高考数学平面向量及其应用习题及答案 百度文库

一、多选题1．题目文件丢失！

2．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ）

A ．||||||a b a b ?≤

B ．若a b c b ?=?且0b ≠，则a c =

C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向

D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是

5,3??-+∞ ???

3．在RtABC 中，BD 为斜边AC 上的高，下列结论中正确的是（ ）

A ．2

AB AB AC B ．2

BC CB AC C ．2AC

AB BD

D ．2

BD

BA BD

BC BD

4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，则a 边为（ ） A ．8+33 B ．83161+

C ．8﹣33

D ．83161-

5．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =，则下列结论正确的有（ ）

A ．2

2

OA OD ?=-

B ．2OB OH OE +=-

C ．AH HO BC BO ?=?

D ．AH 在AB 向量上的投影为22

-

6．在△ABC 中,若cos cos a A b B =,则△ABC 的形状可能为( ) A ．直角三角形

B ．等腰三角形

C ．等腰直角三角形

D ．等边三角形

7．在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，D 为BC 的中点，则以下结论正确的是（ ） A ．BD AD AB -= B ．1

()2

AD AB AC =

+ C ．8BA BC ?=

D ．AB AC AB AC +=-

8．已知a 、b 是任意两个向量，下列条件能判定向量a 与b 平行的是（ ） A ．a b =

B ．a b =

C ．a 与b 的方向相反

D ．a 与b 都是单位向量

9．有下列说法，其中错误的说法为（ ）．

A ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c

B ．若PA PB PB P

C PC PA ?=?=?，则P 是三角形ABC 的垂心 C ．两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向

D ．若a ∥b ，则存在唯一实数λ使得a b λ=

10．已知正三角形ABC 的边长为2，设2AB a =，BC b =，则下列结论正确的是（ ） A ．1a b +=

B ．a b ⊥

C ．()

4a b b +⊥ D ．1a b ?=-

11．（多选）若1e ，2e 是平面α内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（ ） A ．()12,e e λμλμ+∈R 可以表示平面α内的所有向量

B ．对于平面α中的任一向量a ，使12a e e λμ=+的实数λ，μ有无数多对

C ．1λ，1μ，2λ，2μ均为实数，且向量1112e e λμ+与2212e e λμ+共线，则有且只有一个实数λ，使()

11122122e e e e λμλλμ+=+

D ．若存在实数λ，μ，使120e e λμ+=，则0λμ==

12．如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则下列关系正确的是（ ）

A ．A

B D

C =

B ．AB D

C =

C ．AB DC >

D ．BC AD ∥

13．设,a b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A ．若||||||a b a b +=-，则存在实数λ使得a b λ= B ．若a b ⊥，则||||a b a b +=-

C ．若||||||a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影为||b

D ．若存在实数λ使得a b λ=，则||||||a b a b +=-

14．已知ABC ?的面积为3

2

,且2,b c ==,则A =( ) A ．30°

B ．60°

C ．150°

D ．120°

15．下列命题中正确的是( ) A ．单位向量的模都相等

B ．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量

C ．若a 与b 满足a b >，且a 与b 同向,则a b >

D ．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同

二、平面向量及其应用选择题

16．在ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若

()2

2S a b c +=+，则cos A 等于（ ）

A ．

45

B ．45-

C ．15

17

D ．1517-

17．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若

lg lg lg sin a c B -==-，且0,2B π??

∈ ???

，则ABC 的形状是（ ）

A ．等边三角形

B ．锐角三角形

C ．等腰直角三角形

D ．钝角三角形

18．已知非零向量AB ，AC 满足0||||AB AC BC AB AC ??+= ? ???

，且1

||||2AB AC AB AC =，则ABC ?的形状是( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰（非等边）三角形

D ．等边三角形

19．三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ?=?=?，那么点P 是三角形ABC 的（ ） A ．重心

B ．垂心

C ．外心

D ．内心

20．在ABC 中，A ∠，B ，C ∠所对的边分别为a ，b ，c ，过C 作直线CD 与边

AB 相交于点D ，90C ∠=?，1CD =.当直线CD AB ⊥时，+a b 值为M ；当D 为边

AB 的中点时，+a b 值为N .当a ，b 变化时，记{}max ,m M N =（即M 、N 中较大

的数），则m 的最小值为（ ）

A ．M

B ．N

C ．

D ．1

21．在ABC ?中，设22

2AC AB AM BC -=?，则动点M 的轨迹必通过ABC ?的（ ） A ．垂心 B ．内心

C ．重心

D ． 外心

22．在ABC 中，若A B >，则下列结论错误的是（ ）

A ．sin sin A

B >

B ．cos cos A B <

C ．sin2sin2A B >

D ．cos2cos2A B <

23．在ABC 中，若()()

