[知识梳理]
一、任意角的三角函数定义
(代数)在角α的终边上任取一点),(y x P ,
记:22y x r +=
,
正弦:sin α= 余弦:cos α= 正切:tan α=
(几何)我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数:如图,与单位圆
有关的有向线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。
重点应用:三角函数的符号规律,象限定符号、符号看象限!
二、同角三角函数的基本关系式
平方关系: 商数关系: 重点应用:知一求二,注意符号! (1) 若已知sin k θ=,
则:cos θ= , t a n
θ= 。 (2) 若已知tan k θ=,
则:sin θ= , c o s θ
= 。
三、诱导公式
(1)παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ
-、απ-2的三角函数值,等于α的同
名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。(口诀:函数名不变,符号看象限)
(2)
απ
+2
、
απ
-2
、
απ+23、απ
-2
3的三角函数值,等于α的异名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。(口诀:函数名改变,符号看象限)
重点应用:负角变正角、大角变小角、小角变锐角!注意前面符号的确定方法!
(1)0
sin(690)___________,sin(2(n 1)
)____________.2
π
α-=++=
(2)71cos()__________,cos()___________23
ππα+=-= (3)0tan(5)__________,tan 300___________3
π
π+==
四、和差角公式
βαβαβαsin cos cos sin )sin(?+?=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(?-?=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(?-?=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(?+?=-
βαβ
αβαtan tan 1tan tan )tan(?-+=+
β
αβ
αβαtan tan 1tan tan )tan(?+-=
-
重点应用:未知角转化为已知角(特殊角)的和或差!注意符号的正负!
sin
________________,sin(
)______________.12
34
π
π
π
=+= 0cos()___________,cos(150)____________.64ππ
-=-=
007tan(
)__________,tan(3045)____________12
π
=+=
五、二倍角公式
αααcos sin 22sin =
ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=
α
α
α2tan 1tan 22tan -=
二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形:(规律:降幂升角,升幂降角)
αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=-
2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=-
重点应用:sin cos x x 可以转化为sin 2x ,22sin cos x x 或可以转化为cos 2x !注意“二倍”是相对的。 化简下列各式
(1)2222
sin sin 2sin cos ___________,___________.cos cos sin x x x x x x x
-==-
(2)2
2sin (
x)2___________4
x x π
+=
(3)sin sin()___________222
x x
π+=
六、辅助角公式
)sin(cos sin 22?++=+x b a x b x a 其中:2
2sin b a b +=
?,2
2cos b a a +=
?,a
b
=
?tan 。 重点应用:统一三角函数名称,注意特殊角的三角函数值!
cos ____________________x x -= 11
sin cos _____________________22
x x +=
3sin 2_____________________x x = sin()cos()_________________
63x x ππ
-+-=
[解答题模板]
1、已知函数2()cos sin cos ,f x x x x x R =+∈ (1)求()6
f π
的值;
(2)若3sin 5α=
,且(,)2παπ∈,求()224
f απ
+
.
解:(1)2
()cos sin
cos
6
6
6
6
f ππ
π
π
=+ 212=+=
………………2分 (2) 2
()cos sin cos f x x x x =+1+cos 21
sin 222
x x =
+ …………4分
11
sin 2+cos 222
x x =
+()
1+)24x π= …………6分
1(+)++)2242124
f απππ
α= ………8分
1+)23πα=
+11cos 22αα=+?+ …………10分 因为3sin 5α=
,且(,)2παπ∈,所以4
cos 5
α=- ……11分
所以1314(
+
)2
24
2525f α
π
=
?-=
………12分
2、△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a =b cos C +c sin B .
(1)求B ;
(2)若b =2,求△ABC 面积的最大值.
第四步 利用余弦定理列等式 ?
??
??
(2)△ABC 的面积S =12ac sin B =24ac .(7分)由已知及余弦定理得422cos π.
利用基本不
等式求出a ,c 的范围,而 说明取等
第五步 均值不等式求最值
?
??
??又a 2+c 2≥2ac ,故ac ≤42-2,当且仅当a =c [
失分警示
]
第二步
三角恒等变换
?????
故sin A =sin (B +C )=sin B cos C +cos B sin C . 分)由①②和C ∈(0,π
)得sin 第三步
求角
?
?? 又B ∈(0,π),所以B =π
4.
[解题流程]
第一步
根据正弦定理把边化为角
[失分警示]
易忽略说明
B ,
C 的范围,导致扣分.
??
??
?
解:(1)由已知及正弦定理得sin A =sin B cos C +sin C sin B . ①(2分)又A =π-(B +C ),
易忽略说明
B ,
C 的范围,导致扣分.
[典型考题]
1. 已知函数()sin cos cos sin f x x x ??=+(其中x ∈R ,0?π<<). (1)求函数()f x 的最小正周期; (2)若函数24y f x π??
=+ ??
?
的图像关于直线6
x π
=
对称,求?的值.
2. 已知函数()2sin cos cos2f x x x x =+(x ∈R ). (1) 当x 取什么值时,函数()f x 取得最大值,并求其最大值;
(2) 若θ为锐角,且83
f πθ??
+= ?
?
?,求tan θ的值.
3.已知函数()sin cos f x x a x =+的图象经过点π03
??- ???
,.
(1)求实数a 的值;
(2)设[]2
()()2g x f x =-,求函数()g x 的最小正周期与单调递增区间.
4.已知函数
2()cos 2cos 1()f x x x x x =+-∈R .
(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期及在区间π02??????
