数学奥林匹克竞赛轮换与对称

因式分解对称式交代式和轮换式

1、基本概念

(1)对称式：在一个代数式中，如果把它所含的两个字母互换，式子不改变，那么这个代数式就叫做关于这两个字母的对称式。如a b +,22a ab b ?+,322333a a b ab b +++等都是关于,a b 的对称式。

一般地，在一个代数式中，无论把其中哪两个字母互换，式子都不变，那么这个代数式就叫做关于这些字母的对称式，如a b c ++，222a b c ab bc ca ++???，3333a b c abc ++?等都是关于,,a b c 的对称式。

(2)交代式：在一个代数式中，如果把它所含的两个字母互换，得到的式子和原来的代数式只差一个符号，那么这个代数式就叫做关于这两个字母的交代式。如把a b ?，22a b ?中的两个字母,a b 互换，分别为()b a a b ?=??，2222()b a a b ?=??则a b ?，22a b ?就叫做关于,a b 的交代式。

(3)轮换式：在一个代数式中，如果把所含字母顺次替换(即第一个字母换成第二个字母，第二个字母换成第三个字母，以此类推，最后一个字母换成第一个字母)，式子不变，那么这个代数式就叫做关于这些字母的轮换对称式，简称轮换式，如a b c ++，ab bc ca ++，3333a b c abc ++?等都是关于,,a b c 的轮换式。

2、齐次对称式的一般形式

(1)二元齐次对称式

二元一次齐次对称式：)(b a L +；

二元二次齐次对称式：Mab b a L ++)(22；

二元三次齐次对称式：)()(33b a Mab b a L +++。

(2)三元齐次对称式

三元一次齐次对称式：)(c b a L ++；

三元二次齐次对称式：)()(222ca bc ab M c b a L +++++；

三元三次齐次对称式：)()([)(22233a c b c b a M c b a L ++++++Nabc b a c +++)](2。其中L，M，N 都是待定的常数，不含有,,a b c 。

3、基本性质

(1)对称式一定轮换式，但轮换式不一定是对称式。例如a c c b b a 222++是轮换式，但把,a b 互换，得到b c c a a b 222++，显然它不是关于,a b 的对称式。

(2)两对称式的和、差、积、商一定是对称式；两轮换式的和、差、积、商一定是轮换式。

(3)两交代式的积是对称式；一对称式和一交代式的积是交代式。如22))((b a b a b a ?=?+(对称式×交代式=交代式)；)()())((222b a b a b a b a +?=??。(交代式×交代式=对称式)。

(4)有若干个字母的交代式，一定能被其中任意两个字母的差整除，如交代式22b a ?能被()a b ?整除。

对于轮换式的因式分解，常用的方法是选定一个字母(例如x )作主元，将其余的元看成确定的数，然后用因式定理来确定它的因式，再利用轮换式的特征，定出几个相应的因式。例如，对一个关于z y x ,,的轮换式，如已定出y x ?是它的一个因式，则x z z y ??,都是它的因式。

4、对称式、交代式和轮换式的因式分解

例1、分解因式)()()(222b a c a c b c b a ?+?+?。

解：由于原式是关于,,a b c 的三次齐次交代式，根据性质(4)，它一定能被a b ?，b c ?，c a ?整除，即能被))()((a c c b b a ???整除。

但))()((a c c b b a ???是三次齐次交代式(性质(3))，

∴)()()(222b a c a c b c b a ?+?+?)())((a c c b b a L ????=。

令1,2,1?===c b a ，则3+(－3)+(－1)=L(－1)·3·(－2)。∴L=1。

因此)()()(222b a c a c b c b a ?+?+?)())((a c c b b a ?????=。

例2、分解因式)()()(233y x z x z y z y x ?+?+?。

解：由于原式是关于,,x y z 的四次齐次交代式，根据性质(4)，它一定能被x z z y y x ???,,整除，即能被))()((x z z y y x ???整除。

但))()((x z z y y x ???是三次齐次交代式(性质(3))，

∴原式=))()()((x z z y y x z y x L ???++。其中)(z y x L ++是一次齐次对称式(性质(3))。令0,1,2===z y x ，则L ××?×=+?+1)2(10)2(8∴L=－1

因此))()(()()()()(233x z z y y x z y x y x z x z y z y x ????++?=?+?+?。

例3、分解因式555)()()(a c c b b a ?+?+?。

解：原式是关于,,a b c 的五次齐次交代式，仿上两例知它能被))()((a c c b b a ???整除，

因此原式还应有一个二次齐次对称式的因式)()(222ca bc ab M c b a L +++++。

∴555)()()(a c c b b a ?+?+?＝[)()(222ca bc ab M c b a L +++++])

)()((a c c b b a ???令1,1,0?===c b a ，则2L－M=15，令2,1,0===c b a ，则5L+2M=15。

解???=+=?1525152M L M L 得L=5，M=－5。

∴555)()()(a c c b b a ?+?+?))()()((5222a c c b b a ca bc ab c b a ??????++=。

例4、分解因式abc c b a 3333?++。

解：由于原式是关于,,a b c 的三次齐次对称式，如果它能分解，则必有一个一次齐次对称式a b c ++做为因式，而另一个因式应是二次齐次对称式)

()(222ca bc ab M c b a L +++++∴原式=)(c b a ++[)()(222ca bc ab M c b a L +++++]。

令1,0===c b a ，则L=1；

令1,0===c b a ，则2L+M=1，M=－1。

∴abc c b a 3333?++=)(c b a ++)(222ca bc ab c b a ???++。

例5、分解因式5555)(z y x z y x ???++。

解：原式是关于,,x y z 的五次齐次对称式，所以它如果能分解，必有一个一次对称式因式。我们判断x y +是否是它的因式：

假设5555)(z y x z y x ???++=()x y +Q(Q 是整式)，

令x y =?，由05555=??+z y y z 知原式有因式x y

+同理知y z +，z x +都是原式的因式。

但))()((x z z y y x +++是三次齐次对称式，所以原式应有一个二次齐次对称式的因式：)()(222zx yz xy M z y x L +++++(性质(3))。

