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习题三：真值表与等价公式

1．求下列各复合命题的真值表。（1） )(R Q P ∨→ （2） )()(Q P R P →∨∧ （3） )()(P Q Q P ∨?∨ （4）

R Q P ∧?∨)(

（5） ))()(())(R P Q P R Q P →→→→→→（ 2．试求下列各命题的真值表并解释其结果。（1） )()(P Q Q P →∧→ （2） P )Q P (→∧ （3） )Q P (Q ∨→ （4） )Q P ()Q P (∨??→ （5）

))Q P ((Q)P (?∧?∧∨?

3．作出下列命题的真值表：并非“室内很冷或很乱”也不是“室外暖和且室内太脏”。 4．试以真值表证明下列命题。（1）合取运算之结合律；（2）析取运算之结合律；

（3）合取（∧）对析取（∨）之分配律；（4）德.摩根律。

5．有下表求出公式654321,,,,,F F F F F F 。在表上有问号（？）的地方以F 或T 代入都可以，只要所求的公式形式较为简单。

表（1-4.11）

此两个变元的命题公式。

7．证明下列等价试。（1） )()(B A A A B A ?→→??→→ （2） )()()(B A B A B A ∧?∧∨??? （3） B A B A ?∧?→?)(

（4） )()()(B A B A B A ∧?∨?∧???

（5） )))((()))(())(((D B A C D B A C D C B A →?∧?∨∨→∧→∧∧ （6） C B A C B A →?∧?∨→)()( （7） D B A D B D A →∨?→∧→)()()(

（8）

C A

D B C D B C B A →→∧?∨→∧→∧))(())(())((

8．化简以下各式（1） C A B B A ∧?→??→))()(( （2）

))((B B A A ?∧∨?∨

（3）

)()(C B A C B A ∧∧?∨∧∧

9．如果C B C A ∨?∨，是否有B A ?？如果C B C A ∧?∧是否有B A ?？如果B A ???是否有B A ?？ 10．证明下列命题的等值关系：（1）()()R P Q R Q P →→?→→ （2）()()()R Q P R P Q P ∧→?→∧→ （3）()()()Q P Q P Q P ???∧?∧∨

11．求()R Q P ??→的主析取范式和主合取范式。

12．求公式()()()()()C A C B B A A ∨??∧→∨→的主析取范式。

13．命题公式Ａ包含四个名题变元：ｐ,ｑ,ｒ,ｓ，其真值表如表8—10所示。写出与A 等价的：

（1）主析取范式；（2）主合取范式；

（3）析取形式的最简式。表８－１０

离散数学自学笔记命题公式及其真值表

离散数学自学笔记命题公式及其真值表我们把表示具体命题及表示常命题的p，q，r，s等与f，t统称为命题常元（proposition constant）。深入的讨论还需要引入命题变元（proposition variable）的概念，它们是以“真、假”或“1，0”为取值范围的变元，为简单计，命题变元仍用p，q，r，s等表示。相同符号的不同意义，容易从上下文来区别，在未指出符号所表示的具体命题时，它们常被看作变元。命题常元、变元及联结词是形式描述命题及其推理的基本语言成分，用它们可以形式地描述更为复杂的命题。下面我们引入高一级的语言成分——命题公式。定义1.1 以下三条款规定了命题公式（proposition formula）的意义：（1）命题常元和命题变元是命题公式，也称为原子公式或原子。（2）如果A，B是命题公式，那么（┐A），（A∧B），（A∨B），（A→B），（A？B）也是命题公式。（3）只有有限步引用条款（1），（2）所组成的符号串是命题公式。命题公式简称公式，常用大写拉丁字母A，B，C等表示。公式的上述定义方式称为归纳定义，第四章将对此定义方式进行讨论。例1.8 （┐（p→（q∧r）））是命题公式，但（qp），p→r，p1∨p2∨…均非公式。为使公式的表示更为简练，我们作如下约定：（1）公式最外层括号一律可省略。（2）联结词的结合能力强弱依次为┐，（∧，∨），→，？，（∧，∨）表示∧与∨平等。（3）结合能力平等的联结词在没有括号表示其结合状况时，采用左结合约定。湖南省自考网：https://www.wendangku.net/doc/0a4268059.html,/整理例如，┐p→q∨（r∧q∨s）所表示的公式是（（┐p）→（q∨（（r∧q）∨s）））设A是命题公式，A1是A 的一部分，且A1也是公式，则A1称为公式A的子公式。

(完整word)高等数学等价替换公式

无穷小极限的简单计算【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。【教学内容】 1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换； 4、求极限的方法。【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。难点是未定式的极限的求法。【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。【授课内容】一、无穷小与无穷大 1.定义前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数() x f 的极限、0x x →（+→0x x 、- →0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面我们用 →x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即＊{ } - + →→→-∞→+∞→∞→∞→∈00 x x x x x x x x x n 定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊。例如, ,0sin lim 0 =→x x Θ .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x ,01lim =∞→x x Θ .1 时的无穷小是当函数∞→∴x x ,0)1(lim =-∞→n n n Θ .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n n n 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。

