4.1.4点、线、面、体学案

4.1.4点、线、面、体

学习目标：1、通过丰富的实例，了解点、线、面、体的特征及它们之间的关系；2、初步了解几何研究的对象和内容。

学习重难点：点、线、面、体的特征及它们之间的关系是重点，理解“点动成线、线动成面、面动成体”是难点。 教学过程：

一、创设情境，引入新课

日常生活中，我们经常看到下列情况：夏天的夜空散布着点点星星；流星划过天空留下一道明亮的光线；把一枚硬币在桌面上快速旋转，呈现在你眼前的又是什么呢？本节，我们将从几何的角度来研究这些问题. 二、自主学习

点、线、面、体的概念

活动1、（1）观察这些几何图形，

思考回答：①你们知道这些体是由什么围成的吗？它们有什么不同吗？

②面与面相交的地方形成了什么？它们有什么不同呢？ ③线与线相交处又形成了什么？

将以上结论加以总结，得出点、线、面、体之间的关系 举出生活实际中体、面、线、点的形象的例子.

由上面的讨论可知：体是由____围成的，面与面相交成____，线与线相交成____。这是从静态的一面看。

（2）点在纸上运动时，形成了什么图形？汽车的雨涮在挡风玻璃上画出的是什么图形？长方形绕它的一边旋转成的是什么图形？

这就是说：点动成___，线动成___面，面动成___。这是从动态的一面看。 三、合作探究

长方体

圆柱体

正方体

球体

圆锥体

棱锥体

1．正方体有______个顶点，经过每个顶点有_______条棱，这些棱长都(填“相等”或“不等”)。

2．假如我们把笔尖看作一个点，当笔尖在纸上移动时，就能画出线，说明了点动成________;

时钟秒针旋转时，形成一个圆面，这说明了线动成_____;三角板绕它的一条直角边旋转一周，形成一个圆锥体，这说明了面动成________

3．.棱锥的侧面都是由________形构成，棱柱的侧面都是由_______形构成。

4如下面的图形，是由（）旋转形成的

5、如下面的图形，旋转一周形成的的图形是（）

6、图中的的几何体由几个面围成，面与面相交成几条线？它们是直的还是曲

的？

7.如图，说出下列各几何体的名称，哪些可以由平面图形的旋转得到?

四、反馈检测

1. 包围着几何体的是__________，面与面相交形成__________，线与线相交形成

__________.

2. 点动成__________，线动成__________，面动成__________.

3.将如图的Rt△ABC绕直角边AC旋转一周，所得几何体的主视图是〔〕

4．笔尖在纸上划过就能写出汉字，这说明了______；汽车的雨刮器摆动就能刮去挡风玻璃上的雨滴，这说明了______；长方形纸片绕它的一边旋转形成了一个圆柱体，这说明了______．

5．按组成面的侧面“平”与“曲”划分，与圆柱为同一类的几何体是( )．

(A)圆锥(B)长方体(C)正方体(D)棱柱

6．圆锥的侧面展开图不可能是( )．

(A)小半个圆(B)半个圆(C)大半圆(D)圆

7．将下面的直角梯形绕直线l旋转一周，可以得到如下图所示的立体图形的是( )．

8. 观察图中的圆柱和棱柱：

(1)棱柱、圆柱各由几个面组成?它们都是平的吗?

(2)圆柱的侧面与底面相交成几条线，它们是直的吗?

(3)棱柱有几个顶点?经过每个顶点有几条棱?

9图中的立体图形是由哪个平面图形旋转后得到的？请用线连起来.

五、课后反思

下面有编号Ⅰ～Ⅸ的九个多面体．

(1)如果我们用V表示多面体的顶点数，E表示多面体的棱数，F表示多面体的面数．请

分别数一下这些多面体的V，E，F各是多少?

(2)想一想，V，E，F之间有什么关系?

①面数F是否随顶点数V的增大而增大?

答：____________________________________________________________；

②棱的数目E是否随顶点的数目V的增大而增大?

答：____________________________________________________________；

③V＋F与E之间有何关系?

答：____________________________________________________________．

立体构成要素点线面体

立体构成的基本形态要素---点、线、面、体 一、点的构成 1、造型中的点具有相对性。 2、点的构成方式很多，但点独立存在的构成少，多数情况下会存在其他形态要素。 3、点的视觉情感及特征 点的特征： a.与环境相比较，体积小 b.长度、宽度、高度近似 点的作用： a.起某种稳定图式、造型的作用 b.创造视觉焦点 c.创造运动感：设计作品中点的动感通常源于点的集群关系和点 与背景的图底关系。 二、线材的构成 1、线的形态与感情象征 直线与曲线是构成线的两大系统，也是决定一切由线构成的形的基本要素。一般来说，直线表示静，曲线表示动。 直线是一种无机线，它具有冷淡而坚强的表现力。其中垂直线具有生命、尊严、永恒、上升、下落等感情象征；水平线趋向于表示平静、安定、向上的感情象征；斜直线意味着运动、积极、阳性等感情色彩；向下的斜直线则有危险、消极、阴性等感觉特质。而曲折线则表示不安的象征性联想。

2、材料的连接点称为节点，节点有三种 滑节——可以在接触面上自由滑动或滚动。 铰节——像铰链一样可以上下左右旋转，但不能移动，具有各方向受力的特性。刚节——完全固定死的。 线材构成中，线材大致可分为软质线材(又称拉力材)和硬质线材(又称压缩材)两大类。 软质线材包括棉、麻、丝、绳、化纤等软线，还有铁、钢、铝丝等可弯曲变形的金属线材；硬质线材有木、塑料及其他金属条材等。 (1)软质线材的构成 利用棉、麻、丝、化纤等软线、软绳。在构成中，按意图制作造型框架。其结构可选用正方体、三角柱、三角锥、五棱柱、六棱柱等造型;也可采用正圆、半圆或渐伸涡线形等、并在框架上面竖立支柱，以小钉为连点进行连接构成。 (2)硬质线材构成 木条、金属条、塑料细管、玻璃柱等线材均可用以组合而成为立体造型。在构成前，先确定好支架。构成后，部分撤掉，只保留硬质线材构成的部分。 常见的造型方法有： a．垒积构造 只把材料重叠起来做成立体的构造物，叫做累积形式的构成。 在制作时应该注意： (1)接触面过分倾斜易引起滑动；整体的重心若超过底部的支撑面则 构造物将因失去平衡而倒塌。 (2)与用线材做立体构成—样，不要忘记使空隙大小具有韵律。 (3)作为垒积构造的变形，可以在结合部施以简单的防滑处理(如缺口 等)，这样将出现更多的变化。

