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高中数学必修基本初等函数常考题型幂函数

高中数学必修基本初等

函数常考题型幂函数 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】

幂函数

【知识梳理】

1．幂函数的概念

一般地，函数y ＝x 叫做幂函数．其中x是自变量，α是常数．2．常见幂函数的图象与性质

解析式y＝x y＝x2y＝x3y＝1

x y＝

图象

定义域R R R{x|x≠0}[0，＋∞)值域R[0，＋∞)R{y|y≠0}[0，＋∞)

奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数非奇非偶函

数

单调性在(－∞，

＋∞)上单

调递增

在(－∞，

0]上单调递

减，在(0，

＋∞)上单

调递增

在(－∞，

＋∞)上单

调递增

在(－∞，

0)上单调递

减，在(0，

＋∞)上单

调递减

在[0，＋

∞)上单调

递增

定点(1,1)

(1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．

(2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．

特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．

(3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴；当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．【常考题型】

题型一、幂函数的概念

【例1】 (1)下列函数：①y＝x 3

；②y＝12x

?? ?

；③y＝4x 2；④y＝x 5

＋1；⑤y＝(x －1)2；⑥y＝x ；⑦y＝a x (a>1)．其中幂函数的个数为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

(2)已知幂函数y ＝()2

2231m m m m x ----，求此幂函数的解析式，并指出定义域．

(1)[解析] ②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B.

[答案] B

(2)[解] ∵y＝()2

2231m m m m x ----为幂函数，

∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.

当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，则y ＝x －3，且有x≠0；当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，则y ＝x 0，且有x≠0.

故所求幂函数的解析式为y ＝x －3，{x|x≠0}或y ＝x 0，{x|x≠0}．【类题通法】

判断一个函数是否为幂函数的方法

判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为 1.反之，若一个函数为幂函数，则该函数应具备这一形式，这是我们解决某些问题的隐含条件．

【对点训练】

函数f(x)＝()2

231m m m m x +---是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是

增函数，求f(x)的解析式．

解：根据幂函数的定义得

m 2－m －1＝1.解得m ＝2或m ＝－1.

当m ＝2时，f(x)＝x 3在(0，＋∞)上是增函数；

当m ＝－1时，f(x)＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f(x)＝x 3.

题型二、幂函数的图象

【例2】 (1)如图，图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的大致图象，已知α取－2，－12，1

2，2四个值，

则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为( )

A ．－2，－12，12，2

B ．2，12，－1

2，－2

C ．－12，－2,2，1

D ．2，12，－2，－1

(2)如图是幂函数y ＝m x 与y ＝n x 在第一象限内的图象，则( )

A ．－1

B ．n<－1,0

C．－1

m>1

D．n<－1，m>1

[解析] (1)令x＝2，则22>21

>2－

>2－2，

故相应于曲线C

1，C

，C

的α值依次为2，

，－

，－2.故选B.

(2)此类题有一简捷的解决办法，在(0,1)内取x

0，作直线x＝x

，与各

图象有交点，则“点低指数大”．如图，0

[答案] (1)B (2)B

【类题通法】

解决幂函数图象问题应把握的两个原则

(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．

(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象

限内的图象(类似于y＝x－1或y＝

x或y＝x3)来判断．

【对点训练】

已知函数y＝a x，y＝b x，y＝c x的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为( )

A．c

C．b

解析：选A 由幂函数的图象特征知，c<0，a>0，b>0.

由幂函数的性质知，当x>1，幂指数大的幂函数的函数值就大，则a>b.综上所述，可知c

题型三、利用幂函数的性质比较大小

【例3】比较下列各组数中两个数的大小．

(1)

0.5

与

0.5

；

(2)

- ?

与

- ?

；

(3)

与

[解] (1)∵幂函数y＝0.5

x在(0，＋∞)上是单调递增的，

又2

，∴

0.5

(2)∵幂函数y＝1

x-在(－∞，0)上是单调递减的，

又－2

<－

，∴

- ?

(3)∵函数y

1＝

为R上的减函数，又

，

∴

又∵函数y

2＝

x在(0，＋∞)上是增函数，且

，

∴

，∴

【类题通法】

比较幂值大小的方法

(1)若指数相同，底数不同，则考虑幂函数；

(2)若指数不同，底数相同，则考虑指数函数；

(3)若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，使这个数的底数与所比较数的一个底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小．

【对点训练】

比较下列各题中两个幂的值的大小：

(1)

2.3，

2.4；

(2)

，

；

(3)()65

0.31

-，

5 0.35.

解：(1)∵y＝

x为[0，＋∞)上的增函数，且<，

∴

2.3<

2.4.

(2)∵y＝

x-　为(0

，

∴

(3)∵y＝

x为R上的偶函数，∴()65

0.31

-＝

0.31.

又函数y＝

x为[0，＋∞)上的增函数，且<，

∴

0.31<

0.35，即()65

0.31

0.35.