0CA CB CA CB +?-=，则ABC 为（ ） A ．正三角形

B ．直角三角形

C ．等腰三角形

D ．无法确定

24．在ABC ?中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，P 为EF 上的任一点，实数x ，y 满足0PA xPB yPC ++=，设ABC ?、PBC ?、PCA ?、PAB ?的面积分别为S 、1S 、2S 、3S ，记

i

i S S

λ=（1,2,3i =），则23λλ?取到最大值时，2x y +的值为（ ） A ．－1

B ．1

C ．32

-

D ．

32 25．在△ABC 中，M 是BC 的中点．若AB ＝a ，BC ＝b ，则AM ＝( ) A ．

1

()2

a b + B ．

1

()2

a b - C ．

1

2

a b + D ．12

a b +

26．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若()2

26,c a b =-+3

C π

=

，则

ABC 的面积为（ ）

A ．6

B C ．D 27．已知1a =，3b =，且向量a 与b 的夹角为60?，则2a b -=（ ）

A B ．3

C

D ．19

28．已知向量(2

2cos m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =?，则下列关于函数

()y f x =的性质的描述正确的是( )

A ．关于直线12

x π

=对称

B ．关于点5,012π??

???

对称 C ．周期为2π

D ．()y f x =在,03π??

-

???

上是增函数

29．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =2c =，2

cos 3

A =

，则b=

A B

C ．2

D ．3

30．设(),1A a ，()2,1B -，()4,5C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在

OC 方向上的投影相同，则a =（ ）

A ．12

-

B ．

12

C ．-2

D ．2

31．如图所示，设P 为ABC ?所在平面内的一点，并且11

42

AP AB AC =+，则BPC ?与ABC ?的面积之比等于（ ）

A ．

2

5

B ．

35

C ．

34

D ．

14

32．在ABC ?中，8AB =，6AC =，60A ∠=，M 为ABC ?的外心，若

AM AB AC λμ=+，λ、R μ∈，则43λμ+=（ ）

A ．

34

B ．

53

C ．

73

D ．

83

33．在ABC ?中，2,2,120,,AC AB BAC AE AB AF AC λμ==∠===，M 为线段EF 的中点，若1AM =，则λμ+的最大值为（ ） A 7 B 27

C ．2

D 21 34．已知ABC ?的内角A 、B 、C 满足()()1sin 2sin sin 2

A A

B

C C A B +-+=--+

，面积S 满足12S ≤≤，记a 、b 、c 分别为A 、B 、C 所对的边，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．()8bc b c +> B ．()162ab a b +>C ．612abc ≤≤

D ．1224abc ≤≤

35．在△ABC 中，AB ＝a ，BC ＝b ，且a b ?>0，则△ABC 是（ ） A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．等腰直角三角形

D ．钝角三角形

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、多选题 1．无

2．AC 【分析】

根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】

对于A ，由平面向量数量积定义可知 解析：AC 【分析】

根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】

对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ?=，则||||||a b a b ?≤，所以A 正确，

对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，

对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即

22||||a b a b -?=，cos 1θ=-，

则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确； 对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角， 可得()0a a b λ?+>即2||0a a b λ+?>可得530λ+>，解得53

λ>-

， 当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+?= 所以a 与a b λ+的夹角为锐角时5

3

λ>-且0λ≠，故D 错误； 故选:AC. 【点睛】

本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.

3．AD 【分析】

根据向量的数量积关系判断各个选项的正误. 【详解】

对于A ，，故A 正确； 对于B ，，故B 错误； 对于C ，,故C 错误； 对于D ，, ,故D 正确.

【点睛】 本题考查三角形

解析：AD 【分析】

根据向量的数量积关系判断各个选项的正误. 【详解】 对于A ，2

cos AB AB AC AB AC A AB AC

AB AC

，故A 正确；

对于B ，

2

cos cos CB CB AC CB AC C CB AC C CB AC

CB AC

，

故B 错误； 对于C ，

2

cos cos BD AB BD AB BD ABD AB BD ABD AB BD

BD

AB

,故C 错误； 对于D ，2

cos BD BA BD

BA BD ABD BA BD BD BA

,

2

cos BD BC BD

BC BD CBD BC BD

BD BC

,故D 正确.