绘画中的点线面教案

课题:绘画中的点线面 课时:第1课时 课型:欣赏课 授课对象:初中一年级 教材分析:本课的课程内容要求学生通过对点.线.面造型艺术的欣赏.体验与感受，能对点.线.面有进一步的了解，并学会用点线面进行造型设计来表达自己的“感觉”，但“感觉”能否表现呢？又如何表现呢？这一系列问题要求教师必须做出各种尝试。因此，结合本课程内容及作业要求，针对一年级学生具有好奇心强，思维活跃，富于想象力的特点，教师精心设计教学环节，以学生为主体，在《美术课程标准》新理念的指导下开展本课的教学活动。 教学目标； 通过自然界和艺术作品中的形象造型设计的范例，提高学生的审美能力，设计能力，表现能力，形成基本的学术素养。 1.知识和技能目标：通过点.线.面的心理感受，视觉美感.形式美感的赏析，引导学生认识点.线.面是基本的造型艺术语言之一。并学会用各种工具和表现手段.形式及心理情感表现的美感。 2.过程和方法目标:相关图片赏析，启发引导，自主创作。 3.情感态度和价值观目标：人的情感是丰富多彩的，但它是可以用自然界的事物把它表现出来，同样用几何形体也能表现我们的内心世界。

教学重点：用点.线.面进行造型设计，感受联想来表达内心的情感，以及学会用点.线.面来设计出精美的图片。 教学难点：对点线面的了解并不是绝对的尝试用点.线.面来表现抽象情感，并能积极自主的发散性思维引导。 教学方法：欣赏.解读.演示.练习. 1.教法：放映关于点.线.面的相关图片请学生们欣赏并思考。结束后，在黑板上做示范，运用点.线.面.色块来表达某一情感或事物，并请同学进行设计构思创作。 2.学法：通过对图片的欣赏，发挥想象力，运用点线面等在画纸上进行大胆尝试。 教具准备:多媒体课件. 相关图片 学具准备：图画纸.各种笔.尺.圆规等。 教学过程： 一：组织教学：（1分钟）请同学们准备好学具，先思考有关用点. 线.面等做成的画面，并在纸上表现出来。 二：引入新课：（2分钟）开头语：同学们面对自然界.生活中的各种现象，可以用最概括的绘画语言.最简练的表现手段表达，你们想过没有？是什么？那你们尝试过用简单的几何形体来表现过自己的内心世界吗？你们在网上看到过用简单的几何形体做的图形会运动吗？ 三：讲授新课：（25分钟） （一）：相关图片赏析

数学人教版七年级上册点线面体教学设计

点、线、面、体教学设计 黑龙江省绥化地区明水县第五中学纪洪光 一、内容和内容解析： 1、内容:点、线、面、体的概念，点、线、面、体之间的关系. 2、内容解析：点、线、面、体的概念是图形与几何的基本概念，具有高度的抽象性，又是对图形类别的基本划分，具有高度概括性.点线面体的关系揭示了图形由简单到复杂，由一维到三维的演变过程。蕴含了“具体→抽象→具体”的认知方法。 二、教学目标 知识与技能:了解点、线、面、体的概念及点线面体之间的关系 过程与方法：学生经历点、线、面、体的演变过程，建立空间观念，初步形成几何直观能力，发展形象思维和抽象思维。 情感态度与价值观：积极参与数学活动，培养爱国主义情怀。 三、教学支持分析： 根据内容特点，结合学生的认知规律，借助实物模型和多媒体（ppt课件，视频，音频，动画）辅助教学。实现教学媒体与教学内容，教学目标的有效融合。课前播放《蜗牛》“…我要一步一步往上爬，小小的天流过泪和汗，总有一天我有属于我的天”;课程结束后播放《阳光总在风雨后》，激励学生，相信自己。（信息技术与数学教学的融合点之一） 课件制作软件：PowerPoint2013,几何画板，爱剪辑 说明：部分素材来自网络。 四、教学过程设计： （一）导入新课：（ppt2） 欣赏烟花燃放的视频，点线面体组的画卷，从而导入新课。 师：板书4.1.2 点、线、面、体 （设计意图:言简意赅，富有哲理性，体现了本节的内容。） 师：接下来，看看这节课我们要达成的目标： （二）展示学习目标，重点，难点(ppt3)

师：投影学习目标 生：齐读，体会学习目标的要求 师：板书(一) 点、线、面、体的概念 （二）点、线、面、体的关系 （设计意图：学生学习目标明确，针对性强。黑板上呈现本节的内容，条理清晰） （三）温故知新(ppt4) 师：投影问题; 如图所示，长方体有几个面？面和面相交的地方形成 了几条棱？棱和棱相交成几个顶点？ 生：观察图形，思考答案。并说出答案。 师：结合实物模型讲解，教学生分析方法，比如当有一个面水平时，水平棱有八条，竖直的棱有四条，共有十二条棱，体现分类的思想。 （设计意图：检查学生对知识的掌握情况，同时体现了具体→抽象→具体的认知过程。讲授解决问题的方法。） 师：这是一个几何体，下列图形，你能说出它们的名称吗？ （四）识别图形（ppt5） 学生说出几何体，教师给出对应的答案。 师：这些图形都是几何体，几何体简称体。 板书体 （五）点、线、面、体的概念（ppt6） 问题1 点、线、面、体的概念 师：展示模型：圆锥，圆柱。球，长方体，正方体 说出下列各图形的名称