∴5555222()()()()[()()]

x y z x y z x y y z z x L x y z M xy yz zx ++???=++++++++令1,0===z y x ，则2L+M=15；

令1===z y x ，则L+M=10。

解???=+=+10152M L M L 得L=M=5。

∴5555222()5()()()()x y z x y z x y y z z x x y z xy yz zx ++???=++++++++。

例6、分解因式：abc

c b a ca bc ab ?++++))((解：原式是一个关于c b a ,,的对称式，取a 为主元，原式可看成是一个关于a 的二次多项式)(a f 当b a ?=时，原式0)(22=+?=?=c b c b b f 。由因式定理，原式含有因式()a b +由对称性，原式还含有因式))((a c c b ++。由于))()((a c c b b a +++已是关于c b a ,,的三次式，而原式也只是关于c b a ,,的三次式，故原式不会再由其他因式了。但原式与))()((a c c b b a +++还可能相差一个常数因数，故设=?++++abc c b a ca bc ab ))(())()((a c c b b a k +++①

这是一个关于c b a ,,的恒等式，可通过在等式的两边使c b a ,,取一些特殊值来求出k 。例如，取1===c b a ，代入①式，得k 88=，从而1=k 。所以

原式=)

)()((a c c b b a +++说明：上述解法中的待定系数,k 也可通过观察确定，由观察易知，①式左边2a 的系数是c b +，而右边关于2a 的系数是()k b c +，故1=k 。

如果一个多项式的所有项关于各字母的次数相同，则称为齐次多项式；否则，称为非齐次多项式。由于在对称式或轮换式中同型项的系数相同，所以三元二次齐次对称式的一般形式是222()()a x y z b xy yz zx +++++；三元一次非齐次对称式的一般形式是d z y x c +++)(这里d c b a ,,,都是常数，三元二次非齐次对称式的一般形式是上面两个式子之和。

把对称式或轮换对称式作因式分解时，应注意原式是齐次的还是非齐次的，并由此确定因式的形式。

例7、分解因式：5

55)()()(x z z y y x ?+?+?解：原式是五次齐次轮换式，仿照例8的办法知，y x ?，x z z y ??,都是它的一次因式。由原式的齐次性，它还有一个二次齐次因式。由轮换性，这个因式的形式必是222()()a x y z b xy yz zx +++++；(若为222z y x +?，由轮换式就会有另两个因式222x z y +?及222y x z +?，这样原式就至少为9次)，这里b a ,为待定系数。于是，便有

原式=)]

()()[)()((222zx yz xy b z y x a x z z y y x +++++???取1,1,0x y z ==?=，代入上式得215a b ?=；取0,1,2===z y x ，得5215

a b +=关于b a ,的两式联立，解得5,5?==b a 。所以

原式=)

)()()((5222zx yz xy z y x x z z y y x ???++???例8、分解因式：)

)()(()()()(333a c c b b a b a c a c b c b a ???+?+?+?解：原式是四次非齐次轮换式，易知a c c b b a ???,,是它的(一次齐次)因式。由于原式是非齐次的，它的另一个因式必是一次非齐次式，设为l k l c b a k ,,)(+++待定。于是原式=]

)()[)()((l c b a k a c c b b a +++???取1,2,0a b c ===，得462k l ?=+；取1,1?==b a ，,0=c 得l 22=解得1,1?==k l 所以原式=)

1)()()((?++????c b a a c c b b a 上面三个例子都是用求根法分解因式，但并非所有的对称式都能按照这种方法来分解因式。

例9、分解因式：4

44)(y y x x +++分析：原式是二元四次齐次对称式，很难看出x 取什么值(关于y 的表达式)能使它为零。这里不加证明的告诉读者如下的结论：任何一个二元对称式都可以用y x +及xy 表示出来。例如

3223444464)(xy y x y x y x y x ???+=+=2

24)(2)(4)(xy y x xy y x ++?+对于给定的对称式，寻求上面这种样子的具体表示方法，对解决某些代数求值问题及利用韦达定理解某些二次方程的问题是很有用的。

解：由分析中所得表示可见

原式=])()(2)[(2224xy y x xy y x ++?+=2

2222)(2]2)[(2y xy x xy y x ++=?+在一个含有若干个元的多项式中，如果互换任意两个元的位置，多项式不变，这种多项式叫做对称多项式(简称对称式)。例如，444)(y y x x +++是二元对称多项式，xyz z y x 3333?++是三元对称多项式。

一个关于w z y x ,,,,?的多元多项式，若依某种顺序把字母进行轮换(如把x 换成y ，y 换成w z ,,?换成x )，多项式不变，这种多项式叫做轮换对称多项式(简称轮换式)。例如，))()((,222b a c a c b c b a x z z y y x +?+?+?++都是三元轮换对称式。

显然，对称多项式都是轮换对称多项式，而轮换对称多项式则不一定是对称多项式。例如，222x y y z z x ++是轮换式，但因互换y x ,，得到的是y z z x x y 222++，这已不是原式，所以原式不是对称式。

对于轮换式的因式分解，常用的方法是选定一个字母(例如x )作主元，将其余的元看成确定的数，然后用因式定理来确定它的因式，再利用轮换式的特征，定出几个相应的因式。例如，对一个关于z y x ,,的轮换式，如已定出y x ?是它的一个因式，则x z z y ??,都是它的因

式。

例8、分解因式：abc

c b a ca bc ab ?++++))((解：原式是一个关于c b a ,,的对称式，取a 为主元，原式可看成是一个关于a 的二次多项式)(a f 当b a ?=时，原式0)(22=+?=?=c b c b b f 。由因式定理，原式含有因式),(b a +由对称性，原式还含有因式))((a c c b ++。由于))()((a c c b b a +++已是关于c b a ,,的三次式，而原式也只是关于c b a ,,的三次式，故原式不会再由其他因式了。但原式与))()((a c c b b a +++还可能相差一个常数因数，故设=?++++abc c b a ca bc ab ))(())()((a c c b b a k +++①

这是一个关于c b a ,,的恒等式，可通过在等式的两边使c b a ,,取一些特殊值来求出k 。例如，取1===c b a ，代入①式，得k 88=，从而1=k 。所以

原式=)

)()((a c c b b a +++说明：上述解法中的待定系数,k 也可通过观察确定，由观察易知，①式左边2a 的系数是c b +，而右边关于2a 的系数是),(c b k +故1=k 。

如果一个多项式的所有项关于各字母的次数相同，则称为齐次多项式；否则，称为非齐次多项式。由于在对称式或轮换式中同型项的系数相同，所以三元二次齐次对称式的一般形式是222()()a x y z b xy yz zx +++++；三元一次非齐次对称式的一般形式是d z y x c +++)(。这里d c b a ,,,都是常数，三元二次非齐次对称式的一般形式是上面两个式子之和。

