沪科版七年级下册数学导学案及答案全册

课题：6.1 平方根、立方根（1）

第一课时 平方根

学习目标：

1.了解平方根的概念，会用根号表示数的平方根.

2.了解开平方与平方互为逆运算，会用平方根的概念求某些非负数的平方根.

学习重点：

了解开方与乘方互为逆运算，能熟练地用平方根求某些非负数的平方根.

学习难点：

平方根的意义。

一、学前准备

【旧知回顾】 1

2．填空：(－3)2= ；(－3

5)2= ；

=

-2

3

。

总结：任意有理数．．．．．的平方是 数．即 2

a

≥

0 。

的意义不相同

与2

2

)(a a --。

3.我们知道：4的平方是16， 的平方也是16，所以 的平方是16．

类似的： 的平方是25； 的平方是2549； 的平方是17

9 ； 【新知预习】

1、平方根的定义：一般的， ，也叫做 。记作：

2、平方根的性质：

（1）正数有 个平方根，且它们互为 。 （2）0的平方根是 。

（3）负数 。 3、想一想，填一填：

（1）5

±

表示

（2）-25的平方根 ，理由是 。 （3）因为22=_____，（-2）2=______，所以2和-2都是_____的平方根．

二、探究活动

【初步感悟】

① 因为25= ,

2

)

5(-= ,所以 ±5是 的平方根 .

② 平方得81的数是 ，因此81的平方根是 . ③ 9的平方根是 ；4

9

的正的平方根是 ；1.44的负的平

方根是 ．

归纳定义: 【讨论提高】

① 3有 个平方根，它们互为 数，记作 . ② 0有 个平方根，0的平方根是 ．

③ -4、-8、-36有平方根吗？为什么？ 总结：一个数的平方根有几个？（平方根的性质）

应用：

1.如果 a 的一个平方根是 4,则它的另一个平方根是 .

2.若 1+a 平方根是 ±5 ，则 a = ；

若 1+a 平方根是 0 ，则 a = ； 若1+a 没有平方根，那么 a ．

3.明辨是非：下列叙述正确的打“√” ，错误的打“×”：

①4是16的平方根； （ ） ② 16的平方根是4； ( ) ③2)3(-的平方根是3. ( ) ④1的平方根是1； ( ) ⑤9的平方根是3； ( ) ⑥ 只有一个平方根的数是0；( ) 【例题研讨】

例1.求下列各数的平方根： （1）0.25； （2）

81

16； （3）15； （4）()2

2- （5）2

10

-．

例2.求下列各式中的x 的值

⑴196

2

=x ； ⑵0

1052

=-x ； ⑶()

2

336-x －25=0．

例3.下列各数有平方根吗？若有，求出它们的平方根；若没有，请说明理由. （1）64

-

； （2）

2

)

4(-； （3）2

5

--

； （4）

81

.

【课题自测】

1.121的平方根是11±的数学表达式是…………………（ ）

A.11121=

B.11121±=

C. 11121=±

D.11121±=± 2.下列说法中正确的是…………………………………………………（ ） A.24-的平方根是 4± B.把一个数先平方再开平方得原数 C.a -没有平方根 D.正数a 的平方根是a ± 3.能使5-x 有平方根的是……………………………（ ）

A.0≥x

B.0>x

C. 5>x

D. 5≥x

4.一个数如果有两个平方根，那么这两个平方根之和是…………（ ） A.大于0 B.等于0 C.小于0 D.大于或等于0

5.289的平方根是 ，2)4(-的平方根是 ，

三、自我测试

1.如果一个数的平方根等于它本身，那么这个数是 .

2.－9是数a 的一个平方根，那么数a 的另一个平方根是 ，数a 是 .

3．如果一个数的平方根是1+a 与132-a ，那么这个数是 ． 4.

225

±

= ，

25

16±

= ，

=

-9

72

，

5、求下列各数的平方根 （1）

81

16 （2）7- （3）15 （4）2)5(-

6.求下列各式中的x . （1）492=x ； ⑵25

)1(2

=-x ； （3）0

9)

12(42

=-+x

四、应用与拓展

1.已知 5x －1的平方根是 ±3 ，4x ＋2y ＋1的平方根是 ±1，求4x －2y 的平方根

2.若－b 是a 的平方根，则下列各式中正确的是………………（ ） A. 2a b = B. 2b a = C.2a b -= D.2b a -=

3.若2

23

=y ，则=

y

；若2

2

)

7(-=x ，则=

x

.