高等数学中的导数公式和等价无穷小公式

声明：第一次弄这些，花了本人好些时间，o(∩_∩)o ，版权所有，严禁将本人的劳动成果用于商业用途。导数公式 (1) (C)'=0 (2) (x μ )'=μ1 x μ- (3) (sinX)'=cosX (4) (cosX)'=-sinX (5) (tanA)'=2 sec A (6) (cotA)'=-2 csc A (7) (secA)'=secAtanA (8) (cscA)'=-cscAcotA (9) (x a )'=x a ln a (10) (x e )'=x e (11) (㏒a x)'= 1 ln x a (12)(lnx)'= 1x (13) (arcsinX)' (14) (arccosX)'= - (15) (arctanX)'= 2 1 1X + (16) (arccotX)'=- 2 11X +10 2 2 33331lim(1)1~ (1) 123 (4) n x x x n n n n →+-+++++=

等价公式 10 1lim(1)1~ n x x x n →+- 当0x →时,ln(1+x)~x 201cos 1 lim 2 x x x →-= 当0x →时,1~x e x - 0sin lim 1x x x →= 当0x →时,1~ln x a x a - 1 lim(1)x x e x →∞+= 22221 123...(1)(21)6 n n n n ++++=++ 0tan lim 1x x x →= 22 3 3 3 3 (1)123 (4) n n n +++++= 0arcsin lim 1x x x →= 220 sin cos n n xdx xdx π π =?? 0ln(1) lim 1x x x →+= 01lim 1ln x x a x a →-=

2 离散数学-命题公式,真值表

2 命题公式,真值表 (1) 数理逻辑是通过引入表意符号研究人类思维中的推理过程及推理正确与否的数学分支. 数学------??? 符号运算推理---思维过程:前提结论命题逻辑---研究由命题为基本单位构成的前提和结论之间的可推导关系.(逻辑演算) 即将推理(不涉及内函)形式化. 例1 (a) 4是偶数. 张林学习优秀. 太阳系以外的星球上有生物. (b) 这朵花真美丽! 现在开会吗? (c) 3 5.x +> 我正在说慌. 特征分析(a) 陈述句,非真即假. (b) 感叹句,疑问句. (c) 悖论. 定义1 能辩真假的陈述句,称为命题,用,,,P Q Z 表示.其判断结果称为命题的真值. 成真的命题称为真命题,其真值为真,记为,T 或为1.成假的命题称假命题,其真值为假,记为,F 或为0. 例2 (1) 2008年奥运会在北京举行. (2) 22 5.?= (3) 计算机程序的发明者是诗人拜伦. 用符号表是上述命题,并求真值. 解 (1) :P 2008年奥运会在北京举行. .T (2) :Q 22 5.?= .F (3) :R 计算机程序的发明者是诗人拜伦. .F (2) 3, 35,+ 3(4 1).+- 例3 (1) 今天没有数学考试. (2) 下午,我写信或做练习. (3) 王芳不但用功,而且成绩优秀. (4) 如果太阳从西边出来了,那么地球停止转动.

(5) 2是素数,当且仅当三角形有三条边. 特征分析(a)存在自然语言中的虚词. (b)语句可以分解,细化. 定义2 称下列符号为逻辑联结词否定 ? 非 P ? 析取 ∨ 或者 P Q ∨ 合取 ∧ 且 P Q ∧ 蕴涵 → 若----,则----- P Q → 等价 ? 当且仅当 P Q ? 逻辑联结词真值的规定例4 将下列命题符号化. (1) 小李聪明,但不用功. ()P Q ∧? (2) 单位派小王或小苏出差. P Q ∨ (3) 如果椅子是紫色的,且是园的,那么地是平的. ()P Q R ∧→ (4) n 是偶数当且仅当它能被2整除. P Q ? 注 1 逻辑联结词:运算符.顺序 ,,,,.?∧∨→? 2 自然语言中虽然---,但是----; 不但---,而且----; ∧ 只有----,才----; 除非----,才-----; → 3 ∨ 可兼或(相容) ∨ 不可兼或(排斥) 小王是山东人或是河北人. ()()P Q P Q P Q ∨?∧?∨?∧ 4 ,P Q -----------------------简单命题

三角函数极限等价无穷小公式

三角函数公式整合：两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB- cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB- cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）和差化积 sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 积化和差 sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 诱导公式 sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα sin(π/2-α) = cosα cos(π/2-α) = sinα sin(π/2+α) = cosα cos(π/2+α) = -sinα sin(π-α) = sinα