把对称式或轮换对称式作因式分解时，应注意原式是齐次的还是非齐次的，并由此确定因式的形式。

例9、分解因式：5

55)()()(x z z y y x ?+?+?解：原式是五次齐次轮换式，仿照例8的办法知，y x ?，x z z y ??,都是它的一次因式。由原式的齐次性，它还有一个二次齐次因式。由轮换性，这个因式的形式必是222()()a x y z b xy yz zx +++++；(若为222z y x +?，由轮换式，就会有另两个因式222x z y +?及222y x z +?，这样原式就至少为9次)，这里b a ,为待定系数。于是，便有原式=)]

()()[)()((222zx yz xy b z y x a x z z y y x +++++???取1,1,0x y z ==?=，代入上式得215a b ?=；取0,1,2===z y x ，得5215

a b +=关于b a ,的两式联立，解得5,5?==b a 。所以

原式=)

)()()((5222zx yz xy z y x x z z y y x ???++???例10分解因式：)

)()(()()()(333a c c b b a b a c a c b c b a ???+?+?+?

解：原式是四次非齐次轮换式，易知a c c b b a ???,,是它的(一次齐次)因式。由于原式是非齐次的，它的另一个因式必是一次非齐次式，设为()k a b c l +++，,k l 待定。于是原式=]

)()[)()((l c b a k a c c b b a +++???取0,2,1===c b a ，得l k 264+=?；取1,1?==b a ，0c =，得l 22=解得1,1?==k l 所以原式=)

1)()()((?++????c b a a c c b b a 上面三个例子都是用求根法分解因式，但并非所有的对称式都能按照这种方法来分解因式。

例11、分解因式：4

44)(y y x x +++分析：原式是二元四次齐次对称式，很难看出x 取什么值(关于y 的表达式)能使它为零。这里不加证明的告诉读者如下的结论：任何一个二元对称式都可以用y x +及xy 表示出来。例如

3223444464)(xy y x y x y x y x ???+=+=2

24)(2)(4)(xy y x xy y x ++?+对于给定的对称式，寻求上面这种样子的具体表示方法，对解决某些代数求值问题及利用韦达定理解某些二次方程的问题是很有用的。

解：由分析中所得表示可见

原式=])()(2)[(2224xy y x xy y x ++?+=2

2222)(2]2)[(2y xy x xy y x ++=?+因式分解：(轮换对称法)

①3333a b c abc

++?②()()()

222222xy x y yz y z zx z x ?+?+?③()()()()

5555x y z y z x z x y x y z ++?+??+??+?④()()()

333a b c b c a c a b ?+?+?1、求证：4222?+++?y x y xy x 不能分解为两个一次因式的乘积。

2、已知4136234+++?kx x x x 是一个完全平方式。

3、若m y x y xy x ++???221145622可以分解为两个一次式的积，求m 的值并将多项式分解因式。

4、多项式b x ax x x +++?732234能被22?+x x 整除，则=b

a _______5、若多项式2533222+?+??y x y xy kx 能分解成两个一次因式的积，求k 的值。

6、若多项式1634?++nx mx x 含有因式()()21??x x 和，则mn =________

7、设n 是奇数，试证：12?n 能被8整除。

8、习题：

①22431025

x xy y y ?++?②2234532x xy y y y ++??+③()3333

x y z x y z ++???④22672852x xy y x y ++??+⑤51x ?⑥4322

x x x +++9、若48

46451723456??++??x x x x x x ()()()()()()f x e x d x c x b x a x ++++++=，则=+++++f e d c b a ______,=abcdef _____

10、二次多项式2232k kx x ?+能被1?x 整除，那么k 的值是______。欢迎访问https://www.wendangku.net/doc/0f4238149.html,

初中数学奥林匹克竞赛题及答案

初中数学奥林匹克竞赛题及答案 奥数题一 一、选择题（每题1分，共10分） 1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( ) A．a，b都是0 B．a，b之一是0 C．a，b互为相反数 D．a，b互为倒数 答案：C 解析：令a=2，b=－2，满足2+(－2)=0，由此a、b互为相反数。 2．下面的说法中正确的是 ( ) A．单项式与单项式的和是单项式 B．单项式与单项式的和是多项式 C．多项式与多项式的和是多项式 D．整式与整式的和是整式 答案：D 解析：x2，x3都是单项式．两个单项式x3，x2之和为x3+x2是多项式，排除A。两个单项式x2，2x2之和为3x2是单项式，排除B。两个多项式x3+x2与x3－x2之和为2x3是个单项式，排除C，因此选D。 3．下面说法中不正确的是 ( ) A. 有最小的自然数 B．没有最小的正有理数 C．没有最大的负整数 D．没有最大的非负数 答案：C 解析：最大的负整数是-1，故C错误。 4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( ) A．a，b同号 B．a，b异号 C．a＞0 D．b＞0 答案：D 5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 答案：C 解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，

－1，0共4个．选C。 6．有四种说法： 甲．正数的平方不一定大于它本身； 乙．正数的立方不一定大于它本身； 丙．负数的平方不一定大于它本身； 丁．负数的立方不一定大于它本身。 这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案：B 解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故C错误。 7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是 ( ) A．a大于－a B．a小于－a C．a大于－a或a小于－a D．a不一定大于－a 答案：D 解析：令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D。 8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( ) A．乘以同一个数 B．乘以同一个整式 C．加上同一个代数式 D．都加上1 答案：D 解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。我们考察方程x－2=0，易知其根为x=2．若该方程两边同乘以一个整式x－1，得(x－1)(x－2)=0，其根为x=1及x=2，不与原方程同解，排除B。同理应排除C．事实上方程两边同时加上一 个常数，新方程与原方程同解，对D，这里所加常数为1，因此选D． 9．杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( ) A．一样多 B．多了 C．少了 D．多少都可能 答案：C 解析：设杯中原有水量为a，依题意可得， 第二天杯中水量为a×(1－10%)=0.9a； 第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a； 第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为0.99∶1， 所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C。