点线面体导学案 王晓宇

4.1.2 点、线、面、体学案 襄州四中王晓宇 学习内容 七年级上册课本第121页至第123页． 学情分析： 由于本章内容是整个初中阶段的第一章几何，学生普遍没有基本的几何概念，特别是对立体几何更是没有接触过，对于几何的运动性更是没听说过，所以，本节课就要合理地利用好多媒体，让学生能更直观地学习相关知识，同时，利用多媒体的技术，充分调动学生的学习积极性，提高学生的学习效率。 学习目标 1．知识与技能 （1）了解几何体、平面和曲面的意义，能正确判定围成几何体的面是平面还是曲面； （2）了解几何图形构成的基本元素是点、线、面、体及其关系，能正确判定由点、线、面、体经过运动变化形成的简单的几何图形． 2．过程与方法 经历探索点、线、面、体的关系的数学活动过程，提高空间想像能力和抽象思维能力，发展运动变化的观念． 3．情感态度与价值观 经历本节课的数学活动过程，养成主动探索、求知的学习态度，激发学生对数学的好奇心和求知欲，体验数学活动中小组合作的重要性． 学习重点：正确判定围成立体图形的面是平面还是曲面，探索点、线、面、体之间的关系． 学习难点：探索点、线、面、体运动变化后形成的图形． 多媒体运用：在导入新课时，运用多媒体向学生展示丰富的图形世界，给他们带来直观感受，让他们观察思考.判断.体会图形的世界的现实性和艺术性，激发学生的求知欲和学数学的兴趣。由于学生以平面好理解，而对曲面不好理解，所以课件展示图片让学生感知面有平的面和曲的面，线有直线和曲线，形象而又直观。本节课的重、难点点就是探索点、线、面、体运动和它们之间的关系，所以，在教学中，充分利用多媒体的作用，让学生直观地认识到运动、认识到它们之间的关系。 学习方法：探究、归纳与练习相结合 学习过程 一、创设情境导入新课 课件展示平静的湖面，下雨，湖中的小船还有喷泉，繁华的城市的建筑物让同学们感受到生活中的点..线.面.体（导入新课板书课题《点.线.面.体》） 设计意图：运用多媒体向学生展示丰富的图形世界，给他们带来直观感受，让他们观察思考.判断.体会图形的世界的现实性和艺术性，激发学生的求知欲和学数学的兴趣。学生通过观察.抽象归纳学会把现实情境中的物体抽象成几何图形.感悟知识的生成和积累。 二、探究新知 活动一、几何体的概念． （1）长方体是一个几何体，我们学过的正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、?棱锥等都是几何体． （2）问题：观察长方体和圆柱体，说出围成这两个几何体的面有哪些？这些面有什么区别？ 活动二、点.线面 先由小组合作交流然后课件展示 1、面的分类:面和面． 2、让学生观察教具中的面与面相交的地方形成线（着重观察长方体和圆柱） 学生总结; （线分为直线和曲线） 3、让学生观察教具中长方体中线与线的交点有几个？ （课件展示图片让学生感知面有平的面和曲的面，线有直线和曲线） 为什么在地图中北京只是一点，而在另一个图形中北京几乎占整个版面(课件展示) 学生总结：点无大小 4点、线、面、体与几何图形关系． 课件展示图形让学习感知点.线.面.体与几何图形的关系 最后总结：多姿多彩的图形都是由点.线.面.体构成的。点是构成图形的基本元素。 5课件展示图片让学生感知点动成线线动成面面动成体 从运动的观点看. 点动成线线动成面面动成体 三、归纳小结 你学到了什么？ 四.跟踪训练 1、填空题． (1)人在雪地上走，他的脚印形成一条_______，这说明了______的数学原理． (2)体是由_______围成的，面和面相交于_______，线和线相交于______． (3)点动成________，线动成______，面动成_______． 2、选择题． 将三角形绕直线L旋转一周，可以得到如下图所示立体图形的是（）． A B C D 3、解答题． (1)如下图中的棱柱、圆锥分别是由几个面围成的？它们是平面还是曲面． (2)如下图，第二行的图形绕虚线旋转一周，便能形成第一行的某个几何体，用线连一连．

点线面体的教学设计

图形中的点、线、面教学设计教学目标 知识与技能： 1．认识几何图形的基本元素：点、线、面；点、线、面也都是几何图形； 2．认识到点动成线，线动成面，面动成体； 过程与方法： 经历从几何体中寻找点、线、面的过程，借助实例，通过触摸、观察、实验、举例等数学活动，便抽象为具体，发展抽象思维能力； 情感态度价值观： 提高热爱几何的热情，激发学习兴趣． 教学重、难点 重点：理解几何体的基本要素以及点、线、面、体之间的关系． 难点：是对“点动成线、线动成面、面动成体”的理解． 教学用具 纸盒、多媒体 教学方法 探究式

教学活动设计 一、复习提问 1．谁能说：几何是研究什么的？ 由学生答出：几何是研究图形的形状、大小、位置的． 2．几何图形是怎么得的？ 由学生答出：对许多物体，不管它们的其他性质，只注意它们的形状、大小、位置就得到各种几何图形． 二、观察思考 1．使学生了解组成几何图形的基本元素是点、线、面，并能有一初步认识． (1)首先教师准备一些教具，如长方体、圆柱体、足球以及要求学生所作的纸盒(不必粘合) 教师手拿没有粘合或长方体纸盒的剪好的纸片做演示．说明，如何折过来就可得到一个长方体纸盒．教师问学生，这个纸盒是什么形状？ 答：是长方体． (2)再带领学生看纸盒，问它是由什么图形围起来的？ 学生答出由许多长方形围起来的．

教师说明包围体的这些长方形称为面，都是平的．圆柱有两个底面，也都是平的，一个侧面，是曲的．球有一个面，也是曲的． (3)再看纸盒，问两个面之间交接的地方是什么图形呢？ 学生答出是线(小学时学生学过直线，所以他们可能答是直线．教师说明，现在我们只叫它线．至于叫什么线，以后再说) 教师再问，这个长方体上有多少条线？ 学生答出有12条． 教师讲清，面和面相交接的地方形成线，长方形中的线是直的．圆柱两个底面与侧面交接处，形成两条线，是曲的． (4)再看纸盒．问两条线相交的地方是什么图形呢？ 学生答出是点． 教师说明，线与线相交成点，点无大小． 小结一下，且写在黑板上 体由面围成，面有平的和曲的之分． 面和面交成线，线也有直的和曲的之分． 线和线交成点，点无大小． 三、一起探究

人教版七年级数学上册：4.1.2 点、线、面、体 学案(含答案)

完成情况 点、线、面、体 班级：_____________姓名：__________________组号：_________ 一、回顾旧知 1．观察长方体模型，这个长方体有几个面？面和面相交成了几条线？线和线相交成几个点？ 2．请你根据实际生活的例子，想象灿烂的星空，有流星划过天际；汽车雨刷；长方形绕它的一边快速转动；并回答：这些图形给我们什么样的印象？ 二、新知梳理 1．请说一说点、线、面、体等概念。把自己的理解表达出来。 2．找出生活中更多的包含平面、曲面、直线、曲线、点的例子。 3．观察长方体和圆柱体，说出围成这两个几何体的面有哪些？这些面有什么区别？ 学前准备