关于大学高等数学等价无穷小

这个问题很多人都搞不明白，很多自认为明白的人也不负责任地说一句“乘除可以，加减不行”，包括不少高校教师。其实这种讲法是不对的！关键是要知道其中的道理，而不是记住结论。 1.做乘除法的时候一定可以替换，这个大家都知道。如果f(x)～u(x)，g(x)～v(x)，那么lim f(x)/g(x) = lim u(x)/v(x)。关键要记住道理 lim f(x)/g(x) = lim f(x)/u(x) * u(x)/v(x) * v(x)/g(x) 其中两项的极限是1，所以就顺利替换掉了。 2.加减法的时候也可以替换！但是注意保留余项。 f(x)～u(x)不能推出f(x)+g(x)～u(x)+g(x)，这个是很多人说不能替换的原因，但是如果你这样看： f(x)～u(x)等价于f(x)=u(x)+o(f(x))，那么f(x)+g(x)=u(x)+g(x)+o(f(x))，注意这里是等号，所以一定是成立的！问题就出在u(x)+g(x)可能因为相消变成高阶的无穷小量，此时余项o(f(x))成为主导，所以不能忽略掉。当u(x)+g(x)的阶没有提高时，o(f(x))仍然是可以忽略的。比如你的例子，ln(1+x)+x是可以替换的，因为 ln(1+x)+x=[x+o(x)]+x=2x+o(x)，所以ln(1+x)+x和2x是等价无穷小量。但是如果碰到ln(1+x)-x，那么 ln(1+x)+x=[x+o(x)]-x=o(x)，此时发生了相消，余项o(x)成为了主导项。此时这个式子仍然是成立的！只不过用它来作为分子或分母的极限问题可能得到不定型而无法直接求出来而已。

碰到这种情况也不是说就不能替换，如果你换一个高阶近似： ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2) 那么 ln(1+x)-x=-x^2/2+o(x^2) 这个和前面ln(1+x)-x=o(x)是相容的，但是是更有意义的结果，此时余项o(x^2)可以忽略。也就是说用x-x^2/2作为ln(1+x)的等价无穷小量得到的结果更好。从上面的例子就可以看出来，余项很重要，不能直接扔掉，因为余项当中包含了一定的信息。而且只要保留余项，那么所做的就是恒等变换(注意上面我写的都是等式)而不是近似，这种方法永远是可行的，即使得到不定型也不可能得出错误的结论。等你学过带余项的Taylor公式之后对这一点就会有更好的认识。高数教了一段时间了，对于等价无穷小量代换法求极限为什么只能在乘除中使用，而不能在加减的情况下使用的条件感到有些疑惑，于是找了一些资料，仔细的研究了这个问题，整理如下：等价无穷小的定义及常用的等价无穷小无穷小量是指某变化过程中极限为0的变量。而等价无穷小量是指在某变化过程中比值极限为1的两个无穷小量。常用的等价无穷小有： sinx～tanx～arctanx～arcsinx～ln(1+x)～x(x→0) sin?x～tan?x～arctan?x～arcsin?x～ln?(1+x)～x(x→0) 1?cosx～x22,1+x?????√n?1～xn(x→0)1?cos?x～x22,1+xn?1～xn(x→0) 等价无穷小量在求极限问题中非常重要。恰当的使用等价无穷小量代换常常使极限问题大大简化。但是有时却不能使用等价无穷小量代换。

离散数学自学笔记命题公式及其真值表

我们把表示具体命题及表示常命题的p，q，r，s等与f，t统称为命题常元（proposition constant）。深入的讨论还需要引入命题变元（proposition variable）的概念，它们是以“真、假”或“1，0”为取值范围的变元，为简单计，命题变元仍用p，q，r，s等表示。相同符号的不同意义，容易从上下文来区别，在未指出符号所表示的具体命题时，它们常被看作变元。命题常元、变元及联结词是形式描述命题及其推理的基本语言成分，用它们可以形式地描述更为复杂的命题。下面我们引入高一级的语言成分——命题公式。定义1.1 以下三条款规定了命题公式（proposition formula）的意义：（1）命题常元和命题变元是命题公式，也称为原子公式或原子。（2）如果A，B是命题公式，那么（┐A），（A∧B），（A∨B），（A→B），（A？B）也是命题公式。（3）只有有限步引用条款（1），（2）所组成的符号串是命题公式。命题公式简称公式，常用大写拉丁字母A，B，C等表示。公式的上述定义方式称为归纳定义，第四章将对此定义方式进行讨论。例1.8 （┐（p→（q∧r）））是命题公式，但（qp），p→r，p1∨p2∨…均非公式。为使公式的表示更为简练，我们作如下约定：（1）公式最外层括号一律可省略。（2）联结词的结合能力强弱依次为┐，（∧，∨），→，？，（∧，∨）表示∧与∨平等。（3）结合能力平等的联结词在没有括号表示其结合状况时，采用左结合约定。例如，┐p→q∨（r∧q∨s）所表示的公式是（（┐p）→（q∨（（r∧q）∨s）））设A是命题公式，A1是A 的一部分，且A1也是公式，则A1称为公式A的子公式。如对公式A：┐p→q∨（r∧q∨s），则p，┐p ，q ，（r∧q∨s）及q∨（r∧q∨s）都是公式A的子公式，而┐q，┐p→q，虽然是公式，但确不是A的一部分，因此不是A 的子公式；q∨（r∧虽然是公式A的一部分，但不是公式，因而也不是A的子公式。如果公式A含有命题变元p1，p2，…，pn，记为A（p1，…，pn），并把联结词看作真值运算符，那么公式A可以看作是p1，…，pn的真值函数。对任意给定的p1，…，pn 的一种取值状况，称为指派（assignments），用希腊字母a，b等表示，A均有一个确定的真值。当A对取值状况a 为真时，称指派a弄真A，或a是A的成真赋值，记为a （A）= 1；反之称指派a弄假A，或a是A的成假赋值，记为a （A）= 0.对一切可能的指派，

