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第二三章剪切与扭转

第二章

剪切与挤压

键连结和铆钉连接件应力计算

本单元主要讨论：

2-1 剪切问题

1、剪切变形的特点

外力与连接件轴线垂直连接件横截面发生错位

我们将错位横截面称为剪切面

2、受剪切构件的主要类型

一、铆钉类

铆钉连接螺栓连接

{

螺栓受力情况

受剪切面为两组力分界面

内力外力要平衡

二、键类

单键连接花键连接

单键连接的受力分析

M F 2-2 剪切强度的工程计算

{

}

以螺栓为例

剪切面

}

将螺栓从剪切面截开，由力的平衡，有：

K 0

X =∑0P F =?P

F =F 为剪切内力，即剪应力在剪切面上的合力，我们称之为剪力

剪应力在剪切面上的分布情况是非常复杂的

工程上往往采用实用计算的方法

[]ττ≤=A

F 可见，该实用计算方法认为剪切剪应力在剪切面上是均匀分布的。

许用剪应力

上式称为剪切强度条件

其中，F 为剪切力——剪切面上内力的合力

A 为剪切面面积

受剪切螺栓剪切面面积的计算：

A 2

π=

受剪切单键剪切面面积计算：

取单键下半部分进行分析外力剪切面合力剪切力

假设单键长×宽×高分别为l ×b ×h l

则受剪切单键剪切面面积：

b A ×=设合外力为P 剪切力为Q

则剪应力为：

螺栓和单键剪应力及强度计算：

螺栓[]τππτ≤==

2d P

4d F 4单键

[]ττ≤==bl

bl Q P

Q =单剪切与双剪切

{

}单剪切

双剪切

前面讨论的都是单剪切现象

出现两个剪切面

中间段

P/2

P P/2

P/2

左右两段

P/2P/2

剪切力为P 剪切面面积2倍剪切力为P/2剪切面面积单倍

结论：无论用中间段还是左右段分析，结果是一样的。

例2-1图示拉杆，用四个直径相同的铆钉连接，校核铆钉和拉杆的剪切强度。假设拉杆与铆钉的材料相同，已知P =80KN ，b =80mm ，t =10mm ，d =16mm ，[τ]=100MPa ，[σ]=160MPa 。P

构件受力和变形分析：假设下板具有足够的强度不予考虑上杆（蓝杆）受拉

最大拉力为P 位置在右边第一个铆钉处。

拉杆危险截面拉杆强度计算：()()[]

σσ?=×?×=?==MPa 12510

16801000

80t d b P A N b

铆钉受剪切工程上认为各个铆钉平均受力剪切力为P/4铆钉强度计算:

[]τπππτ?=××=×==MPa 5.9916100080d 4/P 4d Q 42

222-2 挤压强度的工程计算

1、关于挤压现象

一般来讲，承受剪切的构件在发生剪切变形的同时都伴随有挤压

挤压破坏的特点是：在构件相互接触的表面，因承受了较大的压力，是接触处的局部区域发生显著的塑性变形或挤碎

作用于接触面的压力称为挤压力

在挤压力作用下接触面的变形称为挤压变形

挤压面为上半个

圆周面

挤压面为下半个圆周面铆钉或螺栓连接

挤压力的作用面称为挤压面

键连接

上半部分挤压面

下半部分挤压面

1、挤压强度的工程计算

由挤压力引起的应力称为挤压应力

σ与剪切应力的分布一样，挤压应力的分布也非常复杂，工程上往往采取实用计算的办法，一般假设挤压应力平均分布在挤压面上

[]

bs bs

bs A P σσ≤=挤压力

挤压面面积

许用挤压应力关于挤压面面积的确定

键连接

l h

l A bs ×=b

铆钉或螺栓连接

挤压力分布

d A bs ×=剪切与挤压的主要区别

剪切面与外力平行挤压面与外力垂直剪切应力为剪应力挤压应力为正应力剪切面计算

铆钉与螺栓键

1d A π=l

b A ×=挤压面计算

l A bs ×=h d A bs ×=第三章

扭

转

# 扭转变形的特点# 外力偶矩的计算# 扭矩的计算# 扭转剪应力的计算

本单元主要内容

3-1 扭转变形的特点

B A'

?γ

M n M n

力偶矩方向沿圆杆的轴线

横截面仍为平面，形状不变，只是绕轴线发生相对转动

圆截面杆受到一对大小相等、方向相反的力偶矩作用x

K 3-2 外力偶矩的计算

转速：n (转/分)

