1,Z n={0,1,???,n?1}关于模n的加法是一个循环群.1和?1=n?1为生成元.
Fg3 Z8=<1>=<3>=<5>=<7>
Fg4 U10=1,3,7,9=<3>=<7>
Fg5 U8={1,3,5,7}
定理1G是一个群，a∈G.如果a=∞,则a i=a j当且仅当i=j.如果a=n,则={e,a,a2,???,a n?1}和a i=a j当且仅当n|i?j.
Corollary 2 a k=e implies that a divides k.
Fg6 假设a=6，则的结构如下图
定理2 假设a是一个群阶为n的一个元和k是一个正整数, 则=和 a k=n gcd?(n,k).
Corollary 1 在一个有限循环群中，元素的阶整除群的阶.
Corollary 2 假设a=n,则=当且仅当gcd n,i=gcd?(n,j)和 a i= a j当且仅当gcd n,i= gcd?(n,j).
Corollary 3假设a=n, 则=当且仅当gcd n,j=1和a= a j当且仅当gcd n,j=1.
Corollary 4 Z n中，整数k为Z n的一个生成元当且仅当gcd n,k=1.
循环群的子群的分类
定理 3 Fundamental Theorem of Cyclic Group
循环群的每一个子群都是循环群.如果=n,则的任意一个子群的阶是n的一个因子.而且对n的每一个正因子k,只有一个k阶子群即.
Corollary 对于n的每一个正因子k,Z n的唯一阶k的子群为
Fg7 Z30的全部子群为
定义若?1=1且当n>1时，?n为小于n同n互素的正整数的个数，则?为Z+的一个函数.这个数学理论函数叫做Euler phi function.
由U(n)的定义，我们知道U(n)=?(n).?(n)的前12个函数值在下表中给出
定理4 如果d是n的一个因子，则一个阶为n的循环群中阶为d的元的个数为?(d).
Corollary 在一个有限群中，阶为d的元的个数被?(d)整除.
Subgroup lattice of group
群的自同构群
§8 群的自同构群 给定一个群，可以有各种方式产生新的群。比如，给定 群G 的任何一个正规子群N ，就可以产生一个商群G H ，它就是一种新的群。本节要讲的自同构群也是一种产生新的群 的方法。 1. 自同构群的定义： 定理1 设M 是一个有代数运算的集合（不必是群），则M 的 全体自同构关于变换的乘法作成一个群，称为M 的自同构群。 证明 设,στ是M 的任意两个自同构，则,a b M ?∈，有 ()[()][()()](())(())()()ab ab a b a b a b στστσττστστστστ====， 即στ也是M 的一个自同构。这表明，全体自同构关于变换 的乘法封闭。 又因为x M ?∈有 11()()x x x σσσσ--==，故 111111111()[()()][(()())]()()ab a b a b a b σσσσσσσσσσσσ---------=?== 即1σ-也是M 的一个自同构。群的定义的第3条成立。 另外，变换的乘法显然满足结合律，且恒等变换就是单位元， 群的定义的第1、2条也成立。所以，M 的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。 注意：前面有M 的全体双射关于变换的乘法作成一个群，记为()S M ，称为M 的对称群。定理1表明M 的自同构群是
()S M 的一个子群。 推论1 群G （在定理1中取M G =）的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。这个群叫作群G 的自同构群，记作 Aut G 。由上面，如果||G n =，则Aut n G S ≤。 例1 求Klein 四元群 {}{}4(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23),,,K e a b c == 的自同构群。 解 4Aut K σ?∈。由于σ是自同构，必有()e e σ=（幺元变成幺元）。又由于σ是双射，因此()()()e a b c e a b c σσσσ??= ??? ，其中 (),(),()a b c σσσ是,,a b c 的全排列。每个全排列不一定都是自同构，但根据4K 的运算特点，可以验证这些全排列都是4K 的自同构。 例如，设(),(),(),()e e a b b a c c σσσσ====，则可以验证它是4K 的自同构: ()()()()ab c c ba a b σσσσ====, ()()()()ac b a bc a c σσσσ====,. 由于,,a b c 的全排列共有6 个，与3S 同构，因此4K 的全体自 同构也有6 个，43Aut K S ?。 2.循环群的自同构群 定理2 （1）无限循环群的自同构群是一个2阶循环群； （2）n 阶循环群的自同构群是一个阶的群，其中()n ? 是欧拉函数（即小于n 且与n 互素的正整数的个数）。 证明 由于在同构映射下，循环群的生成元与生成元相对应，
