2.1.2 函数的表示方法 教案

2.1.2 函数的表示方法

【学习目标】

1． 掌握函数的三种常用表示方法，了解初等函数图象的几种情形； 2． 理解分段函数的意义，初步学会用函数的知识解决具体问题的方法． 【课前导学】 引入问题

1．回忆函数的两种定义； 2．函数的三要素分别是什么？

3．设函数22(2)

()2(2)

x x f x x x ?+≤=?>?，则(4)f -= ，若0()8f x =，则0x = ．

【课堂活动】 一．建构数学：

在第一节开头的时候，有3个函数问题。

第一个问题，利用我国人口数据表来表示年份和人口数之间的函数关系。这种用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法。

优点：不需要计算，就可以直接看出自变量取某个值时，相应的函数值是多少．

第二个问题中，给出了物体下落时间x 与下落距离y 之间的函数关系式。这种用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法。这个等式通常叫做函数的解析表达式，简称解析式。

优点：??

?便于用解析式研究函数的性质；

可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值；

第三个问题中，我们用图像表示了时刻和气温的关系。这种用图像表示两个变量之间函数关系的方法称为图像法。

优点：直观形象地表示函数的变化情况，也就是当自变量的值改变时函数值的变化情况．

二．应用数学：

例1 某种笔记本每个5元，买 x （x ∈{1,2,3,4}）个笔记本的钱数记为y （元），试分别用解析法、列表法、图像法将y 表示成x 的函数，并指出该函数的值域。

例2 国内投寄信函（外埠），每封信函不超过20g 付邮资80分，超过20g 而不超过40g 付邮资160分，依次类推，每封x g(0

解：这个函数的定义域集合是1000≤

?????

????∈∈∈∈∈=].

100,80(,400],80,60(,320],60,40(,240],40,20(,160],20,0(,80x x x x x y

这个函数的图象是5条线段（不包括左端点），都

平行于x 轴，如图

所示.

这一种函数我们把它称为分段函数 例3 画出函数y=|x|=??

?<-≥.

0,

0x x

x x

的图象. 解：这个函数的图象是两条射线，分别是第一象限和第二象限的角平分线，如图所示.

说明：①函数图象的多样性：点、不连续的线段、连续的曲线等；

②从例2和例3看到，有些函数在它的定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，对应法则不同。像这样，在定义域内不同部分上有不同的解析表达式，这样的函数通常称为分段函数.注意分段函数是一个函数，而不是几个函数.

③注意：并不是每一个函数都能作出它的图象，如狄利克雷（Dirichlet ）函数D(x)=???.

x 0x 1是无理数，是有理数，，,

我们就作不出它的图象. 三．理解数学：

1．在函数2

2(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-??=-<

中，若()3f x =，则x

2．已知1(0)()(0)0(0)x x f x x x π+>??

==??

，则{[(1)]}f f f -= 6π+ ．

3． 已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出：

则[(1)]f g 的值为 1 ；满足[()][()]f g x g f x >的x 的值是 2 【课后提升】

1．设函数3,(1)()62,(1)

x x f x x x -≥?=?-

(2),(())2f f f 的值；

②试求)]([x g f 和[()]g f x 解析式.

2．某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：

（1）乘坐汽车5公里以内，票价2元；

（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算）．

已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象

3．已知???>-≤+=)

0(2)

0(1)(2x x x x x f ，若()10f x =,则x = ．3-