,上的最大值和最小值;
(Ⅱ)若006ππ()542f x x ??
=∈????
,,,求0cos 2x 的值.
5. 设函数2π
()cos (2)sin 3
f x x x =+
+. (Ⅰ)求函数()f x 的最大值和最小正周期;
(Ⅱ)设A ,B ,C 为ABC △的三个内角,若cos B =3
1
,124C f ??
=- ?
??
,且C 为锐角,求sin A .
1.已知函数()sin cos cos sin f x x x ??=+(其中x ∈R ,0?π<<). (1)求函数()f x 的最小正周期; (2)若函数24y f x π?
?
=+
??
?
的图像关于直线6
x π
=
对称,求?的值.
(1)解:∵()()sin f x x ?=+,
∴函数()f x 的最小正周期为2π. (2)解:∵函数2sin 244y f x x ππ???
??
=+
=++ ? ??
???
, 又sin y x =的图像的对称轴为2
x k π
π=+(k ∈Z ),
令24
2
x k π
π
?π++=+
,
将6
x π
=
代入,得12
k π
?π=-
(k ∈Z ).
∵0?π<<,∴1112
π?=.
2. 已知函数()2sin cos cos2f x x x x =+(x ∈R ). (3) 当x 取什么值时,函数()f x 取得最大值,并求其最大值;
(4) 若θ为锐角,且8f πθ??
+
= ?
?
?,求tan θ的值. (1) 解: ()2sin cos cos2f x x x x =+
sin 2cos 2x x =+ …… 1分
2222x x ?=+???
…… 2分
24x π?
?=+ ??
?. (3)
分
∴当224
2
x k π
π
π+
=+
,即(8
x k k π
π=+
∈Z )时,函数()f x 取得最大值,其值为
…… 5分
(2)解法1:∵83f πθ??
+= ??
?, 223πθ??+= ?
?
?. …… 6分
∴1
cos 23
θ=. …… 7分
∵θ为锐角,即02
π
θ<<
, ∴02θπ<<.
∴sin 23
θ==…… 8分
∴sin 2tan 2cos 2θ
θθ
==……
9分
∴2
2tan 1tan θ
θ
=-. …… 10分
2
tan 0θθ+=.
∴
)(1tan 0θθ-+=.
∴tan θ= 或tan θ=不合题意,舍去) …… 11分
∴tan 2
θ=. …… 12分
解法2: ∵83f πθ??
+
= ??
?, 223πθ??+= ?
?
?. ∴1
cos 23
θ=. …… 7分
∴2
1
2cos 13
θ-=. …… 8分
∵θ为锐角,即02
π
θ<<
,
∴cos 3
θ=. …… 9分
∴sin θ==
. …… 10分
∴sin tan cos θθθ==
…… 12分
解法3:∵8f πθ??
+
= ??
?, 22πθ??+= ?
?
?. ∴1
cos 23
θ=. …… 7分
∵θ为锐角,即02
π
θ<<
, ∴02θπ<<.
∴sin 23
θ==. …… 8分
∴sin tan cos θ
θθ
= …… 9分
22sin cos 2cos θθ
θ= (10)
分
sin 21cos 2θ
θ
=
+
2
=
. … 12分 3.(本小题满分12分)
已知函数()sin cos f x x a x =+的图象经过点π
03
??- ???
,. (1)求实数a 的值;
(2)设[]2
()()2g x f x =-,求函数()g x 的最小正周期与单调递增区间. 解:(1)因为函数()sin cos f x x a x =+的图象经过点π03
??- ???,,所以03f π??
-
= ???
. 即ππsin cos 033a ????
-
+-= ? ?????
.
即02
a
+=.
解得a =
(2)方法1:由(1)得()sin f x x x =.
所以2
()[()]2g x f x =-()
2
sin 2x x =+-
22sin cos 3cos 2x x x x =++-
2cos2x x =+
122cos 22x x ?=+????
2sin 2cos cos 2sin 66x x ππ?
?=+ ??
?
π2sin 26x ?
?=+ ??
?.
所以()g x 的最小正周期为
22
π
=π. 因为函数sin y x =的单调递增区间为2,222k k ππ??
π-π+????
()k ∈Z , 所以当πππ
2π22π262k x k -
≤+≤+()k ∈Z 时,函数()g x 单调递增, 即ππ
ππ36
k x k -≤≤+()k ∈Z 时,函数()g x 单调递增.
所以函数()g x 的单调递增区间为πππ,π36k k ?
?
-+???
?
()k ∈Z .
方法2:由(1)得()sin f x x x =
2sin cos cos sin 33x x ππ?
?=+ ??
?
π2sin 3x ?
?=+ ??
?.
所以2()[()]2g x f x =-2
π2sin 23x ???
?=+- ??????
?
2π4sin 23x ?
?=+- ???
2π2cos 23x ?
?=-+ ??
?分
所以函数()g x 的最小正周期为
22
π
=π分 因为函数cos y x =的单调递减区间为[]2,2k k ππ+π()k ∈Z ,
所以当22223
k x k π
π≤+
≤π+π()k ∈Z 时,函数()g x 单调递增. 即ππ
ππ36
k x k -≤≤+(k ∈Z )时,函数()g x 单调递增.
所以函数()g x 的单调递增区间为πππ,π36k k ?
?
-
+???
?
()k ∈Z .
5.(本小题满分12分) 设函数2π
()cos (2)sin 3
f x x x =+
+. (Ⅰ)求函数()f x 的最大值和最小正周期;
(Ⅱ)设A ,B ,C 为ABC △的三个内角,若cos B =
31,124C f ??