4．7

49±=±

的意义是 ．

5.若正数a 的两个平方根的积为－

25

9，则a = ．

课题：6.1 平方根、立方根（2）

第二课时 算术平方根

学习目标：

1．了解算术平方根的概念,会用根号表示数的算术平方根； 2. 会用平方运算求某些非负数的算术平方根； 3．能运用算术平方根解决一些简单的实际问题．

学习重点：

会用平方运算求某些非负数的算术平方根，能运用算术平方根解决一些简单的实际问题．

学习难点：

区别平方根与算术平方根

一、学前准备

【旧知回顾】

1．下列说法正确的是………………………………………（ ） A ．81-的平方根是9± B ．任何数的平方根也是非负数

C ．任何一个非负数的平方根都不大于这个数

D ．2是4的平方根 2.一个数的平方根是它本身，则这个数是………………………（ ）

A ．1

B ．0

C ．±1

D ．1或0 3．若a 的一个平方根是b ，则它的另一个平方根是 ． 4．已知36

12

=x ，则=

x

；已知2

2

)

4

1(-

=x ，则=

x

．

【新知预习】

1、算术平方根的定义： 。记作：

2、平方根和算术平方根之间的关系

3、想一想，填一填： 1．填空：

（1）0的平方根是_______，算术平方根是______. （2）25的平方根是_______，算术平方根是______. （3）

64

1的平方根是_______，算术平方根是______.

二、探究活动

【初步感悟】

1、判断下列说法是否正确： （1）6是36的平方根；（ ） （2）36的平方根是6；（ ）

（3）36的算术平方根是6；（ ） （4）()2

3-的算术平方根是3；（ ）

（5）3-的算术平方根是3；（ ）

提醒：注意平方根与算术平方根之间的区别和联系。 【讨论提高】 （1）

25

的算术平方根是_______，平方根是_______；

(－4)2的平方根是_________，算术平方根是 . （2）若0

|5|)12(2

=-+-y x

，则y

x

5

16-的算术平方根___________

【例题研讨】

例1． 求下列各数的平方根和算术平方根： ⑴225 ⑵1.69 ⑶4

12 ⑷

16

⑸30

例2．（1）

=

2

)

01.0( ；

=

2

)

5( ；

=

2

)

7( ；

（2）=

2

3 ；

=

2

5 ；

（3）=-2

)3( ；

=

-2

)

5( ；

思考：①

=

2

)

(

a ，其中a 0.

②发现：当a ＞0时，

2

a

＝ ；

当a ＜0，2a ＝ ； 即2

a ＝ 当a = 0时，

2

a

＝

【课堂自测】

1．判断下列说法是否正确：

（1）任意一个有理数都有两个平方根.（ ） （2）（－3）2的算术平方根是3.（ ）

()()()?????

?????<-=>=0000a a a a a a

（3）－4的平方根是－2.（ ） （4）16的平方根是4.（ ） （5）4是16的一个平方根.（ ） （6）4

16±= （ ）

2．计算：____

144

=-

；

_____

0001.0= ；

49

9±

＝______；

3．2

)

4(

= ；．2

)

(

π= ；

_____

432

=???

??-；()

_____

22

=-．

4．若4

2=x ，则x ＝________；若()

4

12

=+x ，则x ＝________.

三、自我测试

1. 在0、－4、3、(－2)2、－22中，有平方根的数的个数为………………（ ） A.1 B.2 C.3 D.4

2.

4

表示………………………………………………（ ）

A.4的平方根

B.4的算术平方根

C.±2

D.4的负的平方根 3．若x 的平方根是±2，则x

＝______；

4．2

)

5(

= ；．2

)

3(

-π= ；

_____

432

=??

?

??-；

_____

)

3(2

=-π．

5. 下列各数有没有平方根？若有，请求出它的平方根和算术平方根；若没有，

请说明理由.

（1）256 （2）()2

1- （3）9

1- （4）1.21 （5）2 （6）2

3

-

6．求下列各式中的x ： ⑴0

12=-x ⑵2

122

=

x ⑶()

36

32

=-x ⑷()0

1001252

=--x

四、应用与拓展

1．若数a 有平方根，则a 的取值范围是______，若4-m 没有算术平方根，则m 的取值范围是_______.