幂子群与循环群的充要条件
幂子群与循环群的充要条件 摘要：在群的理论研究中，通过对群的幂子群与循环群的研究，来探讨群的性质是群论研究中的一条很重要的途径。本文在前人研究的基础上，通过对幂子群和循环群的充要条件进一步研究，有利于对基础数学的更深的认识。 关键词：幂子群循环群充要条件 代数学是数学的一个古老分支，有着悠久的历史。数是大家研究数学的最基本的对象，数的最基本的运算是加、减、乘、除。但是，数不是我们研究数学的唯一对象，而且我们所遇到的许多运算也不全是数的普通加、减、乘、除。例如，向量、多项式、函数、矩阵和线性变换等等，它们虽然都不是数，但却也可以类似于数那样来进行运算。特别是，尽管这些研究对象千差万别，各有自己的特性，但从运算的角度看却有着很多共同的性质。它的结论与方法在数学、物理、化学、正交试验设计和编码等理论中都有重要应用。 一、幂子群与循环群概述 （一）幂子群 设G为群，H是它的一个子群，若存在正整数n使得 H=，则称H为G的一个幂子群，记为H=Gn。设G为群，如果对任意g∈G，都有g0∈G使得g0=g0P，那么显然有G
的幂子群Gp满足Gp=G。由于群间的同构关系具有反身性、对称性、和传递性，凡无限循环群均彼此同构，凡有限同阶循环群都彼此同构。而不同阶的群，由于不能建立双射，当然不能同构。因此，我们可以说，在同构意义下，循环群只有两种，即整数加群Z和n次单位根群Un。 1.当Hl，H2，H3，H4都是正规子群时，则G中的所有子群都是正规子群，因此G是Dedekind群，故G是幂零的； 2.显然G中不可能只有一个子群不是正规子群。下面我们讨论G中只有两个子群不是正规子群，设Hl，H2不是正规子群，H3，H4是正规子群，则显然有Hl与H2是共轭的。若NG（Hl）=Hl，则有|G：Hl|=2，那么由定理知HlG矛盾，因此只能有HlG（Hl）G，同理H2NG（H2）G，由此G中所有的子群都是次正规子群，由定理知G是幂零的。 （二）循环群 设M是群G的任意一个非空子集，G中包含M的子群是存在的。当然，G中可能还有别的子群也包含M。现在用〈M〉表示G中包含M的一切子群的交，则〈M〉仍是G 中包含M的一个子群，而且G中任意一个子群只要包含M，就必包含〈M〉。所以〈M〉是群G中包含M的最小子群。 一个群（G，?）称为循环群，假如存在一个元素a∈G，使G={an|n∈Z元素a称为这个循环群的生成元，记为G=。根据元素的阶的性质，可知循环群共有两种类型：
3.5群的自同构群
> §8 群的自同构群 给定一个群，可以有各种方式产生新的群。比如，给定 群G 的任何一个正规子群N ，就可以产生一个商群G H ，它就是一种新的群。本节要讲的自同构群也是一种产生新的群 的方法。 1. 自同构群的定义： ！ 定理1 设M 是一个有代数运算的集合（不必是群），则M 的 全体自同构关于变换的乘法作成一个群，称为M 的自同构 群。 证明 设,στ是M 的任意两个自同构，则,a b M ?∈，有 ()[()][()()](())(())()()ab ab a b a b a b στστσττστστστστ====， 即στ也是M 的一个自同构。这表明，全体自同构关于变换 的乘法封闭。 又因为x M ?∈有 11 ()()x x x σσσσ--==，故 111111111()[()()][(()())]()()ab a b a b a b σσσσσσσσσσσσ---------=?== 即1 σ-也是M 的一个自同构。群的定义的第3条成立。 · 另外，变换的乘法显然满足结合律，且恒等变换就是单位元， 群的定义的第1、2条也成立。所以，M 的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。