=- ???
,且C 为锐角,求sin A . 5. 解:(Ⅰ)ππ1cos 2()cos 2cos
sin 2sin 332
x
f x x x -=-+
111
cos22cos2222x x x =+-
1222
x =
-. 所以当π22π2x k =-
+,即π
π4
x k =-+(K ∈Z )时,
()f x 的最大值,[()]f x =
最大值12
+, ()f x 取得最小正周期2π
π2
T =
=.
故函数()f x 的最大值为
12
,最小正周期为π. (Ⅱ)由
124C f ??
=- ???
,
即
11
24
C =-,
解得sin C
=, 又C 为锐角,所以π3
C =
.
由1cos 3B =
,求得sin B = 因此sin sin[π()]A B C =-+
sin()B C =+
sin cos cos sin B C B C =+
1123=
+
=
4.已知函数
2()cos 2cos 1()f x x x x x =+-∈R .
(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期及在区间π02??????
,上的最大值和最小值;
(Ⅱ)若
006ππ()542f x x ??
=∈????
,,,求0cos 2x 的值.
1. 本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数sin()y A x ω?=+的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识,考查基本运算能力,满分12分.
(Ⅰ)解:由2()cos 2cos 1f x x x x =+-,得
2π
()cos )(2cos 1)2cos 22sin(2)6
f x x x x x x x =+-=+=+.
所以函数()f x 的最小正周期为π.
因为
π()2sin 26f x x ??=+ ???在区间π06??????,上为增函数,在区间ππ,62??
????
上为减函数,又
ππ(0)12162f f f
??
??
===- ? ???
??
,,,所以函数()f x 在区间π02??????,上的最大值为2,最小值为1-.
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知
00π()2sin 26f x x ?
?=+ ??
?
又因为06()5f x =
,所以0π3sin 265x ?
?+= ??
?
由0ππ42x ??
∈
????,,得0π2π7π2636x ??+∈???
?,
从而0π4cos 265x ??+==- ??
?
所以
0000ππππππcos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666x x x x ???????
?=+-=+++=
? ? ????
???????
三角函数知识点 一.考纲要求 考试内容3 要求层次 A B C 三角函数、 三角恒等 变换、 解三角形 三角函数 任意角的概念和弧度制 √ △ 弧度与角度的互化◇ √ 任意角的正弦、余弦、正切的定义 √ 用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦和正切 √ 诱导公式 √ △ 同角三角函数的基本关系式 √ 周期函数的定义、三角函数的周期性 √ 函数sin y x =,cos y x =,tan y x =的图象 和性质 √ 函数sin()y A x ω?=+的图象 √ 用三角函数解决一些简单的实际问题◇ √ 三角 恒等 变换 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 √ 二倍角的正弦、余弦、正切公式 √ 简单的恒等变换 √ 解三角形 正弦定理、余弦定理 √ △ 解三角形 √ △ 二.知识点 1.角度制与弧度制的互化:,23600π= ,1800π= 1rad =π 180°≈57.30°=57°18ˊ. 1°= 180 π≈0.01745(rad ) 2.弧长及扇形面积公式 弧长公式:r l .α= 扇形面积公式:S=r l .2 1 α----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径 3.任意角的三角函数 设α是一个任意角,它的终边上一点p (x,y ), r=22y x +
(1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号: sin α cos α tan α 4、三角函数线 正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: AT. 5.同角三角函数的基本关系: (1)平方关系:sin 2α+ cos 2α=1。 (2)商数关系: ααcos sin =tan α(z k k ∈+≠,2 ππ α) 6.诱导公式:奇变偶不变,符号看象限 ()()1sin 2sin k παα+=,()cos 2cos k παα+=,()()tan 2tan k k παα+=∈Z . ()()2sin sin παα+=-,()cos cos παα+=-,()tan tan παα+=. ()()3sin sin αα-=-,()cos cos αα-=,()tan tan αα-=-. ()()4sin sin παα-=,()cos cos παα-=-,()tan tan παα-=-. ()5sin cos 2π αα??-= ???,cos sin 2παα?? -= ??? . ()6sin cos 2παα??+= ???,cos sin 2παα??+=- ??? . x y +O — — + x y O — + + — + y O — + + — (3) 若 o
第一章:三角函数 §、任意角 1、 正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角α终边相同的角的集合: {}Z k k ∈+=,2παββ. §、弧度制 1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 2、 r l = α. 3、弧长公式:R R n l απ== 180 . 4、扇形面积公式:lR R n S 2 1 3602== π. §、任意角的三角函数 y =α αcos ,sin 1、 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点()y x P ,,那么: 2、 设点(),A x y 为角α终边上任意一点,那么: (设r = sin y r α= ,cos x r α=,tan y x α=,cot x y α= 3、 αsin ,αcos ,αtan 在四个象限的符号和三角函数线的画法. 正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线:AT 5、 特殊角 . 1、 平方关系:1cos sin 22=+αα. 2、 商数关系:α α αcos sin tan = . 3、 倒数关系:tan cot 1αα= §、三角函数的诱导公式 (概括为“奇变偶不变,符号看象限”Z k ∈) 1、 诱导公式一:、 诱导公式二: ()()().tan 2tan ,cos 2cos ,sin 2sin απααπααπα=+=+=+k k k ()()(). tan tan ,cos cos , sin sin ααπααπααπ=+-=+-=+(其中:Z k ∈)
3、诱导公式三: 4、诱导公式四: ()()(). tan tan ,cos cos ,sin sin αααααα-=-=--=- ()()(). tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ-=--=-=- 5、诱导公式五: 6、诱导公式六: .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ=??? ??-=??? ??- .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ-=?? ? ??+=??? ??+ §、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象: 2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质:定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中 心、奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图. sin y x =在[0,2]x π∈上的五个关键点为: 30010-1202 2 π π ππ(,)(,,)(,,)(,,)(,,). §、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数的图象: 2、记住余切函数的图象: 3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质:定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 周期函数定义:对于函数()x f ,如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的每一个值时,都有()(),那么函数()x f 就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期.