故选：AD. 【点睛】

本题考查三角形中的向量的数量积问题，属于基础题.

4．AC 【分析】

利用余弦定理：即可求解. 【详解】

在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°， 由余弦定理：， 即，解得. 故选：AC 【点睛】

本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基

【分析】

利用余弦定理：2222cos b a c ac B =+-即可求解. 【详解】

在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°， 由余弦定理：2222cos b a c ac B =+-，

即216310a a -+=，解得8a = 故选：AC 【点睛】

本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基本运算，属于基础题.

5．AB 【分析】

直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果． 【详解】

图2中的正八边形，其中， 对于；故正确． 对于，故正确．

对于，，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误． 对于

解析：AB 【分析】

直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果． 【详解】

图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中||1OA =，

对于3:11cos

4A OA OD π=??=；故正确． 对于:22B OB OH OA OE +==-，故正确．

对于:||||C AH BC =，||||HO BO =，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误． 对于:D AH 在AB 向量上的投影32

||cos ||4AH AH π=-，||1AH ≠，故错误． 故选：AB ． 【点睛】

本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．

6．ABCD 【分析】

应用正弦定理将边化角，由二倍角公式有即或，进而有△ABC 可能为:直角三角

形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形 【详解】 根据正弦定理 , 即. , 或. 即或

解析：ABCD 【分析】

应用正弦定理将边化角，由二倍角公式有sin 2sin 2A B =即A B =或2

A B π

+=，进而有

△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形 【详解】

根据正弦定理

sin sin a b A B

= cos cos a A b B =

sin cos sin cos A A B B =, 即sin 2sin 2A B =. 2,2(0,2)A B π∈,

22A B =或22A B π+=. 即A B =或2

A B π

+=

,

△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形. 故选：ABCD 【点睛】

本题考查了正弦定理的边化角，二倍角公式解三角形判断三角形的形状，注意三角形内角和为180°

7．BC 【分析】

根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项. 【详解】

对于A 选项：，故A 错；

对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，，故B 正确； 对于C 选项：，故正确； 对于D 选项：，而，故

解析：BC 【分析】

根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项. 【详解】

对于A 选项：BD AD BD DA BA -=+=，故A 错； 对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，

()

111

++++()222

AD AB BD AB BC AB BA AC AB AC ====+，故B 正确；

对于C 选项：cos 248BD BA BC BA BC B BA BC BA

?=??∠=??

=?=，故正确；

对于D 选项：2,AB AC AD AB AC CB +=-=，而2AD CB ≠，故D 不正确. 故选：BC. 【点睛】

本题考查向量的线性运算和向量的数量积运算，属于基础题.

8．AC 【分析】

根据共线向量的定义判断即可. 【详解】

对于A 选项，若，则与平行，A 选项合乎题意；

对于B 选项，若，但与的方向不确定，则与不一定平行，B 选项不合乎题意； 对于C 选项，若与的方向相反，

解析：AC 【分析】

根据共线向量的定义判断即可. 【详解】

对于A 选项，若a b =，则a 与b 平行，A 选项合乎题意；

对于B 选项，若a b =，但a 与b 的方向不确定，则a 与b 不一定平行，B 选项不合乎题意；

对于C 选项，若a 与b 的方向相反，则a 与b 平行，C 选项合乎题意；

对于D 选项，a 与b 都是单位向量，这两个向量长度相等，但方向不确定，则a 与b 不一定平行，D 选项不合乎题意. 故选：AC. 【点睛】

本题考查向量共线的判断，考查共线向量定义的应用，属于基础题.

9．AD 【分析】

分别对所给选项进行逐一判断即可. 【详解】

对于选项A ，当时，与不一定共线，故A 错误； 对于选项B ，由，得，所以，，

同理，，故是三角形的垂心，所以B 正确； 对于选项C ，两个非零向量

解析：AD 【分析】

分别对所给选项进行逐一判断即可. 【详解】

对于选项A ，当0b =时，a 与c 不一定共线，故A 错误；

对于选项B ，由PA PB PB PC ?=?，得0PB CA ?=，所以PB CA ⊥，PB CA ⊥， 同理PA CB ⊥，PC BA ⊥，故P 是三角形ABC 的垂心，所以B 正确；

对于选项C ，两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向，故C 正确；

对于选项D ，当0b =，0a ≠时，显然有a ∥b ，但此时λ不存在，故D 错误. 故选：AD 【点睛】

本题考查与向量有关的命题的真假的判断，考查学生对基本概念、定理的掌握，是一道容易题.