注意：前面有M 的全体双射关于变换的乘法作成一个群，记为()S M ，称为M 的对称群。定理1表明M 的自同构群是 ()S M 的一个子群。 推论1 群G （在定理1中取M G =）的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。这个群叫作群G 的自同构群，记作 Aut G 。由上面，如果||G n =，则Aut n G S ≤。 ` 例1 求Klein 四元群 {}{}4(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23),,,K e a b c == 的自同构群。 解 4Aut K σ?∈。由于σ是自同构，必有()e e σ=（幺元变成幺元）。又由于σ 是双射，因此()()()e a b c e a b c σσσσ??= ??? ，其中 (),(),()a b c σσσ是,,a b c 的全排列。每个全排列不一定都是自同构，但根据4K 的运算特点，可以验证这些全排列都是4K 的自同构。 例如，设(),(),(),()e e a b b a c c σσσσ====，则可以验证它是4K 的自同构: ()()()()ab c c ba a b σσσσ====, ()()()()ac b a bc a c σσσσ====, . 由于,,a b c 的全排列共有6 个，与3S 同构，因此4K 的全体自同构也有6 个，43Aut K S ?。 {
S3,S4的自同态和自同构(近世代数)
题目：S3，S4的自同态和自同构学院：数学与统计学院 专业：数学与应用数学 姓名： 学号： 指导教师： 时间： 2012年6月17日
摘要 本文讨论了三次对称群S3和四次对称群S4各自所拥有的子群，以及找出S3，S4各自的自同态，自同构，检验各自的子群在自同态和自同构下是否保持不变。 关键词: 对称群，子群，不变子群，自同态，自同构。 一、S 4和S 4 的子群：
假如对于代数运算 和 来说，有一个A到A的同态映射存在，我们就说，这个映射是一个同态满射，并说，对于代数运算 和 来说，A与A同态。 假如对于代数运算 和 来说，有一个A到A的同构映射存在，我们就说，对于代数运算 和 来说，A与A同构。 S 3 ={(1),(12),(13),(23),（123），（132）}， S 4 ={(1)， (12),(34),(13),(24)，（14），(23)， (123),(132),(134),(143),(124),(142),(234),(243), (1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432), (12)(34),(13)(24),(14)(23)}. 其中,在S 3 里，(1)、(12) 、(13) 、(23)的逆元就是它们自己本身, （123）与（132）互为逆元。 在S 4 里，(1) 、(12) 、(34) 、(13) 、(24) 、（14）、(23) 、(12)(34) 、(13)(24) 、(14)(23) 的逆元就是它们自己本身，（123）与（132）互为逆元，(134)与(143)互为逆元, (124)与(142) 互为逆元，(234)与(243) 互为逆元，(1234)与(1432) 互为逆元，(1243)与(1342) 互为逆元，(1324)与(1423) 互为逆元。 S 3的子群有H 1 ={（1）}， H 2 ={（1），（12）}， H 3 ={（1），（13）}， H 4 ={（1），（23）} ， H 5 ={（1），（123），（132）}， H 6=S 3 。 其中H 1和H 6 为S 3 的平凡子群。
循环群·变换群和置换群
（V ）循环群·变换群和置换群 一、定义及例子 1、定义：设G 是群，若存在a ∈G 使得G 中任意元素均为a 的幂，即G=（a ）【=（a -1）】 2、例子： （1）Z =（1） （2）(Z 12，+)=（[1]）=([11]) 注：（[5]）=Z 12,([7]),([11])【小于12的素数都能生成Z 12】 （3）n 次单位根群Un 【Unit 】 )(),(},1|{0ω=??∈==∈≠*C C x x x U N n n n n n i ππω22 sin cos += 二、生成元，循环群 1、循环群的元素 ???∞ =∈>===-)(},|{0)(},,...,,{)(1a o Z i a m a o a a e a G i m 2、生成元 （1）1,)(±=?