三、试一试 1．人在雪地上走，他的脚印形成一条_______，这说明了_____的数学原理；体是由______围成的，面和面相交于_______，线和线相交于_______；点动成_________，线动成______，面动成_______。 2．如下图，第二行的图形绕虚线旋转一周，便能形成第一行的某个几何体，用线连一连。 通过预习你还有什么困惑？ 一、课堂活动、记录 你知道点、线、面、体之间的关系了吗？ 二、精练反馈 A 组： 1．汽车上的雨刷把玻璃上的雨水刷干净属于的实际应用是（ ） A ．点动成线 B ．线动成面 C ．面动成体 D ．以上答案都不对 2．将三角形绕直线L 旋转一周，可以得到如下图所示立体图形的是（ ）。 A B C D B 组： 课堂探究

3．棱柱、圆锥分别是由几个面围成的？它们是平面还是曲面？ 小明用如图所示的胶滚沿着从左到右的方向将图案滚涂到墙上，下列给出的4个图案中，符合图示滚涂出的图案是（）。 三、课堂小结 通过这节课的学习，你有哪些收获？ 四、拓展延伸（选做题） 用数学的眼光去观察问题，你会发现很多图形都能看成是动静结合，舒展自如的。下面所给的三排图形都存在着某种联系，用线将它们连起来。

七年级数学上册第四章几何图形初步4_1几何图形4_1_2点线面体导学案无答案新版新人教版

4.1.2 点、线、面、体 德育目标：养成主动探索求知的学习态度，激发学生求知欲，体验数学活动中小组合作的重要性。学习目标：1、了解几何体、平面和曲面的意义，?能正确判定围成几何体的面是平面还是曲面。 2、了解几何图形构成的基本元素是点、线、面、体，由点、线、面、体经过运动变化形成简单 的几何图形 学习重点：正确判定围成立体图形的面是平面还是曲面，探索点、线、面、?体之间的关系。 学习难点：探索点、线、面、体运动变化后形成的图形。 学习过程：一、课堂引入：（知识复习） 几何图形包括和。 有些几何图形（、等）的各部分，它们是平面图形。 有些几何图形（、等）的各部分，它们是立体图形。 二、自学教材学生自学课本 P199探究3 1、出示一个长方体模型，请同学们认真观察． 2、提出问题：这个长方体有几个面？面和面相交成了几条线？?线和线相交成几个点？ 三、例题分析 几何体的概念。 （1）长方体是一个几何体，我们学过的正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、?棱锥等都是几何体。（2）提出问题：观察长方体和圆柱体，说出围成这两个几何体的面有哪些？?这些面有什么区别？ 4、给出面的分类。 通过对上面问题的解决，给出面的分类：平面和曲面。

师生互动：请学生给出观察结论：点动成线，线动成面，面动成体． 教师对学生的回答给出正面评价。教师应充分调动学生的想像能力，鼓励学生进行深入探究。 5、点、线、面、体与几何图形关系。 学生阅读课本P119内容，总结出点、线、面、体与几何图形的关系。 四、当堂练习

3、写出符合要求的图形名称分类。 圆、正方形、长方形、正方体、长方体、球体、三棱柱、圆台、圆锥、线段、射线、角、平行四边形、三角形、梯形、圆柱 平面图形： 立体图形： 小结归纳：

《点线面》教案备课讲稿

《点线面》教案 教学目标： 1、感受生活中点、线、面独特的艺术语言及艺术魅力，培养艺术感知能力和造型表现能力。 2、恰当地运用点、线、面的组织原理进行造型活动，培养学生创新思维能力和耐心、细心的学习习惯。 3、体验生活中的点线面给人们带来的美感，培养学生热爱生活的情感。 教学重点： 让学生感受生活中点、线、面独特的艺术魅力，培养其艺术感知能力和造型表现能力。 教学难点： 恰当地运用点、线、面的艺术语言进行造型活动，点线面的使用要富有变化，有节奏感，不能单一。 教学过程： 一. 导入 1. 通过欣赏点、线、面的抽象画来揭示课题。 2. 引：在一个宁静的夜晚，画室里正在上演精彩的表演。我们快去看看！ 3. 旁白：看！舞台的布幕徐徐拉开了。第一场表演是……。 4. 设问：你能给这幅画起个名字吗？这幅画里有哪些形状？(各种各样的点、线、面) 5. 让学生直观地在视觉和听觉等各方面都得到亲身感受,激发学生的学习热情和创作欲望，开拓学生的思路。 二. 教授新课 1介绍点、线、面的知识。 引：什么样叫点、什么叫线、面呢！？我们一起去探索。 设问:地球在宇宙中,显得怎样？ 2.设问:当我们在近处看地球时,它显得怎样? 动画课件直观地了解点、线、面的知识。 3.学习运用小物品制作点、线、面的方法；认识抽象画给人们带来特殊的视觉美感，陶冶学生的审美情趣。

引：画室里的表演正在进行着，请小朋友们跟着老师一起去欣赏。知识点：点、线、面是美术世界的基本元素、真正主人。 设问：看着画面，你有什么感觉？你觉得画家在画的时候，在想些什么呢？画家是用什么方法什么材料画出这幅画？我们还能用哪些不同的方法、材料来画画呢？ 4.帮助学生明确课堂学习任务。 引：通过今天的学习，我们又增强了知识，让我们一起走进美术世界，去探索、去创造！ 设问：欢迎你们来到美术世界，走上点、线、面的表演舞台，你给大家带来了什么表演？ 请把你的想象用画面的形式表现出来 三. 布置作业实践活动的细则，说明评价方法 1.教师：选择一张你喜欢的彩色纸作为“舞台”，用课桌上现有的材料，组织“点、线、面”进行“表演”，先排列好，再把画面粘贴固定。我们将对作业分别评出：创新奖、制作奖、评价奖。 2.各类废弃物品。 3.几何形的彩色卡纸。 四. 作业评价 引：这里的每一场舞会都是各具特色，我们一起来欣赏。 说说你的感想，并且为这些美丽的画面取名字。 五. 拓展 1.欣赏：名师名画 A.教材中德国女画家—──康定斯基的《绘画201号》 B.凡高----《向日葵》《抽象画》 C.照片《故宫城门》《现代城市》 2.日常用品A.《时钟》B. 《自行车》C. 《雨伞》D. 《建筑物》扩展学生的视野。 3.儿歌:你是点,我是线,变大以后就成了面,描画美好的画面。