10．CD 【分析】

分析知，，与的夹角是，进而对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】

分析知，，与的夹角是. 由，故B 错误，D 正确； 由，所以，故A 错误； 由，所以，故C 正确. 故选：CD 【点睛】

解析：CD 【分析】

分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120?，进而对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】

分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120?.

由12cos12010a b ??=??=-≠，故B 错误，D 正确；

由()2

2

221243a b

a a

b b +=+?+=-+=，所以3a b +=，故A 错误； 由()()2

144440a b b a b b +?=?+=?-+=，所以()4a b b +⊥，故C 正确.

故选：CD 【点睛】

本题考查正三角形的性质，考查平面向量的数量积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.

11．BC 【分析】

由平面向量基本定理可判断出A 、B 、D 正确与否，由向量共线定理可判断出C 正确与否. 【详解】

由平面向量基本定理，可知A ，D 说法正确，B 说法不正确， 对于C ，当时，这样的有无数个，故C

解析：BC 【分析】

由平面向量基本定理可判断出A 、B 、D 正确与否，由向量共线定理可判断出C 正确与否. 【详解】

由平面向量基本定理，可知A ，D 说法正确，B 说法不正确，

对于C ，当12120λλμμ====时，这样的λ有无数个，故C 说法不正确. 故选：BC 【点睛】

若1e ，2e 是平面α内两个不共线的向量，则对于平面α中的任一向量a ，使

12a e e λμ=+的实数λ，μ存在且唯一. 12．BD 【分析】

根据向量的模及共线向量的定义解答即可； 【详解】

解：与显然方向不相同，故不是相等向量，故错误； 与表示等腰梯形两腰的长度，所以，故正确； 向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故

解析：BD 【分析】

根据向量的模及共线向量的定义解答即可； 【详解】

解：AB 与DC 显然方向不相同，故不是相等向量，故A 错误；

AB 与DC 表示等腰梯形两腰的长度，所以AB DC =，故B 正确； 向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故C 错误； 等腰梯形的上底BC 与下底AD 平行，所以//BC AD ，故D 正确； 故选：BD . 【点睛】

本题考查共线向量、相等向量、向量的模的理解，属于基础题.

13．AB 【分析】

若，则反向，从而； 若，则，从而可得；

若，则同向，在方向上的投影为

若存在实数使得，则共线，但是不一定成立. 【详解】

对于选项A ，若，则反向，由共线定理可得存在实数使得； 对于选

解析：AB 【分析】

若||||||a b a b +=-，则,a b 反向，从而a b λ=； 若a b ⊥，则0a b ?=，从而可得||||a b a b +=-；

若||||||a b a b +=+，则,a b 同向，a 在b 方向上的投影为||a

若存在实数λ使得a b λ=，则,a b 共线，但是||||||a b a b +=-不一定成立. 【详解】

对于选项A ，若||||||a b a b +=-，则,a b 反向，由共线定理可得存在实数λ使得

a b λ=；

对于选项B ，若a b ⊥，则0a b ?=，

222222||2,||2a b a a b b a b a a b b +=+?+-=-?+,可得||||a b a b +=-；

对于选项C ，若||||||a b a b +=+，则,a b 同向，a 在b 方向上的投影为||a ;

对于选项D ，若存在实数λ使得a b λ=，则,a b 共线，但是||||||a b a b +=-不一定成立. 故选：AB. 【点睛】

本题主要考查平面向量的性质及运算，明确向量的性质及运算规则是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.