∞=r a a o r 是生成元 （2）1),(,)(=?=n r a n a o r 是生成元 {} x i x e n r n r r n n ix sin cos Enler 1,1),(|)(n n )(#+=≤≤==）：欧拉公式（互素的。 的数中与：小于欧拉数?? 如（Z 12，+）=（[1]）=（[5]）=([7])=([11]) 三、循环群的子群 1、循环群的子群是循环群 2、循环群子群的分类 } |1|){(G ),(,0)()2(} 0|){(G ),(,)()1(n r n r a a G n a o r a a G a o r r 且的所有子群为 则设的所有子群为 则设≤≤=>=≥=∞= 变换群和置换群
·任意一个置换可以写成若干个对换的乘积。 ·(ij)=(1i)(1j)(1i) ·任意一个置换可以写成若干个形如（1i ）的乘积（2≤i ≤n ） 置换的性质 ) ()...()()...(6],...,,[)()(5/ */*)...)(...()...)( (4) ...()...(3))...((2) ...()...()...(12112121212121212111121211113221r r t i i t r r r r r r r r r r r r i i i i i i r r r r o r o i i i j j j j j j i i i i i i i i i r i i i o i i i i i i i i i i σσσσσσσσσσσ====???======----、附加：则不相连）且是循环置换的表示（互、前提：无交、、、、
3.5群的自同构群
§8 群的自同构群 给定一个群，可以有各种方式产生新的群。比如，给定 群G 的任何一个正规子群N ，就可以产生一个商群G H ，它就是一种新的群。本节要讲的自同构群也是一种产生新的群 的方法。 1. 自同构群的定义： 定理1 设M 是一个有代数运算的集合（不必是群），则M 的 全体自同构关于变换的乘法作成一个群，称为M 的自同构群。 证明 设,στ是M 的任意两个自同构，则,a b M ?∈，有 ()[()][()()](())(())()()ab ab a b a b a b στστσττστστστστ====， 即στ也是M 的一个自同构。这表明，全体自同构关于变换 的乘法封闭。 又因为x M ?∈有 11()()x x x σσσσ--==，故 111111111()[()()][(()())]()()ab a b a b a b σσσσσσσσσσσσ---------=?== 即1 σ-也是M 的一个自同构。群的定义的第3条成立。 另外，变换的乘法显然满足结合律，且恒等变换就是单位元， 群的定义的第1、2条也成立。所以，M 的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。 注意：前面有M 的全体双射关于变换的乘法作成一个群，记为()S M ，称为M 的对称群。定理1表明M 的自同构群是 ()S M 的一个子群。
推论1 群G （在定理1中取M G =）的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。这个群叫作群G 的自同构群，记作 Aut G 。由上面，如果||G n =，则Aut n G S ≤。 例1 求Klein 四元群 {}{}4(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23),,,K e a b c == 的自同构群。 解 4Aut K σ?∈。由于σ是自同构，必有()e e σ=（幺元变成幺元）。又由于σ是双射，因此()()()e a b c e a b c σσσσ??= ??? ，其中 (),(),()a b c σσσ是,,a b c 的全排列。每个全排列不一定都是自同构，但根据4K 的运算特点，可以验证这些全排列都是4K 的自同构。 例如，设(),(),(),()e e a b b a c c σσσσ====，则可以验证它是4K 的自同构: ()()()()ab c c ba a b σσσσ====, ()()()()ac b a bc a c σσσσ====,L . 由于,,a b c 的全排列共有6 个，与3S 同构，因此4K 的全体自同构也有6 个，43Aut K S ?。 2.循环群的自同构群 定理2 （1）无限循环群的自同构群是一个2阶循环群； （2）n 阶循环群的自同构群是一个阶的群，其中()n ? 是欧拉函数（即小于n 且与n 互素的正整数的个数）。 证明 由于在同构映射下，循环群的生成元与生成元相对应， 而生成元的对应关系完全决定了群中其它元素的对应关系。