求给定命题公式真值表并根据真值表求公式主范式

“离散数学”实验报告（求给定命题公式地真值表并根据真值表求公式地主范式）专业网络工程班级 1202班学号 12407442 姓名张敏慧 2013.12.14

目录一.实验目地 3 二.实验内容 (3) 求任意一个命题公式地真值表 (3) 三.实验环境 3 四. 实验原理和实现过程（算法描述）3 1.实验原理 (3) 2.实验流程图 (5) 五.实验代码 6 六. 实验结果14 七. 实验总结19

一.实验目地本实验课程是网络工程专业学生地一门专业基础课程,通过实验,帮助学生更好地掌握计算机科学技术常用地离散数学中地概念.性质和运算；通过实验提高学生编写实验报告.总结实验结果地能力；使学生具备程序设计地思想,能够独立完成简单地算法设计和分析. 熟悉掌握命题逻辑中地真值表.主范式等,进一步能用它们来解决实际问题. 二.实验内容求任意一个命题公式地真值表,并根据真值表求主范式详细说明：求任意一个命题公式地真值表本实验要求大家利用C/C＋＋语言,实现任意输入公式地真值表计算.一般我们将公式中地命题变元放在真值表地左边,将公式地结果放在真值表地右边.命题变元可用数值变量表示,合适公式地表示及求真值表转化为逻辑运算结果；可用一维数表示合式公式中所出现地n个命题变元,同时它也是一个二进制加法器地模拟器,每当在这个模拟器中产生一个二进制数时,就相当于给各个命题变元产生了一组真值指派.算法逻辑如下：（1）将二进制加法模拟器赋初值0 （2）计算模拟器中所对应地一组真值指派下合式公式地真值. （3）输出真值表中对应于模拟器所给出地一组真值指派及这组真值指派所对应地一行真值. （4）产生下一个二进制数值,若该数值等于2n-1,则结束,否则转（2）. 三.实验环境；

任意命题公式的真值表

实验报告实验名称：任意命题公式的真值表实验目的与要求：通过实验，帮助学生更好地掌握计算机科学技术常用的离散数学中的概念、性质和运算，包括联结词、真值表、运算的优先级等，提高学生编写实验报告、总结实验结果的能力，培养学生的逻辑思维能力和算法设计的思想，能够独立完成简单的算法设计和分析，进一步用它们来解决实际问题，帮助学生学习掌握C/C++语言程序设计的基本方法和各种调试手段，使学生具备程序设计的能力。实验内容提要：求任意一个命题公式的真值表实验步骤：（一）、关于命题公式的形式和运算符（即联结词）的运算首先根据离散数学的相关知识，命题公式由命题变元和运算符（即联结词）组成，命题变元用大写字母英文表示（本次试验没有定义命题常元T和F，即T、F都表示命题变元），每个命题变元都有两种真值指派0和1，对应于一种真值指派，命题公式有一个真值，由所有可能的指派和命题公式相应的真值按照一定的规范构成的表格称为真值表。目前离散数学里用到的包括扩充联结词总共有九种，即析取（或）、合取（与）、非、蕴含、等值、与非、或非、异或、蕴含否定，常用的为前五种，其中除了非运算为一元运算以外，其它四种为二元运算。所以本次实验设计时只定义了前五种运算符，同时用“/”表示非，用“*”表示合取，用“+”表示析取，用“>”表示蕴含，用“:”表示等值，且这五种运算符的优先级依次降低，如果需用括号改变运算优先级，则用小括号()改变。以下为上述五种运算符运算时的一般真值表，用P和Q表示命题变元：1．非，用“/”表示 2．合取（与），用“*”表示