对称式和轮换对称式及答案

对称式和轮换对称式 一．填空题（共10小题） 1．已知，a，b，c是△ABC的边，且，，，则此三角形的面积是：_________． 2．已知实数a、b、c，且b≠0．若实数x1、x2、y1、y2满足x12+ax22=b，x2y1﹣x1y2=a，x1y1+ax2y2=c，则y12+ay22的值为_________． 3．已知正数a，b，c，d，e，f满足=4，=9，=16，=；=，=，则（a+c+e）﹣（b+d+f）的值为_________． 4．已知bc﹣a2=5，ca﹣b2=﹣1，ac﹣c2=﹣7，则6a+7b+8c=_________． 】 5．x1、x2、y1、y2满足x12+x22=2，x2y1﹣x1y2=1，x1y1+x2y2=3．则y12+y22=_________． 6．设a=，b=，c=，且x+y+z≠0，则=_________． 7．已知，，其中a，b，c为常数，使得凡满足第一式的m，n，P，Q，也满足第二式，则a+b+c=_________． 8．设2（3x﹣2）+3=y，2（3y﹣2）+3=z，2（3z﹣2）+3=u且2（3u﹣2）+3=x，则x=_________．9．若数组（x，y，z）满足下列三个方程：、、，则xyz=_________． . 10．设x、y、z是三个互不相等的数，且x+=y+=z+，则xyz=_________． 二．选择题（共2小题） 11．已知，，，则的值是（） A．B．C．D． 12．如果a，b，c均为正数，且a（b+c）=152，b（c+a）=162，c（a+b）=170，那么abc的值是（）A．672 B．688 C．720 D．750 三．解答题（共1小题） & 13．已知b≥0，且a+b=c+1，b+c=d+2，c+d=a+3，求a+b+c+d的最大值．

初中数学奥林匹克竞赛方法与测试试题大全

初中数学奥林匹克竞赛方法与试题大全

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初中数学奥林匹克竞赛教程

初中数学竞赛大纲（修订稿） 数学竞赛对于开发学生智力，开拓视野，促进教学改革，提高教学水平，发现和培养数学人才都有着积极的作用。目前我国中学生数学竞赛日趋规范化和正规化，为了使全国数学竞赛活动健康、持久地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《初中数学竞赛大纲（修订稿）》以适应当前形势的需要。 本大纲是在国家教委制定的九年义务教育制“初中数学教学大纲”精神的基础上制定的。《教学大纲》在教学目的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。”具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养……，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。 《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的要求。除教学大纲所列内容外，本大纲补充列出以下内容。这些课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，处理好普及与提高的关系，这样才能加强基础，不断提高。 1、实数 十进制整数及表示方法。整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定。 素数和合数，最大公约数与最小公倍数。 奇数和偶数，奇偶性分析。 带余除法和利用余数分类。 完全平方数。 因数分解的表示法，约数个数的计算。 有理数的表示法，有理数四则运算的封闭性。 2、代数式 综合除法、余式定理。 拆项、添项、配方、待定系数法。 部分分式。 对称式和轮换对称式。 3、恒等式与恒等变形 恒等式，恒等变形。 整式、分式、根式的恒等变形。 恒等式的证明。 4、方程和不等式 含字母系数的一元一次、二次方程的解法。一元二次方程根的分布。 含绝对值的一元一次、二次方程的解法。

对称式与轮换对称式

对称式与轮换对称式公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N]

竞赛专题-------对称式与轮换对称式 1．基本概念 【定义1】一个n 元代数式12()n f x x x ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，即对于任意的i j ，（1i j n ≤<≤），都有 11()()i j n j i n f x x x x f x x x x =，，，，，，，，，，，， 那么，就称这个代数式为n 元对称式，简称对称式。 例如，222x y x y xy x y z xy yz zx xy ++++++，，，，都是对称式。 如果n 元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为n 元对称多项式。 由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项式()f x y z ，，中，若有3ax 项，则必有33ay az ，项；若有2bx y 项，则必有2bx z ，2222by z by x bz x bz y ，，，项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。 根据对称多项式的定义，可以写出含n 个字母的对称多项式的一般形式，例如，含有三个字母x y z ，，的二次对称多项式的般形式是： 222()()()a x y z b xy yz zx c x y z d +++++++++ 【定义2】如果一个n 元多项式的各项的次数均等于同一个常数r ，那么称这个多项式为n 元r 次齐次多项式。 由定义2知，n 元多项式12()n f x x x ，，，是r 次齐次多项式，当且仅当对任意实数t 有 1212()()r n n f tx tx tx t f x x x =，，，，，，。 例如，含三个字母的三元三次齐对称式为： 333222222()()a x y z b x y x z y x y z z x z y cxyz +++++++++。 【定义3】一个n 元代数式12()n f x x x ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式均改变符号，即对于任意的i j ，()1i j n ≤<≤，都有 11()()i j n j i n f x x x x f x x x x =-，，，，，，，，，，，， 那么就称这个代数式为n 元交代式。

高中数学奥林匹克竞赛的解题技巧(上中下三篇)

奥林匹克数学的技巧（上篇） 有固定求解模式的问题不属于奥林匹克数学，通常的情况是，在一般思维规律的指导下，灵活运用数学基础知识去进行探索与尝试、选择与组合。这当中，经常使用一些方法和原理（如探索法，构造法，反证法，数学归纳法，以及抽屉原理，极端原理，容斥原理……），同时，也积累了一批生气勃勃、饶有趣味的奥林匹克技巧。在2-1曾经说过：“竞赛的技巧不是低层次的一招一式或妙手偶得的雕虫小技，它既是使用数学技巧的技巧，又是创造数学技巧的技巧，更确切点说，这是一种数学创造力，一种高思维层次，高智力水平的艺术，一种独立于史诗、音乐、绘画的数学美。” 奥林匹克技巧是竞赛数学中一个生动而又活跃的组成部分。 2-7-1 构造 它的基本形式是：以已知条件为原料、以所求结论为方向，构造出一种新的数学形式，使得问题在这种形式下简捷解决。常见的有构造图形，构造方程，构造恒等式，构造函数，构造反例，构造抽屉，构造算法等。 例2-127 一位棋手参加11周（77天）的集训，每天至少下一盘棋，每周至多下12盘棋，证明这棋手必在连续几天内恰好下了21盘棋。 证明：用n a 表示这位棋手在第1天至第n 天（包括第n 天在内）所下的总盘数（1,2,77n =…），依题意 127711211132a a a ≤<<≤?=… 考虑154个数： 12771277,,,21,21,21a a a a a a +++…,? 又由772113221153154a +≤+=<，即154个数中，每一个取值是从1到153的自然数，因而必有两个数取值相等，由于i j ≠时，i i a a ≠ 2121i j a a +≠+ 故只能是,21(771)i j a a i j +≥>≥满足 21i j a a =+ 这表明，从1i +天到j 天共下了21盘棋。 这个题目构造了一个抽屉原理的解题程序，并具体构造了154个“苹果”与153个“抽屉”，其困难、同时也是精妙之处就在于想到用抽屉原理。 例 2-128 已知,,x y z 为正数且()1xyz x y z ++=求表达式()()x y y z ++的最最小值。 解：构造一个△ABC ，其中三边长分别为a x y b y z c z x =+??=+??=+? ，则其面积为 1?== 另方面2()()2sin x y y z ab C ?++==≥ 故知，当且仅当∠C=90°时，取值得最小值2，亦即222()()()x y y z x z +++=+