输入功率：N (kW )

1分钟输入功：N

600001000N 60W =××=1分钟m 作功：

W W =()nm

21n 2m m W ππω=××==′()

Nm n

9550

m =单位

3-3 扭矩的计算、扭矩图

1、扭矩的概念

扭转变形的杆往往称之为扭转轴扭转轴的内力称为扭矩

2、扭矩利用截面法、并建立平衡方程得到

M n

K ∑=0

m M n =?m

M n =3、扭矩正负号的规定确定扭矩方向的右手法则：

4个手指沿扭矩转动的方向，大拇指即为扭矩的方向扭矩正负号：

离开截面为正，指向截面为负

外力偶矩正负号的规定

和所有外力的规定一样，与坐标轴同向为正，反向为负

指向截面

离开截面

例3-1传动轴如图所示，转速n = 500转/分钟，主动轮B 输入功率N B = 10KW ，A 、C 为从动轮，输出功率分别为N A = 4KW ，N C = 6KW ，试计算该轴的扭矩。

A B C 先计算外力偶矩

Nm 4.76500

49550n N 9550

m A

A ===Nm

19150010

9550n N 9550m B B ===Nm

6.114500

9550n N 9550m C C ===计算扭矩：AB 段m A

M n1设为正的x K x

M n1

∑=0M

m M A 1n =?Nm

4.76m M A 1n ==BC 段

M n2设为正的

6.114M 2n ?=m c

M n2

∑=0

4、扭矩图

将扭转轴的扭矩沿截面的分布用图形表示

477.5N·m 955N·m

计算外力偶矩

N 637n

N 9550T m

N 5.477n N

9550T T m

N 1592n N

9550T D

D B C B A A ???=======作扭矩图T nmax =955N·m

B C A

T B

T C

T D

T A

637N·m

T n

例3-2已知A 轮输入功率为65kW ，B 、C 、D 轮输出功率分别为15、30、20kW ，轴的转速为300r/min ，画出该轴扭矩图。

3-4 薄壁圆筒的扭转

1、薄壁圆筒扭转时的应力

观察一个实验

将一薄壁圆筒表面用纵向平行线和圆周线划分

两端施以大小相等方向相反一对力偶矩

观察到：# 圆周线大小形状不变，各圆周线间距离不变

# 纵向平行线仍然保持为直线且相互平行，只

是倾斜了一个角度

结果说明横截面上没有正应力

采用截面法将圆筒截开，横截面上有扭矩存在，说明横截面上分布有与截面平行的应力、即存在剪应力由于壁很薄，可以假设剪应力沿壁厚均匀分布

包括横截面取出一个单元体

各个截面上只有剪应力没有正应力的情况称为纯剪切

将（d ）图投影到铅垂坐标平面，得到一个平面单元

2、剪应力互等定理

ττ=两互相垂直截面上在其相交处的剪应力成对存在，且数值相等、符号相反，这称为剪应力互等定理。

τ′

由静力平衡条件的合力矩方程可以得到

τG =在剪应力的作用下，单元体的直角将发生微小的改变，这个改变量γ称为剪应变。

3 、剪切虎克定律

当剪应力不超过材料的剪切比例极限时，剪应力与剪应变之间成正比关系，这个关系称为剪切虎克定律。

剪切弹性模量

3-5 扭转剪应力的计算、扭转强度条件

1、扭转剪应力在横截面上的分布规律

在圆周中取出一个楔形体放大后见图（b ）# 根据几何关系，有

rd AC C C ?

γ=′=

d EG G G ?

ργρ=′=dx

rd AC C C ?