14．BD 【分析】

由三角形的面积公式求出即得解. 【详解】 因为, 所以, 所以,因为, 所以或120°. 故选：BD 【点睛】

本题主要考查三角形面积的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

解析：BD 【分析】

由三角形的面积公式求出sin 2

A =即得解. 【详解】 因为13sin 22

S bc A ==,

所以

13222

A ?=,

所以sin 2

A =

,因为0180A ??<<, 所以60A =或120°. 故选：BD 【点睛】

本题主要考查三角形面积的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

15．AD 【分析】

利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】

单位向量的模均为1，故A 正确； 向量共线包括同向和反向，故B 不正确； 向量是矢量，不能比较大小，故C 不正确； 根据

解析：AD 【分析】

利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】

单位向量的模均为1，故A 正确；

向量共线包括同向和反向，故B 不正确； 向量是矢量，不能比较大小，故C 不正确； 根据相等向量的概念知，D 正确. 故选：AD 【点睛】

本题考查单位向量的定义、考查共线向量的定义、向量是矢量不能比较大小，属于基础题．

二、平面向量及其应用选择题

16．D 【分析】

由2

2

()S a b c +=+，利用余弦定理、三角形的面积计算公式可得：

1

sin 2cos 22bc A bc A bc =+，化为sin 4cos 4A A -=，与22sin cos 1A A +=．解出即可． 【详解】

解：22()S a b c +=+，

2222S b c a bc ∴=+-+， ∴

1

sin 2cos 22

bc A bc A bc =+， 所以sin 4cos 4A A -=， 因为22sin cos 1A A +=． 解得15

cos 17

A =-

或cos 1A =-． 因为1cos 1A -<<，所以cos 1A =-舍去．

15cos 17

A ∴=-

． 故选：D ． 【点睛】

本题考查了余弦定理、三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 17．C 【分析】

化简条件可得sin a B c ==

，由正弦定理化边为角，整理cos 0C =，即可求解. 【详解】

lg lg lg sin a c B -==-，

sin 2

a B c ∴==.0,2B π??∈ ???， 4

B π

∴=

.

由正弦定理，得

sin sin a A c C ==

，

3

sin cos sin 422C A C C C π???

∴==-=+? ?????

， 化简得cos 0C =.

()0,C π∈， 2

C π

∴=

， 则4

A B C π

π=--=

，

∴ABC 是等腰直角三角形. 故选：C. 【点睛】

本题主要考查了正弦定理，三角恒等变换，属于中档题. 18．D 【分析】

先根据0||||AB AC BC AB AC ??

+= ? ???

，判断出A ∠的角平分线与BC 垂直，进而推断三角形为等腰三角形进而根据向量的数量积公式求得C ，判断出三角形的形状． 【详解】

解：0||||AB AC BC AB AC ??+= ? ???

，||AB AB ，||AC AC 分别为单位向量， A ∴∠的角平分线与BC 垂直， AB AC ∴=，

1

cos ||||2

AB AC A AB AC =

=，

3

A π

∴∠=

，

3

B C A π

∴∠=∠=∠=

，

∴三角形为等边三角形．

故选：D ． 【点睛】

本题主要考查了平面向量的数量积的运算，三角形形状的判断．考查了学生综合分析能力，属于中档题． 19．B 【分析】

先化简得0,0,0PA CB PB CA PC AB ?=?=?=，即得点P 为三角形ABC 的垂心. 【详解】

由于三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ?=?=?， 则()()()

0,0,0PA PB PC PB PA PC PC PB PA ?-=?-=?-= 即有0,0,0PA CB PB CA PC AB ?=?=?=， 即有,,PA CB PB CA PC AB ⊥⊥⊥， 则点P 为三角形ABC 的垂心. 故选：B. 【点睛】

本题主要考查向量的运算和向量垂直的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 20．C 【分析】

当直线CD AB ⊥时，由直角三角形的勾股定理和等面积法，可得出222+=a b c ，

1ab c =?，再由基本不等式可得出2c ≥，从而得出M 的范围.当D 为边AB 的中点时，

由直角三角形的斜边上的中线为斜边的一半和勾股定理可得2c =，2224a b c +==，由基本不等式可得出2ab ≤，从而得出N 的范围，可得选项. 【详解】

当直线CD AB ⊥时，因为90C ∠=?，1CD =，所以222+=a b c ，由等面积法得

1ab c =?，

因为有222a b ab +≥（当且仅当a b =时，取等号），即()2

2>0c c c ≥，所以2c ≥，

所以+M a b ==

=≥（当且仅当a b =时，取等号），

当D 为边AB 的中点时，因为90C ∠=?，1CD =，所以2c =，2224a b c +==， 因为有222a b ab +≥（当且仅当a b =时，取等号），即42ab ≥，所以2ab ≤，

所以+N a b ==

=≤（当且仅当a b =时，取等号），

当a ，b 变化时，记{}max ,m M N =（即M 、N 中较大的数），则m 的最小值为（此时，a b =）； 故选：C. 【点睛】

本题考查解直角三角形中的边的关系和基本不等式的应用，以及考查对新定义的理解，属于中档题. 21．D

根据已知条件可得()

2

2

2AC AB AC AB BC AM BC -=+?=?，整理可得

()

0BC MC MB ?+=，若E 为BC 中点，可知BC ME ⊥，从而可知M 在BC 中垂线

上，可得轨迹必过三角形外心. 【详解】

()()()

2

2

2AC AB AC AB AC AB AC AB BC AM BC -=+?-=+?=?

