2016北京中考数学各区二模28题汇编(含答案)

1.(海淀二模) 已知：AB BC =，90ABC ∠=?.将线段AB 绕点A 逆时针旋转α（090α?<

到线段AD .点C 关于直线BD 的对称点为E ，连接AE ，CE . （1）如图， ①补全图形；

②求AEC ∠的度数；

（2

）若AE =

1CE =，请写出求α度数的思路.（可以不写出计算结果．．．．．．．．．

）

2．（石景山二模）如图，正方形ABCD ，G 为BC 延长线上一点，E 为射线BC 上一点，连接AE ．

（1）若E 为BC 的中点，将线段EA 绕着点E 顺时针旋转90°，得到线段EF ，

连接CF ． ①请补全图形； ②求证：∠DCF =∠FCG ；

（2）若点E 在BC 的延长线上，过点E 作AE 的垂线交∠DCG 的平分线于点

M ，判断AE 与EM 的数量关系并证明你的结论．

E

G

D C

B

A

M

A

B

C

D

G

E

3.（顺义二模）已知：如图，90ACD ∠=?，MN 是过点A 的直线，AC DC =，DB MN ⊥于点B ．

（1）在图1中，过点C 作CE CB ⊥，与直线MN 于点E ，

①依题意补全图形；

②求证：BCE ?是等腰直角三角形；

③图1中，线段BD 、AB 、CB 满足的数量关系是 ； （2）当MN 绕A 旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，其它条件不变. 在图2中，线段BD 、AB 、CB 满足的数量关系是 ； 在图3中，线段BD 、AB 、CB 满足的数量关系是 ；

（3）MN 在绕点A 旋转过程中，

当30BCD ∠=?

，BD =则CB = ．

图2图3

图1

A

B

C

D

N

M

A

B

C

D

N

M

N

M

A

B

C

D

4.（通州二模） 已知，在菱形ABCD 中，∠ADC=60°，点F 为CD 上任意一点（不与C 、D 重合），过点F 作CD 的垂线，交BD 于点E ，连接AE. （1）①依愿意补全图1；

②线段EF 、CF 、AE 之间的等量关系是 。

（2）在图1中将ΔDEF 绕点D 逆时针旋转，当点F 、E 、C 在一条直线上（如图2）。 线段EF 、CE 、AE 之间的等量关系是

。 写出判断线段EF 、CE 、AE 之间的等量关系的思路（可以不写出证明过程．．．．．．．．．） 图1 图2

5．（西城二模）在等腰直角三角形ABC 中，AB = AC ，∠BAC=90°.点P 为直线AB 上一个动点（点P 不与点A,B 重合），连接PC ，点D 在直线BC 上，且PD = PC. 过点P 作PE ^ PC ，点D,E 在直线AC 的同侧，且PE = PC ，连接BE 。

（1）情况一：当点P 在线段AB 上时，图形如图1 所示；

情况二：如图2，当点P 在BA 的延长线上，且AP < AB 时，请依题意补全图2；． （2）请从问题（1）的两种情况中，任选一种情况，完成下列问题： ①求证：∠ACP=∠DPB ；

②用等式表示线段BC,BP ,BE 之间的数量关系，并证明.

A

B

C

O

A

B

C

D

O

F

E

A

B

A

B

6.（怀柔二模）在△ABC 中，∠ABC=90°，D 为△ABC 内一动点，BD=a,CD=b(其中a ，b 为常数，且a

(2)若∠ACB=α，AE ⊥CE ，则∠AEB= ； (3)在(2)的条件下，用含a,b,α的式子表示AE 的长.

图1 备用图

7（2016房山二模）.在△ABC 中，BD 平分∠ABC （∠ABC ＜60°）

（1）如图28-1，当点D 在AC 边上时，若∠ABC=42°，∠ACB=32°，请直接写出AB ，DC 和BC 之间的数量关系．

（2）如图28-2，当点D 在△ABC 内部，且∠ACD=30°时，

①若∠BDC=150°，直接写出AB ，AD 和BC 之间的数量关系，并写出结论成立的思路． ②若∠ABC=2α，∠ACB=60°-α，请直接写出∠ADB 的度数（用含α的式子表示）．

8．（2016朝阳二模）在ABC ?中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，BE 、CD 相交于点O ，且

