小学数学解题方法解题技能之数阵图

第一章

小学数学解题方法解题技巧之数阵图

【方阵】

例1 将自然数1至9，分别填在图5.17的方格中，使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等。

（长沙地区小学数学竞赛试题）

讲析：中间一格所填的数，在计算时共算了4次，所以可先填中间一格的数。

（l+2+3+……+9）÷3=15，则符合要求的每三数之和为15。显然，中间一数填“5”。

再将其它数字顺次填入，然后作对角线交换，再通过旋转（如图5.18），便得解答如下。

例2 从1至13这十三个数中挑出十二个数，填到图5.19的小方格中，使每一横行四个数之和相等，使每一竖列三个数之和又相等。

（“新苗杯”小学数学竞赛试题）

讲析：据题意，所选的十二个数之和必须既能被 3整除，又能被 4整除，（三行四列）。所以，能被12整除。十三个数之和为91，91除以12，商7余7，因此，应去掉7。每列为（91—7）÷4=21

而1至13中，除7之外，共有六个奇数，它们的分布如图5.20所示。

三个奇数和为21的有两种：21=1＋9+11=3＋5+13。经检验，三个奇数为3、5、13的不合要求，故不难得出答案，如图5.21所示。

例3 十个连续自然数中，9是第三大的数，把这十个数填到图5.22的十个方格中，每格填一个，要求图中三个2×2的正方形中四数之和相等。那么，这个和数的最小值是______。

（1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题）

讲析：不难得出十个数为:2、3、4、5、6、7、8、9、10、11。它们的和是65。在三个2×2的正方形中，中间两个小正方形分别重复了两次。

设中间两个小正方形分别填上a和b，则（65＋a＋b）之和必须是 3的倍数。所以，（a＋b）之和至少是7。

故，和数的最小值是24。

【其他数阵】

例1 如图5.23，横、竖各12个方格，每个方格都有一个数。

已知横行上任意三个相邻数之和为20，竖列上任意三个相邻数之和为21。图中已填入3、5、8和“×”四个数，那么“×”代表的数是______。

（1994年全国小学数学奥林匹克初赛试题）

讲析：可先看竖格。因为每相邻三格数字和为21，所以每隔两格必出现重复数字。从而容易推出，竖格各数从上而下是：3、10、8、3、10、8、3、10、8、3、10、8。

同理可推导出横格各数，其中“×”=5。

例2 如图5.24，有五个圆，它们相交后相互分成九个区域，现在两个区域里已经分别填上数字10、6，请在另外七个区域里分别填进2、3、4、5、6、7、9七个数字，使每个圆内的数之和都是15。

（上海市第五届小学数学竞赛试题）

讲析：可把图中要填的数，分别用a、b、c、d、e、f、g代替。（如图5.25）

显然a=5，g=9。

则有：b＋c=10，e＋f=6，c＋d＋e=15。经适当试验，可得b=3，c=7，d=6，e=2，f=4。

例3 如图5.26，将六个圆圈中分别填上六个质数，它们的和是20，而且每个小三角形三个顶点上的数之和相等。那么，这六个质数的积是______。

（全国第一届“华杯赛”决赛试题）

讲析：最上面的小三角形与中间的小三角形，都有两个共同的顶点，且每个小三角形顶点上三数之和相等。所以，最上边圆圈内数字与最下面中间圆圈内数字相等。

同样，左下角与右边中间的数相等，右下角与左边中间数相等。

20÷2=10，10＝2+3+5。

所以，六个质数积为2×2×3×3×5×5=900。

例4 在图5.27的七个○中各填上一个数，要求每条直线上的三个数中，中间一个数是两边两个数的平均数。现已填好两个数，那么X=_______。

（1992年全国小学数学奥林匹克决赛试题）

讲析：如图5.28，可将圆圈内所填各数分别用a、b、c、d代替。

则d=15。

由15+c+a=17+c+b，得：a比b多2。

所以，b=13+2=15。进而容易算出，x=19。

例5 图5.29中8个顶点处标注的数字：

a、b、c、d、e、f、g、h，其中的每一个数都等于相邻三个顶点

（全国第三届“华杯赛”复赛试题）

讲析：将外层的四个数，分别用含其它字母的式子表示，得

即（a+b+c+d）-（e+f+g+h）=0