(完整版)循环群讲义
§7循环群 本节将讨论一类结构简单又富有代表性的特殊群――循环群.(它是一类基本而又重要的群,数学的一些分支（数论、有限域论等）和它有密切的联系.)通过对循环群的学习,可初步了解抽象代数研究问题的基本方法和格式以及论文的写作方法.本节主要内容是循环群的三大问题:存在问题/数量问题/构造问题. 先看一个简单的例子：{} ΛΛ,10,10,10,1,10,10,10,32123---=G 对数的乘法作成群.特点是每个元都是固定元10的方幂. 一、循环群的概念 1.定义 G 称为循环群?群G 的每个元都是G 中某个固定元．．．a 的方幂???倍数－－针对加法 乘方－－针对乘法. 记为)(a G =，a 称为G 的生成元. 即 G a G ?=)(是群，且???==∈?∈?)()(.,,加法乘法ka x a x st Z k G x k .（注意:k 与x 有关！） 【一般情况下，如果没有特别声明运算是乘法或是加法，就默认是乘法形式.】 2.注意:(一般情况下)生成元不唯一.a 是生成元1-?a 是生成元.【理由：k k a a --=)(1】 3.范例【解决了循环群的存在问题.同时，将得到结论：循环群在同构意义下只有这两种！】 ①整数加群),(+Z ，)1()1(-==Z .【1±是∞阶.00)1(=?=±n n Θ】 问题:还有其他生成元?(无)【设1),(1)(1)(±=?∈==∈?=k Z k n nk k k Z 】 *实际上可进一步证明：)()(a G a o =?∞=只有两个生成元1 ,-a a .【课外思考题】 【设)(b G =，则有111,,)(-=?=?=?==∈∞=or s st a a b a a b Z t s a o st t s 】 ②模n 剩余类加群),(+n Z ，])1([=n Z . 问题:还有其他生成元?(有)【])1([])1([-=-=n Z n 】 *实际上可进一步证明：)()(a G n a o =?=的生成元为r a 当且仅当1),(=n r .【习题】 【若1),(=n r ，则)()()()()()(1r u r v u r v n u r vn ur a a a e a a a a a vn ur =?====?=++. 反之，r a 是生成元，1),(1|)()()()(1=?-?=?=?===-n r rk n e a a a a a G n a o rk k r r .】 ◎设p 为素数，则p 阶循环群)(a G =有1-p 个生成元：12,,,-p a a a Λ. ◎设p 为素数，则模p 剩余类加群p Z 的所有非零元都是生成元. 二、循环群的种类 1.结构定理 设循环群)(a G =同构于???=+∞=+n a o if Z a o if Z n )(),,()(),,(. 证明 注意体会生成元a 的阶在证明过程中的用处! (1)设∞=)(a o 【作用：0=?=k e a k 】此时，令k a Z G k →→,:?，可证?是同构映射.(证略) 【?是映射：若h k a a =，则h k h k e a a o h k =?=-?=∞=-0)(，说明对应元唯一. 易证?是满射/单射. 再证?的同态性: )()()()()()(,,y x a a h k a xy a y a x G y x h k h k h k ???????+=+=+==?==?∈?+.】 (2)设n a o =)(【作用：k n e a k |?=】此时，令][,:k a Z G k n →→? ?是映射：若h k a a =，则][][|)(h k h k n e a n a o h k =?-?==-，说明对应元唯一. ?是单射：若][][h k =,则e e a a mn h k h k n m n a o m n h k ===?=-?-=-)()(|. ?是满射：][)(.,,][k a st G a Z k k k n =∈?∈?? 再证?的同态性: )()()()(][][)()(,,y x a a h k a xy a y a x G y x h k h k h k ???????+=+=+==?==?∈?+.