A EBC DC

B ∠=

∠=∠2

1

． （1）如图1，若AB =AC ，则BD 与CE 的数量关系是______________；

（2）如图2，若AC AB ≠，请你补全图2，思考BD 与CE 是否仍然具有（1）中的数量关系，

并说明理由；

（3）如图3，?=∠105BDC ，BD = 3，且BE 平分∠ABC ，请写出求BE 长的思路． （不用写出计算结果）

9.（2016丰台二模） 在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB =90°. 点D 为AC 的中点．将线段DE 绕点

D 逆时针旋转90°得到线段DF ，连接EF ，CF ．过点F 作FH FC ⊥，交直线AB 于点H ．

（1）若点E 在线段DC 上，如图1， ①依题意补全图1；

②判断FH 与FC 的数量关系并加以证明．

（2）若E 为线段DC 的延长线上一点，如图2，且CE =的面积

请求出∠FCH CFE Δ,15=,20∠CFE =12°，请写出求△FCH 的面积的思路.（可以不写．．．．出计算．．．结果．．）

图1

图3

图2

F

图

2 图 1 F E C

D A

E

D

B

C A

10（2016昌平二模）. 在等边△ABC 中，AB =2，点E 是BC 边上一点，∠DEF =60°，且∠DEF

的两边分别与△ABC 的边AB ，AC 交于点P ，Q （点P 不与点A ，B 重合）. （1）若点E 为BC 中点．

①当点Q 与点A 重合，请在图1中补全图形；

②在图2中，将∠DEF 绕着点E 旋转，设BP 的长为x ，CQ 的长为y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；

（2）如图3，当点P 为AB 的中点时，点M ，N 分别为BC ，AC 的中点，在EF 上截取EP '

=EP ，连接NP '. 请你判断线段NP '与ME 的数量关系，并说明理由.

11（2016东城一模）. 【问题】

在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点E 在直线BC 上（B ,C 除外），分别经过点E 和点B 做AE 和AB 的垂线，两条垂线交于点F ，研究AE 和EF 的数量关系. 【探究发现】

某数学兴趣小组在探究AE ，EF 的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，他们发现当点E 是BC 的中点时，只需要取AC 边的中点G （如图1），通过推理证明就可以得到AE 和EF 的数量关系，请你按照这种思路直接写出AE 和EF 的数量关系；

图1

图3

图1

A

B

E C

图2

D P

Q

F

【数学思考】

那么当点E 是直线BC 上（B ，C 除外）（其它条件不变），上面得到的结论是否仍然成立呢？请你从“点E 在线段BC 上”；“点E 在线段BC 的延长线”；“点E 在线段BC 的反向延长线上”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明你的结论；

图2

【拓展应用】

当点E 在线段CB 的延长线上时，若BE =nBC （01n ＜＜），请直接写出ABC S △：AEF S △的值．

备用图

1.（海淀二模） 解：（1）①补全图形，如图1所示．…………1分

②连接.

∵，关于直线对称， ∴．………………………2分 ∴， ． ∵，

∴270BAE AEC C ∠+∠+∠=?．

∴135AEC ∠=?．.………………………4分 （2）求解思路如下：

BE AB BC =,E C BD AB BC BE ==C BEC ∠=∠BAE BEA ∠=∠90ABC ∠=

?