γ=′=

d G G ?ρ

γτρρ==# 根据应力应变关系，即剪切虎克定律

再根据静力学关系

dA A

=∫

ρτρT dA dx

d G dA A

==∫∫

ρτρρ2

dA dx

d G

=∫

2ρ?是一个只决定于横截面的形状和大小的几何量，称为横截面对形心的极惯性矩。

I A

p ∫=2ρ令

GI T

dx d =?∫

T 0

GI Tl =

dA dx

d G

=∫

2ρ?dA

I A

p ∫=2ρρρ?ρ

τρp

p I T

GI T G dx d G ===扭转角

M n

?横截面上某点的剪应力的方向与扭矩方向相同，并垂直于该点与圆心的连线

?剪应力的大小与其和圆心的距离成正比

注意：如果横截面是空心圆，剪应力分布规律一

样适用，但是，空心部分没有应力存在。

ρρ?ρ

τρp

p I T

GI T G dx d G ===2、扭转剪应力的计算

圆截面上任意一点剪应力

ρτρp

I T =

p I 极惯性矩

圆截面上最大剪应力

=ρ剪应力具有最大值

R I T p

m =

τ定义：R

I W p t =

称之为抗扭截面模量

m W T =

τm

τ3、抗扭截面模量

实心圆截面

d W t π=

4、扭转轴内最大剪应力

对于等截面轴，扭转轴内最大剪应力发生在扭矩最大的截面的圆周上

max max W T =

τ5、扭转强度条件

[]ττ≤=

max

max W T 空心圆截面

()

116

απ?=

D W t D

d =

6、强度条件的应用

[]ττ≤=

max

max W T （1）校核强度

[]ττ≤=

max

max W T （2）设计截面

[]

τmax

t T W ≥

（3）确定载荷

[]

τt max W T ≤举例

例3-3已知A 轮输入功率为65kW ，B 、C 、D 轮输出功率分别为15、30、20kW ，轴的转速为300r /min ，试设计该轴直径d 。

B C

T B

T C

T D

T A

477.5N·m

955N·m

637N·m

T n

由强度条件设计轴直径：

5.49]

[T 16d 3

max

n =τπ≥

选：d = 50 mm

T nmax =955N·m

][d T 16W T 3

max

n p max n max τ≤π==

τ例3-4某牌号汽车主传动轴，传递最大扭矩T=1930N·m ,

传动轴用外径D =89mm 、壁厚δ=2.5mm 的钢管做成。材料为20号钢，[τ]=70MPa .校核此轴的强度。（1）计算抗扭截面模量

29)945.01(9.82.0)1(2.0945.04343=?×=?===

ααD W D

cm 3

（2）强度校核

70MPa ][66.7MPa Pa

107661029193066

=<=×=×=

=?ττ.W T T

max

满足强度要求

3-6 扭转变形、扭转刚度条件

p GI Tl =

?1、扭转变形——扭转角

抗扭刚度

为了描述扭转变形的剧烈程度，引入单位长度扭转角的概念

GI T l

?θ单位

/rad 或

2、扭转刚度条件[]θθ≤=

GI T

以每米弧度为单位时

以每米度为单位时

[]θπ

θ≤×=

180p GI T 许用单位长度扭转角

例3—45吨单梁吊车，NK =3.7kW ,n =32.6r/min.试选择传动轴CD 的直径，并校核其扭转刚度。轴用45号钢，[τ]=40MPa ,G =80×103MPa ,[θ]= 1o/m 。

（1）计算扭矩

kW 85.12

.32===

k k N N 轮轴CD 各截面上的扭矩等于车轮所受的外力偶

矩T 轮，则

5436

.3285.195509550=×===n N T T k 轮轮N ?m 马达的功率通过传动轴传递给两个车轮，故每个车轮所消耗的功率为

（2）计算轴的直径

cm 07.4m 0407.010402.0543

][2.0][2.0][36

3==××=≥≥

≥

τττT d T

d T W T 由强度条件得

选取轴的直径d =4.5cm 。

（3）校核轴的刚度

m 1][m 945.014.3180045.01.010*********

9°=<°=××××=×=

θπ

θp GI T

例3—5一传动轴，已知d =4.5cm ,n =300r/min 。主动轮输入功率

N A =36.7kW ,从动轮B 、C 、D 输出的功率N B =14.7kw ,N C =N D =11kW 。轴的材料为45号钢，G =80×103MPa ，[τ]=40MPa ,[θ]=2°/m ，试校核轴的强度和刚度。

(1) 计算外力偶矩

N 3513001195509550m

N 4683007.1495509550m

N 11703007.3695509550?=×===?=×==?=×==n

T T n

T n

T C D C B B A A (2) 画扭矩图,求最大扭矩

用截面法求得AB .AC .CD 各段的扭矩分别为:

N 3513514681170m

N 7024681170m

N 468321?=??=??=?=?=?=??=?=C B A B A B T T T T T T T T T m

N 702max ?=T (3) 强度校核

40MPa

][MPa 8.38Pa

108.38045.02.070263

max max =<=×=×=

=ττT

W T

满足强度条件.

(4) 刚度校核:]

[m 2m 23.114

.3180

045.01.010*********

9max max θπθ=°<°=××××=×=

p GI T 故满足刚度条件