()

20BC AC AB AM ∴?+-=

()()

0BC AC AM AB AM BC MC MB ??-+-=?+=

设E 为BC 中点，则2MC MB ME +=

20BC ME ∴?= BC ME ?⊥

ME ?为BC 的垂直平分线 M ∴轨迹必过ABC ?的外心 本题正确选项：D 【点睛】

本题考查向量运算律、向量的线性运算、三角形外心的问题，关键是能够通过运算法则将已知条件进行化简，整理为两向量垂直的关系，从而得到结论. 22．C 【分析】

由正弦定理结合三角形中的大边对大角得sin sin A B >，由余弦函数性质判断B ，然后结合二倍角公式判断CD ． 【详解】

设ABC 三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ， 由A B >，则,a b >∴sin sin 0A B >>，A 正确； 由余弦函数性质知cos cos A B <，B 正确；

sin 22sin cos A A A =，sin 22sin cos B B B =， 当A 为钝角时就有sin 2sin 2A B <，C 错误，；

2cos 212sin A A =-，2cos 212sin B B =-，∴cos2cos2A B <，D 正确． 故选：C ． 【点睛】

本题考查三角形内角和定理，考查正弦定理、余弦函数性质，考查正弦、余弦的二倍角公式，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题． 23．C 【分析】

利用平面向量的数量积的运算性质可得(CA CB + 2

2

22)()0CA CB CA CB b a -=-=-=，从而可得答案．

解：

在ABC 中，(CA CB + 2

2

22)()0CA CB CA CB b a -=-=-=，

a b ∴=，

ABC ∴为等腰三角形， 故选：C ． 【点睛】

本题考查三角形形状的判断，考查向量的数量积的运算性质，属于中档题． 24．D 【分析】

根据三角形中位线的性质，可得P 到BC 的距离等于△ABC 的BC 边上高的一半，从而得到1231

2

S S

S S =

=+，由此结合基本不等式求最值，得到当23λλ?取到最大值时，P 为EF 的中点，再由平行四边形法则得出11

022

PA PB PC +

+=，根据平面向量基本定理可求得1

2

x y ==，从而可求得结果. 【详解】 如图所示：

因为EF 是△ABC 的中位线，

所以P 到BC 的距离等于△ABC 的BC 边上高的一半， 所以1231

2

S S S S =

=+， 由此可得2

2232322322(

)

1216

S S S S S S S S S S λλ+=?=≤=， 当且仅当23S S =时，即P 为EF 的中点时，等号成立， 所以0PE PF +=，

由平行四边形法则可得2PA PB PE +=，2PA PC PF +=， 将以上两式相加可得22()0PA PB PC PE PF ++=+=， 所以11

022

PA PB PC +

+=， 又已知0PA xPB yPC ++=，

根据平面向量基本定理可得12

x y ==， 从而132122

x y +=+=. 故选：D 【点睛】

本题考查了向量加法的平行四边形法则，考查了平面向量基本定理的应用，考查了基本不等式求最值，属于中档题. 25．D 【分析】

根据向量的加法的几何意义即可求得结果. 【详解】

在ABC ?中，M 是BC 的中点， 又,AB a BC b ==， 所以11

22

AM AB BM AB BC a b =+=+=+， 故选D. 【点睛】

该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加法运算，属于简单题目. 26．B 【分析】

由条件和余弦定理得到6ab =，再根据三角形的面积公式计算结果. 【详解】

由条件可知：22226c a b ab =+-+，①

由余弦定理可知：222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-，② 所以由①②可知，62ab ab -=-，即6ab =，

则ABC 的面积为11sin 62222

S ab C ==??=

. 故选：B 【点睛】

本题考查解三角形，重点考查转化与化归思想，计算能力，属于基础题型. 27．A 【分析】

根据向量的数量积的运算公式，以及向量的模的计算公式，准确运算，即可求解. 【详解】

因为1a =，3b =，a 与b 的夹角为60?，

所以2

2

2

4424697a a b b a b =-?+=-+=-，则27a b -=.