2. 某玩具厂要制作一批体积为100000cm 3的长方体包装盒，其高为40cm ，按

设计需要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？ 3.已知4

11+=-+-y x x ，求y

x -

的值

4．已知0

)

(22

=++-b a a ，求b a 的值

5．若

322=-+

-+

-b a a ，求b a -5的平方根

通过本节课的复习，加深对平方根与算术平方根的理解．

复习难点：

a

的双重非负性的理解

日期：心情：_______

本节课你有哪些收获？感受最深的是什么？

复习内容

（一）概念强化

1．如果x 的平方等于169，那么x 叫做169的________； 如果x 的平方等于5，那么x 叫做5的________； 如果x 的平方等于a ，那么xx 叫做a 的________。 2．49的平方根是________；49的算术平方根是_______；

144

25的平方根是________；

144

25的算术平方根是________；

0的平方根是________；0的算术平方根是______； －1.5是______的平方根。 3．

144

=_______（

144

表示144的________）；

－144=_______（－144表示144的_______）； ±

144

=________（±

144

表示144的_______）。

4．平方根性质总结：一个正数有______个平方根，它们互为_______；0的平

方根是____；负数______平方根。

算术平方根只是正数平方根中的正的那一个。 （二）基础练习

1．求下列各数的平方根： 64：_______； 81

49：_______； 0.36：_______；324：_______。

2．

16

9?

=________；

16

9?=_______；－

916.0?

=_______；

。

；

；

________

09.09

72

_______

169

25________

169

25=?== 3．10表示10的__________，13表示__________________。

4．

225

=________；±

9

71

=_______；2

2）

（－

=_______；

2

9.0）

（－=________；

2

________94

1a

；－=（a<0）=_______。

5．五块同样大小的正方形钢板的面积是320m 2，求钢板边长。

（三）提高练习

1.实数在数轴上的位置如图，那么化简2

a

b a --的结果是 （ ）

A.b

a -2

b D.b

a +-2

7.已知y 4

=+，你能求出x ，y 的值吗？

8.

y 10

+=，你能求出2003

2004

x y

+的值吗？

《平方根与算术平方根》小测验

1.判断正误

（1） 5是25的算术平方根.（ ） （2）4是2的算术平方根.（ ） （3）6.（ ） （4）3

7是2

37??

- ?

??

的算术平方根.（ ）

（5）56

-

是

2536

的一个平方根.（ ） （6）81的平方根是9.（ ）

2.填空题

（1）如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做 . （2）一个正数的平方根有 个，它们互为 . （3）0的平方根是 ，0的算术平方根是 . （4）一个数的平方为71

9

，这个数为 .

（5）若a=15±，则a 2= ；若

=0，则a= .若2

=9，

则a= .

（6）一个数x 的平方根为7±，则x= . （7）若x 的一个平方根，则这个数是 .

（8）比3的算术平方根小2的数是 .

（9）若a 9-的算术平方根等于6，则a= . （10）已知2

y x

3

=-，且y 的算术平方根是4，则x= .

（11）

的平方根是 .

（12）已知1y 3

=

+

，则x= ，y= .

3.选择题

（1）的值为 （ ）.

（A ）6- （B ）6 （C ）8± （D ）36

（2）一个正数的平方根是a ，那么比这个数大1的数的平方根是（ ）.

（A ）2

a 1- （B ）±

（C （D ）

（3）如果

1.3110.1311==，则x 等于（ ）.

（A ）0.0172 （B ）0.172 （C ）1.72 （D ）0.00172

（4）若

2

=，则()

2

m 2+的平方根是（ ）.

（A ）16 （B ）16± （C ）4± （D ）2±

4.求下列各数的算术平方根和平方根：

（1）0.49 （2）11125

（3）()2

5- （4）

6

110

（5（6）0

5.求下列各式的值：

（1（2-（3

6.求满足下列各式的未知数x ： （1）2x 3

= （2）2

x 0.010

-=

（3）2

3x

120

-= （4）

()2

4x 125

-=

课题：主备人：3．运用数学符号描述开方运算的过程，建立开方的概念，发展抽象思维．

学习重点：

掌握立方根的概念，会求一个数的立方根．

学习难点：

明确平方根与立方根的区别，能熟练地求一个数的立方根．

一、学前准备

【旧知回顾】

1．7的平方根是 ，5的算术平方根是 ，9的平方根是 2．求下列各式的值

(1)2)3(- (2)2)3(- （3）2

)3(-π （4）2)1(-x )1(

3．填空：2的立方是 ；

4

3的立方是 ；0的立方是 ；

3

)3(-= ；3

)5

2(-

= ．

总结：正数的立方是 ； 负数的立方是 ； 0的立方是

【新知预习】

日期：_____心情：_______

本节课你有哪些收获？感受最深的是什么？

1、立方根的定义： 。记作：

2、求下列各数的立方根 （1）64 （2）125

8-

（3）9 (4)310- (5)