a ．连接，过点A 作⊥，交延长线于点，如图2所示；

b ．由（1）可求?=∠135AEC ，由可求；

c

．由1CE =

，可求，

为等边三角形；

d ．由，两点关于直线对称，AB AD =，可求，75ABD ∠=?，

. ……………………7分

2.(石景山二模)．（1）①补全图形，如图所示．

②法一：

证明：过F 作FH ⊥BG 于H ，连接EH ……..2分

由已知得AE ⊥EF ，AE =EF ．

在正方形ABCD 中，

∵∠B =∠AEF =∠EHF =90°，

∴∠AEB +∠FEC =90° ∠AEB +∠BAE =90° ∴∠BAE =∠HEF

∴△ABE ≌△EHF ．……………………………………………..3分 ∴BE =FH ，AB =EH ， ∵E 为BC 中点， ∴BE =CE =CH =FH ．

∴∠DCF =∠HCF=45°． …………………………………………..4分

法二

证明：取线段AB 的中点H ，连接EH ． …………………………………..2分

由已知得AE ⊥EF ，AE =EF ．

∴∠AEB +∠FEC =90°．

在正方形ABCD 中，

∵∠B =90°，∴∠AEB +∠BAE =90°． ∴∠FEC =∠BAE ． ∵AB =BC ，E ，H 分别为AB ，BC 中点， ∴AH=EC ，

∴△ECF ≌△AHE ．…………………………………………………..3分 ∴∠ECF =∠AHE =135°，

∴∠DCF =∠ECF -∠ECD =45°．

∴∠DCF =∠HCF ．…………………………………………………..4分

（2）证明：在BA 延长线上取一点H ，使BH =BE ，连接EH ． …………..5分

在正方形ABCD 中， ∵AB =BC ，∴HA =CE ． ∵∠B =90°，∴∠H =45°． ∵CM 平分∠DCG ，∠DCG =∠BCD =90°，

AC AF CE CE F AE =1AF EF ==2AC =AB BC ==ABE C E BD 15EBD ∠=?30α=?F

E G

D

C B A

H F

E G

D

C B A

H F

E G

D C B A H M

A B C D G

E

∴∠MCE =∠H=45°．

∵AD //BG ，∴∠DAE =∠AEC ． ∵∠AEM =∠HAD =90°, ∴∠HAE =∠CEM ．

∴△HAE ≌△CEM ．………………………………………………. 6分 ∴AE =EM ． ………………………………………………………. 7分

3.（顺义二模）（1）①

……………………….…………………1分

②证明：

∵90ACD ∠=?， 又∵CE CB ⊥， ∴90=ECB ACD ∠=?∠, ∴1=2∠∠.

∵DB MN ⊥于点B ， ∴90ABD ∠=?， ∴180BAC D ∠+∠=?． 又∵180BAC EAC ∠+∠=?，

∴D EAC ∠=∠．……………………………………………….…..……2分 ∴△CAE ≌△CDB ，

∴CE CB =．………………………………………………………..……3分

BD AB =+．……………………………………………....….4分 （2

AB BD =-

BD AB =-.……………….…………6分 （3

1

.…………………………………………………..……7分

4.（2016通州二模） 已知，在菱形ABCD 中，∠ADC =60°，点F 为CD 上任意一点（不

与C 、D 重合），

过点F 作CD 的垂线，交BD 于点E ，连接AE . （1）①依题意补全图1；

E

1

2

N

M

A

B

C

D

②线段EF 、CF 、AE 之间的等量关系是____________________________. （2）在图1中将△DEF 绕点D 逆时针旋转，当点F 、E 、C 在一条直线上（如图2），

线段EF 、CE 、AE 之间的等量关系是____________________________.

写出判断线段EF 、CE 、AE 之间的等量关系的思路.（可以不写出证明过程．．．．．．．．．）

解：（1）①依题意补全图1，如图 ………………… 1分；

②2

2

2

CF EF AE += ………………… 2分；

（2）

CE +2EF =AE . ………………… 3分； 判断CE +2EF =AE 的思路如下：

a ．如图2，作△DEF 关于DF 的对称△DGF ，推出DG =DE ，GE =2EF ；……… 4分；

b ．由菱形ABCD 和∠ADC =60°，得AD =DC ，∠ODC =30°；

c ． 由∠ODC =30°和△DEF 关于DF 的对称△DGF 推出∠EDG = 60°；

………………… 5分；

d ．由DG =DE ，AD =DC 和∠ADC =60°，∠EDG =60°推出△ADE ≌△CDG ；

e ．由△ADE ≌△CDG 可推出AE =CG ． …………… 7分

5（2016西城二模）

图1

图2

6.（2016怀柔二模）

(1)如图1……………………………1分 （2）∠AEB=α.……………………2分 （3）

E

图1

E ∵AE ⊥CE ∴∠AEC= 90° ∵∠AEB=α, ∴∠BEC=90°+α……………………3分 过点B 作B

F ⊥BE ，交AE 于点F, 则有∠FBE=90°.

即∠EBC+∠CBF=90°.

∵∠ABC=∠FBA+∠CBF=90°, ∴∠EBC=∠FBA.

∵∠BFA=∠AEB+∠EBF=90°+α. ∴∠BEC=∠BFA

∴△EBC ∽△FBA.……………………4分 ∴EC

FA BE BF BC BA ===tan α. ∵BD=a,CD=b, ∴BE=a,EC=b.