国际数学奥林匹克IMO试题(官方版)2000_eng

41st IMO2000 Problem1.AB is tangent to the circles CAMN and NMBD.M lies between C and D on the line CD,and CD is parallel to AB.The chords NA and CM meet at P;the chords NB and MD meet at Q.The rays CA and DB meet at E.Prove that P E=QE. Problem2.A,B,C are positive reals with product1.Prove that(A?1+ 1 B )(B?1+1 C )(C?1+1 A )≤1. Problem3.k is a positive real.N is an integer greater than1.N points are placed on a line,not all coincident.A move is carried out as follows. Pick any two points A and B which are not coincident.Suppose that A lies to the right of B.Replace B by another point B to the right of A such that AB =kBA.For what values of k can we move the points arbitrarily far to the right by repeated moves? Problem4.100cards are numbered1to100(each card di?erent)and placed in3boxes(at least one card in each box).How many ways can this be done so that if two boxes are selected and a card is taken from each,then the knowledge of their sum alone is always su?cient to identify the third box? Problem5.Can we?nd N divisible by just2000di?erent primes,so that N divides2N+1?[N may be divisible by a prime power.] Problem6.A1A2A3is an acute-angled triangle.The foot of the altitude from A i is K i and the incircle touches the side opposite A i at L i.The line K1K2is re?ected in the line L1L2.Similarly,the line K2K3is re?ected in L2L3and K3K1is re?ected in L3L1.Show that the three new lines form a triangle with vertices on the incircle. 1

自招竞赛 数学讲义：轮换对称式的最值问题(讲师版)

自招竞赛 数学讲义 轮换对称式的最值问题 学生姓名 授课日期 教师姓名 授课时长 知识定位 在不等式和求最值的问题中，轮换对称式是十分常见的。自招、竞赛中出现的不等式证明或代数式求最值问题以轮换对称式为主，而这一类有关轮换对称式的问题也以其简洁优美的数学形式和较为灵活多变的解决方法成为自招竞赛中的一大难点。 本章节列举了处理几类轮换对称式问题和几种常见处理方法，希望同学们在考场上见到这类问题时能够有思路有针对性地着手处理，而不是盲目地尝试变形求解（证）。 知识梳理 1. 不等式对称和轮换对称式的定义 在一个不等式中,若把其中任何两个字母(),,1,2,...,i j a a i j n i j =≠且对调位置后,这个不等式不变(如① 32 a b c b c c a a b ++≥+++,其中,,0a b c >), 我们便称此不等式是关于12,,...,n a a a 对称的。如果把不等式中的字母12,,...,n a a a 按一定顺序依次轮换（如1a 换成2a ，2a 换成3a ，...，1n a -换成n a ）后不等式不变（如② 222222 0,,,0c a a b b c a b c b c c a a b ---++≥>+++其中），我们便称此类不等式是关于12,,...,n a a a 轮换对称的。 2. 对称式与轮换对称不等式的性质 由定义易知，对称的不等式一定是轮换对称的（如①），而轮换对称的不等式却不一定是对称的（如②就不是对称的）。 关于12,,...,n a a a 对称的不等式，由于,i j a a 互换后原不等式不变，因此要想怎么排列他们的大小顺序，只要调换其位即可，故我们可任意排列12,,...,n a a a 的大小顺序（如在①

初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全(配PDF版)-第06章-几何基础知识

第六章几何基础知识 第一节线段与角的推理计算 【知识点拨】 掌握七条等量公理： 1、同时等于第三个量的两个量相等。 2、等量加等量，和相等。 3、等量减等量，差相等。 4、等量乘等量，积相等。 5、等量除以等量（0除外），商相等。 6、全量等于它的各部分量的和。 7、在等式中，一个量可以用它的等量来代替（等量代换）。 【赛题精选】 例1、如图，∠AOB＝∠COD，求证：∠AOC＝∠BOD。 例2、C、D为线段AB上的两点，AD＝CB，求证：AC＝DB。 例3、AOB是一条直线，∠AOC＝600，OD、OE分别是∠ AOC和∠BOC的平分线。问图中互为补角关系的角共有多少对？ 例4、已知B、C是线段AD上的任意两点，M是AB的中 点，N是CD的中点，若MN＝a，BC＝b，求CD的长。

例5、已知OM是∠AOB的平分线，射线OC在∠BOM内部，ON是∠BOC的平分线，且∠AOC＝800。求∠MON的度数。 例6、已知A、O、B是一条直线上的三个点，∠BOC比∠AOC 大240，求∠BOC、∠AOC的度数。 例7、如图，AE＝8.9CM，BD＝3CM。求以A、B、C、D、 E这5个点为端点的所有线段长度的和是多少？ 例8、线段AB上的P、Q两点，已知AB＝26CM，AP＝14CM， PQ＝11CM。求线段BQ的长。 例9、已知∠AOC＝∠BOD＝1500，∠AOD＝3∠BOC。

求∠BOC的度数。 例10、已知C是AB上的一点，D是CB的中点。若图中线段的长度之和为23CM，线段AC的长度与线段CB 的长度都是正整数。求线段AC的长度是多少厘米？

【针对训练】

【高中教育】最新高中数学奥林匹克竞赛训练题(206)

——教学资料参考参考范本——【高中教育】最新高中数学奥林匹克竞赛训练题（206） ______年______月______日 ____________________部门