64

二、探究活动

【初步感悟】

1、下列各数有立方根吗？如果有，请写出来；如果没有，请说明理由

27

8，0.001，9，-3，-64，216

125-

，https://www.wendangku.net/doc/0d4232584.html,

总结：任何数都有立方根，一个数的立方根不改变它的 。

【例题研讨】 例1．求下列各式的值

3

3

)

2.1( ，

3

3)6(- ， 3

3

)5(- ， 3

8

1-

-

例2．求下列各式的值

（1）3

27

102

-

（2）3

125

8-

-

（3）38

54-

讨论：1. 等于多少？

）（3

38- 等于多少？）（3

32

2.

等于多少？

）（3

3

8-

等于多少？

3

3

2 你能用符号总结一下刚才的结论吗？

【课堂自测】

1．判断下列说法是否正确

（1）9的平方根是3 （ ） （2）8的立方根是2 （ ） （3）-0.027的立方根是-0.3（ ） （4）3

127

1±

的立方根是 ( )

(5)-9的平方根是-3 ( ) (6)-3是9的平方根 （ ）

2．填空：

（1）64的平方根是 ，立方根是 ，算术平方根是

（2）=

3

1- ，

=

3

216

125 ，3．求下列各式的值 （1）3

1000

- （2）3

64

611

- （3）3

27

102-

- （4）3

8

33+

4．求下列各式中的x (1)216

3=x (2)0

2733

=-x (3)

164

13

=+x (4)0

81)1(33

=+-x

三、自我测试

1．立方根等于本身的数是 （ ） A ．±1 B ．1，0 C ．±1，0 D ．以上都不对 2．若一个数的算术平方根等于这个数的立方根，则这个数是（ ） A ．±1 B ．±1，0 C ．0 D ．0，1 3．下列说法正确的是（ ）

A ．1的立方根与平方根都是1

B ．2

33

a

a

=

C ．3

8

的平方根是2

±

D ．2

52128

183

=+

=+

4．求下列各式的值 （1）3

027

.0-- （2）3

343

（3）3

125

216-

（4）3

1

-27

19

（5）33)6-（ （6）2

)

4(-- （7）

3

4

（8）

2

34

3+

6．若

=

=m m 则,10 ，若的平方根是

，则m m 43

=

7．8的立方根与25的平方根之差是 9．一个正方形木块的体积为2

125

cm

，现将它锯成8个同样大小的正方体小木

块，求每个小正方形体木块的表面积．

四、应用与拓展

1、若=

=m m m 则,3

2．已知0)532(32,2

=--+--y x y x y x 满足：

，求的立方根

y x 8-

3．由下列等式

......

634463

4426

3326

337

227

22

3

33333

===，

，所提示的规律，可得

出一般性的结论是

日期：心情：_______

分类，同时会判断一个数是有理数还是无理数； 2.知道实数和数轴上的点一一对应；

3.经历用有理数估算2的探索过程，从中感受“逼近”的数学思想，发展数感，激发学生的探索创新精神.

学习重点：

1、知道无理数的客观存在性、无理数和实数的概念；

2、会判断一个数是有理数还是无理数.

学习难点：

无理数探究中“逼近”思想的理解

一、学前准备

【自学新知】

1、用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你能发现什么： 5

3－

，

8

47，

11

9，

9

11，

9

5， 5

结论：任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式 2、我们把 叫做无理数。 和 统称为实数。 如：