循环群的性质研究
淮北师范大学 2012届学士学位论文 循环群的性质研究 学院、专业数学科学学院数学与应用数学研究方向高等代数 学生姓名潘帅 学号20081101142 指导教师姓名张波 指导教师职称讲师 2012年4月3日
循环群的性质研究 潘帅 （淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000） 摘要 设G是一个群，a G ，如果群G中的每一个元素都能写成元素a的乘方的形式，则称G是一个循环群，循环群是近世代数中的一个重要内容，也是一类基本研究明白的群，本文主要讨论了循环群的相关性质及其应用。 文中首先介绍了群的相关基础知识，由此引出循环群的定义和它的相关性质，讨论了循环群及其元素，子群间的关系，然后利用循环群的基础理论讨论了循环群的同态、同构，并给出了循环群的自同构群是交换群的结论。 关键词：循环群，子群，同构，自同构群
Study on the Properties of Cyclic Groups Pan Shuai (School of Mathematical science, Huaibei Normal University, Huaibei, 235000 ) Abstract Let G be a group, a G ∈. If every element can be written the form n a where ∈, then the group is a cyclic group. Cyclic groups is an important content in the n Z+ algebra, also a kind of group was nearly researched understand, this subject mainly discussed the cyclic group related properties and application. The basic knowledge of relevant firstly be introduced in this subject, then drawn out the definitions of circulation and some related properties, discussed the cyclic group and its elements, even the relations between the subgroup, and used the circulation of the foundation of the theory to discuss the circulation about the homomorphism and isomorphism, lastly made us know the conclusions what automorphism group of circulation group is an exchange of group. Keywords：cyclic group, subgroup, isomorphism, automorphism group
特殊群(循环群)
阿贝尔群、循环群、置换群：各种不同的群。
?什么是阿贝尔群 ?若群
知识回顾 ?生成子群 设G为群, a G, 即a的所有的幂构成的集合, 为G的子群, 称为由a生成的子群.
循环群的定义 定义8.10 设G是群，若存在a∈G使得 G={a k| k∈Z} 则称G是循环群，记作G=，称a 为G 的生成元. 循环群的分类：n 阶循环群和无限循环群. 设G=是循环群，若a是n 阶元，则 G = { a0=e, a1, a2, … , a n-1 } 那么|G| = n，称G 为n 阶循环群. 若a 是无限阶元，则 G = { a0=e, a±1, a±2, … } 称G 为无限循环群. 实例：
例10 (1) 设G={e, a, … , a11}是12阶循环群，则φ(12)=4. 小于12且与12互素的数是1, 5, 7, 11, 由定理8.13可知a, a5, a7和a11是G的生成元. (2) 设G=