第一试 一、填空题（每小题8分，共64分） 1。已知正整数组成等比数列，且则的最大值为 。 ()a b c a b c <<、、201620162016log log log 3,a b c ++=a b c ++ 2。关于实数的方程的解集为 。x 2 12sin 2222log (1sin )x x -=+- 3。曲线围成的封闭图形的面积为 。 2224x y y +≤ 4。对于所有满足的复数均有，对所有正整数，有，若 。 z i ≠z ()z i F z z i -= +n 1()n n z F z -=020162016,z i z =+=则 5。已知P 为正方体棱AB 上的一点，满足直线A1B 与平面B1CP 所成角 为，则二面角的正切值为 。1111ABCD A B C D -0 6011A B P C -- 6。已知函数，集合则A= 。 22 ()224,()2f x x x g x x x =+-=-+()()f x A x Z g x +?? =∈?? ?? 7。在平面直角坐标系中，P 为椭圆在第三象限内的动点，过点P 引圆的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，直线AB 与轴、轴分别交于点M 、 N ，则面积的最小值为 。 xOy 22 12516x y +=22 9x y +=x y OMN ? 8。有一枚质地均匀的硬币，现进行连续抛硬币游戏，规则如下：在抛掷的过程中，无论何时，连续出现奇数次正面后出现一次反面，则游戏停止；否则游戏继续进行，最多抛掷10次，则该游戏抛掷次数的数学期望为 。 二、解答题（共56分）

对称式和轮换对称式的因式分解

在一个含有若干个元的多项式中,如果任意交换两个元的位置,多项式不变,这样的多项式叫做对称多项式. 二元对称式的基本对称式是x+y,xy任何二元对称多项式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元对称多项式的分解方法之一是:先将其用xy,x+y表示,再行分解. 对称式的因式分解 在一个含有若干个元的多项式中,如果任意交换两个元的位置,多项式不变,这样的多项式叫做对称多项式. 例7分解因式x4+(x+y)4+y4 分析这是一个二元对称式,二元对称式的基本对称式是x+y,xy任何二元对称多项式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元对称多项式的分解方法之一是:先将其用xy,x+y表示,再行分解. 解∵x4+y4

=(x+y)4-4x3y-6x2y2-4xy2 =(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2. ∴原式=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2+(x+y)4 =2(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2 =2[(x+y)4-2xy(x+y)2+(xy)2] =2[(x+y)2-xy]2-2(x2+y2+xy)2, 例8分解因式a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b). 此题中若将式中的b换成a,c换成b,a换成c,即为c2(a-b)+a2(b-c)+b2(c-a),,原式不变,这类多项式称为关于a、b、c的轮换对称式，轮换对称式的因式分解，用因式定理及待定系数法比较简单，下面先粗略介绍一下因式定理，为了叙述方

便先引入符号f(x)、f(a)如对一元多项式3x2-5x-2可记作f(x)=3x2-5x-2,f(a)即表示当x=a时多项式的值，如x=1时多项式3x2-5x-2的值为 f(1)=3×12-5×1-2=-4,当x=2时多项式3x2-5x-2的值为f(2)=3×22-5×2-2=0. 因式定理如果x=a时多项式f(x)的值为零,即f(a)=0,则f(x)能被x-a整除(即含有x-a之因式). 如多项式f(x)=3x2-5x-2,当x=2时,f(2)=0,即f(x)含有x-2的因式,事实上 f(x)=3x2-5x-2=(3x+1)(x-2). 证明设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0, 若f(a)=0,则 f(x)=f(x)-f(a) =(anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0) =(anan+an-1an-1+…+a1a+a0)

初中数学奥林匹克竞赛教程

初中数学奥林匹克竞赛教程

初中数学竞赛大纲（修订稿） 数学竞赛对于开发学生智力，开拓视野，促进教学改革，提高教学水平，发现和培养数学人才都有着积极的作用。目前我国中学生数学竞赛日趋规范化和正规化，为了使全国数学竞赛活动健康、持久地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《初中数学竞赛大纲（修订稿）》以适应当前形势的需要。 本大纲是在国家教委制定的九年义务教育制“初中数学教学大纲”精神的基础上制定的。《教学大纲》在教学目的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。”具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养……，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。 《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的要求。除教学大纲所列内容外，本大纲补充列出以下内容。这些课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，处理好普及与提高的关系，这样才能加强基础，不断提高。 1、实数 十进制整数及表示方法。整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定。 素数和合数，最大公约数与最小公倍数。 奇数和偶数，奇偶性分析。 带余除法和利用余数分类。 完全平方数。 因数分解的表示法，约数个数的计算。 有理数的表示法，有理数四则运算的封闭性。 2、代数式 综合除法、余式定理。 拆项、添项、配方、待定系数法。 部分分式。 对称式和轮换对称式。 3、恒等式与恒等变形 恒等式，恒等变形。 整式、分式、根式的恒等变形。 恒等式的证明。 4、方程和不等式 含字母系数的一元一次、二次方程的解法。一元二次方程根的分布。 含绝对值的一元一次、二次方程的解法。 含字母系数的一元一次不等式的解法，一元一次不等式的解法。 含绝对值的一元一次不等式。

2019年度高一数学奥林匹克竞赛决赛试题及答案解析

2019年**一中高一数学竞赛奥赛班试题（决赛） 及答案 （时间：5月16日18：40～20：40） 满分：120分 一、 选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分） 1．已知 M =},13|{},,13|{},,3|{Z n n x x P Z n n x x N Z n n x x ∈-==∈+==∈=，且 P c N b M a ∈∈∈,,，设c b a d +-=，则∈d （ ） A. M B. N C. P D.P M 2.函数()1 42-+ =x x x x f 是（ ） A 是偶函数但不是奇函数 B 是奇函数但不是偶函数 C 既是奇函数又是偶函数 C 既不是奇函数也不是偶函数 3.已知不等式m 2 ＋(cos 2 θ－5)m ＋4sin 2 θ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A . 0≤m ≤4 B . 1≤m ≤4 C . m ≥4或x ≤0 D . m ≥1或m ≤0 4.在△ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对边的边长，若 0sin cos 2sin cos =+- +B B A A ，则 c b a +的值是（ ） A.1 B.2 C.3 C.2 5. 设 0a b >>, 那么 2 1 () a b a b + - 的最小值是 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6．设ABC ?的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列，则B C B A C A cos tan sin cos tan sin ++的取值范围是 （ ） A. (0,)+∞ B. C. D. )+∞． 二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分） 7.母线长为3的圆锥中，体积最大的那一个的底面圆的半径为 8．函数| cos sin |2sin )(x x e x x f ++=的最大值与最小值之差等于 。