高中数学三角函数基础知识点及答案 1、角的概念的推广:平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角,一条射线没有作任何旋转时,称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边,终止位置称为终边。 2、象限角的概念:在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示: (1)α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z , 注意:相等的角的终边一定相同,终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同,且绝对值最小的角的度数是___,合___弧度。 弧度:一周的弧度数为2πr/r=2π,360°角=2π弧度,因此,1弧度约为57.3°,即57°17'44.806'', 1°为π/180弧度,近似值为0.01745弧度,周角为2π弧度,平角(即180°角)为π弧度, 直角为π/2弧度。(答:25-;5 36 π- ) (2)α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k k αθπ=+∈Z . (3)α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . (4)α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . (5)α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z . (6)α终边在x 轴上的角可表示为:,k k Z απ=∈; α终边在y 轴上的角可表示为:,2k k Z παπ=+∈;α终边在坐标轴上的角可表示为:,2 k k Z π α=∈. 如α的终边与 6 π 的终边关于直线x y =对称,则α=____________。 (答:Z k k ∈+ ,3 2π π) 4、α与2α的终边关系:由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第 二象限角,则2 α 是第_____象限角 (答:一、三) 5.弧长公式:||l R α=,扇形面积公式:211||22 S lR R α==,1弧度 (1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ,该扇形的中心角是1弧度,求该扇形的面积。 (答:22cm ) 6、任意角的三角函数的定义:设α是任意一个角,P (,)x y 是α的终边上的任意一点(异于原点),它与原点的距离是220r x y =+>,那么 s i n ,c o s y x r r αα==,()tan ,0y x x α=≠,cot x y α=(0)y ≠,sec r x α=()0x ≠, ()csc 0r y y α=≠。三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点P 的位置无关。
★高中三角函数部分总结 1.任意角的三角函数定义: 设α为任意一个角,点),(y x P 是该角终边上的任意一点(异于原点),),(y x P 到原点的距离为22y x r += ,则: )(tan ),(cos ),(sin y x x y x r x y r y ?=== 正负看正负看正负看ααα 2.特殊角三角函数值: sin30°=1/2 sin45°=√2/2 sin60°=√3/2 cos30°=√3/2 cos45°=√2/2 cos60°=1/2 tan30°=√3/3 tan45°=1 tan60°=√3 cot30°=√3 cot45°=1 cot60°=√3/3 sin15°=(√6-√2)/4 sin75°=(√6+√2)/4 cos15°=(√6+√2)/4 cos75°=(√6-√2)/4(这四个可根据sin (45°±30°)=sin45°cos30°±cos45°sin30°得出) sin18°=(√5-1)/4 (这个值 3.同角三角函数公式: αααααααααα αtan 1 cot ,sin 1csc ,cos 1sec 1cos sin ,cos sin tan 22= ===+= 4.三角函数诱导公式: (1))(;tan )2tan(,cos )2cos( ,sin )2sin(Z k k k k ∈=+=+=+απααπααπα (2);tan )tan(,cos )cos( ,sin )sin(απααπααπα=+-=+-=+ (3);tan )tan(,cos )cos(,sin )sin(αααααα-=-=--=- (函数名称不变,符号看象限)
《三角函数》 【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线,围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角,顺时针旋转为负角,不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈g x 轴上角:{}()180k k Z αα=∈o g y 轴上角:{}()90180k k Z αα=+∈o o g 3、第一象限角:{}()036090360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 第二象限角:{}()90 360180360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 第三象限角:{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈o o g g 第四象限角: {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 4、区分第一象限角、锐角以及小于90o 的角 第一象限角:{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 锐角: {}090αα< ,2 4 , 0π απ ≤ ≤=k ,2 345, 1παπ≤≤=k 所以 2 α 在第一、三象限 6、弧度制:弧长等于半径时,所对的圆心角为1弧度的圆心角,记作1rad . 7、角度与弧度的转化:01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 9、弧长与面积计算公式 弧长:l R α=?;面积:211 22 S l R R α=?=?,注意:这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦:sin y r α=;余弦cos x r α=;正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标,r = 2、三角函数值对应表: 3、三角函数在各象限中的符号 三角函数 一、任意角、弧度制及任意角的三角函数 1.任意角 (1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角. ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 ②按终边位置不同分为象限角和轴线角. 角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角. 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α?++∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα?+<+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα?+<+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=?∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=?+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=?∈Z (2)终边与角α相同的角可写成α+k ·360°(k∈Z).终边与角α相同的角的集合为{} 360,k k ββα=?+∈Z (3)弧度制 ①1弧度的角:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. ②弧度与角度的换算:360°=2π弧度;180°=π弧度. ③半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l r α= ④若扇形的圆心角为()α α为弧度制,半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S ,则l r α=,2C r l =+, 211 22 S lr r α==. 2.任意角的三角函数定义 设α是一个任意角,角α的终边上任意一点P (x ,y ) ,它与原点的距离为( r r = ,那么角α的正弦、余弦、正切 分别是:sin α=错误!,co s α=错误!,tan α=错误!.(三角函数值在各象限的符号规律概括为:一全正、二正弦、 三正切、四余弦) 3.特殊角的三角函数值 锐角三角函数 锐角三角函数 锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec),(余割csc)都叫做角A的锐角三角函数。 正弦(sin)等于对边比斜边, 余弦(cos)等于邻边比斜边 正切(tan)等于对边比邻边; 余切(cot)等于邻边比对边 正割(sec)等于斜边比邻边 余割(csc)等于斜边比对边 正切与余切互为倒数 互余角的三角函数间的关系。 sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα, tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα. 同角三角函数间的关系 平方关系: sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ?积的关系: sinα=tanα?cosα cosα=cotα?sinα tanα=sinα?secα cotα=cosα?cscα secα=tanα?cscα cscα=secα?cotα ?倒数关系: tanα?cotα=1 sinα?cscα=1 cosα?secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 余切等于邻边比对边 三角函数值 (1)特殊角三角函数值 (2)0°~90°的任意角的三角函数值,查三角函数表。 (3)锐角三角函数值的变化情况 (i)锐角三角函数值都是正值 (ii)当角度在0°~90°间变化时, 正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小) 余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大) 正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小) 余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大) (iii)当角度在0°≤α≤90°间变化时, 0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0, 当角度在0°<α<90°间变化时, tanα>0, cotα>0. 特殊的三角函数值 0° 30° 45° 60° 90° 0 1/2 √2/2 √3/2 1 ←sinα 1 √3/ 2 √2/2 1/2 0 ←cosα 0 √3/3 1 √3 None ←tanα None √3 1 √3/3 0 ←cotα 解直角三角形 勾股定理,只适用于直角三角形(外国叫“毕达哥拉斯定理”) a^2+b^2=c^2, 其中a和b分别为直角三角形两直角边,c为斜边。 初中三角函数知识点总结(中考复习) 锐角三角函数知识点总结 1、勾股定理:直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。 2、如下图,在Rt△ABC中,∠C为直角,则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B): 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值;任意锐角的余 A 90 B 90 ∠ - ? = ∠ ? = ∠ + ∠ 得 由B A C 切值等于它的余角的正切值。 5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 6、正弦、余弦的增减性: 当0°≤α≤90°时,sin α随α的增大而增大,cos α随α的增大而减小。 7、正切、余切的增减性: 当0°<α<90°时,tan α随α的增大而增大,cot α随α的增大而减小。 1、解直角三角形的定义:已知边和角(两个,其中必有一边)→所有未知的边和角。 依据:①边的关系:2 2 2 c b a =+;②角的关系:A+B=90°;③边角关系:三角函数的定义。(注意:尽量避免使用中间数据和除法) 2、应用举例: (1)仰角:视线在水平线上方的角;俯角:视线在水平线下方的角。 仰角铅垂线 水平线 视线 视线俯角 (2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度 (坡比)。用字 母i 表示,即h i l =。坡度一般写成1:m 的形式,如1:5i =等。 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角),那么tan h i l α==。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角。如图3,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是:45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角,叫做方向角。如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是:北偏东30°(东北方向) , 南偏东45°(东南方向), 南偏西60°(西南方向), 北偏西60°(西北方向)。 反比例函数知识点整理 一、 反比例函数的概念 :i h l =h l α 1三角函数的概念 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、角的概念与推广 1.任意角的概念:正角、负角、零角 2.象限角与轴线角: 与α终边相同的角的集合:},2|{Z k k ∈+=απββ 第一象限角的集合:{|22,}2 k k k Z π βπβπ<<+∈ 第二象限角的集合:{| 22,}2 k k k Z π βπβππ+<<+∈ 第三象限角的集合:3{|22,}2 k k k Z π βππβπ+<<+∈ 第四象限角的集合:3{| 222,}2 k k k Z π βπβππ+<<+∈ 终边在x 轴上的角的集合:{|,}k k Z ββπ=∈ 终边在y 轴上的角的集合:{|,}2 k k Z π ββπ=+∈ 终边在坐标轴上的角的集合:{|,}2 k k Z π ββ=∈ 要点诠释: 要熟悉任意角的概念,要注意角的集合表现形式不是唯一的,终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同,还要注意区间角与象限角及轴线角的区别与联系. 三角函数的概念 角的概念的推广、弧度制 正弦、余弦的诱导公式 同角三角函数的基本关系式 任意角的三角函数 考点二、弧度制 1.