证明：阶是素数的群是循环群
1． 证明：阶是素数的群是循环群。 分析：证明一个群是循环群的思路有三种： （1） 利用循环群的定义证明群中每一个元都能表示为群中同一个元 的方幂； （2） 利用同构的思想，先构造一个恰当的循环群，再证明它和该群 同构； （3） 利用本节的知识，先在群中生成一个循环子群，若能证明子群 就是该群即可； 实际上，在上面的几种思路中，（3）是最佳选择。 证明： 任取阶为素数的群G 设G 的阶为素数p ∴ p >1 ∴ e a G a ≠∈?, 令)(a H = ∴G H ? 设H 的阶为)1(>m m ∴p m ∴p m = ∴G H = ∴G 为循环群。 2． 证明，阶是m p 的群（p 是素数）一定包含一个阶是p 的子群。 分析：若能找出群的子群，则可以观察是否有p 个元素的子群。如何找呢，由于题设与第一题的题设有类似的条件，可借用第一题的思路。 证明：任取阶为m p 的群G p 是素数 ∴m p >1 ∴ e a G a ≠∈?, 令n H a H ==#),(
∴1,,>∈?+Z Z n G H 又m p n ∴m i p n i ,,2,1 == 令)(1 1-=i p a H 则)(11-=i p a H 即为所求 3． 假定a 和b 是一个群G 的两个元，并且ba ab =。又假定a 的阶是m ，b 的阶是n ，并且1),(=n m 。证明：ab 的阶是mn 。 分析：本题的目标是证明某个正整数是某个元的阶，根据元的阶的定义，可分为两步：一、证明元的该次幂等于单位元；二、证明该次幂是使的该元等于单位元的最小正方幂。 证明： a 的阶是m ，b 的阶是n e b e a n m ==∴, 又 ba ab = e ee b a b a ab m n n m m n m n m n ====∴)()()( 设ab 的阶为+ ∈Z k k , ∴mn k 又e b a ab k k k ==)( ∴k k b a -= ∴m k m k b a )()(-= 即km m k k k m b b e e a --====)()( ∴km n 又1),(=n m
阿贝尔
尼尔斯·阿贝尔 尼尔斯·亨利克·阿贝尔（Niels Henrik Abel，1802年8月5日－1829年4月6日），挪威数学家，以证明五次方程的根式解的不可能性和对椭圆函数论的研究而闻名。 生于挪威芬岛附近的Nedstrand，就读于奥斯陆大学。1825年得到政府资助，游学柏林和巴黎。生前不得志，无法获得教席俾专心研究,最后因肺结核 在挪威的弗鲁兰逝世。死后两天，来自柏林的聘书才寄到 家中。跟同样早逝的伽罗华一同被奉为群论的先驱。现代 有以他名字命名的阿贝尔奖。 数学成就 阿贝尔证明了二项式定理对所有的数字成立，扩展了欧拉 的研究：只对有理数成立。19岁时，他发现没有一般的代 数五次方程的根的解决方案。为了要做到这一点，他发明 （和伽罗瓦各自独立发明）极其重要的理论：群论。除 此之外，亚伯写了直到他去世后才被世人发现的椭圆函数 的巨著。阿贝尔曾谈及高斯的简洁的写作风格，“他是像狐 狸用尾巴抹去它的踪迹”，就如高斯自己说的：“建筑完成就要拆除脚手架。[1] 死因 在巴黎期间，阿贝尔曾染上肺结核。1828圣诞节，他跑遍雪橇到Froland再次访问他的未婚妻。夫妇一起享受假期使其病情稍有缓解。同时，克雷勒已为亚伯在柏林寻找新的工作，一个大学的教授职位。克雷勒4月8日写信给阿贝尔1829年告诉他这个好消息，但它来得太晚了，在这之前两天，阿贝尔病逝。 主要贡献和研究成果 ?椭圆函数论 ?阿贝尔积分理论 ?阿贝尔定理 ?阿贝尔群 ?阿贝尔判别法 阿贝尔群 阿贝尔群也称为交换群或可交换群，它满足其元素的运算不依赖于它们的次序(交换律公理)的群。阿贝尔群推广了整数集合的加法运算。阿贝尔群以挪威数学家尼尔斯·阿贝尔命名。阿贝尔群的概念是抽象代数的基本概念之一。其基本研究对象是模和矢量空间。阿贝尔群的
《应用离散数学》方景龙版群的性质循环群