高中数学奥林匹克竞赛中的不变量技巧

数学奥林匹克竞赛中的不变量技巧 在一个变化的数学过程中常常有个别的不变元素或特殊的不变状态，表现出相对稳定的较好性质，选择这些不变性作为解题的突破口是一个好主意。 例1.从数集{}3,4,12开始，每一次从其中任选两个数,a b ，用345 5 a b -和435 5 a b +代替它们，能否通过有限多次代替得到数集{}4,6,12。 解：对于数集{},,a b c ，经过一次替代后，得出3 443,,5 5 5 5a b a b c ??-+???? ， 有2222223443()()5555 a b a b c a b c -+++=++ 即每一次替代后，保持3个元素的平方和不变（不变量）。 由22222234124612++≠++知，不能由{}3,4,12替换为{}4,6,12。 例2.设21n +个整数1221,,,n a a a +…具有性质p ；从其中任意去掉一个，剩下的2n 个数可以分成个数相等的两组，其和相等。证明这2n+1个整数全相等。 证明：分三步进行，每一步都有“不变量”的想法： 第一步 先证明这2n+1个数的奇偶性是相同的 因为任意去掉一个数后，剩下的数可分成两组，其和相等，故剩下的2n 个数的和都是偶数，因此，任一个数都与这2n+1个数的总和具有相同的奇偶性； 第二步 如果1221,,,n a a a +…具有性质P ，则每个数都减去整数c 之后，仍具有性质P ，特别地取1c a =，得21312110,,,,n a a a a a a +---… 也具有性质P ，由第一步的结论知，2131211,,,n a a a a a a +---…都是偶数； 第三步 由21312110,,,,n a a a a a a +---…为偶数且具有性质P ，可得 31 211210, ,,,222 n a a a a a a +---… 都是整数，且仍具有性质P ，再由第一步知，这21n +个数的奇偶性相同，为偶数，所以都除以2后，仍是整数且具有性质P ，余此类推，对任意的正整数k ，均有 31 211210, ,,,222n k k k a a a a a a +---…为整数，且具有性质P ，因k 可以任意大，这就推得 21312110n a a a a a a +-=-==-=…即 1221n a a a +===…。

对称式与轮换对称式教案资料

， ， ， ， ， ， ， x n ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 例如， x - y ，x - y)( y - z )( z - x)， 八年级实验班竞赛专题 -------对称式与轮换对称式 1． 基本概念 【定义 1】一个 n 元代数式 f ( x ，x ggg ，x ) ，如果交换任意两个字母的位置后，代数 1 2 n 式不变，即对于任意的 i ，j （1 ≤ i < j ≤ n ），都有 f ( x gg g ，x ggg ，x ggg ，x ) = f ( x ggg ，x ggg ，x ggg ，x ) 1 i j n 1 j i n 那么，就称这个代数式为 n 元对称式，简称对称式。 例如， x + y ，xy ， + y ，x 2 + y 2 + z 2，xy + yz + zx 都是对称式。 xy 如果 n 元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为 n 元对称多项式。 由定义 1 知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项 式 f ( x ，y ，z ) 中 ，若 有 ax 3 项 ，则 必有 ay 3，az 3 项 ； 若有 bx 2y 项 ， 则必 有 bx 2 z ， by 2 z ，by 2 x ，bz 2 x ，bz 2 y 项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。 根据对称多项式的定义，可以写出含 n 个字母的对称多项式的一般形式，例如，含有三 个字母 x ，y ，z 的二次对称多项式的般形式是： a( x 2 + y 2 + z 2 ) + b ( x y + yz + zx) + c( x + y + z ) + d 【定义 2】如果一个 n 元多项式的各项的次数均等于同一个常数 r ，那么称这个多项式 为 n 元 r 次齐次多项式。 由定义 2 知， 元多项式 f ( x ，x ggg ，x ) 是 r 次齐次多项式，当且仅当对任意实数 t 有 1 2 n f (tx ，tx gg g ，tx ) = t r f ( x ，x ggg ，x ) 。 1 2 n 1 2 n 例如，含三个字母的三元三次齐对称式为： a( x 3 + y 3 + z 3 ) + b ( x 2 y + x 2 z + y 2 x + y 2 z + z 2 x + z 2 y) + cxyz 。 【定义 3】一个 n 元代数式 f ( x ，x ggg ，x ) ，如果交换任意两个字母的位置后，代数 1 2 n 式均改变符号，即对于任意的 i ，j (1 ≤ i < j ≤ n )，都有 f ( x gg g ，x ggg ，x ggg ，x ) = - f ( x ggg ，x ggg ，x ggg ，x ) 1 i j n 1 j i n 那么就称这个代数式为 n 元交代式。 ( x - y x + y 均是交代式。

高中数学奥林匹克竞赛全真试题

1 2003年全国高中数学联合竞赛试题 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1、删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列.这个新数列的第2003项是（ ） A ．2046 B ．2047 C ．2048 D ．2049 2、设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么，直线ax －y ＋b =0和曲线bx 2＋ay 2=ab 的图形是（ ） 3、过抛物线y 2=8（x ＋2）的焦点F 作倾斜角为60°的直线.若此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于P 点,则线段PF 的长等于( ) A ． 163 B ．8 3 C D ． 4、若5[,]123 x ππ ∈--，则2tan()tan()cos()366y x x x πππ=+-+++的最大值是（ ）. A B C D 5、已知x 、y 都在区间（－2，2）内，且xy =－1，则函数2 2 4949u x y = + --的最小值是（ ） A ． 85 B ．2411 C ．127 D ．125 6、在四面体ABCD 中，设AB =1，CD AB 与CD 的距离为2，夹角为3 π ，则四 面体ABCD 的体积等于（ ） A B ．12 C ．1 3 D 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7、不等式|x |3－2x 2－4|x |＋3<0的解集是__________. 8、设F 1，F 2是椭圆22 194 x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|：|PF 2|=2：1，则△PF 1F 2的面积等于__________. 9、已知A ={x |x 2－4x ＋3<0，x ∈R }，B ={ x |21－ x ＋a ≤0，x 2－2（a ＋7）x ＋5≤0，x ∈R }.若A B ?，则实数a 的取值范围是__________. 10、已知a ，b ，c ，d 均为正整数，且35 log ,log 24 a c b d ==，若a － c =9，b － d =__________. 11、将八个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于__________. 12、设M n ={（十进制）n 位纯小数0.12 |n i a a a a 只取0或1（i =1，2，…，n －1） ，a n =1}，