3．析取（或），用“+”表示 4.蕴含，用“>”表示 5.等值，用“:”表示（二）、命题公式真值的计算对于人来说，计算数学表达式时习惯于中缀表达式，例如a*b+c，a*（b+c）等等，而对于计算机来说，计算a*b+c还好，计算a*（b+c）则困难，因为括号的作用改变了运算的顺序，让计算机识别括号而改变计算顺序显得麻烦。经理论和实践研究，用一种称之为后缀表达式（逆波兰式）的公式形式能让计算机更容易计算表达式的真值。例如上面的a*（b+c），其后缀表达式为abc+*，计算时从左边开始寻找运算符，然后按照运算符的运算规则将与其相邻的前面的一个（非运算时为一个）或两个（其它四种运算为两个）操作数运算，运算结果取代原来的运算符和操作数的位置，然后重新从左边开始寻找运算符，开始下一次计算，比如上式，从左边开始寻找运算符，先找到+，则计算b+c，结果用d表示，这时后缀表达式变为ad*，又重新开始从左边开始寻找运算符，找到*，则计算a*d，

高等数学等价无穷小替换_极限的计算

讲义无穷小极限的简单计算【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。【教学内容】 1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换； 4、求极限的方法。【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。难点是未定式的极限的求法。【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。【授课内容】一、无穷小与无穷大 1.定义前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数() x f 的极限、0x x →（+→0x x 、- →0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面我们用

→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即＊{ } - + →→→-∞→+∞→∞→∞→∈00 x x x x x x x x x n 定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊。例如, ,0sin lim 0 =→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x ,01lim =∞→x x .1 时的无穷小是当函数∞→∴x x ,0)1(lim =-∞→n n n .})1({ 时的无穷小是当数列∞→-∴n n n 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。定义：当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大，即()∞=→x f x ＊ lim 。显然，∞→n 时，、、、32n n n 都是无穷大量，【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如 0lim =-∞ →x x e ， +∞=+∞ →x x e lim ，所以x e 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。 2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大，则 ()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则() x f 1为无穷大。小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。 3.无穷小与函数极限的关系: 定理 1 0 lim () ()(),x x x f x A f x A x α其中)(x α是自变量在同一变化过程0x x →（或∞→x ）中的无穷小. 证：（必要性）设0 lim () ,x x f x A 令()(),x f x A α则有0 lim () 0,x x x α ).()(x A x f α+=∴

等价无穷小公式大全

1，x\sim \tan x\sim \sin x\sim \arcsin x\sim (e^x-1)\sim\arctan x\sim ln(1+x)\sim ln(x+\sqrt{1+x^2})x～tanx～sinx～arcsinx～(ex?1)～arctanx～ln(1+x)～ln(x+1+x2) 2，(1-\cos x)\sim\frac{1}{2}x^2(1?cosx)～21x2 3，log_a(1+x)\sim\frac{x}{lna}loga(1+x)～lnax 4，(x - \sin x)\sim\frac{1}{6}x^3\sim(\arcsin x-x)(x?sinx)～61x3～(arcsinx?x) 5，(\tan x -x)\sim\frac{1}{3}x^3\sim(x-\arctan x)(tanx?x)～31x3～(x?arctanx) 6，(1+bx)^a-1\sim abx(1+bx)a?1～abx 7，(\tan x-\sin x)\sim \frac{1}{2}x^3(tanx?sinx)～21x3 8，a^x-1\sim xlnaax?1～xlna 9，(\sqrt[n]{1+x}-1)\sim \frac{x}{n}(n1+x?1)～nx 等价无穷小替换公式如下: 以上各式可通过泰勒展开式推导出来。

等价无穷小是无穷小的一种，也是同阶无穷小。从另一方面来说，等价无穷小也可以看成是泰勒公式在零点展开到一阶的泰勒展开公式。扩展资料: 求极限时，使用等价无穷小的条件： 1. 被代换的量，在取极限的时候极限值为0； 2. 被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以，加减时可以整体代换，不一定能随意单独代换或分别代换。