弧长公式与扇形面积公式: 弧长l r α= ?,扇形面积21 122 S lr r α==扇形(其中r 是圆的半径,α是弧所对圆心角的弧度数). 2.角度制与弧度制的换算: 180π=o ;18010.017451()57.305718'180 rad rad rad π π = ≈=≈=o o o o ; 要点诠释: 要熟悉弧度制与角度制的互化以及在弧度制下的有关公式. 考点三、任意角的三角函数 1. 定义:在角α上的终边上任取一点(,)P x y ,记r OP ==则sin y r α= , cos x r α=, tan y x α=,cot x y α=,sec r x α=,csc r y α= 2. 三角函数线:如图,单位圆中的有向线段MP ,OM ,AT 分别叫做α的正弦线,余弦线,正切线. 3. 三角函数的定义域:sin y α=,cos y α=的定义域是R α∈;tan y α=,sec y α=的定义域是 {|,}2 k k Z π ααπ≠+ ∈;cot y α=,csc y α=的定义域是{|,}k k Z ααπ≠∈. 4. 三角函数值在各个象限内的符号: 考点四、同角三角函数间的基本关系式 1. 平方关系:2 2 2222sin cos 1;sec 1tan ;csc 1cot α+α=α=+αα=+α. 2. 商数关系:sin cos tan ;cot cos sin α α α= α= α α . 3. 倒数关系:tan cot 1;sin csc 1;cos sec 1α?α=αα=α?α= 要点诠释: ①同角三角函数的基本关系主要用于:(1)已知某一角的三角函数,求其它各三角函数值;(2)证明三角恒等式;(3)化简三角函数式. ②三角变换中要注意“1”的妙用,解决某些问题若用“1”代换,如2 2 1sin cos =α+α, 221sec tan tan 45=α-α==o L ,则可以事半功倍;同时三角变换中还要注意使用“化弦法”、消去法 及方程思想的运用. 考点五、诱导公式 1.2(),,,2k k Z πααπαπα+∈-±-的三角函数值等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值所在象限的符号. 高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值: 2.角度制与弧度制的互化: ,23600π= ,1800 π= 1rad =π 180°≈57.30°=57°18ˊ 1°= 180 π≈0.01745(rad ) 3.弧长及扇形面积公式 (1)弧长公式:r l .α= α----是圆心角且为弧度制 (2)扇形面积公式:S=r l .2 1 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角,它的终边上一点p (x,y ), r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号: 记忆口诀:一全正,二正弦,三两切,四余弦 sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系: (1)平方关系:s in 2α+ cos 2α=1 (2)商数关系:ααcos sin =tan α(z k k ∈+≠,2 ππ α) 6.诱导公式: 记忆口诀:把2 k π α±的三角函数化为α的三角函数,概括为:奇变偶不变,符号看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=,()cos 2cos k παα+=,()()tan 2tan k k παα+=∈Z . ()()2sin sin παα+=-,()cos cos παα+=-,()tan tan παα+=. ()()3sin sin αα-=-,()cos cos αα-=,()tan tan αα-=-. ()()4sin sin παα-=,()cos cos παα-=-,()tan tan παα-=-. 口诀:函数名称不变,符号看象限. ()5sin cos 2π αα??-= ???,cos sin 2παα?? -= ??? . ()6sin cos 2π αα??+= ???,cos sin 2παα?? +=- ??? . 口诀:正弦与余弦互换,符号看象限. x y O — + + — + y O — + + — 三角函数的性质及其编稿:李霞审稿:孙永钊 【考纲要求】 1、了解函数sin()yAx????的物理意义;能画出sin()yAx????的图象,了解参数 A,?,?对函数图象变化的影响. 2、了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题. 【知识络】 【考点梳理】 考点一、函数sin()yAx????(0A?,0??)的图象的作法 1.五点作图法: 作sin()yAx????的简图时,常常用五点法,五点的取法是设tx????,由t取0、 2?、?、32?、2?来求相应的x值及对应的y值,再描点作图。 2.图象变换法: (1)振幅变换:把sinyx?的图象上各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(00)或向右(?<0)平行移动|?|个单位,得到sin()yAx???的图象; (3)周期变换:把sin()yAx???的图象上各点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的?1倍(纵坐标不变),可得到sin()yAx????的图象. (4)若要作sin()yAxb????,可将sin()yAx???的图象向上(0)b?或向下(0)b? 平移b个单位,可得到sin()yAxb????的图象.记忆方法仍为“左加右减,上正下负,纵伸(A>1)横缩(ω>1)”。 要点诠释: 由sinyx?的图象利用图象变换作函数sin()yAx????的图象时要特别注意:当周期 变换和相位 sin()yAx???? sin 图象的作法三角函的质其 图象的性 变换的先后顺序不同时,原图象沿x轴的伸缩量有区别. 考点二、sin()yAx????的解析式 1.sin()yAx????的解析式 sin()yAx????(0A?, 0??),[0,)x???表示一个振动量时,A叫做振幅,2T??? 叫做周期,12fT????叫做频率,x???叫做相位,0x?时的相位?称为初相. 2.根据图象求sin()yAx????的解析式 求法为待定系数法,突破口是找准五点法中的第一零点(,0)???. 求解步骤是先由图象求出A与T,再由2T???算出?,然后将第一零点代入0x????求出?. 要点诠释:若图象未标明第一零点,就只能找特殊点用待定系数法计算. 考点三、函数 sin()yAx????(0A?,0??)的性质 1. 定义域: xR?,值域:y∈[-A,A]. 2.周期性: 2T??? 3. 奇偶性:2k?????时为偶函数;k???时为奇函数,kZ?. 4.单调性:单调增区间 :[????????????22,22kk] , kZ? 单调减区间:[????????????232,22kk] , kZ? 5. 对称性:对称中心(????k,0),kZ?;对称轴 高中数学必修4知识点总结 第一章 三角函数(初等函数二) ?? ?? ?正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角. 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<+∈Z 第二象限角的集合为{} 36090360180,k k k α?++∈Z 第三象限角的集合为{ } 360180360270,k k k αα?+<+∈Z 第四象限角的集合为{ } 360270360360,k k k αα?+<+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{ } 180,k k αα=?∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{ } 18090,k k αα=?+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{ } 90,k k αα=?∈Z 3、与角α终边相同的角的集合为{ } 360,k k ββα=?+∈Z 4、已知α是第几象限角,确定 ()* n n α ∈N 所在象限的方法:先把各象限均分n 等份,再从x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则α原来是第几象限对应的标号即为n α 终边所落在的区域. 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度. 6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l r α= . 7、弧度制与角度制的换算公式:2360π= ,1180π = ,180157.3π??=≈ ??? . 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制,半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S ,则l r α=,2C r l =+, 2 1122 S lr r α= = . 9、设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ,它与原点的距离是( ) 0r r =>, 则sin y r α= ,cos x r α= ,()tan 0y x x α= ≠. 10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正. 11、三角函数线:sin α=M P ,cos α=O M ,tan α=AT . 12、同角三角函数的基本关系:()2 2 1sin cos 1αα+= 高一三角函数知识 §1.1任意角和弧度制 ?? ? ??零角负角:顺时针防线旋转正角:逆时针方向旋转 任意角..1 2.象限角:在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限。 3.. ①与α(0°≤α<360°)终边相同的角的集合:{} Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合: {} Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合:{} Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合:{} Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合:{ } Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合:{} Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称,则角α与角β的关系:Z k k ∈-=,βα 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称,则α与角β的关系:Z k k ∈-+=,βα 180360 ⑨若角α与角β的终边在一条直线上,则α与角β的关系:Z k k ∈+=,βα 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直,则α与角β的关系:Z k k ∈++=, 90180βα 4. 弧度制:把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角所对 的弧长为l ,则其弧度数的绝对值|r l = α,其中r 是圆的半径。 5. 弧度与角度互换公式: 1rad =(π 180)°≈57.30° 1°=180 π 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. 6.. 第一象限的角:? ?? ? ??∈+< 《三角函数》 【知识网络】 应用 弧长公式同角三角函数诱导应用计算与化简 的基本关系式公式证明恒等式 应用 任意角的概念角度制与任意角的三角函数的应用已知三角函 图像和性质数值求角 弧度制三角函数 和角公式应用 倍角公式 应用 差角公式 应用 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x轴正向的射线,围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角,顺时针旋转为负角,不旋转为零角 2、同终边的角可表示为k 360 k Z x 轴上角:k 180 k Z y 轴上角:90k 180k Z 3、第一象限角:0 k 36090k 360 k Z 第二象限角:90k 360180k 360k Z 第三象限角:180k 360270k 360k Z 第四象限角:270k 360360k 360k Z 4、区分第一象限角、锐角以及小于90 的角 第一象限角:0 k 36090 k 360 k Z 锐角:090小于90的角:90 5、若 为第二象限角,那么 为第几象限角? 2 2k 2k k 2 k 2 4 2 k 0, 4 , k 1, 5 3 , 2 4 2 所以 在第一、三象限 2 6、弧度制:弧长等于半径时,所对的圆心角为 1弧度的圆心角,记作 1rad . 7、角度与弧度的转化: 1 0.01745 1 180 57.30 57 18 180 8、角度与弧度对应表: 角度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 360 弧度 2 3 5 2 6 4 3 2 3 4 6 9、弧长与面积计算公式 弧长: l R ;面积: S 1 l R 1 R 2 ,注意:这里的 均为弧度制 . 2 2 二、任意角的三角函数 P (x, y) 1、正弦: sin y x y ;余弦 cos ;正切 tan x r r r 其中 x, y 为角 终边上任意点坐标, r x 2 y 2 . 2、三角函数值对应表: 度 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 弧度 2 3 5 3 2 6 4 3 2 3 4 6 2 sin 1 2 3 1 3 2 1 0 1 2 2 2 2 2 2 cos 3 2 1 0 1 2 3 0 1 2 1 1 2 2 2 2 2 tan 3 1 3 无 3 1 3 0 无 3 3 3、三角函数在各象限中的符号 三角函数 知识要点 三角函数 1. ①与(0°≤<360°)终边相同的角的集合(角与角的终边重合): ②终边在x轴上的角的集合: ③终边在y轴上的角的集合: ④终边在坐标轴上的角的集合: ⑤终边在y=x轴上的角的集合: ⑥终边在轴上的角的集合: ⑦若角与角的终边关于x轴对称,则角与角的关系: ⑧若角与角的终边关于y轴对称,则角与角的关系: ⑨若角与角的终边在一条直线上,则角与角的关系: ⑩角与角的终边互相垂直,则角与角的关系: 2. 角度与弧度的互换关系:360°=2 180°= 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. 弧度与角度互换公式: 1rad=°≈57.30°=57°18ˊ 1°= ≈0.01745(rad) 3、弧长公式:. 扇形面积公式: 4、三角函数:设是一个任意角,在的终边上任取(异于原点的)一点P(x,y)P与原点的距离为r,则 ; ; ; ; ;. . 5、三角函数在各象限的符号:(一全二正弦,三切四余弦) 6、三角函数线 正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: AT. 7. 