【练习反馈】

1．下列函数是幂函数的是( ) A ．y ＝2x

B ．y ＝2x －1

C ．y ＝(x ＋1)2

D ．y

解析：选D 由幂函数的概念可知D 正确． 2．下列命题：

①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)； ②幂函数的图象不可能在第四象限； ③n＝0，函数y ＝n x 的图象是一条直线； ④幂函数y ＝n x 当n>0时，是增函数；

⑤幂函数y ＝n x 当n<0时，在第一象限内函数值随x 值的增大而减小．正确的命题为( ) A ．①④ B ．④⑤ C ．②③

D ．②⑤

解析：选D y ＝x －1不过(0,0)点，∴①错误，排除A ；当n ＝0时，y ＝

n x 的图象为两条射线，③错误，排除C ；y ＝x 2

不是增函数，④错误，排除

B ；因此答案选D.

3．已知幂函数f(x)的图象过点(4,2)，则f ? ??

18＝________.

解析：设f(x)＝x α，则4α＝2，∴α＝1

，

即f(x)＝1

x ，∴f ? ????18＝1

218?? ???

答案：

4．函数f(x)＝()2

2231m m m m x +--+是幂函数，且在x∈(0，＋∞)时是减

函数，则实数m ＝________.

解析：由m 2

－m ＋1＝1，得m ＝0或m ＝1，

再把m ＝0和m ＝1分别代入m 2

＋2m －3<0检验，得m ＝0. 答案：0

5．比较下列各题中两个幂的值的大小：

(1)121.1，120.9；(2) 121.1-　，120.9-　；(3)34

3-　，34

12??

???.

解：(1)∵y＝12

x 为[0，＋∞)上的增函数，又>， ∴121.1>12

0.9.

(2)∵y＝12

x -　为(0，＋∞)上的减函数，又>， ∴121.1-　<12

0.9-　. (3)∵34

-　＝34

13?? ???

，函数y ＝3

x 为[0，＋∞)上的增函数，且13<12，

∴34

13??

???<3

12??

???，即3

3-　<34

12??

???

1.高考数学考点与题型全归纳——集合

第一章集合与简易逻辑第一节集合 ? 基础知识 1. 集合的有关概念 1.1.集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． 1. 2.集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． 1.3.元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为?. 1.4.五个特定的集合及其关系图： N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集． 2. 集合间的基本关系 2.1.子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ?B(或B ?A)． 2.2.真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作AB 或B A. A B ?? ???? A ? B ，A≠B.既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不属于A. 2.3.集合相等：如果A ?B ，并且B ?A ，则A ＝B. 两集合相等：A ＝B ?? ??? ? A ? B ，A ?B.A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性． 2.4.空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作?. ?∈{?}，??{?}，0??，0?{?},0∈{0}，??{0}．

3. 集合间的基本运算 (1)交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A∩B ，即A∩B ＝{x|x ∈A ，且x ∈B}． (2)并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B ＝{x|x ∈A ，或x ∈B}． (3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作?U A ，即?U A ＝{x |x ∈U ，且x ?A }．求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”，集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为?U A . ? 常用结论 (1)子集的性质：A ?A ，??A ，A ∩B ?A ，A ∩B ?B . (2)交集的性质：A ∩A ＝A ，A ∩?＝?，A ∩B ＝B ∩A . (3)并集的性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪B ?A ，A ∪B ?B ，A ∪A ＝A ，A ∪?＝?∪A ＝A . (4)补集的性质：A ∪?U A ＝U ，A ∩?U A ＝?，?U (?U A )＝A ，?A A ＝?，?A ?＝A . (5)含有n 个元素的集合共有2n 个子集，其中有2n －1个真子集，2n －1个非空子集． (6)等价关系：A ∩B ＝A ?A ?B ；A ∪B ＝A ?A ?B . 考点一集合的基本概念 [典例] 1. (2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2. 已知a ，b ∈R ，若? ?? ? ??a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．±1 [解析] (1)因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2. (2)由已知得a ≠0，则b a ＝0，所以 b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1.又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1. [答案] (1)B (2)C [提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意． [题组训练]

高中数学,函数图形考点及题型全归纳

第五节函数的图象 ? 基础知识 1．利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线．首先：(1)确定函数的定义域； (2)化简函数解析式； (3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；其次，列表，描点，连线． 2．函数图象的变换 (1)平移变换 ①y ＝f (x )的图象――――――――→a >0，右移a 个单位 a <0，左移|a |个单位y ＝f (x －a )的图象； ②y ＝f (x )的图象――――――――→ b >0，上移b 个单位b <0，下移|b |个单位 y ＝f (x )＋b 的图象． “左加右减，上加下减”，左加右减只针对x 本身，与x 的系数,无关，上加下减指的是在f (x )整体上加减. (2)对称变换 ①y ＝f (x )的图象―――――→关于x 轴对称 y ＝－f (x )的图象； ②y ＝f (x )的图象―――――→关于y 轴对称 y ＝f (－x )的图象； ③y ＝f (x )的图象――――――→关于原点对称 y ＝－f (－x )的图象； ④y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象―――――――→关于直线y ＝x 对称 y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象． (3)伸缩变换 ①y ＝f (x )的图象―――――――――――――――――――→a >1，横坐标缩短为原来的1 a 纵坐标不变 01，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变 0