应用等价无穷小巧解考研高等数学试题

龙源期刊网 https://www.wendangku.net/doc/0a4268059.html, 应用等价无穷小巧解考研高等数学试题作者：黄英芬龙红兰来源：《中国科教创新导刊》2013年第16期摘要：在考研高等数学试题当中，“极限”知识点所占考核比重逐年提升，对考生考试成绩有着决定性的影响。掌握“极限”知识点的相关计算方法，备受考生的关注与重视。在现阶段，等价无穷小被证实能够达到合理提高“极限”知识点相关题目解题精确性与速度的目的。本文在简要分析等价无穷小解题方法的基础之上，结合考研高等数学试题，就如何应用等价无穷小解考研高等数学试题这一问题展开了较为详细的分析与阐述，希望能够引起各方人员的参考与关注，从而为考生解答相关试题题目提供一定的参考与借鉴。关键词：等价无穷小考研高等数学解题方法分析中图分类号：G64 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2013）06（a）-0047-01 在数学分析，特别是求解考研高等数学试题的过程当中，等价无穷小是比较常用的概念与方法之一。实践研究结果证实：借助于对等价无穷小相关方法的合理应用，能够在很大程度上实现对计算流程的简化。特别是在高等数学考研试题当中，近年来，涉及到应用等价无穷小方法进行计算的题目越来越多，且所占分值也越来越多。如何在遇到这部分题型的过程当中，合理应用等价无穷小方法进行作答，在确保计算精确性的同时，实现对解题时间的合理控制，这一问题备受考生、以及教师的特别关注与重视。本文试针对以上相关问题做详细分析与说明。 1 等价无穷小基本概念分析[1] 数学分析研究的最核心对象为函数，而在有关函数研究的过程当中，最主要的方法是极限。通过对极限方法的应用，能够达到研究函数连续性、可微性、可积性的目的。从而极限在分析数学试题中有着至关重要的地位。在相关数学题，特别是极限问题的求解过程当中，借助于对等价无穷小方法的应用，能够通过代换方式使问题变得更加的简单化，从而使极限值更加容易求出。常规意义上来说，在x→0的状态下，常见的等价无穷小定理包括以下几项内容：（1）sin x～ x；（2）arc sin x～ x （3）tan x～ x （4）In（1+x）～ x （5）（1+x）1/n-1～ x/n

逻辑命题公式计算

题号：第一题题目：电梯模拟 1，需求分析：计算命题演算公式的真值所谓命题演算公式是指由逻辑变量(其值为TRUE或FALSE )和逻辑运算符人(AND )、 V( OR)和「( NOT )按一定规则所组成的公式(蕴含之类的运算可以用A、V和「来表示)。公式运算的先后顺序为「、人、V,而括号()可以改变优先次序。已知一个命题演算公式及各变量的值，要求设计一个程序来计算公式的真值。要求： ( 1)利用二叉树来计算公式的真值。首先利用堆栈将中缀形式的公式变为后缀形式；然后根据后缀形式, 从叶结点开始构造相应的二叉树；最后按后序遍历该树, 求各子树之值, 即每到达一个结点, 其子树之值已经计算出来, 当到达根结点时, 求得的值就是公式之真值。 ( 2)逻辑变元的标识符不限于单字母,而可以是任意长的字母数字串。 ( 3)根据用户的要求显示表达式的真值表。 2,设计： 2.1 设计思想： <1> ,数据结构设计： (1) 线性堆栈1 的数据结构定义 typedef struct { DataType stack [MaxStackSize]; int top; /* 当前栈的表长*/ } SeqStack; 用线性堆栈主要是用来存储输入的字符, 它的作用就是将中缀表达式变成后缀表达式。 (2) 线性堆栈2 的数据结构定义 typedef struct { BiTreeNode *stack [MaxStackSize]; int top; /* 当前栈的表长*/ } TreeStack; 这个堆栈和上面的堆栈的唯一不同就是它们存储的数据的类型不同, 此堆栈存储的是树节点,它的作用是将后缀表达式构成一棵二叉树。（3）树节点数据结构定义typedef struct Node { DataType data; struct Node *leftChild; struct Node *rightChild; }BiTreeNode; <2>算法设计详细思路如下：首先实现将中缀表达式变成后缀表达式：在将中缀表达式变成后缀表达式的

离散数学命题公式真值表C++或C语言实验报告

离散数学实验报告专业班级：12级计算机本部一班姓名：鲍佳珍学号：201212201401016 实验成绩： 1．【实验题目】命题逻辑实验二 2．【实验目的】熟悉掌握命题逻辑中真值表，进一步能用它们来解决实际问题。 3．【实验内容】求任意一个命题公式的真值表 4、【实验要求】 C或C＋＋语言编程实现 5. 【算法描述】 1.实验原理真值表:表征逻辑事件输入和输出之间全部可能状态的表格。列出命题公式真假值的表。通常以1表示真，0 表示假。命题公式的取值由组成命题公式的命题变元的取值和命题联结词决定，命题联结词的真值表给出了真假值的算法。真值表是在逻辑中使用的一类数学表，用来确定一个表达式是否为真或有效。 2.实验过程首先是输入一个合理的式子，生成相应真值表，然后用函数运算，输出结果：要求可生成逻辑非、合取、析取、蕴含、双条件表达式的真值表，例如：输入 !a 输出真值表如下： a !a 0 1 10 输入a&&b 输出真值表如下： a b a&&b 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 输入a||b 输出真值表如下：

a b a||b 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 输入a->b 输出真值表如下： a b a->b 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 输入a<>b (其中<>表示双条件) 输出真值表如下： a b a<>b 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 6.【源程序（带注释）】 #include #include void hequ(); void yunhan(); void xiqu(); void shuang(); void fei();//声明五个函数 int main() { int ch; char s[10];