三角函数的定义域: 三角函数 定义域 sinx cosx tanx cotx secx cscx 8、同角三角函数的基本关系式: 9、诱导公式: “奇变偶不变,符号看象限” 三角函数的公式:(一)基本关系 公式组二 公式组三 公式组四 公式组五 公式组六 (二)角与角之间的互换 公式组一 公式组二 公式组三 公式组四 公式组五 ,,,. 上递增(减),则在上递减(增). ②与的周期是. ③或()的周期. 的周期为2(,如图,翻折无效). ④的对称轴方程是(),对称中心();的对称轴方程是(),对称中心();的对称中心(). ⑤当·;·. ⑥与是同一函数,而是偶函数,则 . ⑦函数在上为增函数.(×) [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域,为增函数,同样也是错误的]. ⑧定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件:一是定义域关于原点对称(奇偶都要),二是满足奇偶性条件,偶函数:,奇函数:) 奇偶性的单调性:奇同偶反. 例如:是奇函数,是非奇非偶.(定义域 §04. 三角函数 知识要点 1. ①与α(0°≤α<360°)终边相同的角的集合(角α与角β的终边重合): {} Z k k ∈+?=,360 |αββ ②终边在x 轴上的角的集合: {} Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合:{ } Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合:{} Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合:{}Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合:{}Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称,则角α与角β的关系: ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称,则角α与角β的关系:⑨若角α与角β的终边在一条直线上,则角α与角β的关系:βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直,则角α与角β的关系: 90360± +=βαk 2. 角度与弧度的互换关系:360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式: 1rad = π180°≈57.30°=57°18ˊ. 1°=180 π≈0.01745 (rad ) 3、弧长公式:r l ?=||α. 扇形面积公式:211||22 s lr r α==?扇形 4、三角函数:设α是一个任意角,在 α的终边上任取(异于原点的)一点P (x,y )P 与原点的距离为r ,则 =αsin r x =αcos ; x y = αtan ; y x =αcot ; x r =αsec ;. αcsc 5、三角函数在各象限的符号:正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: AT. 7. 三角函数的定义域: SIN \COS 1、 2、3、4表示第一、二、三、 四象限一半所在区域16. 几个重要结论: 三角函数基础知识点 1、两角和公式 sin(A ±B) = sinAcosB ±cosAsinB B A B A B A tan tan 1tan tan )tan(?±=±μ cos(A ±B) = cosAcosB μsinAsinB 2、二倍角公式(含万能公式) tan2A = A tan 12tanA 2- sin2A=2s inA?cosA=A tan 12tanA 2 + cos2A = cos 2A-sin 2A=2cos 2A-1=1-2sin 2A=A tan 1A tan -12 2 + 22cos 1tan 1tan sin 222 A A A A -=+= 2 2cos 1cos 2 A A += 3、特殊角的三角函数值 4、诱导公式 公式一: απαsin )2sin(=+k ;απαcos )2cos(=+k ;απαtan )2tan(=+k .(其中Z ∈k ). 公式二: ααπ-sin sin(=+);ααπ-cos cos(=+);ααπtan tan(=+). 公式三: sin()-sin αα-=;cos()cos αα-= ;tan()tan αα-=-. 公式四: ααπsin sin(=-);ααπ-cos cos(=-);ααπtan tan(-=-) 公式五: sin(2sin παα-=-);cos(2cos παα-=);tan(2tan παα-=-) 公式六: sin( 2π) = cos ; cos(2π ) = sin . 公式七: sin(2π+) = cos ;cos(2π +) = sin . 公式八: sin(32π)=- cos ; cos(32π ) = -sin . 公式九: sin(32π+) = -cos ;cos(32 π +) = sin . 以上九组公式可以推广归结为:要求角2 k π α?±的三角函数值, 只需要直接求角α的三角函数值的问题.这个转化的过程及结果就是十字口诀“奇变偶不变,符号看象限”。即诱导公式的左边为k ·900+α(k ∈Z )的正弦(切)或余弦(切)函数,当k 为奇数时,右边的函数名称正余互变;当k 为偶数时,右边的函数名称不改变,这就是“奇变偶不变”的含义,再就是将α“看成”锐角(可能并不是锐角,也可能是大于锐角也可能小于锐角还有可能是任意角),然后分析k ·900+α(k ∈Z )为第几象限角,再判断公式左边这个三角函数在此象限是正还是负,也就是公式右边的符号。 高中三角函数总结 1.任意角的三角函数定义: 设α为任意一个角,点),(y x P 是该角终边上的任意一点(异于原点),),(y x P 到原点的距离为22y x r += ,则: )(tan ),(cos ),(sin y x x y x r x y r y ?=== 正负看正负看正负看ααα 2.特殊角三角函数值: 3.同角三角函数公式: αααααααααα αtan 1 cot ,sin 1csc ,cos 1sec 1cos sin ,cos sin tan 22= ===+= 4.三角函数诱导公式: (1))(;tan )2tan(,cos )2cos( ,sin )2sin(Z k k k k ∈=+=+=+απααπααπα (2);tan )tan(,cos )cos(,sin )sin(απααπααπα=+-=+-=+ (3);tan )tan(,cos )cos(,sin )sin(αααααα-=-=--=- (函数名称不变,符号看象限) (4);cot )2 tan(,sin )2cos(,cos )2sin(απ ααπααπ α-=+-=+=+ (5);cot )2 tan(,sin )2cos(,cos )2sin( ααπ ααπααπ =-=-=- (正余互换,符号看象限) 注意:tan 的值,总为sin/cos ,便于记忆; 5.三角函数两角诱导公式: (1)和差公式 βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan( ±= ± (2)倍角公式 令上面的βα=可得:αααcos sin 2)2sin(= α αααα2222sin 211cos 2sin cos )2cos(-=-=-= α α α2tan 1tan 2)2tan(-= 6.正弦定理: △ABC 中三边分别为c b a ,,,外接圆半径为R ,则有: R C c B b A a 2sin sin sin === 7.余弦定理: △ABC 中三边分别为c b a ,,,则有:ab c b a C 2cos 2 22-+= 8.面积公式: △ABC 中三边分别为c b a ,,,面积为S ,则有:)(sin 2 1 两边与夹角正弦值C ab S = 9.三角函数图象:三角函数知识点归纳
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