习题4.3 1. 设>*<， G 是群，若G x ∈?有e x =2，证明>*<，G 为交换群。 解 略 2. 设>*<， G 是群，证明G 是交换群的充分必要条件是G b a ∈?，有222)(b a b a *=*。 解 必要性：如果G 是交换群， G b a ∈?，有222)(b a b a *=*是显然的。 充分性：根据222)(b a b a *=*得b b a a b a b a ***=***，再由消去律得b a a b *=*，即交换律成立，所以G 是交换群。 3. 设>*<，G 是群，并且对任意的G b a ∈，都有3 33)(b a b a *=*，555)(b a b a *=*，证明G 是交换群。 解 略 4. 设>*<， G 是有限半群，且满足消去律，证明G 是群。 解 对于G a ∈?，考虑集合 },,,,,{32 m a a a a a G = 由封闭性可知G G a ?。又由于G 是有限集，所以a G 也是有限集。故 必有0,>k n ，使得 k n n a a += 所以G b ∈?有 b a b a k n n *=*+ 由消去律可得 b a b k *= 这表明k a 是左单位元，同理可证它是右单位元，所以k a 是单位元。又因为 e a a a a a k k k ==*=*--11 所以，a 有逆元1-k a 。因此，>*<， G 是群。 5. 设>*<， G 是群，G c b a ∈，，，证明 ||||||b a c a c b c b a **=**=** 解 略 6. 设>*<，G 是群，G b a ∈，且a b b a *=*。如果m b n a ==||||， 且n 与m 互质，证明m n b a ?=*||。 解 略 7. 证明循环群一定是交换群，举例说明交换群不一定是循环群。 解 略 8. 证明由1的n 次复根的全体所组成的集合在复数乘法下构成一个n 阶循环群。 解 由代数的知识可知，1的n 次复根的全体所组成的集合为 }1,,2,1,0|{2-==n k e G i n k π }1,,2,1,0{,,,22-∈∈?n q p G e e i n q i n p ππ，有i n q p i n q i n p e e e πππ)(222+=?。若n q p <+，
置换群
11.7 循环群与置换群 一、循环群 1. 循环群的定义 定义11.14 设G 是群，若a G ?∈使得{|}k G a k Z =∈, 则称G 是循环群，记作 G a =<> ，称a 为G 的生成元。 注意：(1) 对于任何群G ，由G 中元素a 生成的子群是循环群。 (2) 任何素数阶的群都是循环群。 设G 是循环群，若a 是n 阶元，则 012 1 {,,,,}n G a e a a a - == ， 那么|G|=n ，称G 为n 阶循环群。 若a 是无限阶元，则 1 2 {,,, }G a e a a ±± == ， 这时称G 为无限阶循环群。 例如 (1)G=
陪集与拉格朗日定理+循环群(屈版)
群的子群反映了群的结构和性质，本节将用子群对群做一个划分，从而得到关于群与子群的一个重要定理：拉格 朗日定理。 主要内容： z陪集定义 z陪集基本性质（4个定理+1个推论） z拉格朗日定理及其推论 1
定义：设H是G的子群，a∈G. 令 Ha={ha | h∈H} 称Ha是子群H在G中的右陪集. 称a为Ha的代表元素. 例：设G={e,a,b,c}是Klein四元群，H=
定理1设H是群G的子群，则 (1) He = H (2) ?a∈G 有a∈Ha 证(1) He = { he | h∈H } = { h | h∈H } = H (2) ?a∈G，由a = ea 和ea∈Ha 得a∈Ha 3
定理2设H是群G的子群，则?a, b∈G 有 a∈Hb ?ab?1∈H ?Ha=Hb 证先证a∈Hb ?ab?1∈H a∈Hb ??h(h∈H∧a=hb)??h(h∈H∧ab?1=h)?ab?1∈H 再证a∈Hb ?Ha=Hb. 充分性. 若Ha=Hb，由a∈Ha 可知必有a∈Hb. 必要性. 由a∈Hb 可知存在h∈H使得a =hb，即b =h?1a 任取h a∈Ha，则有 1 h a = h1(hb) = (h1h)b∈Hb，从而得到Ha ?Hb. 1 反之，任取h b∈Hb，则有 1 h b = h1(h?1a) = (h1h?1)a∈Ha , 从而得到Hb ?Ha. 1 综合上述，Ha=Hb得证. 4