点线面体教学设计范文

点线面体教学设计范文 篇二：点线面体教学设计 知识技能： 1、进一步认识点线面体的几何意义 2、加深对点线面体之间的关系的理解 数学思考 1、通过探究点线面体 之间的关系，培养学生从数学的角度观察事物、分析现象、猜想规律，验证结论的习惯和能力，初步培养学生的抽象概括能力，发展学生的形象思维能力。 2、通过从静态、动态两种角度探究点线面体之间的关系，发展学生从不同角度挖掘事物之间联系的能力。 3、通过探究点线面体之间的关系以及线、面的不同类型，初步感知分类与划归的数学思想在几何中的应用通过对点线面体之间的关系的认识，使学生经历从现实世界抽象出几何 图形以及用几何图形描述现实世界，解释生活现象的过程，构筑具体----抽象----具体这一数学发现与应用的循环。 1、通过联系实际认识点、线、面、体，让学生体会到数学与现实生活的密切联系；

2、通过组织学生的数学活动，发展学生与他人合作交流的意识 对点、线、面、体及它们之间的关系的认识 对“点动成线”“线动成面”“面动成体”以及“点线面体之间的关系”的理解 练一练 1.粉笔盒的形状类似于正方体，它是由 6个面围成的，有 8个顶点，经过每个顶点都有 3条棱。 2.点动成—线，线动成—面，面动成—体。 3.面与面相交成—线，线与线相交成—点。 4.奥运会场面图片由基本元素—点组成。 5观察右边的图形，并填空：棱是由____和_____相交而成的；顶点是由_____和_____相交而成的。 想一想观察下面运动的图片,分别可以看成什么几何图形在运动? 它们的运 动又形成了什么几何图形呢? 连一连请将下列的平面图形和将它如图绕虚线旋转 一周后得到的几何体连线. 点、线、面、体 点—— 构成图形的基本元素直线 无大小 几

人教版初一数学上册4.1.2《点线面体》.1.2《点、线、面、体》教学设计

4.1.2《点、线、面、体》教学设计 天津滨海新区大港第七中学朱丽萍 【教材分析】 本课题是人教版义务教育教科书——七年级上册第四章《几何图形初步》中的图形的进一步认识，这节课所要学的是点线面体之间的关系和它们与几何图形的关系，为发展学生的空间思维创造条件。 【学生分析】 七年级的学生，从认知的特点来看，爱问好动、求知欲强，想象力丰富，对实际操作活动有着浓厚的兴趣，对直观的事物感知较强，是形象思维向抽象思维逐步过渡阶段，他们希望得到充分的展示和表现，因此，在学习法上，充分发挥学生在教学中的主体作用，采取让学生自己观察、认真思考，大胆动手操作，进行小组间的讨论和交流，利用课件自主探索等方式，激发学习兴趣，让学生主动地学习。 【设计思想】 通过生活中的“点、线”的存在自然引申“体”的存在，按照“体面线点”的结构顺序展开教学。观察大量实物，在观察、实践中感知几何图形是由点、线、面、体组成（静态），但怎么组成几何图形，学生还没很强的空间思维，因此利用多媒体课件的优势，演示空间图形的旋转动画，动态展示点线面体之间的关系，生动地展现图形间的转化，提高课堂效率，发展学生空间图形的想象力。 创设情境，提出问题，将抽象概念融于大量生动、形象、具体的实例中，有助于的概念的理解，引导学生在“做数学”活动中自己探索获得知识技能，掌握基本的数学思考方法，主动动手操作。认识图形，发展空间观念。 【教学目标】 一、知识与技能 1．通过丰富实例，认识体、面、线、点的概念；理解点、线、面、体之间的关系。 2．发展学生抽象概括能力和形象思维的能力。 二、过程与方法 1．通过对点、线、面、体的认识，使学生会用图形描述现实世界，解释现象。 2．培养学生操作、观察、分析、概括等能力，同时渗透转化、类比、变换的思想。 3、经历探索点、线、面、体的关系的数学活动过程，提高空间想像能力和抽象思维 能力，发展运动变化的观念． 三、情感态度与价值观 1．通过现实世界中各种常见的几何体及情景，认识数学与现实生活的密切联系。 2．在各种数学活动中发展学生与他人交流、合作的意识。

点线面体解析

4.1.2 点、线、面、体 教学目标： 知识技能： 1、进一步认识点、线、面、体的概念。 2、理解点、线、面、体之间的关系。 数学思考： 1、通过学习点、线、面、体之间的关系，进一步发展学生抽象概括能力和形象思维的能力。 2、通过学习点、线、面、体之间的关系，发展学生从不同角度体现事物 之间联系的能力。 解决问题：通过对点、线、面、体的认识，使学生经历用图形描述现实世界的过程，用它们来解释生活中的现象。 情感态度： 1、通过联系现实世界中各种常见的几何体及情景，让学生认识数学与现实生活的密切联系。 2、在各种数学活动中发展学生与他人交流、合作的意识。 教学重点：点、线、面、体之间的关系。 教学难点：点动成线、线动成面、面动成体的活动。 教具：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等模型；与教材配套的各种挂图。学具：铅笔、三角尺。 教学过程：

得出“面动成体”的结论。 学生经小组交流，举出例子。如把三角尺绕其一边旋转形成几何体、一摞壹元硬币…… 学生想象回答。 教师根据学生回答问题的情况，给予完善。（可借助模型或课件演示平面图形绕轴旋转一周得出立体图形的过程）。 在活动 2 中教师应重点关注： （1）发展学生的空间想象能力； （2）学生与他人交流、合作的意识。对数学活动中的困难，并有克服困难和学好数学的自信心．认识通过观察、实验、类比、推断可以获得数学猜想。体验数学活动充满探索性和创造性。 进一步认识平面图形与立体图形之间的关系，初步建立空间观念，发展学生的空间想象能力。 [活动3] 问题 （1）为什么在地图①上，北京只是一个点，而在地图②上北京几乎占了整个版面？ （2）观察下面的图片，你有什么发现？构成几何图形的基本元素是什么？ 学生先独立思考，后分小 组讨论、交流．回答问题，小 组成员之间可以相互补充、纠 正。 教师列举更多的生活实 例说明“点”的意义。 学生观察图片。表述观 点。 教师参与学生的交流活 动，总结出几何图形都是由 点、线、面、体组成的，点是 构成图形的基本元素。 通过丰富的实例 说明“点”是没有大小 的，它是抽象后的概 念。 从集合的角度来 看，点是组成图形的最 基本的元素。线、面、 体都可以看成是由点 组成的。通过大量的生 活实例感受几何图形 的构成，发展几何直 觉。