离散数学之逻辑运算和命题公式真值表

1、逻辑联接词的运算从键盘输入两个命题变元P和Q的真值，输出它们的合取、析取、条件、双条件和P的否定的真值。 #include int main() { int a,b; int hequ(int P,int Q); int xiqu(int P,int Q); int tiaojian(int P,int Q); int shuangtiaojian(int P,int Q); int Pfaoding(int P); int show(int a,int b); cout<<"请输入P和Q的真值:\n"; cin>>a>>b; show(a,b); return 0; } int hequ(int P,int Q) { if(P==0) P=P; else P=1; if(Q==0) Q=Q; else Q=1; return(P&Q); } int xiqu(int P,int Q) { if(P==0) P=P; else P=1; if(Q==0) Q=Q; else Q=1; return(P|Q); } int tiaojian(int P,int Q)

{ if(P==0) P=P; else P=1; if(Q==0) Q=Q; else Q=1; if(P==1&&Q==0) return(0); else return(1); } int shuangtiaojian(int P,int Q) { if(P==0) P=P; else P=1; if(Q==0) Q=Q; else Q=1; return(!P^Q); } int Pfaoding(int P) { if(P==0) P=P; else P=1; return(!P); } int show(int a,int b) { cout<<"P Q P∧Q P∨Q P→Q P←→Q ┐P"<

高等数学等价无穷小替换

无穷小极限的简单计算【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。【教学内容】 1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换； 4、求极限的方法。【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。难点是未定式的极限的求法。【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。【授课内容】一、无穷小与无穷大 1.定义前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、-→0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面我们用 →x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即＊{ } - + →→→-∞→+∞→∞→∞→∈00 x x x x x x x x x n 定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊。例如,,0sin lim 0 =→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x ,01lim =∞→x x .1 时的无穷小是当函数∞→∴x x ,0)1(lim =-∞→n n n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n n n 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。

求给定命题公式的真值表并根据真值表求公式的主范式

求给定命题公式的真值表并根据真值表求公式的主范式(求给定命题公式的真值表并根据真值表求公式的主范式) 专业网络工程班级 1202班学号 12407442 姓名张敏慧 2013.12.14 目录一.实验目的 ....................................................... 3 二.实验内容 (3) 求任意一个命题公式的真值表 ..................................................................... ..... 3 三.实验环境 (3) 四. 实验原理和实现过程(算法描述) (3) 1.实验原理 ..................................................................... ...................................... 3 2.实验流程图 ..................................................................... .................................. 5 五.实验代码 (6) 六. 实验结果 (14)

七. 实验总结 (19) - 1 - 一.实验目的本实验课程是网络工程专业学生的一门专业基础课程，通过实验，帮助学生更好地掌握计算机科学技术常用的离散数学中的概念、性质和运算;通过实验提高学生编写实验报告、总结实验结果的能力;使学生具备程序设计的思想，能够独立完成简单的算法设计和分析。熟悉掌握命题逻辑中的真值表、主范式等，进一步能用它们来解决实际问题。二.实验内容求任意一个命题公式的真值表，并根据真值表求主范式详细说明: 求任意一个命题公式的真值表本实验要求大家利用C/C，，语言，实现任意输入公式的真值表计算。一般我们将公式中的命题变元放在真值表的左边，将公式的结果放在真值表的右边。命题变元可用数值变量表示，合适公式的表示及求真值表转化为逻辑运算结果;可用一维数表示合式公式中所出现的n个命题变元，同时它也是一个二进制加法器的模拟器，每当在这个模拟器中产生一个二进制数时，就相当于给各个命题变元产生了一组真值指派。算法逻辑如下: (1)将二进制加法模拟器赋初值0 (2)计算模拟器中所对应的一组真值指派下合式公式的真值。 (3)输出真值表中对应于模拟器所给出的一组真值指派及这组真值指派所对应的一行真值。 n(4)产生下一个二进制数值，若该数值等于2-1，则结束，否则转(2)。三.实验环境; 使用visual C++6.0为编程软件，采用C语言为编程语言实现。