对称式和轮换对称式及答案

对称式与轮换对称式 一.填空题(共10小题) 1.已知,a,b,c就是△ABC得边,且,,,则此三角形得面积就是:_________. 2.已知实数a、b、c,且b≠0.若实数x1、x2、y1、y2满足x12+ax22=b,x2y1﹣x1y2=a,x1y1+ax2y2=c,则y12+ay22得值为_________. 3.已知正数a,b,c,d,e,f满足=4,=9,=16,=;=,=,则(a+c+e)﹣(b+d+f)得值为_________. 4.已知bc﹣a2=5,ca﹣b2=﹣1,ac﹣c2=﹣7,则6a+7b+8c=_________. 5.x1、x2、y1、y2满足x12+x22=2,x2y1﹣x1y2=1,x1y1+x2y2=3.则y12+y22=_________. 6.设a=,b=,c=,且x+y+z≠0,则=_________. 7.已知,,其中a,b,c为常数,使得凡满足第一式得m,n,P,Q,也满足第二式,则a+b+c=_________. 8.设2(3x﹣2)+3=y,2(3y﹣2)+3=z,2(3z﹣2)+3=u且2(3u﹣2)+3=x,则x=_________. 9.若数组(x,y,z)满足下列三个方程:、、,则xyz=_________. 10.设x、y、z就是三个互不相等得数,且x+=y+=z+,则xyz=_________. 二.选择题(共2小题) 11.已知,,,则得值就是() A. B. C. D. 12.如果a,b,c均为正数,且a(b+c)=152,b(c+a)=162,c(a+b)=170,那么abc得值就是() A.672 B.688 C.720 D.750 三.解答题(共1小题) 13.已知b≥0,且a+b=c+1,b+c=d+2,c+d=a+3,求a+b+c+d得最大值. 答案与评分标准 一.填空题(共10小题) 1.已知,a,b,c就是△ABC得边,且,,,则此三角形得面积就是:. 考点:对称式与轮换对称式。 分析:首先将将三式全部取倒数,然后再将所得三式相加,即可得:++=+++,再整理,配方即可得:(﹣1)2+(﹣1)2+(﹣1)2=0,则可得此三角形就是边长为1得等边三角形,则可求得此三角形得面积. 解答:解:∵a=,b=,c=, ∴全部取倒数得:=+,=+,=+, 将三式相加得:++=+++, 两边同乘以2,并移项得:﹣+﹣+﹣+3=0, 配方得:(﹣1)2+(﹣1)2+(﹣1)2=0, ∴﹣1=0,﹣1=0,﹣1=0, 解得:a=b=c=1, ∴△ABC就是等边三角形, ∴△ABC得面积=×1×=. 故答案为:. 点评:此题考查了对称式与轮换对称式得知识,考查了配方法与等边三角形得性质.此题难度较大,解题得关键就是将三式取倒数,再利用配方法求解,得到此三角形就是边长为1得等边三角形. 2.已知实数a、b、c,且b≠0.若实数x1、x2、y1、y2满足x12+ax22=b,x2y1﹣x1y2=a,x1y1+ax2y2=c,则y12+ay22得值为. 考点:对称式与轮换对称式。 分析:∵x12+ax22=b①,x2y1﹣x1y2=a②,x1y1+ax2y2=c③.首先将第②、③组合成一个方程组,变形把x1、x2表示出来,在讲将x1、x2得值代入①,通过化简就可以求出结论. 解答:解:∵x12+ax22=b①,x2y1﹣x1y2=a②,x1y1+ax2y2=c③. 由②,得 ④, 把④代入③,得 ⑤

对称式与轮换对称式

八年级实验班竞赛专题 -------对称式与轮换对称式 1． 基本概念 【定义1】一个n 元代数式12()n f x x x ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，即对于任意的i j ，（1i j n ≤<≤），都有 11()()i j n j i n f x x x x f x x x x = ，，，，，，，，，，，， 那么，就称这个代数式为n 元对称式，简称对称式。 例如，222x y x y xy x y z xy yz zx xy ++++++，，，，都是对称式。 如果n 元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为n 元对称多项式。 由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项 式()f x y z ，，中，若有3ax 项，则必有33ay az ，项；若有2bx y 项，则必有2 bx z ，2222by z by x bz x bz y ，，，项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。 根据对称多项式的定义，可以写出含n 个字母的对称多项式的一般形式，例如，含有三个字母x y z ，，的二次对称多项式的般形式是： 222()()()a x y z b xy yz zx c x y z d +++++++++ 【定义2】如果一个n 元多项式的各项的次数均等于同一个常数r ，那么称这个多项式为n 元r 次齐次多项式。 由定义2知，n 元多项式12()n f x x x ，，， 是r 次齐次多项式，当且仅当对任意实数t 有 1212()()r n n f tx tx tx t f x x x = ，，，，，，。 例如，含三个字母的三元三次齐对称式为： 333222222 ()()a x y z b x y x z y x y z z x z y cxyz +++++++++。 【定义3】一个n 元代数式12()n f x x x ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式均改变符号，即对于任意的i j ，()1i j n ≤<≤，都有 11()()i j n j i n f x x x x f x x x x =- ，，，，，，，，，，，， 那么就称这个代数式为n 元交代式。

七年级数学奥林匹克竞赛题(一)解析

初中一年级奥赛训练题(一)及解析 一、选择题（每题1分，共10分） 1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么( C) A．a，b都是0 B．a，b之一是0 C．a，b互为相反数D．a，b互为倒数 2．下面的说法中正确的是( D) A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式 3．下面说法中不正确的是( C) A. 有最小的自然数B．没有最小的正有理数 C．没有最大的负整数D．没有最大的非负数 4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么( D) A．a，b同号B．a，b异号C．a＞0 D．b＞0 5．大于－π并且不是自然数的整数有( B) A．2个B．3个C．4个D．无数个 6．有四种说法： 甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。 这四种说法中，不正确的说法的个数是( B) A．0个B．1个C．2个D．3个 解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故丙错误。 7．a代表有理数，那么a和－a的大小关系是( D) A．a大于－a B．a小于－a C．a大于－a或a小于－a D．a不一定大于－a 解析：令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D。 8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( D) A．乘以同一个数B．乘以同一个整式 C．加上同一个代数式D．都加上1 解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。我们考察方程x－2=0，易知其根为x=2．若该方程两边同乘以一个整式x－1，得(x－1)(x －2)=0，其根为x=1及x=2，不与原方程同解，排除B。同理应排除C．事实上方程两边同时加上一个常数，新方程与原方程同解，D所加常数为1，因此选D．9．杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( C) A．一样多B．多了C．少了D．多少都可能 解析：设杯中原有水量为a，依题意可得， 第二天杯中水量为(1－10%)a=0.9a；第三天杯中水量为0.9a(1+10%)=0.9×1.1a；第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为0.99∶1， 所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C。