七年级数学导学案 第四章 点、线、面

七年级数学导学案班级姓名编号 NO:0403 主备人：编写日期: 授课日期: 课题：点、线、面、体 【展示课】（时段：正课时间： 60 分钟） 学习主题： 1.了解点、线、面、体的概念； 2.能体会“点动成线”“线动成面”“面动成体”过程.

训练课（时段：晚自习，时间：30分钟） “三层级能力达标训练”自评：师评： 基础题： 1．图中，第一行的图形绕虚线旋转一周能形成第二行中的某个几何体的示意图，用线连接。 2.用平面去截下列几何体，不能截出三角形的是（） A.长方体 B.三棱锥 C.圆柱 D.圆锥 3.天空中的流行划过后留下的轨迹，给我们以线的形象，其中的原理是（） A.线动成面 B.面动成体 C.点动成线 D.点动成面 4.图形是由、、 构成的，与相交得到线， 与相交得到点。 5.加入把笔尖看做一个点，当笔尖在纸上移动时，就能画出线，说明了，秒针旋转时形成了一个圆面，这说明了，长方形绕它的一边旋转，形成了一个圆柱体，这说明了。 发展题： 6.一个长方形的长为4cm，宽为3cm，以某一边为轴旋转一周得到的圆柱体，试判断以哪一边为轴所得的圆柱体的体积较大？通过计算说明你的判断。提高题： 7.如图是一个正六棱柱，它的底面边长都是2cm，侧棱长是5cm，观察这个棱柱，回答下列问题： （1）这个六棱柱共有多少个面？它们分别是什么形状的？ 哪些面的形状、面积完全相同？侧面的面积是多少？ 由此你可以猜想得出n棱柱有多少个面？ （2）这个六棱柱一共有多少条棱？它们的长度分别是多少？ （3）这个六棱柱一共有多少个顶点？ （4）通过对棱柱的观察，你能说出n棱柱的顶点数与n的关系及棱的条数与n的关系吗？ 【培辅】 培辅内容： 教师签名：（） 学习心得或教学反思： 审核人：日期：

点线面体学案

1.2点、线、面、体 学习目标： 1、进一步认识点、线、面、体的概念，理解点、线、面、体之间的关系。 2、探究立方体的点、线、面及立方体的展开图。 3、经历用图形描述现实世界的过程，用它们来解释生活中的现象。 重点：点、线、面、体之间的关系。 难点：立方体的展开图。 教学过程： （一）读一读，做一做 观察课本给出的三幅图片，自学课本第10页，回答下列问题。 （1）从图片上你发现了什么？ （2）天上一颗颗闪烁的星星给我们以的形象，划过夜空的流星给我们以的形象，打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个 的形象；当宾馆的旋转门旋转时，给我们以的形象；（3）是组成图形的基本元素。 （4）线可以是直的，也可以是的，面亦如此。 （5）请你举出生活中类似的实例。 （6）用铅笔尖在白纸上移动，你有什么发现？ （二）实验与探究 （1）观察立方体的包装盒，它是由哪些面组成的？这些面的大小和形状都相同吗？ （2）两个面的相接处是什么图形？ （3）棱与棱的相接处是什么图形？ （4）数一数立方体有几条棱？几个顶点？ （5）：将包装盒沿它的某些棱剪开，并铺在平面上，得到怎样的图形？如果展开的方法不同，得到的图形相同吗？动手做一做，然后画一画，你能得到多少种平面图形？与同学交流。 小结

（6）试一试：课本11页，图1-16，下列那个图形是立方体的包装盒的展开图？ （7）练一练：课本P11，第2题，P12，第4题。 （三）挑战自我 试一试:（1）用剪刀将一张正方形的纸片剪去一个角？剪一刀后，能使纸上剩6个角吗？ （2）一个立方体共有6个面，如果将这个立方体用刀切成两块，被分成的两个几何体共有几个面？如果切成的两块共有10个面，怎样切？用萝卜、马铃薯或橡皮泥做成的立方体试一试。 小结： （四）比一比

七年级数学点线面体教案

4.1.2 点、线、面、体 松树中学汪照瑞 教学内容 课本第121页至第123页。 教学目标 1．知识与技能 （1）了解几何体、平面和曲面的意义，?能正确判定围成几何体的面是平面还是曲面； （2）了解几何图形构成的基本元素是点、线、面、体及其关系，?能正确判定由点、线、面、体经过运动变化形成的简单的几何图形。 2．过程与方法 经历探索点、线、面、体的关系的数学活动过程，提高空间想像能力和抽象思维能力，发展运动变化的观念。 3．情感态度与价值观 经历本节课的数学活动过程，养成主动探索、求知的学习态度，激发学生对数学的好奇心和求知欲，体验数学活动中小组合作的重要性。 重、难点与关键 1．重点：正确判定围成立体图形的面是平面还是曲面，探索点、线、面、?体之间的关系是重点。 2．难点：关于体、面、线、点关系的教学是本课的难点。 3．关键：让学生在现实情境中，进行探究学习是本节课的关键。 教具准备 教师准备：多媒体课件，细绳。 学生准备：硬币，三角板。 教学过程 一、引入新课 1．出示一个长方体模型，请同学们认真观察。 2．提出问题：这个长方体有几个面？面和面相交成了几条线？?线和线相交成几个点？