高等数学等价替换公式

根据arcsinx的泰勒公式，可以轻松得到为同阶不等价无穷小。x→0，时x→sinx ; x→arcsinx ; x→tanx ;x→arctanx; x→ln(1+x); x→(e^x-1); [(1+x)^n-1]→nx;(1-cosx)→x*x/2;a^x-1→xlna, ln(1+x)→x;麦克劳林公式也是，那个符号不好写，你课本上或者习题里有.例1 limx →0tanx-sinxx3 给你举几个利用无穷小的例子例1 limx→0tanx-sinxx3 解：原式=limx →0sinx(1-cosx)x3cosx=limx→0x·12x2x3(∵sinx～x,1-cosx～x22)=12 此题也可用罗比塔法则做，但不能用性质④做。∵tanx-sinxx3=x-xx3=0，不满足性质④的条件，否则得出错误结论0。例 2 limx→0e2x-31+xx+sinx2 解：原式=limx→0e2x-1-(31+x-1)x+x2=limx→02x-13xx(1+x)=53 例3 limx→0(1x2-cot2x) 解法1：原式=limx→0sin2x-x2cos2xx2sin2x =limx→0(sinx+xcosx)(sinx-xcosx)x4 =limx→0x2(1+cosx)(1-cosx)x4 (∵sinx～x) =limx→0(1+cosx)(1-cosx)x2 =limx→012x2·(1+cosx)x2=1 解法2：原式=limx→0tan2x-x2x2tan2x =limx→0(tanx+x)(tanx-x)x4 =limx→02x(tanx-x)x44 (∵tanx～x) =limx→02(tanx-x)x3 =limx→02(sec2x-1)3x2 =23limx→0tan2xx2=23 (∵tanx～x) 例4［3］limx→0+tan(sinx)sin(tanx) 解：原式=limx→0+sec2(sinx)cosx2tan(sinx)cos(tanx)sec2x2sin(tanx) （用罗比塔法则）=limx→0+sec2(sinx)cosxcos(tanx)sec2x·limx→0+sin(tanx)tan(sinx) （分离非零极限乘积因子）=limx→0+sin(tanx)tan(sinx) （算出非零极限）=limx→0+cos(sinx)sec2x2sin(tanx)sec2(sinx)cosx2tan(sinx) （用罗比塔法则）=limx→0+cos(sinx)sec2xsec2(sinx)cosx·limx→0+tan(sinx)sin(tanx) =limx→0+tan(sinx)sin(tanx) 出现循环，此时用罗比塔法则求不出结果。怎么办？用等价无穷小代换。∵x～sinx～tanx(x →0) ∴原式=limx→0+xx=1而得解。

离散数学,逻辑学,命题公式求真值表

离散逻辑学实验班级：10电信实验班学号：Q 姓名：王彬彬一、实验目的熟悉掌握命题逻辑中的联接词、真值表、主范式等，进一步能用它们来解决实际问题。二、实验内容 1. 从键盘输入两个命题变元P和Q的真值，求它们的合取、析取、条件和双条件的真值。（A） 2. 求任意一个命题公式的真值表（B，并根据真值表求主范式（C））三、实验环境 C或C＋＋语言编程环境实现。四、实验原理和实现过程（算法描述） 1.实验原理（1）合取：二元命题联结词。将两个命题P、Q联结起来，构成一个新的命题P∧Q, 读作P、Q的合取, 也可读作P与Q。这个新命题的真值与构成它的命题P、Q的真值间的关系为只有当两个命题变项P = T, Q = T时方可P∧Q =T, 而P、Q只要有一为F则P∧Q = F。这样看来，P∧Q可用来表示日常用语P与Q, 或P并且Q。（2）析取：二元命题联结词。将两个命题P、Q联结起来，构成一个新的命题P∨Q, 读作P、Q的析取, 也可读作P或Q。这个新命题的真值与构成它的命题P、Q的真值间的关系为只有当两个命题变项P = F, Q = F时方可P∨Q =F, 而P、Q只要有一为T则P∨Q = T。这样看来，P∨Q可用来表示日常用语P或者Q。（3）条件：二元命题联结词。将两个命题P、Q联结起来，构成一个新的命题P→Q, 读作P条件Q, 也可读作如果P，那么Q。这个新命题的真值与构成它的命题P、Q的真值间的关系为只有当两个命题变项P = T, Q = F时方可P→Q =F,

其余均为T。（4）双条件：二元命题联结词。将两个命题P、Q联结起来，构成一个新的命题P←→Q, 读作P双条件于Q。这个新命题的真值与构成它的命题P、Q的真值间的关系为当两个命题变项P = T, Q =T时方可P←→Q =T, 其余均为F。（5）真值表:表征逻辑事件输入和输出之间全部可能状态的表格。列出命题公式真假值的表。通常以1表示真，0 表示假。命题公式的取值由组成命题公式的命题变元的取值和命题联结词决定，命题联结词的真值表给出了真假值的算法。真值表是在逻辑中使用的一类数学表，用来确定一个表达式是否为真或有效。（6）主范式：主析取范式：在含有n个命题变元的简单合取式中,若每个命题变元与其否定不同时存在,而两者之一出现一次且仅出现一次,称该简单合取式为小项。由若干个不同的小项组成的析取式称为主析取范式;与A等价的主析取范式称为A的主析取范式。任意含n个命题变元的非永假命题公式A都存在与其等价的主析取范式,并且是惟一的。主合取范式：在含有n个命题变元的简单析取式中,若每个命题变元与其否定不同时存在,而两者之一出现一次且仅出现一次,称该简单析取式为大项。由若干个不同的大项组成的合取式称为主合取范式;与A等价的主合取范式称为A的主合取范式。任意含n个命题变元的非永真命题公式A都存在与其等价的主合取范式,并且是惟一的。五、代码设计结果：