∴EF=

.……………………………………………………………………………………5分 AF=btan .………………………………………………………………………………………6分 ∴AE=EF+AF=

btan .………………………………………………………………7分

7（2016房山二模）.（1）BC=AB+DC ------------------------------------1分 （2）判断：BC=AB+AD -----------------------------------------2分 证明：延长BA 到点E ，使BE=BC ，连接ED ，EC ∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠CBD

∵BD=BD ∴△BED ≌△BCD （SAS ） ----------3分 ∴DE=DC ，∠BDE=∠BDC=150°

∴∠EDC=60°∴△CDE 为等边三角形 ------------4分 ∵∠ACD=30°∴∠ACE=∠ACD=30°

∴AC 垂直平分DE ．∴AD=AE -----------------5分 ∴BC=BE=AB+AE=AB+AD ------------------------6分

（3）∠ADB=120°+α． --------------------------------7分

8（2016朝阳二模）．（1）BD CE =；………………………………………1分 （2）补全图形．………………………………………2分

证明：如图2，在BE 上截取BF CD =，连接CF ．

∵1

2

DCB EBC A ∠=∠=

∠， ∴△DCB ≌△FBC ．………………………3分 ∴BD CF =，FCB DBC ∠=∠．

∴CFE FBC FCB FBC ABE ∠=∠+∠=∠+∠2． ∵CEF A ABE ∠=∠+∠．

∴CFE CEF ∠=∠．………………………………………………………4分 ∴CF CE =．

∴BD CE =．………………………………………………………5分

（3）求解思路如下：

a ．如图3，过点E 作EM BC ⊥于M ；

b ．由BE 平分ABC ∠，可得ABC A ∠=∠；

c ．由BDC ∠=?105，可得EBC ∠=?25，

50A ∠=?，80ACB ∠=?；………………………………………………………6分 d ．由（2）知CE BD ==3，在Rt △CEM 中，可求EM 的长度；

e ．在Rt △BEM 中，由EBM ∠的度数和的EM 的长度，可求BE 的长度．

9．（2016丰台二模）解：（1）①补全图形，如图1所示. ----1分 ②FH 与FC 的数量关系是：FH FC =．----2分

证明：延长DF 交AB 于点G .

∵ABC △中，AC=BC ，90ACB ∠=?， ∴∠A=∠B=45°.

∵∠FDE=90°, ∴∠A=∠AGD=45°. ∴AD=DG.

∵点D 为AC 的中点， ∴AD=DC. ∴DC=DG. ∵DE=DF,

∴DC - DE =DG - DF ，即EC =FG ． ∵∠EDF =90°，FH FC ⊥，

∴∠1+∠CFD =90°，∠2+∠CFD=90°． ∴∠1 =∠2．

图3 A

D

B

M

C

E

E D B

A

∵DEF △等腰直角三角形，

∴∠DEF =∠DFE = 45°． ∴∠CEF =∠FGH = 135°． ∴△CEF ≌△FGH ．

∴ CF =FH ． ----5分

(2)求解思路如下：

a .画出图形，如图3所示.

b .与②同理，可证△CEF ≌△FGH ，可得CF =FH ； 从而得出FCH D 是等腰直角三角形；

c . 作P EF CP 于

，由CE =CP 的长；

d .在Rt △CPF 中，由sin12CP CF

?

,可求CF 的长,进而求出

FCH D

分

10（2016昌平二模）

A

F

C

E

P D

H

B

G

11（2016东城二模）解：

【探究发现】：相等. …………1分 【数学思考】

证明：在AC 上截取CG=CE ，连接GE. ∵∠ACB =90°,

∴∠CGE =∠CEG =45°.

∵AE ⊥EF ，AB ⊥BF ，

∴∠AEF =∠ABF =∠ACB =90°,

∴∠FEB +∠AEF =∠AEB =∠EAC +∠ACB. ∴∠FEB =∠EAC. ∵CA=CB ，

∴AG=BE ，∠CBA =∠CAB =45°. ∴∠AGE =∠EBF =135°. ∴△AGE ≌△EBF .

∴AE=EF . …………5分 【拓展应用】

ABC S △：AEF S △=1：（2

22n n ++）

…………7分