二、新授 1．经过学生的独立思考，然后在小组中进行交流，在小组讨论中，?评价并修正自己的结论。 2．各小组学生公布自己小组讨论后的结论。 教师活动：在探索问题解决方法和小组讨论过程中，教师进行巡视，及时给予指导，教师对学生分布的答案作鼓励性评价。 3．点、线、面、体的概念。 （1）、长方体是一个几何体，我们学过的正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、?棱锥等都是几何体。 （2）、提出问题：观察常见的几何立体图形，说出围成这两个几何体的面有哪些？?这些面有什么区别？ （3）、给出面的分类。 通过对上面问题的解决，给出面的分类：平面和曲面。 教师活动：板书：平面和曲面。 (4)、探讨线的概念及分类 a、用幻灯机放映图片，让学生观察。 b、提出问题：通过观察，你得出什么结论？ 4、探讨点、线、面、体之间的关系 （1）、（通过多媒体展示）进行小组讨论中，综合小组中每个同学意见，得出观察图片发现的结论。 （2）、在小组活动中，教师指导学生看课本第121～122页内容，?得出观察图片能发现的结论。 师生互动：请学生给出观察结论：点动成线，线动成面，面动成体．教师对学生的回答给出正面评价，并把学生观察结论板书。 注：在探索问题解决的方法活动过程中，教师应充分调动学生的想像能力，鼓励学生进行深入探究。 思考课后思考题，让学生进行小组讨论，教师给以必要的指导，然后得出合理的解释。 5、练习：课本122页练习1、2题

《点、线、面、体》教学设计

《点、线、面、体》教学设计 【教材分析】 本课题是人教版义务教育课程标准试验教科书——七年级上册第四章《多姿多彩的图形》中的图形的进一步认识，这节课所要学的是点线面体之间的关系和它们与几何图形的关系，为发展学生的空间思维创造条件。 【学生分析】 七年级的学生，从认知的特点来看，爱问好动、求知欲强，想象力丰富，对实际操作活动有着浓厚的兴趣，对直观的事物感知较强，是形象思维向抽象思维逐步过渡阶段，他们希望得到充分的展示和表现，因此，在学习法上，充分发挥学生在教学中的主体作用，采取让学生自己观察、认真思考，大胆动手操作，进行小组间的讨论和交流，利用课件自主探索等方式，激发学习兴趣，让学生主动地学习。 【设计思想】 通过观察大量实物，在观察、实践中感知几何图形是由点、线、面、体组成（静态），但怎么组成几何图形，学生还没很强的空间思维，因此利用多媒体课件的优势，演示空间图形的旋转动画，动态展示点线面体之间的关系，生动地展现图形间的转化，提高课堂效率，发展学生空间图形的想象力。 【教学目标】 一、知识与技能 1．通过丰富实例，认识体、面、线、点的概念；理解点、线、面、体之间的关系。 2．发展学生抽象概括能力和形象思维的能力。 二、过程与方法 1．通过对点、线、面、体的认识，使学生会用图形描述现实世界，解释现象。 2．培养学生操作、观察、分析、概括等能力，同时渗透转化、类比、变换的思想。 三、情感态度与价值观 1．通过现实世界中各种常见的几何体及情景，认识数学与现实生活的密切联系。【教学重点、难点】 重点：认识点、线、面、体的几何特征，感受它们之间的关系。 难点：点动成线、线动成面、面动成体的活动体现。 【教学方法】 观察法、操作法、讨论法、多媒体电化教学。 【教学准备】 圆柱、长方体模型，课件。 【教学过程】

4.1.2点线面体教案

4.1.2 点、线、面、体 一、教学目标 1、能结合几何模型或身边环境,指出体、面、线、点，能区分平面和曲面、直线和曲线； 2、能从运动、集合的角度描述点、线、面、体的关系，并能适当的举例来说明它们的关系； 3、通过体验点、线、面、体的概念的抽象过程，能自觉运用直观感知（具体）----分析概 括（抽象）----举例阐释（具体）的认知方法完成对部分概念的结论的探究。 二、教学重点和教学难点： 重点：点、线、面、体的概念。 难点：点、线、面、体概念的抽象过程。 三、教前分析： 学生虽然已经学习了立体图形和平面图形等几何概念,对于从具体事物或实例中进行数学抽象也有了初步认识,但点、线、面、体等都是很抽象的概念,与直观感受往往存在一定差距(例如平面是无限延展的,点没有大小只代表位置),现阶段是难以理解,完整认识的.所以要让学生充分活动起来,多观察,多举例,多表达.避免将这些抽象的概念强加给学生,要让学生在积累了丰富的直观感受后自发的同化概念,接受概念的意义. 对于点线面体的关系,如“点动成线、线动成面、面动成体”等，用文字描述的结论，学生易于掌握。而结论的形成过程，需要学生观察分析、抽象概括并举例说明，对学生综合能力要求较高，也是比较困难的学习任务。教师可以先引领示范，学生获得体验后再进行模仿式探究。 四、教学方法：启发式，探究式，练习式。 五、教学媒体：多媒体 六、教学过程：

问题 4 利用长方体、圆柱、棱柱、棱

三追本溯源，探究本质 问题8 观察电视屏幕上的画面、大型团你能发现构成几何图形的基本元素是什

七布置作业 设计一张小报 题目：《我是小小建筑师》 板书设计: 题目:点、线、面、体

点线面位置关系导学案

空间图形的基本关系与公理“导学案 【学习目标】 1通过长方形这一常见的空间图形，了解空间图形的基本构成----点、线、面的基本位置关系； 2理解异面面直线的概念 3掌握空间图形的四个基本公理 【重点难点】 4个公理和等角定理及应用，难点是空间图形的位置关系4个公理的归纳【知识链接】 1平面图形是由什么最基本的图形构成的什么？它们之间有哪些位置关系？ 2本节来研究空间图形的基本构成，以及它们之间的位置关系【学法指导】 观察归纳，画图操作 【使用说明】带★的为A层学生必做题，B、C层学生选做。 学习过程： 一、自主学习 （一）空间图形的基本关系 1阅读课本22页，观察长方体，并填空 ①长方形共有个顶点，有条棱，有 _____________________________ 个表面; ②观察多面体归纳一下，空间图形通常由、、组成 2观察并归纳点、线、面之间的关系有哪些，并填空 ⑴空间中点与线的位置关系共有（记作： ） 和_____________________ （记作：）两种。 ⑵空间中点与面的位置关系共有____________________________ （记作：） 和______________________________ （记作：）两种。 （3）空间中直线与直线的位置关系共有和及 三种。 它们的定义：如下： ①这样的两直线称为平行直线，记作 _________________ ； ② __________________________ 这样的两直线称为相交直线，记作__________ ③这样的两直线称为异面直线，记作 ________ （4）空间中平面与平面的位置关系共有和