3

33

252，，，－

…都是无理数，π＝3.14159265…也是无理数。

3、下列各数哪些是有理数？哪些是无理数？ 3

1，3.1，020********…，

2

，－π，3

8

，

36

，3

25

，2

π

。

4、用根号表示的数一定是无理数吗？

二、探究活动

【探究无理数】

探索活动1 2是个整数吗？为什么？

探索活动2 那么，2是一个分数吗？面对这个问题，我们该如何解决呢？请同学们分组讨论。

探索活动3 2到底多大呢？请同学们根据前面的结果，分组讨论，精确地

估计2

的范围。

归纳结论：

这是一个无限不循环小数，我们称这样的数是 。我们把有理数和无理数统称为 。 【例题研讨】

例1.把下列各数填入相应的集合内，432

，-3

9

，3.1415，

10

，0.6，0，3

125

-，

3

π，

49

16 ，0.01001000100001……

(1)有理数集合：{ …} (2)无理数集合：{ …} (3)整数集合： { …} (4)正实数集合：{ …}

例2.判断题：

（1）无限小数是无理数（ ） （2）无理数都是无限小数（ ） （3）有理数都是实数 （ ） （4）实数可分为正实数和负实数（ ） （5）带根号的数都是无理数（ ） （6）无理数比有理数少（ ） （7）实数与数轴上的点一一对应 （ ）

例3、请用“逐步逼近法”估计5

的大小，并保留3个有效数字。

【课堂自测】

1.判断正误，若不对，请说明理由，并加以改正。

（1）无理数都是无限小数。 （2）带根号的数不一定是无理数。 （3）无限小数都是无理数。 （4）数轴上的点表示有理数。 （5）不带根号的数一定是有理数。

2.2

、

2

π中，无理数有（ ）．

（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个

3.（1）把下列各数填入相应的集合内：-7，0.32，1

3，-

2

π．

有理数集合：{ …}； 无理数集合：{ …}； (2)2

13

、3

8

-、0、

27

、3

π

、5.0、3.14159、-0.020020002 0.12121121112…

(1)有理数集合{ }

(2)无理数集合{ } (3)正实数集合{ } (4)负实数集合{ }

三、自我测试

1、把下列各数填在相应的集合里：

3

1， 3.1 ，020********…，

2

，－π，3

8

，

36

，3

25

，2

π

。

整数集合｛ … ｝ 分数集合｛ … ｝ 负分数集合｛ … ｝ 有理数集合｛ … ｝ 无理数集合｛ … ｝ 3、点M 在数轴上与原点相距5

个单位，则点M 表示的实数为

4、在5，0.1,－π，

25

，3

27

-

，4

3，

8

，

7

3八个实数中，无理数的个数

是 （ ）

A ．5

B ．4

C ．3

D ．2 5、下列说法中正确的是 （ ）

Ａ．有理数和数轴上的点一一对应 Ｂ．不带根号的数是有理数 Ｃ．无理数就是开方开不尽的数 Ｄ．实数与数轴上的点一一对应 6、想一想

3

8-与0哪个值更大？

四、应用与拓展

1、写出6

的整数部分与小数部分

2、观察例题：∵9

74＜＜，那么3

72＜＜

∴

7

的整数部分为2，小数部分为（

7

－2）

如果2

的小数部分为a,

3

的小数部分为b.

求：5

·3·2－＋

b a 的值。

学习重点：

1、了解实数的相反数、倒数、绝对值的意义

2、了解有理数的运算法则、运算律在实数范围内仍然适用。

学习难点：

实数的运算、实数大小的比较

一、学前准备

1.实数-1.732，2

π，34，0.121121112…，01

.0-

中，无理数的个数有（ ）.

A.2个

B. 3个

C.4个

D.5个

日期：心情：_______

2.已知0＜x ＜1，那么在x ，x 1

，

x

，x 2中最大的是 （ ）

A ．x

B ．x

1

C ．

x

D ．x 2

3.若a+b=0，则a 与b_______________________。

4.若︱x ︱= a 则x=_____________。

5.若a 是任意一个实数，数a 的相反数是_____。例如5

-的相反数是 。

6.分别写出， 3.14

π

-的相反数 。

7.的绝对值是 ，7

3-

的倒数是 。

8.化简5

2-

= 。

二、探究活动

1、想一想：通过刚才的练习，与有理数比较，你能总结出在实数范围内，一个实数的相反数、倒数、绝对值意义有改变吗？

结论： 2、例题分析

例1、求下列各数的相反数、绝对值： 2.5， －7

， 5

π－

， 0，

3

2

，

3

， －2 ，

3

64

－， π－3

例2、

21-的相反数是 ；绝对值是 ．

3、计算：（1）（ （2）

（3）2

?—2

÷ （4+