点线面体导学案_青岛版_初一_七年级

1.2《点、线、面、体》教案 一、学习目标 1、进一步认识点、线、面、体的几何意义；加深对点、线、面、体之间关 系的理解； 2、通过探究点、线、面、体之间的关系，培养学生从数学的角度观察事物、 分析现象、猜想规律和验证结论的习惯和能力，初步培养学生的抽象概括能力，发展学生的形象思维能力； 3、通过探究点、线、面、体之间的关系以及线、面的不同类型，初步感知 分类与化归的数学思想在几何中的应用。 二、学习重难点: 重点：对点、线、面、体及它们之间的关系的认识； 难点：对“点动成线” 、“线动成面”以及“面动成体”的理解。 三、教材分析：点、线、面、体是人们通过对自然世界现象的观察和生活实践 的体验抽象出来的概念，是教科书中“空间与图形”领域中最基本的概念，是学习后及内容的起点。 四、学情分析：在上一学段，学生已经接触了点、线、面、体的初步知识，本 节是对学生已有知识的总结和提高。教科书给出了流星雨、打开的扇面、商店和宾馆的旋转门等实例，引出了“点动成线，线动成面，面动成体” 这一事实，从运动的观点揭示了点、线、面、体之间的内在联系，教学中应鼓励学生找出这方面的实例，丰富学生的感受，进一步发展学生的认识。 五、学法指导：从学生熟悉的生活中的实例中感受点、线、面、体的含义，体 验他们的区别与联系。在学生与学生、学生与教师之间的交流活动中感受这些基本概念。 六、学习准备：复习上节课学过的内容，预习本节课的知识，准备一些学生熟 悉的生活中的实例，长方形的纸片。 七、学习过程： 1、课前预习： 复习上节课学过的内容，预习本节课的知识，准备一些学生熟悉的生活中的实例，长方形的纸片。 2、课上探究： 活动一：创设情境，自主学习： 夜空中点点繁星，夜幕下的激光束,蜿蜒的盘山公路，平静的海平面等等．观察实物，说出学生联想到的几何图形。（教师由情景中的问题和学生的生活素材，利用多媒体展示学生说到的几何体） 问题：上述观察到的面可以分为几种类型？线可以分为几种类型？（学生先独立思考，再交流讨论，教师对学生说到的不同分类方式给予评价）引导学生有步骤地观察、分析、归纳，通过对体的逐步解析，加深学生对点、线、面、体的认识，并从静态的结构分析中体会点、线、面、体之间的关

412点线面体练习案

练习案导学图§4.1.2点线面体 1.如图,观察图形,填空:包围着体的是______;面与面相交的地方形成______; 线与线相交的地方是_______. 2题 2.笔尖在纸上快速滑动写出了一个又一个字,这说明了_________;车轮旋转时,看起来像一个整体的圆面,这说明了_________;直角三角形绕它的直角边旋转一周,形成了一圆锥体,这说明了_____________. 3.如图,三棱锥有________个面,它们相交形成了________条棱, 这些棱相交形成了________个点. 4.如图,各图中的阴影图形绕着直线I旋转360°,各能形成怎样的立体图形? l l l 5.小明用如图所示的胶滚沿从左到右的方向将图案滚涂到墙上,下列给出的4个图案中,符合图示滚涂出的图案是( ) 6.生活中经常看到由一些简单的平面图形组成的优美图案, 你能说出下面图中的神秘图案是由哪些平面图形组成的吗? 7.将如图左边的图形折成一个立方体, 判断右边的四个立方体哪个是由左边的图形折成的.

*8.用6根火柴能摆成含有4个三角形的图形吗?有几种方法? 纠错栏:

课后巩固训练 1、把弯曲的河道改直后，缩短了河道的长度，这是因为 ； 2.如图,线段AB上有两点C、D，则共有条线段。 3．人在雪地上走，他的脚印形成一条_______，这说明了______的数学原理； 4．体是由_______围成的，面和面相交形成_______，线和线相交形成______； 5．点动成________，线动成______，面动成_______； 6．将三角形绕直线L旋转一周，可以得到如下图所示立体图形的是（） A B C D *7．变形题：往返于甲、乙两地的客车中途要停靠三个车站，有多少种不同的票价？要准备多少种不同的车票？ 纠错栏: A C D B

(人教版初中数学)点线面体

4.1.2点、线、面、体 一、教学目标： 知识技能目标： 1、进一步认识点、线、面、体的概念. 2、理解点、线、面、体之间的关系. 过程与方法目标 1、通过学习点、线、面、体之间的关系,进一步发展学生抽象概括能力和形象思维的能力. 2、通过学习点、线、面、体之间的关系,发展学生从不同角度体现事物之间联系的能力. 3.通过对点、线、面、体的认识,使学生经历用图形描述现实世界的过程,用它们来解释生活中的现象. 情感、态度、价值观 1、通过联系现实世界中各种常见的几何体及情景,让学生认识数学与现实生活的密切联系. 2、在各种数学活动中发展学生与他人交流、合作的意识. 二、教学重、难点 重点：点、线、面、体之间的关系. 难点：体会点动成线、线动成面、面动成体 三、教学过程：

上北京几乎占了整个版面？ （2）观察下面的图片,你有什么发现？构成几何图形的基本元素是什么？ 教师列举更多的生活 实例说明“点”的意义. 学生观察图片.表述 观点. 教师参与学生的交流 活动,总结出几何图形都 是由点、线、面、体组成 的,点是构成图形的基本 元素. 在活动3中教师应重 点关注： （1）学生在实际背景 中对这些抽象概念认识和 理解； （2）对几何图形和 点、线、面、体之间关系 的理解. （3）发展学生的抽象 概括能力. 从集合的角度 来看,点是组成图形 的最基本的元素. 线、面、体都可以看 成是由点组成的.通 过大量的生活实例 感受几何图形的构 成,发展几何直觉. [活动4] （1）小结. （2）3.1整节小结. 学生思考,试着独立完 成本节知识结构图.再分小 组结合其体实例进行讨 论、交流.教师启发学生从 静态、动态两个方面对点、 线、面、体之间的关系进 行总结.教师在学生总结的 总结回顾学习 内容,初步学会反 思. 鼓励学生在独 立思考的基础上.积 极的参与到对数学 问题的讨论中来,敢